16全等三角形半角模型

一、單選題

1.如圖所示，在RtA46C中，AB=AC,D、￡是斜邊6c上的兩點(diǎn)，且/ZW=45°,將繞點(diǎn)4按順

時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)90°后得到△加漢連接跖有下列結(jié)論：①BE=DC；②NBAF=/DAC；③/FAE=NDAE；

@BF=DC.其中正確的有（）

2.如圖，在R/ABC中，AB^AC,ZABCZACB45°,D、￡是斜邊BC上兩點(diǎn)，且ZDAE=45。，若

BD=3,CE=4,S^ADE=15,則△"/）與△AEC的面積之和為（）

C.30D.22

二、填空題

3.如圖，正方形/6切的邊長為6,點(diǎn)反尸分別在邊A8,BC上,若尸是6c的中點(diǎn)，且N"加=45°,則

"的長為.

4.如圖，在和RtZ\85中，/BAC=NBDC=9Q°,BC=8,AB=AC,/CBD=3Q°,初=4』，M,

“分別在加，CD上,/揚(yáng)-45°,則的周長為.

5.在AABC中，ZACB=9（F,C4=CB,點(diǎn)瓦尸在邊上，Z￡CF=45°.若AE=1O,所=15,則跖的長

為

A

E

6.如圖，在邊長為6的正方形/頗內(nèi)作/應(yīng)16=45°,AE交BC于點(diǎn)、E,AF交CD千點(diǎn)、F,連接砂，將“歷

繞點(diǎn)4順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到△四G,若應(yīng)'=2,則砂的長為.

三、解答題

7.如圖，已知在△/回中，AB=AC,D、￡是6c邊上的點(diǎn)，將△/劭繞點(diǎn)力旋轉(zhuǎn)，得到△力CM,連接。陽

⑴當(dāng)/為C=120°,NDAE=60°時(shí)，求證：龐=。叫

⑵當(dāng)龐=以￡時(shí)，/物￡與/胡C有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請(qǐng)寫出，并說明理由.

⑶在（2）的結(jié)論下，當(dāng)/物C=90°,初與應(yīng)滿足怎樣的數(shù)量關(guān)系時(shí)，是等腰直角三角形？（直

接寫出結(jié)論，不必證明）

8.如圖，梯形/反力中，AD//BC,AB=BC=DC,點(diǎn)、E、b分別在49、ABh,^.ZFCE=-ZBCD.

2

AED

(2)連結(jié)/，，若/3=80。,/DEC=70。，求ZACF的度數(shù).

9.已知：正方形ABCD中，NMAN=45。,NM4N繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，它的兩邊分別交CB,DC(或它

們的延長線)于點(diǎn)/，N.

當(dāng)"AN繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)到3M=DN時(shí)(如圖1),易證BM+DN=MN.

圖1圖2

(1)當(dāng)NM4N繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)到時(shí)(如圖2),線段和"N之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系？寫出

猜想，并加以證明.

(2)當(dāng)ZM4N繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)到如圖3的位置時(shí)，線段和之間又有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請(qǐng)直接寫

出你的猜想.

10.正方形/頷的邊長為3,￡、尸分別是45、8c邊上的點(diǎn)，且/碩佇45°.將△物￡繞點(diǎn)〃逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°,

得到

(1)求證：E耳FM；(2)當(dāng)力斤1時(shí)，求鰭的長.

11.已知：邊長為4的正方形/比2/加尸的兩邊分別與射線徽小相交于點(diǎn)￡、F,且N26=45°,連

思路分析：

⑴如圖1,:正方形/以笫中，AB=AD,ABAD=AB=ZADC=9Q°,

...把△/應(yīng)繞點(diǎn)/逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°至叢ADE,則尺D、后在一條直線上，

/EAF=度，……

根據(jù)定理，可證：XAEF0XAEF.

：.EF=BE+DF.

