南京市2024-2025學(xué)年度第二學(xué)期五校聯(lián)盟期中學(xué)情調(diào)研

局一數(shù)學(xué)

本卷：150分考試時(shí)間：120分鐘

注意事項(xiàng)：

1.本試卷共4頁(yè).本試卷滿分為150分，考試時(shí)間為120分鐘.

2.答卷前，考生務(wù)必將自己的學(xué)校、姓名、考生號(hào)填涂在答題卡上指定的位置.

一、單項(xiàng)選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有

一項(xiàng)是符合題目要求的，請(qǐng)把答案填涂在答題卡相應(yīng)位置上.

1.已知平面&的法向量為"=02—2),平面廠的法向量為%=G2，—4㈤，若a，，，則卜=()

A.4B.-4

C.5D.-5

【答案】D

【詳解】-：aL/3,：.alb>

a-S=-2-8-2^=0>解得左=—5.

故選：D

2.已矢口(2+X)5=+(7jX+U^x~+，貝!|—%+。2—。3+。4—。5為()

A.-1B.1C.32D.243

【答案】B

2345

【詳解】因?yàn)?2+x)5=/+axx+a2x+a3x+a4x+a5x,

令x=-1可得CIQ—%+a2—/+%—%=(2-1)=1?

故選：B

3.已知函數(shù)/(x)=e-2x+3,則廣⑵=()

C12

A.2eB.eC.—D.—

ee

【答案】D

【詳解】設(shè)w=-2x+3/=e",則或=-2,呼=0",

yp=yg$=-2eu=-2e2x+3,即/'(x)=-2e-2x+3,

/（2）=-2e-1=-j.

故選：D.

4.某晚會(huì)有三個(gè)唱歌節(jié)目，兩個(gè)舞蹈節(jié)目，要求舞蹈節(jié)目不能相鄰，有（）種排法?

A.72B.36C.24D.12

【答案】A

【詳解】先排三個(gè)唱歌節(jié)目這有：A；=6種情況，

然后四個(gè)空排兩個(gè)舞蹈節(jié)目這有：A；=12種情況，

所以舞蹈節(jié)目不能相鄰的情況有：6義12=72情況.

故選：A.

5.2424+2被5除的余數(shù)為（）

A.1B.2C.3D.4

【答案】C

【詳解】由題可知，2424=（25-1）24,

則其展開式的通項(xiàng)公式為&]=CQ-252A.（-1丫，&=0』,2,…,24）,

由通項(xiàng)公式可得，只有「=24時(shí)，&=<2第25°?（—1戶=1不能被5整除，

其余項(xiàng)均能被5整除.故2424被5除的余數(shù)為1,則2424+2被5除的余數(shù)為3.

故選：C.

6.已知/（-1,T-1）,直線/過(guò)原點(diǎn)且平行于2=（0,1,2）,則A至I]/的距離為（）.

A2岔口1「而nV35

555

【答案】C

【詳解】由題意取尸（0,1,2）,則方=（1,2,3）,

所以A至卜的距離為

故選：c

1

7.若函數(shù)/(x)=57、2—x+Qinx有兩個(gè)不同的極值點(diǎn)，則實(shí)數(shù)Q的取值范圍為()

A?[*C[-耳口.

【答案】B

【詳解】函數(shù)/(x)=；x2—x+ainx的定義域?yàn)?0,+8),

又廣(%)=%_1+q=,

XX

因?yàn)楹瘮?shù)/(x)=1-x2—x+alnx有兩個(gè)不同的極值點(diǎn),

所以/'(x)=0有兩個(gè)不同正根，

即必一%+。=0有兩個(gè)不同正根(不妨設(shè)為西,》2)，

A=1-4a>0

解得0<a<L即實(shí)數(shù)。的取值范圍為[o,；

所以<x+x=1>0,

l24

X[X2=a>0

故選：B.

