第03講全等三角形性質(zhì)和判定

「學(xué)習(xí)目標(biāo)

01

課程標(biāo)準(zhǔn)學(xué)習(xí)目標(biāo)

1.了解全等形、全等三角形的概念及全等三角形的對應(yīng)元素；（重點(diǎn)）

①全等三角形的概念2.理解并掌握全等三角形的性質(zhì)，能用符號正確地表示兩個(gè)三角形全

②全等三角形的性質(zhì)等；（重點(diǎn)）

3.能熟練找出兩個(gè)全等三角形的對應(yīng)角和對應(yīng)邊.（難點(diǎn)）

02

全知識點(diǎn)01全等三角形的概念和性質(zhì)

等知識點(diǎn)02全等三角形的判定

三知識點(diǎn)03全等三角形的判定與性質(zhì)

角

形

性

質(zhì)

和

判

定

03知識清單

知識點(diǎn)01全等三角形的概念和性質(zhì)

能夠完全重合的兩個(gè)三角形稱為全等三角形.兩個(gè)全等的三角形，經(jīng)過變換而重合，相互重合的頂點(diǎn)

叫做對應(yīng)頂點(diǎn)，相互重合的邊叫做對應(yīng)邊，相互重合的角叫做對應(yīng)角.

全等三角形的對應(yīng)邊相等，對應(yīng)角相等.邊、角分別對應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等.

【即學(xué)即練1】

1.（24-25八年級上?浙江臺州,期末）如圖，△ABCgADEF,若3C=9,CE=3,則W長度為.

【答案】6

【知識點(diǎn)】全等三角形的性質(zhì)

【分析】此題主要考查了全等三角形的性質(zhì).關(guān)鍵是掌握全等三角形的對應(yīng)邊相等.

根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可得EF=3C=9,進(jìn)而可得答案.

［詳解］解：EAABC^ADEF,BC=9,CE=3,

0EF=BC=9,

^CF=EF-CE=6.

故答案為：6.

2.（2024八年級上?黑龍江,專題練習(xí)）如圖，NAEB^DFC,AE±CB,DF±BC,AE=DF,ZC=28°,則

【知識點(diǎn)】全等三角形的性質(zhì)

【分析】

本題考查了全等三角形對應(yīng)角相等的性質(zhì)，直角三角形兩銳角互余，熟記性質(zhì)并準(zhǔn)確判斷出對應(yīng)角是解

題的關(guān)鍵.

根據(jù)直角三角形兩銳角互余求出W,再根據(jù)全等三角形對應(yīng)角相等可得/4=ND.

【詳解】

解：DF±BC,ZC=28°,

.."=90°—28°=62°,

■.八AERg/\DFC.

:.ZA=ZD=62°.

故答案為：62°

3.（24-25八年級上?河北滄州?期中）如圖，△ABCGDEC,BC=2,CD=3,點(diǎn)、B,C,。在同一直線上，

點(diǎn)E在AC上，延長OE交A8于點(diǎn)?

⑴求AE的長；

⑵求/3FD的度數(shù).

【答案】⑴1

(2)90°

【知識點(diǎn)】全等三角形的性質(zhì)

【分析】本題考查全等三角形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是掌握全等三角形的性質(zhì).

(1)利用全等三角形的性質(zhì)解決問題即可；

(2)證明==即可.

【詳解】(1)回ABC^DEC,BC=2,CD=3,

：.AC=CD=3,CE=BC=2,

:.AE=AC-CE=3-2=1；

(2)回

/.ZACB=NECD,NA=N，

團(tuán)3,C,。共線，

:.ZACB=ZECD=90°,

ZAEF=ZCED,

:.ZAFE=NECD=90。,

.'.ZBFD=90°.

知識點(diǎn)02全等三角形的判定

(1)判定定理1：SSS--三條邊分別對應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等.

(2)判定定理2：SAS--兩邊及其夾角分別對應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等.

(3)判定定理3：AS4--兩角及其夾邊分別對應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等.(可以簡寫成“角邊角”或“ASA”).

特別說明：如圖，如果/A=N4,AB=A'B',NB=NB',則△ABCgZX43'。.

(4)判定定理4：AAS--兩角及其中一個(gè)角的對邊對應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等.(可以寫

成“角角邊”或“AAS”）

特別說明：由三角形的內(nèi)角和等于180°可得兩個(gè)三角形的第三對角對應(yīng)相等.這樣就可由

“角邊角”判定兩個(gè)三角形全等，也就是說，用角邊角條件可以證明角角邊條件，后者是

前者的推論.

【即學(xué)即練2】

1.（24-25八年級上?福建莆田?期中）己知：如圖，點(diǎn)E,尸在線段2C上，ZA=ZD,ZB=/C,BE=CF,

AF與DE交于點(diǎn)求證：LABF三ADCE.

AD

【答案】見解析

【知識點(diǎn)】用ASA（A4S）證明三角形全等（ASA或者A4S）

【分析】本題主要考查全等三角形的判定，熟練掌握全等三角形的判定是解題的關(guān)鍵.根據(jù)全等三角形的

判定進(jìn)行證明即可.

