第01講空間向量及其線性運算

-?模塊導航A素養(yǎng)目標?

模塊一思維導圖串知識1.了解空間向量的概念；

模塊二基礎知識全梳理（吃透教材）2.掌握空間向量的加減數(shù)乘運算;

模塊三核心考點舉一反三3.掌握空間向量的運算律；

模塊四小試牛刀過關測4.了解共線向量和共面向量定理.

模塊一思維導圖串知識

定義：空間中具有方向和大小的量叫做空間向量

出南/模長：空間向會大也

幾何表示法：有向線段

空間向量的有關概念表示方法

字母表示法

幾類特殊向量零向量、單位向量、相等向量、相反向量、共線向量

空

方法：三角形法則或平行四邊形法則

間

運算律：交換律與結合律

向加減運算

首尾相接的若干向量之和，等于由起始向

量量的起點指向末尾向量的終點的向量

及空間向量的線性運算運算小技巧首尾相接的若干向量若構成一個封閉圖

形，則它們的和為零向量

其

實數(shù)與空間向量的乘積仍是向量

線

數(shù)乘運算幾何意義同向、反向等

性

運算律：分配律與結合律

運

算空間向量共線的充要條件

共線向量直線的方向向量

共線向量與共面向量空間向量證明運種思路

共面向量的定義

共面向量向量共面的充要條件

向量共面證明思路

6模塊二基礎知識全梳理-----------------------------

知識點1空間向量的有關概念

1、空間向量的定義及表示

（1）定義：在空間，我們把具有大小和方向的量叫做向量.

（2）長度（模）：空間向量的大小叫做向量的長度或模.

（3）表示方法：①幾何表示法：空間向量用有向線段表示；②字母表示法：用字母。、從c,…表示，若

向量。的起點是/,終點是2,則向量。也可以記作近，其模記為IM或I詬1.

2、幾類特殊向量

（1）零向量：長度為o或者說起點和終點重合的向量，記為6。規(guī)定：6與任意向量平行.

（2）單位向量：長度為1的空間向量，即|a|=1.

（3）相等向量：方向相同且模相等的向量.

（4）相反向量：方向相反但模相等的向量.

（5）共線向量：如果表示空間向量的有向線段所在的直線互相平行或重合，則這些向量叫做共線向量或平

行向量.方平行于B記作

知識點2空間向量的線性運算

1、空間向量的加減法

空間中任意兩個向量都是共面的，它們的加、減法運算類似于平面向量的加減法（如下圖）.

2、空間向量加減法運算律

交換律：a+b=b+a結合律：（a+Z））+c=a+（6+c）

小結：空間向量加法的運算的小技巧

（1）首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的起點指向末尾向量的終點的向量,

即：

AXA2+A2A3+A3A4+?■?+AnAAn=AlAn

（2）首尾相接的若干向量若構成一個封閉圖形，則它們的和為零向量，

即：44+44+44+…+4T4+44=。；

3、空間向量的數(shù)乘運算

（1）定義：實數(shù)力與空間向量￡的乘積4G仍是一個向量，稱為向量的數(shù)乘運算.

（2）幾何意義：當%>0時，入片與片方向相同；

當入<0時，入3與6方向相反；

當入=0時，Za=0.

入前勺長度是&的長度的||川|倍./Aa（A>0）

（3）運算律：分配律：A（a+b,）=Aa+Ab；結合律：AQia）=

知識點3共線向量

1、空間向量共線的充要條件：對任意兩個空間向量N而?于小，片的充要條件是存在實數(shù)入，使得

a=Ab

2、直線的方向向量：如圖，。是直線/上一點，在直線/上取非零向量則對于直線/上任意一點尸，存

在實數(shù);I，使得而=Aa

與向量￡平行的非零向量稱為直線/的方向向量.這樣，直線/任意一點都可以由直線/上的一點和它的

方向向量表示，也就是說，直線可以由其上一點和它的方向向量確定。

3、證明空間三點共線的三種思路：對于空間三點尸、A,8可通過證明下列結論來證明三點共線

(1)存在實數(shù)不使港=義麗成立.

(2)對空間任一點。，有加=0A+tAB(teR)

(3)對空間任一點。，有OP=xOA+yOB(%+y=1：

知識點4共面向量

1、定義：如圖，如果表示向量￡的有向線段6X所在的直線。/與直線/平行或重合，那么稱向量熱平行與直

線/.如果直線。/平行于平面a或在平面a內，那么稱向量而平行于平面a.平行于同一個平面的向量，叫

做共面向量.