AC1

8.如圖，在直三棱柱48。一4月。1中，AB.AC=AB=CCx=lf￡是線段48的中點(diǎn)，在

內(nèi)有一動(dòng)點(diǎn)p(包括邊界)，貝『尸幺|+|尸￡|的最小值是()

63

【答案】c

【詳解】由題意可以。為原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系C-孫z,

則4(1,0,1),8(1,1,0),C(0,0,0),2(1,0,0),1,1,0

所以赤=(1,1,0),方=(1,0,1),9=(0,0,1),

設(shè)人關(guān)于平面48c的對(duì)稱點(diǎn)為H(x,y,z),z>0,則"=0—z),Z?=(x-1,j,z),

,、CBLnCB-n=x+y=0

設(shè)平面48c的法向量方=(X],%,zJ,貝。一ii

C41n。4?歷=X[+Z[=0

令X1=1,則必=—1,Z]=—1,所以蘇=(1,一1,一1),

AA.-n\\A'A,-n\|_|,.

所以4與4到平面48c的距離d」J1=型」x+v+z即kx+>+z|=l①,

同3\n\V3

又五7//1，所以x-l=-y=-z②，所以由①②得|3z—1|=1,

i72

所以由z〉0可得x=§,y=3，z=§,所以H

所叫尸+\PE\=IM+\PE\>|HE|

當(dāng)且僅當(dāng)A',P,E三點(diǎn)共線時(shí)取等號(hào),

所以|/訓(xùn)+|尸￡|的最小值為Y亙.

6

故選：c.

二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要

求.全部選對(duì)得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.

9.如圖，已知正方體48CD-4SG2的棱長(zhǎng)為2,E1分別為棱用G、g8的中點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的為

A.ADX=2EFB.B{D,-AC=O

C.\DF\=2D.而不是平面zcn的一個(gè)法向量

【答案】BD

【詳解】由ABCD-451GA為正方體，

以點(diǎn)。為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在直線分別為x、V、z軸建立如下圖所示的空間直角坐標(biāo)系,

則4（2,0,0）、8（2,2,0）、。（0,2,0）、。（0,0,0）、4（2,0,2）、4（2,2,2）、

G（O22）Q（O,O,2）、￡（122）、E（2,2,1）.

對(duì)于A選項(xiàng)，西=（—2,0,2）,而=（1,0,—1）,則西=一2而，故A錯(cuò)誤；

對(duì)于B選項(xiàng)，而'=（—2,-2,0）,*=（—2,2,0）,則瓦/?%=4-4=0,故B正確；

對(duì)于C選項(xiàng)，礪=（2,2,1）,故|礪/萬(wàn)萬(wàn)齊=3,故C錯(cuò)誤；

對(duì)于D選項(xiàng)，DF-ADX=-4+2^0,故而不是平面ZC2的一個(gè)法向量，故D正確.

故選：BD.

10.現(xiàn)安排甲、乙、丙、丁、戊這5名同學(xué)參加志愿者服務(wù)活動(dòng)，有翻譯、導(dǎo)游、禮儀、司機(jī)四項(xiàng)工作可以安排,

且每人只安排一個(gè)工作，則下列說(shuō)法正確的是（)

A.不同安排方案的種數(shù)為54

B.若每項(xiàng)工作至少有1人參加，則不同安排方案的種數(shù)為C：A：

C.若司機(jī)工作不安排，其余三項(xiàng)工作至少有1人參加，則不同安排方案的種數(shù)為(C；C；+C：C；)A；

D.若每項(xiàng)工作至少有1人參加，甲不能從事司機(jī)工作，則不同安排方案的種數(shù)為C；C：A；+C；A；

【答案】BD

【詳解】對(duì)A,若每人都安排一項(xiàng)工作，每人有4種安排方法，則不同安排方案的種數(shù)為45,故A錯(cuò)誤;