【詳解】證明：BE=CF,

BE+EF=CF+EF,

即：BF=CE.

ZA=ZD,ZB=NC,

ABF三DCE（AAS）.

AD

2.（24-25八年級上?浙江臺州?期末）如圖，點(diǎn)8,F,C,E在一條直線上，F(xiàn)B=CE,AB=DE,AC=FD.

⑴求證：八ABC沿ADEF；

⑵求證：AF=CD.

【答案】⑴見解析

⑵見解析

【知識點(diǎn)】全等的性質(zhì)和SSS綜合(SSS)、全等的性質(zhì)和SAS綜合(SAS)

【分析】本題考查全等三角形的判定和性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是利用已知條件證明三角形全等，再根據(jù)全等三

角形的性質(zhì)得出對應(yīng)邊相等.

(1)先由EB=CE推出8C=EF,再結(jié)合已知的另外兩組相等邊，根據(jù)SSS判定定理證明AABC四△DEF；

(2)根據(jù)(1)中得到的全等三角形得出對應(yīng)角相等，再利用SAS判定定理證明△ASF絲△￡>￡C，進(jìn)而得

到AF=CD.

【詳解】(1)證明：FB=CE,

:.FB+FC=CE+FC,

:.BC=EF,

在VABC和DEF中，

BC=EF

<AB=DE,

AC=FD

ABC-DEF(SSS)；

(2)證明：Z\ABC^Z\DEF

在"BF和DEC中

FB=CE

，NB=NE

AB=DE

ABF^cDEaSAS)

AF=CD

知識點(diǎn)03全等三角形的判定與性質(zhì)

ci)全等三角形的判定是結(jié)合全等三角形的性質(zhì)證明線段和角相等的重要工具.在判定三角形全等時(shí)，關(guān)

鍵是選擇恰當(dāng)?shù)呐卸l件.

(2)在應(yīng)用全等三角形的判定時(shí)，要注意三角形間的公共邊和公共角，必要時(shí)添加適當(dāng)輔助線構(gòu)造三角形.

全等三角形的對應(yīng)邊相等，對應(yīng)角相等.邊、角分別對應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等.

【即學(xué)即練3】

1.(24-25八年級上?重慶榮昌?期末)如圖，在回ADE和回2C尸中，X,C,D,3四點(diǎn)在同一直線上，AC=BD,

AE=BF,DE=CF.

E

\XGX/

ACDB

⑴求證：ZE=NF；

(2)若//=38。，NA=104。，求/EGC的度數(shù).

【答案】⑴見解析

(2)76°

【知識點(diǎn)】全等的性質(zhì)和SSS綜合(SSS)

【分析】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，證明三角形全等是解題的關(guān)鍵.

(1)由SSS可證aAOE絲一3CF,可得ZE=N廣；

(2)由三角形內(nèi)角和定理可得NADE=38。，由全等三角形的性質(zhì)可得WE=ZBCF=38。，即可求解.

【詳解】(1)證明：AC=BD,

AD=BC9

在回AD6和回3。尸中，

AD=BC

<AE=BF,

DE=CF

ADE^BCF(SSS),

:.NE=NF；

(2)解：QZ￡=ZF=38°,ZA=104°,

:.ZADE=38°,

ADE^BCF,

.-.ZADE=ZBCF=38°,

:.ZEGC=16°.

2.(24-25八年級上?江蘇揚(yáng)州?期末)如圖，點(diǎn)E、/在BC上，AB=DC,AF=DE,ZA=ZD.

(1)證明：ZXABF當(dāng)八DCE；

(2)若3C=14,EF=5,求BE的長.

【答案】⑴見解析

【知識點(diǎn)】全等的性質(zhì)和ASA(A4S)綜合(ASA或者AAS)

【分析】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握全等三角形的判定與性質(zhì)是解此題的關(guān)鍵.

(1)利用SAS證明尸絲ADCE1即可；

(2)由全等三角形的性質(zhì)可得3F=CE,從而得出3E=CF,再計(jì)算即可得解.

【詳解】(1)證明：在&W尸和△￡>(?￡中，

AB=DC

，/A=/￡),

AF=DE

/ABF四△DCE(SAS)；

(2)解：AABF^ADCE,

:.BF=CE,

:.BF-EF^CE-EF,

:.BE=CF,

iio

.-.BE=-(BC-EF)=-x(14-5)=-,

9

二.BE的長為

題型精講

題型01全等三角形的性質(zhì)

例題：(24-25八年級上?湖北襄陽?期末)如圖，VAEB/VDFC,AE1CB,DF±BC,垂足分別為E、F,

若NC=28,貝i」/A=()

A.28°B.52C.62D.72

【答案】C

【知識點(diǎn)】直角三角形的兩個(gè)銳角互余、全等三角形的性質(zhì)

【分析】本題考查了全等三角形對應(yīng)角相等的性質(zhì)，直角三角形兩銳角互余；熟記性質(zhì)并準(zhǔn)確識圖判斷出

對應(yīng)角是解題的關(guān)鍵.依據(jù)直角三角形兩銳角互余，即可得到，。的度數(shù)，再根據(jù)全等三角形的對應(yīng)角相

等，即可得到結(jié)論.