類比探究：

(2)如圖2,當(dāng)點(diǎn)￡在線段"的延長線上，探究歐BE、所之間存在的數(shù)量關(guān)系,并寫出證明過程；

拓展應(yīng)用：

⑶如圖3,在中，AB=AC,D、￡在&'上，ZBAC=2ADAE.若8/況上14,SAADE=6,求線段應(yīng)＞、

DE、式'圍成的三角形的面積.

12.如圖，在正方形ABCD中，E、F是對(duì)角線BD上兩點(diǎn)，將aAT獷繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。后，得到AABM,

連接EM,AE,且使得NM4E=45。.

AD

(1)求證：ME=EF；(2)求證：EF2=BE1+DF2.

13.如圖①，四邊形ABCD為正方形，點(diǎn)E,F分別在AB與BC上，且NEDF=45°，易證：AE+CF=EF（不用

證明）.

(1)如圖②，在四邊形ABCD中，ZADC=120°，DA=DC,ZDAB=ZBCD=90°，點(diǎn)E,F分別在AB與BC上,

且/EDF=60°.猜想AE,CF與EF之間的數(shù)量關(guān)系，并證明你的猜想；

（2）如圖③，在四邊形ABCD中，ZADC=2a,DA=DC,NDAB與/BCD互補(bǔ)，點(diǎn)E,F分別在AB與BC上,

且NEDF=a，請(qǐng)直接寫出AE,CF與EF之間的數(shù)量關(guān)系，不用證明.

圖1圖2圖3

14.（2019秋?九龍坡區(qū)校級(jí)月考）如圖.在四邊形4%/中，ZB+ZADC=180°,AB=AD,E、尸分別是邊

BC、5延長線上的點(diǎn)，且/朗尸=；/物2,求證：EF=BE-FD.

B

'D

15.問題背景：“半角模型”問題.如圖1,在四邊形ABCD中，AB=AD,Z&4D=120°,ZB=ZADC=9Q°,

點(diǎn)￡,尸分別是3C,8上的點(diǎn)，且㈤F=60。，連接EF,探究線段BE,EF,。尸之間的數(shù)量關(guān)系.

圖3*

(1)探究發(fā)現(xiàn)：小明同學(xué)的方法是延長ED到點(diǎn)G.使DG=BE.連結(jié)AG,先證明△ABE/△ADG,再證

明44所名以3尸，從而得出結(jié)論：；

(2)拓展延伸：如圖2,在四邊形A3CD中，AB=AD,ZB+ZD=180°,E、尸分別是邊3C,CD上的點(diǎn)，

S.ZEAF=^ZBAD,請(qǐng)問(1)中的結(jié)論是否仍然成立？若成立，請(qǐng)寫出證明過程，若不成立，請(qǐng)說明理由.

(3)嘗試應(yīng)用：如圖3,在四邊形A3CD中，AB=AD,ZB+ZADC=180°,E、尸分別是邊3C,CD延長線

上的點(diǎn)，S.ZEAF=^ZBAD,請(qǐng)?zhí)骄烤€段BE,EF,。尸具有怎樣的數(shù)量關(guān)系，并證明.

16.請(qǐng)閱讀下列材料：

已知：如圖(1)在Rt△四C中，/BAC=9Q°,26=47,點(diǎn)心￡分另lj為線段比'上兩動(dòng)點(diǎn)，若/物￡=45°.探

究線段被、DE、原三條線段之間的數(shù)量關(guān)系：

圖(1)圖⑵圖(3)

(1)猜想劭、DE、以三條線段之間存在的數(shù)量關(guān)系式，直接寫出你的猜想;

(2)當(dāng)動(dòng)點(diǎn)￡在線段6,上，動(dòng)點(diǎn)，運(yùn)動(dòng)在線段％延長線上時(shí)，如圖(2),其它條件不變，(1)中探究

的結(jié)論是否發(fā)生改變？請(qǐng)說明你的猜想并給予證明;

(3)已知：如圖(3),等邊三角形/8C中，點(diǎn)心￡在邊四上，且/比F=30°,請(qǐng)你找出一個(gè)條件，使

線段。￡、AD,旗能構(gòu)成一個(gè)等腰三角形，并求出此時(shí)等腰三角形頂角的度數(shù).