對(duì)B,先將5人分為4組，再將分好的4組全排列，安排4項(xiàng)工作，

則不同安排方案的種數(shù)為C；A0故B正確；

對(duì)C,先將5人分為3組，有二1+與1種分組方法，

將分好的三組安排翻譯、導(dǎo)游、禮儀三項(xiàng)工作，有A；種情況,

則不同安排方案的種數(shù)是A；,故C錯(cuò)誤;

對(duì)D,第一類，先從乙，丙，丁，戊中選出1人從事司機(jī)工作，再將剩下的4人分成三組，

安排翻譯、導(dǎo)游、禮儀三項(xiàng)工作，則不同安排方案的種數(shù)為C：CjA：；

第二類，先從乙，丙，丁，戊中選出2人從事司機(jī)工作，

再將剩下的3人安排翻譯、導(dǎo)游、禮儀三項(xiàng)工作，

則不同安排方案的種數(shù)為C；A：.所以不同安排方案的種數(shù)是C；C：A；+C：A：,故D正確.

故選：BD

11.已知直線〉=Ax與曲線y=lnx相交于不同兩點(diǎn)MG，%),"(9,%),曲線y=lnx在點(diǎn)〃?處的切線

與在點(diǎn)N處的切線相交于點(diǎn)尸(%,為)，則()

A.0<k<-B.xxx2=ex0C.+y2=1+v0D.yxy2<1

【答案】ACD

1-lnx

【詳解】令/(x)=—，則/'(x)=

X

故xe(O,e)時(shí)，/(x)遞增；x￡(e,+e)時(shí),/(X)遞減,

所以/(X)的極大值/(e)=工，且X>1,/(x)>0,

e

因?yàn)橹本€V=依與曲線y=lnx相交于“a，%)、兩點(diǎn)，

所以>=左與/(x)圖像有2個(gè)交點(diǎn)，

所以0〈左<1,故A正確；

e

設(shè)”(國(guó),乂),以工2，歹2),且1<$<e</,可得句=lnx1,Ax2=lnx2,

歹=lnx在點(diǎn)處的切線程為y—lnxi=—(x-x1),y-lnx2二一(x-x2),

.X]x2一

I1,、

y-inxy=—(x-xjlnx7-Inxlnx?-Inx

%11%/Xn=---------L=XX---------L

xx9

<,得In%2—1"玉二-------，即2~\x9-x

jV—Inx2——(x—々)再入2

、x2-一

因?yàn)樽?電工_咕，所以/=再％2左，即占%2=1%0，故B錯(cuò)誤；

%一芯k

y.InxInx

因?yàn)閗7=一二----=----?-,所以A^ln玉二否In%，

再X]x2

因?yàn)槭?%，九)為兩切線的交點(diǎn)，

1111Inx-Inx1xInx-xInx+x.Inx,-x.Inx

9L9L

所以為=In^+—x0—I=ln%i+x2——-------l=———-——-----——-----——-——-

xxx2一%x2-$

即P_/比/_%iln、i]所以y+]_/山々一須In』

x2-xx'x2-Xx，

所以％+為=In演+Inx=(InXj+ln-Mx^-xJ=x?In占-xJn%+「山x；-xJn2=XzInXz-xJn拓

2乂)+1,故c

x2一石x2-xlx2-xl

正確；

因?yàn)槿読=.v「所以In左+lnX]=lny-所以ln/+%=ln%,

.V2f

同理得如左+%=如必,得In%—%=In%-%，即=l,

In%—In%

中班必一必、

因?yàn)?-----i----〉，所以必為<l,故D正確.

Iln約Tn%

故選：ACD.

三、填空題：本大題共3小題，每小題5分，共15分，請(qǐng)把答案填寫在答題卡相應(yīng)位置上.

12.方程C；：=C；/的解為.

【答案】6

f0<2x<14

【詳解】根據(jù)題意，2x=x—4或2x+x—4=14,且〈八，一

0<x-4<14

解得x=6.

故答案為：6.