【詳解】解：S\DF±BC,ZC=28

EIRt/kDPC中，

Z￡）=90°-28=62°

又EIVAEB/VDFC

0ZA=ZD=62°

故選：C.

【變式訓(xùn)練】

1.（24-25八年級上?安徽合肥?期末）如圖，ABC^DBE,若AB=10,3E=4,則CD的長為（）

【答案】C

【知識點(diǎn)】全等三角形的性質(zhì)

【分析】本題主要考查全等三角形的性質(zhì)，熟練掌握全等三角形對應(yīng)邊相等是解題的關(guān)鍵.根據(jù)題意得到

AB=DB=10,BC=BE=4,即可得到答案.

【詳解】解：ABC與DBE,

AB=r>B=10,3C=BE=4,

:.CD=DB-CB=10-4=6.

故選C

2.（24-25七年級下?全國?課后作業(yè)）已知，ABCgACF,/B與/C,NC與是對應(yīng)角，有下列4個(gè)

結(jié)論：①BC=CF；@AC=A'B'i@AB=AB\@ZACB=ZA'B'C,其中正確的結(jié)論有（）

A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)

【答案】C

【知識點(diǎn)】全等三角形的性質(zhì)

【分析】本題考查了全等三角形的性質(zhì)，根據(jù)全等三角形的的對應(yīng)邊相等，對應(yīng)角相等解答即可求解，找

準(zhǔn)對應(yīng)點(diǎn)是解題的關(guān)鍵.

【詳解】解：0ABC^AC'B',NB與/C,NC與NB'是對應(yīng)角，

^BC=CB,AC=AB',AB=AC,ZACB=ZA!B'C,

團(tuán)正確的結(jié)論是①②④，共3個(gè)，

故選：C.

3.（24-25八年級上?湖南衡陽?期末）如圖，安八4￡見，點(diǎn)E在邊BC上（不與點(diǎn)8,C重合），DE與

AB交于點(diǎn)F.

⑴若NCW=110。，ZBAE=30P,求的度數(shù)；

⑵若AE>=10,BE=CE=45,求△ADF與△班戶的周長和；

【答案】⑴40。

(2)33.5

【知識點(diǎn)】全等三角形的性質(zhì)

【分析】本題考查了全等三角形的性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是：

(1)利用全等三角形的性質(zhì)、等式的性質(zhì)可得出=然后利用角的和差關(guān)系求解即可；

(2)利用全等三角形的性質(zhì)可求出AB=AD=10,BC=DE=9,然后利用三角形的周長公式求解即可.

【詳解】(1)解EBZXABC四△ADE,

0ZBAC=ZZME,

^ZCAE=ZBAD,

EINCAD=110°,ZBAE=30P,

0ZCAE+ZBAD=ZCAD-ZBAE=80°,

^ZCAE=ZBAD=4O°；

（2）解：0AD=1O,BE=CE=4.5,△ABC也△ADE,

SAB=AD=10,BC=DE=BE+CE=9,

△AZ）廠與ZXBE尸的周長和為4）+。尸+AF+3F+￡F+3E

=AD+（DF+EF）+（AF+BF）+BE

=AD+DE+AB+BE

=10+9+10+4.5

=33.5.

題型02用SSS證明兩三角形全等

例題：(24-25九年級下?山東濟(jì)南?開學(xué)考試)如圖，點(diǎn)。，A,E,B在同一直線上，EF=BC,DF=AC,

DA=EB.求證：DEFmABC.

DAEB

【答案】見解析

【知識點(diǎn)】用SSS證明三角形全等(SSS)

【分析】本題考查三角形全等的判定方法，判定兩個(gè)三角形全等的一般方法有：SAS,AAS,ASA,SSS,HL,

熟練掌握知識點(diǎn)是解題的關(guān)鍵.

先得到DE=AB,再用SSS即可證明.

【詳解】證明：^DA=EB,

SDA+AE=EB+AE,

團(tuán)DE=AB，

團(tuán)EF=BC,DF=AC,

0DEF會(huì)ABC(SSS).

【變式訓(xùn)練】

1.(24-25八年級上?河南周口?期中)開封風(fēng)箏是河南開封地區(qū)傳統(tǒng)民間工藝品.開封風(fēng)箏歷史悠久、種類

繁多、做工精細(xì)、獨(dú)具特色.每年農(nóng)歷正月至三月的廟會(huì)上，各式各樣的風(fēng)箏競相牽放，景象十分壯觀.圖

1是小華制作的風(fēng)箏，圖2是風(fēng)箏骨架的示意圖，其中AB=AC,BD=CD.

⑴求證：

⑵小華發(fā)現(xiàn)AD平分你覺得他的發(fā)現(xiàn)正確嗎？請說明理由.