17.(1)如圖1,在正方形48切中，￡是46上一點(diǎn)，G是4〃上一點(diǎn)，/￡乙信45°,求證給即".

圖1圖2

(2)請(qǐng)用(1)的經(jīng)驗(yàn)和知識(shí)完成此題：如圖2,在四邊形力A第中，AG//BC{BOAG),/戶90°,AB=B42,

￡是48上一點(diǎn)，且/反左45°,小4,求￡6的長？

18.如圖，正方形48切中，E、尸分別在邊瓦、CD上,且/￡4/=45°,連接即這種模型屬于“半角模

型”中的一類，在解決“半角模型”問題時(shí)，旋轉(zhuǎn)是一種常用的分析思路.例如圖中△/所與△/陽可以

看作繞點(diǎn)/旋轉(zhuǎn)90°的關(guān)系.這可以證明結(jié)論“正=龍+所”，請(qǐng)補(bǔ)充輔助線的作法，并寫出證明過程.

G5EC

(1)延長必到點(diǎn)G,使用=_,連接力G；

(2)證明：EF=BE+DF

19.如圖，A4BC是邊長為2的等邊三角形，ABDC是頂角為120°的等腰三角形，以點(diǎn)。為頂點(diǎn)作

ZMDN=60。，點(diǎn)M、N分別在A3、AC上.

(1)如圖①，當(dāng)MA7/BC時(shí)，則AAAW的周長為_____；

(2)如圖②，求證：BM+NC=MN.

AA

DD

圖①圖②

20.如圖，在四邊形A3CD中，ZB=ZD=9O°,E,尸分別是BC,CD上的點(diǎn)，連接AE,AF,EF.

(1)如圖①，AB^AD,ZBAD=nO°,ZEAF=6O°.求證：EF=BE+DF；

圖②

(2)如圖②，/54￡>=120。，當(dāng)△AE產(chǎn)周長最小時(shí),求ZAEF+ZAFE的度數(shù);

(3)如圖③，若四邊形ABCD為正方形，點(diǎn)、E、b分別在邊3C、8上，且ZEAF=45。，若3E=3,DF=2,

請(qǐng)求出線段用的長度.

21.如圖，AB=AD=BC=DC,ZC=ZD=Z.ABE=ZBAD=90°，點(diǎn)￡、戶分別在邊比'、CD/現(xiàn)尸=45°,

過點(diǎn)/作/&仿=/夕且點(diǎn)G在。的延長線上.

(1)△的6與△物〃全等嗎？為什么？

(2)若DF=2,BE=3,求廝的長.

22.如圖，等腰直角三角形/回中，NBA090°,AB=AC,M,"在邊6c上，且NM1滬45°.若5滬1,

CN=3,求HV的長.

23.(1)如圖1,在四邊形/及蘇中，=ZB=ZD=90。=、尸分別是邊比1、繆上的點(diǎn)，且NE4F=；N&4T).求

證：EF=BE+FD；

(2)如圖2,在四邊形/及/中，AB=AD,/3+4>=180°,￡、尸分別是邊比；切上的點(diǎn)，且N及

請(qǐng)直接寫出/BE、9之間的數(shù)量關(guān)系；

(3)如圖3,在四邊形485中，AB=AD,ZB+ZADC=180°,E、戶分別是邊反;、必延長線上的點(diǎn)，且

ZEAF^ZBAD,(1)中的結(jié)論是否仍然成立？若成立，請(qǐng)證明；若不成立，請(qǐng)寫出它們之間的數(shù)量關(guān)系，

并證明.