2、向量共面的充要條件：如果兩個向量標，石不共線，那么向量后與向量京C共面的充要條件是存在唯一的

有序實數(shù)對(x,y),使3=xa+yb-

3、向量共面證明思路

(1)證明點P在平面N8C內，可以用濟=+也可以用加=6ii+x屈+y位，

若用加=xOA^yOB+zOC，則必須滿足x+y+z=1.

(2)判斷三個向量共面一般用J=xa+yi>

證明三線共面常用淳-xAB+yAC,

證明四點共面常用m=x83+y加+z灰(其中x+y+z=1)

6模塊三核心考點舉一■反三------------------------------

（考點一空間向量的概念而考點四由空間向量共線求參數(shù):

（考點二空間向量的線性運算）~侄間向量及其線性運算t考點五向量（四點）共面的判定:

（考點三空間向量共線的判定）考點六由向量（四點）共面求參數(shù)）

考點一：空間向量的概念辨析

例1.（23-24高二上?山東日照?月考）下列命題中為真命題的是（）

A.向量方與詼的長度相等

B.將空間中所有的單位向量移到同一個起點，則它們的終點構成一個圓

C.空間非零向量就是空間中的一條有向線段

D.不相等的兩個空間向量的模必不相等

【變式1-1］（23-24高二上?山東聊城?月考）給出下列命題：

①空間向量就是空間中的一條有向線段；

②在正方體ABCD-4片。|。中，必有衣=石；

③忖明是向量Z=b的必要不充分條件；

④若空間向量滿足灰〃后，n//p,則行〃力.

其中正確的命題的個數(shù)是（）.

A.1B.2C.3D.0

【變式1-2］（23-24高二上?四川?期中）（多選）下列說法正確的是（）

A.零向量沒有方向

B.空間向量不能比較大小，空間向量的?？梢员容^大小

C.如果兩個向量不相同，那么它們的長度不相等

D.同向且等長的有向線段表示同一向量

【變式1-3］（23-24高二上?全國?專題練習）（多選）下列命題中正確的是（）

A.如果￡不是兩個單位向量,則|￡|=|加

B.兩個空間向量共線，則這兩個向量方向相同

C.若a，b,c為非零向量，S.a//b>S//c>則a//c

D.空間任意兩個非零向量都可以平移到同一平面內

考點二：空間向量的線性運算

2.（23-24高二上?浙江紹興?期末）已知E,尸分別是空間四邊形/BCD的對角線/C,8。的中點,

點G是線段E尸的中點，P為空間中任意一點，則用+而+正+麗=（）

C.3PGD.4PG

【變式2-1］（23-24高二下?河南?月考）在四面體"BCD中，￡為棱8c的中點，則刀-;（麗+配］（）

A.-AEB.-ABC.AED.AB

【變式2-2］（23-24高二下?江蘇揚州?月考）在四面體。中，方=￡,歷=及反=",D為BC的三

等分點（靠近2點），E為/。的中點，則礪=（）

-2-1-

A.a+—b+—cB.aH—b~\—c

3333

1-1一］一1-1-1一

C.—a+—b+—cD.70+76+7。

236263

【變式2-3］（23-24高二下?廣東佛山?月考）如圖，在平行六面體44GA中，〃為4G與耳，的

交點.若羽=3萬=4五彳=",則下列向量中與兩相等的是（)

1-17―

A.—QH—Z?+。B.——a+—b+c

2222

1-1一

C.——a——b+cD.—a——b+c

2222

考點三：空間向量共線的判定

3.（23-24高二上?全國?練習）已知空間四邊形ABCD,點E、F分別是AB與AD邊上的點，M、

N分別是BC與CD邊上的點，若彳g=4而，AF=AAD,CM=^iCB,CN=^iCD,則向量而與胸滿足

的關系為（）

A.EF=MNB.EF//MNC.同=|阿D.同片|阿

【變式3-1]（23-24高二上?貴州?開學考試）如圖，在三棱柱43C-44G中，尸為空間一點，且滿足

麗=液+曲瓦,2,^e[0,1],則下列說法錯誤的是（）

A.當彳=0時，點P在棱3片上

B.當彳=〃時，點P在線段耳。上

C.當〃=1時，點尸在棱4G上

D.當彳+〃=1時，點尸在線段4c上

【變式3-2]（23-24高二上?全國?課后作業(yè)）如圖，四邊形A8CA/5斯都是平行四邊形且不共面，M、N

分別是尸的中點，判斷面與麗是否共線？

【變式3-3]（23-24高二上?江蘇?專題練習）已知。、A、B、C、D、E、F、G、”為空間的9個點

（如圖所示），并且礪=左厲，OF=kOB^OH=kOD，AC=AD+mAB,EG=EH+mEF.求證：AC//EG.