【答案】⑴見解析

⑵正確，見解析

【知識點(diǎn)】全等三角形的性質(zhì)、用SSS證明三角形全等(SSS)

【分析】此題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)；

(1)利用SSS即可證明△ABD9△ACD；

(2)根據(jù)全等三角形的性質(zhì)及角平分線定義求解即可.

【詳解】(1)證明：在和.ACD中，

AB=AC

<AD=AD,

BD=CD

0ABD空ACD(SSS)；

(2)解：正確，理由：

由(1)得

0/BAD=ACAD=-ABAC,

2

即4)平分/B4C,

所以小華的發(fā)現(xiàn)是正確的.

2.(24-25七年級下?全國?課后作業(yè))(推理能力)如圖，AD=CB,E,尸是AC上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且DE=BF.

⑴若點(diǎn)￡P(guān)運(yùn)動(dòng)至圖①所示的位置，且AF=CE.試說明：VADE匆CBF；

(2)若點(diǎn)￡P(guān)運(yùn)動(dòng)至圖②所示的位置，仍有A/=CE,則VAT見絲VCBR還成立嗎？請說明理由；

(3)若點(diǎn)￡/不重合，且AF=CE,則AO和CB平行嗎？請說明理由.

【答案】⑴見解析

(2)成立.理由見解析

(3)AD//CB.理由見解析

【知識點(diǎn)】內(nèi)錯(cuò)角相等兩直線平行、全等的性質(zhì)和SSS綜合(SSS)

【分析】本題主要考查全等三角形的判定和性質(zhì)，平行線的判定，熟悉三角形全等的判定定理是基礎(chǔ)，在

不同圖形中由=得出4E=C尸是關(guān)鍵.

(1)由AF=CE■知AF+EF=CE+EF,即AE=CF,又AD=CB、DE=BF,由SSS可證VADE2VCBF；

(2)由AF=CE知AF—EF=CE—EF,即AE=CF,又AD=CB、DE=BF,由SSS可證VAOE絲VCBR；

(3)由(1)(2)知VADE絲VC/,所以NA=NC,可由平行線的判定得出AOCB.

【詳解】(1)解：因?yàn)榱κ?庭，

所以AF+EF=CE+EF,

即AE=CF.

AD=CB,

在VAOE和VCBF中，DE=BF,

AE=CF,

所以△ADEZZXCBRSSS).

(2)解：成立.理由如下：

因?yàn)锳F=CE,

所以AF—EF=CE—EF,即AE=CF.

AD=CB,

在VAOE和VCB/中，DE=BF,

AE=CF,

所以AADE必△CBF(SSS).

(3)解：AD//CB.理由如下：

由(1)(2)知VADE絲VCB廠,

所以NA=NC,

所以4。CB.

3.(24-25七年級下,全國?課后作業(yè))如圖，DB=BC,ED=AB,E是BC的中點(diǎn)，S.AC=-BC.

2

A

⑴試說明：ABC—EDB；

(2)判斷AC和的位置關(guān)系，并說明理由.

【答案】⑴見解析

(2)AC〃BD.理由見解析

【知識點(diǎn)】內(nèi)錯(cuò)角相等兩直線平行、全等的性質(zhì)和SSS綜合(SSS)

【分析】本題主要考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握三角形全等的判定方法，ASA,

AAS,SSS,SAS,HL.

(1)根據(jù)SSS證明,ABC-即可；

(2)根據(jù)三角形全等的性質(zhì)得出NACB=N￡BD,再根據(jù)平行線的判定得出答案即可.

【詳解】(1)解：因?yàn)镋是BC的中點(diǎn)，

所以防=^8C,

2

因?yàn)锳C=JBC,所以AC=￡B,

在VA5c和中，

BC=DB

AC=EB,

AB=ED

所以ABC^EDB(SSS).

(2)解：AC//BD.理由如下：

因?yàn)锳BCqEDB,

所以ZACB=NEBD,

所以AC〃班).

題型03用ASA證明兩三角形全等

例題：(24-25九年級下?江蘇鹽城?階段練習(xí))如圖，點(diǎn)C在線段8。上，ABYBD,ED^BD,ZACB=ZCED,

BC=DE.

⑴求證：△ABC四△CDE；

⑵若AB=2,DE=4,求的長.

【答案】⑴見解析

⑵6

【知識點(diǎn)】用ASA(A4S)證明三角形全等(ASA或者A4S)

【分析】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，掌握全等三角形的判定方法是解題的關(guān)鍵.

(1)由AB_LBD,ED±BD,可得ZB=ZD=90。，利用"ASA"即可得證；

(2)根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到CD=AB=2,BC=DE=4,即可求解.

【詳解】(1)證明：AB±BD,ED±BD,

：.ZB=ZD=90°,

ZACB=NCED,BC=DE,

一ABC當(dāng)oCDE(ASA)；

(2)AABC^ACDE,

CD=AB=2,BC=DE=4,

BD=BC+CD=4+2=6.