13.《九章算術(shù)》是我國(guó)古代數(shù)學(xué)名著，它在幾何學(xué)中的研究比西方早一千多年，書中將四個(gè)面均為直角三

角形的四面體稱為鱉席.如圖，四面體尸-48c為鱉般，尸/，平面48C,ABLBC,且

PA=AB=BC=\,則直線PB與平面P4C所成角的大小為.

71

【答案】一##30°

6

【詳解】取ZC的中點(diǎn)。，連接AD、PD,因?yàn)?8=8C=1,AB1BC,

所以BDLZC,S.BD=-AC=-yJl2+]2=—，

222

又尸2,平面48C,8￡>u平面45C,所以尸4,8D,

因?yàn)?NC,尸Nu平面尸/C,

所以8。1平面尸ZC,所以N8P。直線尸8與平面尸4c所成角，

又尸Z_L平面48C,45u平面43C,所以上4_L45,所以PB=正+f=行，

所以sin/8尸。=些=工，則/5尸。=巴，

PB26

jr

即直線PB與平面PAC所成角的大小為-.

6

71

故答案為：—

14.已知(1+1—2%2)=4++…+。20、2°，則〃3=-

【答案】-60

【詳解】因?yàn)?1+X—2、2『=/+%1+…+出0、2。，所以%是含丁項(xiàng)的系數(shù)，

若從10個(gè)(1+x-2丁)式子中取出0個(gè)(_2丁)，則需要從中取出3個(gè)X,7個(gè)1,則得到的項(xiàng)為

237

C：0(-2x)°CiOxC；l=120/；

若從10個(gè)(1+x-2丁)式子中取出i個(gè)(_2%2),則需要從中取出1個(gè)x,8個(gè)1,則得到的項(xiàng)為

283

C；0(-2x)CgxC81=-180x；

若從10個(gè)(1+x-2x2)式子中取出大于或等于2個(gè)(-2x2),則無(wú)法得到含x3的項(xiàng)；

綜上：含丁的項(xiàng)為120/—180》3=—60/，則含丁項(xiàng)的系數(shù)為-60,即生=-60.

故答案為：-60.

四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟.

15.已知10道試題中有4道選擇題，甲、乙兩人依次不放回地抽取1道，求：

(1)甲抽到選擇題的概率；

（2）在甲抽到選擇題的情況下，乙抽到選擇題的概率.

……2

【答案】（1）y

⑵-

3

【小問1詳解】

42

甲抽到選擇題的概率為一=—

105

【小問2詳解】

4-11

在甲抽到選擇題的情況下，乙抽到選擇題的概率為-----=

10-13

16.如圖，在直三棱柱45C—481G中，AB=AAi=43,AC=2,AB1AC,。為4cl的中點(diǎn)?

（1）證明：幺用，平面

（2）求點(diǎn)A到平面BCO的距離.

【答案】（1）證明見解析

⑵國(guó)

2

【小問1詳解】

方法一：由直三棱柱的性質(zhì)可知M1平面ABC,

因?yàn)槠矫?8C,所以44148,AAX1AC,

由題可知四邊形，為矩形，AB=Z4,

所以四邊形448避為正方形，所以AB1，45,

因?yàn)锳B1AC,AAlC\AB=A,且平面四刀/,

所以NC，平面AA^B,又/與u平面AA,BXB,

所以/。，典，因?yàn)??！?。，所以

又因?yàn)?8n4。=4,4§,4Qu平面460,

所以481，平面480.

方法二：以A為原點(diǎn)，AB,AC,44]所在直線分別為X軸，，軸，Z軸，

建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則/(0,0,0),5(73,0,0),C(0,2,0),D(0,l,V3),4(0,0,百)，

用("0,拘，

則函=(G,0,石)，福=(上,0,—G),踵=(0,1,0),

所以函布=gxG+OxO+6x(-C)=O,

AB[?AQ=5/3x0+0x1+y/3x0=0,

所以AB1，48,AB11AXD,

又因?yàn)?8n4。=4,45,4Du平面4區(qū)0,所以48］，平面4ao.