24.綜合與實(shí)踐

(1)如圖1,在正方形力寬9中，點(diǎn)僅N分別在徵上，若/MBN=45°,則網(wǎng)AM,GV的數(shù)量關(guān)系

為

N

圖1

(2)如圖2,在四邊形4%/中,BC//AD,AB=BC,ZA+ZC=180°，點(diǎn)從N分別在相、CDh,若4MBN

=g/ABC,試探索線段爪AM、%有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請(qǐng)寫出猜想，并給予證明.

(3)如圖3,在四邊形很/中,AB=BC,ZABC+ZADC=\^°，點(diǎn)、M、”分別在物、切的延長線上，若

AMBN=|AABC,試探究線段爪AM,GV的數(shù)量關(guān)系為.

25.問題背景：

如圖1,在四邊形5中=ZBAD=120°,ZB=ZADC=90°,E、尸分別是8C,徵上的點(diǎn)，且/

^=60°,探究圖中線段跳；EF,q之間的數(shù)量關(guān)系.小王同學(xué)探究此問題的方法是，延長口到點(diǎn)G,

使DG=BE,連接AG,先證明AABE當(dāng)AADG,再證明AAEF名△AGF,可得出結(jié)論,他的結(jié)論應(yīng)是

圖1

實(shí)際應(yīng)用：

如圖2,在新修的小區(qū)中，有塊四邊形綠化4?切，四周修有步行小徑，且4?=/〃ZB+ZD=180°,在

小徑6C,切上各修一涼亭區(qū)F,在涼亭￡與尸之間有一池塘，不能直接到達(dá)，經(jīng)測(cè)量得=

龍=10米，0'=15米，試求兩涼亭之間的距離戰(zhàn)

圖2

26.(1)如圖1,正方形ABCD中，點(diǎn)E,F分別在邊BC,CD±,ZEAF=45°,延長CD到點(diǎn)G,使DG=BE,

連結(jié)EF,AG.求證：①NBEA=NG,②EF=FG.

(2)如圖2,等腰直角三角形ABC中，ZBAC=90°,AB=AC,點(diǎn)M,N在邊BC上，且NMAN=45°,若BM=1,

CN=3,求MN的長.

B.AB.A

M

圖2

27.如圖所示：已知AABC中，ZBAC=90°,AB=AC,在—B4c內(nèi)部作/M4N=45°,AM、AN分別交BC

于點(diǎn)M,N.

［操作］(1)將A4BM繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°,使AB邊與AC邊重合，把旋轉(zhuǎn)后點(diǎn)M的對(duì)應(yīng)點(diǎn)記作點(diǎn)Q,

得到AC。，請(qǐng)?jiān)趫D中畫出AACQ；(不寫出畫法)

［探究］(2)在⑴作圖的基礎(chǔ)上，連接N。，求證：MN=NQ,

［拓展］(3)寫出線段即公腦V和NC之間滿足的數(shù)量關(guān)系，并簡要說明理由.

28.(1)如圖1,在四邊形陽切中，AB=AD,ZBAD=100°,ZB=ZADC=90°.E,尸分別是比；CDh

的點(diǎn).且/氏0=50°.探究圖中線段即BE,9之間的數(shù)量關(guān)系.

小明同學(xué)探究的方法是：延長網(wǎng)到點(diǎn)G,使DG=BE,連接AG,先證明△/應(yīng)口△4%,再證明△//絲△業(yè)況

可得出結(jié)論，他的結(jié)論是(直接寫結(jié)論，不需證明)；

(2)如圖2,若在四邊形4?切中，AB=AD,N6+/片180°,E,6分別是64切上的點(diǎn)，且2/應(yīng)0=

/BAD,上述結(jié)論是否仍然成立，若成立，請(qǐng)證明，若不成立，請(qǐng)說明理由；

(3)如圖3,四邊形4?口是邊長為7的正方形，/EBF=45°,直接寫出△頌的周長.

29.已知，正方形疑切中，/胡滬45°,NMW繞點(diǎn)/順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，它的兩邊分別交破園(或它們的

延長線)于點(diǎn)、M、N,AH1MN于點(diǎn)、H.