【變式訓(xùn)練】

1.(24-25八年級上?遼寧盤錦?期末)如圖.在VABC和DEF中，點(diǎn)B,C,E,尸在同一條直線上.已

知AB=DE,AB//DE,ZA=ZD.

(2)若BE=6,EC=5,求班'的長.

【答案】⑴見詳解

⑵17

【知識點(diǎn)】兩直線平行內(nèi)錯(cuò)角相等、用ASA(AAS)證明三角形全等(A&4或者44S)

【分析】本題考查了全等三角形的判定及性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，根據(jù)性質(zhì)解答即可.

（1）根據(jù)平行線的性質(zhì)得到=再根據(jù)全等三角形的判定定理即可證明.

（2）根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到=再由3E=6,EC=5,即可解答.

【詳解】（1）證明：^AB//DE,

SZABC=ZDEF,

在VA5C和DEF中

ZA=ZD

<AB=DE,

NABC=ZDEF

0ABC^.DEF（ASA）.

（2）解：SAABC^ADEF,

團(tuán)BC—EF,

aBC—EC=EF—EC,

即BE=CF,

團(tuán)BE=6,EC—5,

團(tuán)BE=CF=6,

0BF=BE+EC+CF=6+5+6=17.

2.（23-24八年級上?四川南充?階段練習(xí)）如圖，點(diǎn)8,E,C,尸在一條直線上，AB=DE,ZA=ZD,AB//DE.

⑴求證：BE=CF.

⑵若NO=65。，求NEGC的大小.

【答案】⑴見解析

（2）65°

【知識點(diǎn)】根據(jù)平行線判定與性質(zhì)證明、全等的性質(zhì)和ASA（AAS）綜合（ASA或者AAS）

【分析】本題考查了平行線的性質(zhì)以及全等三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握全等三角形的判定方法是解題

關(guān)鍵.

（1）首先利用平行線的性質(zhì)得"=〃￡下，再利用ASA得出△ABC絲所，然后根據(jù)全等三角形的性

質(zhì)及線段的和差即可得到結(jié)論；

（2）根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可得NACB="EE,從而得到AC〃叱，再根據(jù)平行線的性質(zhì)得到

ZD=/EGC,即可求解.

【詳解】（1）證明：AB//DE,

:.ZB=ZDEF,

在VABC和.DEF中

'ZA=ZD

<AB=DE,

ZB=ZDEF

AABC絲ADEF(ASA),

:.BC=EF,

BE=BC-EC,CF=EF-EC,

:.BE=CF

(2)由(1)可知，AABC冬ADEF,

:.ZACB^ZDFE,

:.AC//DF,

:.ZD=ZEGC,

ZD=65°,

:.ZEGC=65°.

3.(24-25七年級下?全國?課后作業(yè))如圖，點(diǎn)B,￡C,E在一條直線上，F(xiàn)B=CE,AB//DE,AC//DF,AD

交BE于點(diǎn)。.試說明：

⑴△ABCgADE尸；

⑵AD與BE互相平分.

【答案】⑴見解析

⑵見解析

【知識點(diǎn)】根據(jù)平行線的性質(zhì)探究角的關(guān)系、全等的性質(zhì)和ASAG4AS)綜合G4SA或者44S)

【分析】本題主要考查全等三角形的判定和性質(zhì)，掌握全等三角形的判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

(1)在VABC和卯中，運(yùn)用角邊角即可求證；

(2)在VAQB和，DOE中，可證AAOB也△OOE(AAS),得到。4=OD,OB=OE,由此即可求解.

【詳解】(1)證明：回FB=CE,

^FB+CF=CE+CF,BPBC=EF,

又ElAC〃。尸，

0?B徒，ACB=2DFE,

在VABC和DEF中，

"ZB=NE

<BC=EF,

ZACB=ZDFE

0AABC^ADEFCASA).

(2)證明：由(1)可知，△ABC絲△￡>￡1廠,

團(tuán)AB=DE,

在VAOB和OOE中，

ZB=ZE

，ZAOB=ZDOE,

AB=DE

0AAOB絲AZ)(9E(AAS),

團(tuán)OA=OD,OB=OE,

團(tuán)AD與BE互相平分.

題型04用AAS證明兩三角形全等

例題：(24-25九年級下?湖南長沙?階段練習(xí))如圖，點(diǎn)AB,C,￡＞在同一條直線上，點(diǎn)E,尸分別在直線A5

的兩側(cè)，S.AE=BF,ZA=ZB,NDCE=NCDF.

⑴求證：V4CE絲VB/加；

(2)若AB=16,AC=4,求CD的長.

【答案】⑴見解析

(2)CD的長為8.

【知識點(diǎn)】全等的性質(zhì)和ASA(A4S)綜合G4SA或者AAS)

【分析】本題考查全等三角形的判定與性質(zhì)，

(1)利用等量代換得NACE=48/加，從而利用"AAS”證明VACE絲VBD尸即可；

(2)由(1)知V4CE絲V&)尸，可得BD=AC=4,再利用CD=AB-AC-3。求解即可.