【小問2詳解】

方法一：設(shè)點(diǎn)A到平面BCD的距離為d,

易得BC=5，8。=近，CD=2,

222

n,DB+BC-DC7+7-45

則cosZDBC=-----------------=—產(chǎn)~7==-,

2DBBC2V7-V77

__________[7

則sinZDBC=Jl-cos?ZDBC=—2

7

所以=*DB-BC.stn/DBC=；xgg^~=a

則%*0=半d，^C=|X|XV3X2XV3=1,

D。/

由^D-ABC=0A-BCD得，1=d，解得d=，

32

所以點(diǎn)A到平面BCD的距離為逅.

2

方法二：由(1)得就=(0,2,0),SC=(-V3,2,0),CD=(0,-l,V3),

BC=0f-V3x+2v=0

設(shè)平面BCD的一個(gè)法向量為方=(X,%z),貝卜—，所以廣,

n-(CD=0[-y+y/3z=0

IXx=V3>則了=T，z=~~>所以力=也，二

dJAC-n\_3_V6

設(shè)點(diǎn)A到平面BCD的距離為d,則團(tuán)|A932，

J3+-+-

V44

所以點(diǎn)A到平面BCD的距離為逅.

2

ZJk

4DC

步廠/:/;\

\XI/1:?///\\

，k、1////\、

/>；!/\

------C*

X

17.已知在卜X—；2

〃eN*)的展開式中，第2項(xiàng)與第3項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)之比是

<VX7

(1)求展開式中的常數(shù)項(xiàng)，并指出是第幾項(xiàng);

(2)求展開式中的所有有理項(xiàng).

【答案】(1)60,第5項(xiàng);

《,1

(2)64x6,240x3,60,—.

X

【小問1詳解】

(]Y

在2x—7(〃eN*)的展開式中，

C；_〃2_2

第2項(xiàng)與第3項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)之比是C2—1/八—〃_1—5，所以"=6.

']〃(〃T)

1=(-l)r-26-r-q-x6-r,0<r<6,reN,

所以展開式中的通項(xiàng)公式為Tr+l=C；?(2x)6-+

令6—萬(wàn)=0,得「=4,所以常數(shù)項(xiàng)是第5項(xiàng)，為7；=1X22XC：=60.

【小問2詳解】

由（1）可知，通項(xiàng)公式為4+1=（—1丫.26-.CrJ—510Wr<6/eN，

46-—eZ,則r=0,2,4,6,

2

當(dāng)廠=0時(shí),方=26（3*6=64-,

當(dāng)井=2時(shí)，7；=24Cg%3=240x3,

當(dāng)「=4時(shí)，n=22（2"=60,

當(dāng)廠=6時(shí)，T1=2°CgX-3=—,

X

A6a31

故展開式中的所有有理項(xiàng)為：64x9240x,609—.

X

18.如圖，已知四棱臺(tái)4BC。-4用G2的上、下底面分別是邊長(zhǎng)為2和4的正方形，平面，4〃。！.平

面ABC。，4Z=￡）］￡）=JT7,點(diǎn)P是棱的中點(diǎn)，點(diǎn)Q在棱BC上.

a01

?y4—Z\

/ny

/：A

RpC

（1）若50=30C,證明：尸0〃平面/BS/i；

（2）若二面角尸-8-C的正弦值為豆羽，求BQ的長(zhǎng).

26

【答案】（1）證明見解析；

（2）1.

【小問1詳解】

證明：取Z4的中點(diǎn)M,連接MP,MB.

在四棱臺(tái)48CO—4瓦。1。1中，四邊形4幺。2是梯形，4A=2,AD=4,

jn_i_jn

又點(diǎn)M,p分別是棱Z/，的中點(diǎn)，所以〃且〃P=——=3.

在正方形ABC。中，BC//AD,BC=4,又BQ=3QC,所以8。=3.