考點四：由空間向量共線求參數(shù)

Crj例4.（23-24高二上?河北邯鄲?期末）已知其了了是不共面的空間向量，若力=3￡-2歹-47與

q=（m+l）x+Sy+nz（也”是實數(shù)）是平行向量，則%+”的值為（）

A.16B.-13C.3D.-3

【變式4-1］（22-23高二上?新疆伊犁?期末）已知耳、I、1為空間三個不共面的向量，向量￡=1+碼，

很=3弓+9e2+4與，若3與B共線，貝！!4+"=（）

A.-3B.3C.-15D.15

【變式4-2］（23-24高二上?遼寧?期中）設向量冬勺,03不共面，已知48=-3q-與+2e,8C=q-6%,

而=41+西+8］，若4C「三點共線，則力=（）

A.0B.1C.2D.3

【變式4-3］（23-24高二下?江蘇連云港?期中）設是空間兩個不共線的非零向量，已知質=21+病,

BC=^+3^,慶=24_］,且。三點共線，則實數(shù)左的值為.

考點五：向量（四點）共面的判定

—?1—■1—■—.

例5.（23-24高二下?江蘇泰州?月考）。為空間任意一點，^AP=--OA+-OB+tOC,若A,B,

C,P四點共面，則I=（）

911

A.1B.—C.-D.一

884

【變式5-1］（23-24高二上?福建?月考）在下列條件中，一定能使空間中的四點M,A,B,C共面的是（）

A.OM=2OA-OB-OCB.OM=-OA+-OB+-OC

532

C.MA+2MB+MC=QD.OM+OA+OB+OC=~b

【變式5-21（23-24高二上?全國?專題練習）對于空間一點。和不共線三點4民。，且有

2OP=-OA+OB+2OC，則（）

A.。,48,C四點共面B.尸,43,C四點共面

C.O,尸,3,C四點共面D.O,P,43,C五點共面

【變式5-3］（23-24高二上?四川雅安?月考）若向量入b，日不共面，則下列選項中三個向量不共面的是

()

A.b-c,b>b+cB.a+b，c,a+b+c

C.a+b，a—b，云D.a—b,a+b，5

考點六：由向量（四點）共面求參數(shù)

6.23-24高二下,江蘇,月考）已知向量5,3,不共面，則使向量加=2/-3,k=B+,,p=班+53+35

共面的實數(shù)x的值是（）

A.-4B.-3C.-2D.4

【變式6-11（23-24高二上?云南玉溪?期末）已知。，A,B,。為空間中不共面的四點，且

uur1uur1uiiruuur

OP=ER）,若P,AjB9C四點共面，則％=（）

1157

A.-B.-C.—D.-----

341212

【變式6-2］（23?24高二下?湖南常德?入學考）已知。為空間任意一點，4民C尸滿足任意三點不共線，但

四點共面，且旃=冽刀+9+。心，則冽的值為（）

A.-1B.2C.-2D.-3

【變式6-3］（23-24高二上?山東?期中）在四面體N3CZ）中，點M,N滿足翔=2枇反函=2函，若

MN=xAB+yAC+zAD,貝?。輝+y+z=（）

11-1

A.—B.—C.—D.1

332

6模塊四小試牛刀過關測-------------------------------

一、單選題

1.（23-24高二上?江西景德鎮(zhèn)?期末）在空間四邊形O4BC中，化簡科+萬一（）

A.OAB.OCC.ACEFD.OB

―-1―■—?

2.（23-24高二下?甘肅?期中）在空間四邊形ABC。中，E,尸分別為BC,CD的中點，則/尸-5（48+/。）=

（）

A.-EFB.BDC.EFD.-BD

3.（23-24高二上?山東濟南?期末）在三棱柱48C-44G中，若就=￡,方=3，麴=2則福=（）

A.a+b—cB.d—b+cC.—a+b—cD.—。+6+。

4.（23-24高二上?廣東廣州?期末）在下列條件中，一定能使空間中的四點”,4瓦。共面的是（）

A.OM=2OA-OB-OCB.OM=^OA+^OB+^OC

C.OM+OA+OB+OC=1）D.OM=^-OA+\oB+-OC

632

5.（23-24高二上?北京?期中）已知而，痂是空間兩個不共線的向量，MC=5MA-3MB，那么必有（）

A.赤,荻共線B.礪,前共線

C.瘋，蕨,流共面D.祝5,標，碇不共面

6.（22-23高二下?江蘇宿遷?月考）已知向量02不共線，AB-e