【詳解】(1)證明：ZACE+ZDCE=180°,ZBDF+ZCDF=180°,且NDCE=NCDF,

:.ZACE^ZBDF,

在Z\ACE和VB￡?F中,

/A=NB

，NACE=ZBDF,

AE=BF

.-.AACE^ABDF(AAS)；

⑵解：,AACE^ABDF,

.-.AC=BD=4,

AB=16,

:.CD=AB-AC-BD=}6-4-4=8,

.?.8的長為8.

【變式訓(xùn)練】

1.(24-25八年級上?四川南充?期末)如圖，在RtZXABC和RtADEF中，ZACB=NDFE=90°,點(diǎn)。、C、F、

8在同一條直線上，且相=?！?；,ABLDE.

⑴求證：△ABC絲△￡>EF；

(2)若AC=8,EF=6,CF=5,求的長.

【答案】(1)證明見解析

(2)50=9

【知識點(diǎn)】全等的性質(zhì)和ASA(44S)綜合G4SA或者AAS)

【分析】本題考查全等三角形的判定與性質(zhì).

(1)mZACB=ZDFE=90°,ABIDE,利用直角三角形兩銳角互余的性質(zhì)得出ND=Z4,利用AAS即

可證明△ABC會(huì)LDEF；

(2)根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得出3c=￡F=6,DF=AC=8,即可求出3尸=1,進(jìn)而可得答案.

【詳解】(1)證明：^\AB±DE,ZACB=ZDFE=90°,

回/。+/3=90。，ZA+ZB=90°,

團(tuán)ND=NA,

ZACB=ZDFE=90°

在VABC和一?！闒中，<ZA=ZD,

AB=DE

團(tuán)△ABC且△￡>￡/；

(2)解：EIAABC^ADEF,AC=8,EF=6,

0BC=EF=6,DF=AC=8,

團(tuán)CF=5,

^\BF=BC-CF=1,

SBD=DF+BF=9.

2.(24-25八年級上?湖南永州?期末)陳同學(xué)用10塊高度都是2cm的相同長方體小木塊，壘了兩堵與地面垂

直的木墻，木墻之間剛好可以放進(jìn)一個(gè)等腰直角三角板(AC=8C,ZACB=90。)，點(diǎn)C在OE上，點(diǎn)A和B

分別與木墻的頂端重合.

B

DCE

⑴求證：AADC^ACEB.

(2)求兩堵木墻之間的距離.

【答案】⑴見解析

⑵兩堵木墻之間的距離為20cm

【知識點(diǎn)】全等的性質(zhì)和ASA(AAS)綜合(ASA或者44S)

【分析】此題主要考查了全等三角形判定與性質(zhì)的應(yīng)用，關(guān)鍵是正確找出證明三角形全等的條件.

(1)根據(jù)題意可得AC=3C，ZACB=9Q°,AD±DE,BEJ.DE,進(jìn)而得到ZADC=NCEB=90。，再根

據(jù)等角的余角相等可得NBCE=ZDAC,再證明A4DC絲ACEB即可；

(2)利用全等三角形的性質(zhì)進(jìn)行解答.

【詳解】(1)解：由題意得：AC=BC,ZACB=90°,AD±DE,BELDE,

ZADC=ZCEB=90°,

NACD+ZBCE=90°,ZACD+ADAC=90°,

:"BCE=NDAC,

在△ADC和cCEB中，

ZADC=ZCEB

-ZDAC=ZBCE

AC=BC

:-ADCBCEB(AAS);

(2)解：由(1)知△ADC注△CEB,

DC=EB,AD=CE,

又根據(jù)題意由圖可得：AD=EC=6cm,DC=BE=14cm,

:.DE=DC+CE=20(cm),

答：兩堵木墻之間的距離為20cm.

3.（24-25八年級上?四川宜賓?期末）如圖，AE〃3c且AE=AC,NEFA=ZABC.

（1）求證：ABC^EFA；

⑵若8c=1,AE=3,求FC的長度.

【答案】⑴見解析

（2）2

【知識點(diǎn)】兩直線平行內(nèi)錯(cuò)角相等、全等的性質(zhì)和ASAG4AS）綜合（ASA或者A4S）

【分析】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握三角形全等的判定方法，是解題的關(guān)鍵.

（1）先由平行線的性質(zhì)可得NE4F=NC,最后再利用AAS證明「ABC旦EE4即可；

（2）由全等三角形的性質(zhì)可得AC=AE=3,AF=BC=\,從而即可得解.

【詳解】（1）證明：0AE/7BC,

:.NEAF=NC,

在VABC和ARE4中,

AABC=NEFA

?ZC=ZEAF,

AE=AC

ABC均ET&AAS）；

（2）解：由（1）可得：ABC^EFA,

:.AC^AE,AF^BC,

0BC=1,AE=3,

AC-AE-3,AF=BC=1,

:.CF=AC-AF=3-i=2.

題型05用S4S證明兩三角形全等

例題：（23-24九年級下?福建南平?階段練習(xí)）如圖，點(diǎn)A,D,B,E在同一直線上，BC=EF,AD=BE,

ZABC=ZE,求證：AC//DF.

cF

【答案】證明過程見解析.