(1)如圖①，當(dāng)NMW繞點(diǎn)/旋轉(zhuǎn)到研&V時(shí)，請(qǐng)你直接寫出4〃與46的數(shù)量關(guān)系：；

(2)如圖②，當(dāng)NMW繞點(diǎn)/旋轉(zhuǎn)到倒伏?時(shí)，(1)中發(fā)現(xiàn)的/〃與4?的數(shù)量關(guān)系還成立嗎？如果不成

立請(qǐng)寫出理由，如果成立請(qǐng)證明；

(3)如圖③，已知/例245°,AHLMN于點(diǎn)H,且呼2,N小3,求/〃的長.(可利用(2)得到的結(jié)論)

30.(1)思維探究：

如圖1,點(diǎn)￡,尸分別在正方形被力的邊陽CD上,且/砍6=45°,連接環(huán)，則三條線段然BE,DF

滿足的等量關(guān)系式是」小明的思路是：將△/所繞點(diǎn)/順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)90°至△/%的位置，并說明點(diǎn)G,

B,￡在同一條直線上，然后證明即可得證結(jié)論；(只需填空，無需證明)

(2)思維延伸：

如圖2,在△/歐中，N8AC=9Q°,AB=AC,點(diǎn)〃￡均在邊充上，點(diǎn)，在點(diǎn)￡的左側(cè)，且/物￡=45°,

猜想三條線段劭，DE,1應(yīng)滿足的等量關(guān)系，并說明理由；

(3)思維拓廣：

如圖3,在中，/的C=60°,AB=AC=5,點(diǎn),0,￡均在直線比1上，點(diǎn)，在點(diǎn)￡的左側(cè)，且/如￡=

30°,當(dāng)初=1時(shí)，請(qǐng)直接寫出線段位的長.

圖3

圖1圖2

31.(1)如圖，在正方形ABCD中，E、尸分別是8C,CD上的點(diǎn)，且NE4F=45。.直接寫出BE、DF、

E尸之間的數(shù)量關(guān)系；

(2)如圖，在四邊形ABC。中，AB=AD,ZB=ZD=90°,E、/分別是BC,CD上的點(diǎn)，且“4八;4AD,

求證：EF=BE+DF-,

(3)如圖，在四邊形A3CD中，AB=AD,ZB+ZAZX?=180°,延長BC到點(diǎn)E,延長CD到點(diǎn)尸，使得

ZEAF=^ZBAD,則結(jié)論防=BE+D尸是否仍然成立？若成立，請(qǐng)證明；不成立，請(qǐng)寫出它們的數(shù)量關(guān)系

并證明.

32.(1)閱讀理解

如圖1,在正方形力及/中，若￡,戶分別是5，8c邊上的點(diǎn)，/E4戶=45°,則我們常常會(huì)想到：把△/龐

繞點(diǎn)/順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°,得到易證△/電得出線段即DE,即之間的關(guān)系為」

(2)類比探究

如圖2,在等邊8c中，D,￡為8c邊上的點(diǎn)，ZDAE=3Q°,BD=\,EC=2.求線段龐的長；

(3)拓展應(yīng)用

如圖3,在中，AB=AC=46+s/2,ZBAC=150°，點(diǎn)、D,￡在8c邊上，/物￡=75°,若龐是等腰

△/龐的腰，請(qǐng)直接寫出線段曲的長.

圖1圖2圖3

33.【問題背景】(1)如圖1,點(diǎn)￡、尸分別在正方形ABCD的邊BC、上，ZEAF=45°,連接E尸，則

EF=BE+DF,試說明理由；

【遷移應(yīng)用】(2)如圖2,四邊形ABCD中，AB=AT>,/54￡>=90。，點(diǎn)￡、戶分別在邊BC、CO上，ZEAF=45°,

若NB,/￡>都不是直角，且NB+NO=180。，試探究￡F、BE、。尸之間的數(shù)量關(guān)系；

【聯(lián)系拓展】(3)如