從而〃尸〃8。且上。=3。，所以四邊形BMPQ是平行四邊形，所以尸。〃MB.

又因?yàn)槠矫?8男4，尸。二平面4844,所以尸0〃平面48g4；

i>1X7

90(

在平面幺4。1。中，作4。_L40于。.

因?yàn)槠矫骁郏矫鎆BC。，平面//QQc平面48CD=4D,A,01AD,4Ou平面

AA[D[D,

所以4。，平面ZBCD.

在正方形ABCD中，過(guò)。作AB的平行線交BC于點(diǎn)N,則ON10D.

以｛而，礪，西｝為正交基底，建立空間直角坐標(biāo)系。-平.

因?yàn)樗倪呅问堑妊菪危?4=2，4D=4,所以幺。=1,又A[A=D[D=&i,所以

40=4.

易得8（4,—1,0）,D（o,3,o）,C（4,3,o）,^（0,2,4）,尸。[2]，所以反=（4刀刀），

DP=fo,-1,2j,C5=（O,-4,O）.

法1：設(shè)函=40=（0,—440）（0<%?1）,所以質(zhì)=友+西=（4,—4%0）.

r—?f1

設(shè)平面PDQ的法向量為成=（xj,z）,由｛_.,得｛2',取應(yīng)=（4%4,1）,

麻。。=0[4x-42v=0

另取平面DCQ的一個(gè)法向量為方=（0,0,1）.

設(shè)二面角P-QD-C的平面角為&,由題意得|cos=Vl-sin2^=｝.

V26

又向神。麗北揄二鬲U所以而一二看

33

解得4=±—（舍負(fù)），因此C0=—x4=3,80=1.

44

所以當(dāng)二面角尸-8-C的正弦值為袁龍時(shí)，BQ的長(zhǎng)為1.

26

法2：設(shè)。（4,/,0）（—lW/W3）,所以質(zhì)=（4,/3,0）.

「--kf1

/、m?DP=0—y+2z=0/、

設(shè)平面PDQ的法向量為成=（x/,z）,由｛_.,得｛2',取而=（3-7,4,1）,

麻。。=0〔4x+"3）y=0

另取平面DCQ的一個(gè)法向量為方=（0,0,1）.

設(shè)二面角P-QD-C的平面角為。由題意得|cosM=Vl-sin2^=.

726

又…小伍訃揄=5!充，所以產(chǎn)K二卷

解得/=0或6（舍），因此8。=1.

所以當(dāng)二面角尸―QD—C的正弦值為空5時(shí)，BQ的長(zhǎng)為1.

26

法3：在平面440。中，作PH_L4D,垂足為H.

因?yàn)槠矫?，平面ZBC。，平面平面=，PH1AD,PAu平面

AlADDl,

所以「平面ZBCD,又。Qu平面ZBC。，所以PH，。。.

在平面ABC。中，作//G_LD0,垂足為G,連接PG.

因?yàn)镻HLDQ,HGLDQ,PHCHG=H,PH,XGu平面尸8G,

所以￡＞。,平面丹fG,又PGu平面丹fG,所以。0，尸G.

因?yàn)椤℅，￡）Q,PGLDQ,所以NPG〃是二面角尸—QD—N的平面角.

在四棱臺(tái)ABCD—451GA中，四邊形4幺。2是梯形，

44=2,AD=4,AXA=DXD=VF7,點(diǎn)P是棱的中點(diǎn)，

所以7W=2,DH=~.

2

設(shè)80=x（O〈xW4）,則CQ=4—x,DQ=^42+（4-x）2=Vx2-8x+32.

在△QHD中，一x—x4=—XG—8X+32X//G,從而HG=/.

-222VX2-8X+32

因?yàn)槎娼荘-QD-C的平面角與二面角P-QD-A的平面角互補(bǔ)，

且二面角尸一紗—C的正弦值為受竺，所以sin/PGH=%^5,從而tan/PG〃=5.

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PHI--------------

所以在RtZXPHG