【知識點(diǎn)】根據(jù)平行線判定與性質(zhì)證明、用S4S證明三角形全等（SAS）

【分析】本題考查全等三角形的判定與性質(zhì)以及平行線的判定，解題的關(guān)鍵是通過已知條件證明三角形全

等，進(jìn)而得到角相等，從而證明兩直線平行.

先根據(jù)=得出=再結(jié)合已知的8C=和NABC=NE,利用"邊角邊"判定定理證明

AABC^ADEF,得到對應(yīng)角相等，最后根據(jù)同位角相等證明AC〃上.

【詳解】AD=BE,

AD+DB=BE+DB,

AB=DE,

在VABC和一。EF中，

AB=DE

<NABC=ZE,

BC=EF

■■■VABC^VDEFCSAS）.

ZA=ZFDE.

AC//DF.

【變式訓(xùn)練】

1.（24-25八年級下?甘肅武威?開學(xué)考試）如圖，點(diǎn)8,F,C,E在一條直線上，F(xiàn)B=CE,AB=DE,AC=FD.

（2）求證：AF=CD.

【答案】⑴見解析

（2）見解析

【知識點(diǎn)】用SSS證明三角形全等（SSS）、用SAS證明三角形全等（S4S）

【分析】本題考查全等三角形的判定和性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是利用已知條件證明三角形全等，再根據(jù)全等三

角形的性質(zhì)得出對應(yīng)邊相等.

（1）先由FB=CE推出BC=EF,再結(jié)合已知的另外兩組相等邊，根據(jù)（SSS）判定定理證明AABCEDEF；

（2）根據(jù)（1）中得到的全等三角形得出對應(yīng)角相等，再利用（SAS）判定定理證明四△DEC,進(jìn)而

得至ljAF=CD.

【詳解】（1）證明：FB=CE,

:.FB+FC=CE+FC,

:.BC=EF,

在VABC和DEF中,

BC=EF

<AB=DE,

AC=FD

ABC經(jīng)二DEF（SSS）；

（2）證明：△ABCSEF

NB=/E

在&W尸和DEC中

FB=CE

■ZB=ZE

AB=DE

ABF-DECISAS'）

AF=CD

2.（24-25八年級上?安徽六安?期末）如圖,在RtAABC中，ZACB=90°,延長AC至點(diǎn)E,過點(diǎn)E作EF，AC,

使EF=BC,連接8尸交CE于點(diǎn)D

⑴求證：CD=ED-,

（2）若G是AC上一點(diǎn)，滿足AG=2CD,連接FG,證明：NFGE=NBAC.

【答案】⑴見解析

⑵見解析

【知識點(diǎn)】全等的性質(zhì)和SAS綜合（SAS）、全等的性質(zhì)和ASAG4AS）綜合（ASA或者AAS）

【分析】本題考查全等三角形的判定及性質(zhì)，熟練掌握三角形的性質(zhì)是解答的關(guān)鍵.

（1）根據(jù)題意判定，KDE空3DC即可得到本題答案；

（2）由（1）FDE四BDC可得AC=GE,再結(jié)合已知即可判定AACBRGEF,即可得到本題答案.

【詳解】(1)解：SEF1AC,ZACB=90°,

?/DCB=/E=96°,

在VFD￡和&X;中，

ZE=ZDCB

</FDE=NBDC,

EF=BC

回FDE空BDC(AAS),

@CD=ED；

(2)解：證明：^\CD=ED,

回CE=2CD,

⑦AG=2CD,

團(tuán)AG=CE,

團(tuán)AG+GC=CE+GC,BPAC=GE,

在△AC3和.GEF中，

AC=GE

<ZACB=ZE,

CB=EF

0ACB&GEF(SAS),

^\ZFGE=ZBAC.

3.(24-25八年級上?安徽合肥?期末)如圖，AC平分ZDC8,CB=a),ZM的延長線交于點(diǎn)瓦

⑴求證：△ABC之△ADC；

⑵若NE4c=45。，求的度數(shù).

【答案】⑴見解析

(2)90°

【知識點(diǎn)】全等的性質(zhì)和SAS綜合(SAS)

【分析】本題考查的是角平分線的定義，全等三角形的判定與性質(zhì)；

(1)先證明/ACB=NACD,再利用SAS證明ZWC會(huì)AWC即可；

(2)先求解NG4r>=180O-N￡AC=135。，再結(jié)合全等三角形的性質(zhì)可得NA4C=NZMC=135。，再進(jìn)一步

求解即可得到答案.

【詳解】（1）解：AC平分NDCB,

:.ZACB=ZACD,

又AC=AC,BC=DC,

ABC"AT>C（SAS）.

（2）解：ZEAC=45°,

:.^CAD=180°-^EAC=135°,

由（1）知△ACD名△ACB

ZBAC=ZDAC=135°,

ZBAE=ABAC-ZCAE=90°.

題型06添加條件使兩三角形全等

例題：（24-25八年級上?湖南婁底?期末）如圖，在△ABD與「.ACD中，已知在不添加任何輔

助線的前提下，依據(jù)"ASA"證明需再添加一個(gè)條件是.

【答案】ZADC=ZADB（答案不唯一）

【知識點(diǎn)】用ASA（A4S）證明三角形全等（ASA或者A4S）

【分析】此題考查了三角形全等的判定方法，由于NC4D=4W,加上AD為公共邊，所以當(dāng)添加

ZADC=ZADB時(shí)，依據(jù)"ASA”可判斷絲△ACD,

【詳解】解：0ZC4Z）=za4￡>,AD=AD,

團(tuán)當(dāng)添加ZADC=ZADB時(shí)，ABgACD（ASA）.

也可添加ZCDE=ZBDE,則可證明ZADC=ZADB,得到。ABD^ACD（ASA）,

故答案為：ZADC=ZADB（答案不唯一）.

【變式訓(xùn)練】

1.（24-25八年級上?浙江寧波,期末）如圖，點(diǎn)。是A8的中點(diǎn)，要使BDF.ADE,還需要添加一個(gè)條件

可以是—?（只需寫出一種情況）

【答案】ZA=ZDBF（答案不唯一）

【知識點(diǎn)】線段中點(diǎn)的有關(guān)計(jì)算、添加條件使三角形全等（全等三角形的判定綜合）

【分析】本題考查了三角形全等的判定.熟練掌握三角形全等的判定定理，是解題的關(guān)鍵.

根據(jù)三角形全等所需條件，進(jìn)行添加即可，答案不唯一.

【詳解】解：回點(diǎn)。是的中點(diǎn)，

團(tuán)AD=BD,

又ZA=ZDBF,ZADE=NBDF,

0BDF^.ADE（ASA）.

故答案為：ZA=ZDBF（答案不唯一）.

2.（24-25八年級上?安徽滁州?期末）如圖，AB=AD,Z1=Z2,在不改變圖形的情況下，請你添加一個(gè)條

件，使八45。絲則需添加的條件是.

By----------------

【答案】ZB=ZD（或NC=NE或AC=AE）

【知識點(diǎn)】添加條件使三角形全等（全等三角形的判定綜合）

【分析】本題考查全等三角形的判定，解題的關(guān)鍵是掌握全等三角形的判定，進(jìn)行解答，即可.

【詳解】解：回N1=N2,

I3Z1+ZZMC=Z2+ZZMC,

^ZBAC^ZEAD,

回=A0且要使，ABC^ADE,

團(tuán)①當(dāng)NB=ND時(shí)，ABC^ADE（ASA）；②當(dāng)=時(shí)，ABC當(dāng)ADE（AAS）；③當(dāng)AC=AE時(shí)，

ABgADE（SAS）；

故答案為：ZB=ZD（或NC=NE或AC=AE）.

3.（24-25八年級上?福建莆田?期末）按照下列條件，①AC=5,BC=5,AB=12；@AC=5,BC=5,48=60。；

（3）AB=5,BC=4,ZA=30°；@AB=5,5c=4,ZC=90°；⑤ZA=30°,ZB=60°,ZC=90°.能

畫出唯一確定的三角形的是.（寫出所有正確結(jié)論的序號）

【答案】②④

【知識點(diǎn)】靈活選用判定方法證全等（全等三角形的判定綜合）、構(gòu)成三角形的條件

【分析】本題主要考查全等三角形的判定定理，掌握全等三角形的判定定理有SAS,ASA,AAS,SSS以及

直角三角形全等的判定定理還有HL.

根據(jù)全等三角形的判定定理逐個(gè)判斷即可.

【詳解】解：①根據(jù)AC=5、BC=5、AB=12,5+5<12不能畫出三角形，不符合題意；

②根據(jù)AC=5,BC=5,/8=60?？傻?A=/3=60。，符合AAS能畫出唯一三角形，符合題意；

③根據(jù)AB=5,BC=4,ZA=30。符合SSA不能畫出唯一三角形，不符合題意；

④根據(jù)AB=5,BC=4,NC=90。符合HL能畫出唯一三角形，符合題意；

⑤根據(jù)NA=30。，ZB=60°,NC=90。符合AAA不能畫出唯一三角形，不符合題意.

故答案為：②④.

題型07由三角形全等求時(shí)間或線段長

例題：（24-25八年級上?河南新鄉(xiāng)?期中）如圖，AB=7cm,AC=BD=4cm,,點(diǎn)P在線段AB

上以2cm/s的速度由點(diǎn)A向點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)，同時(shí)，點(diǎn)。在線段8。上由點(diǎn)B向點(diǎn)。運(yùn)動(dòng).它們運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為《s）.

設(shè)點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)速度為xcm/s,當(dāng)AACP^AW時(shí)，尤的值為；當(dāng)A4CP之ABQP時(shí)，尤的值為.

【答案】2y

【知識點(diǎn)】全等三角形的性質(zhì)

【分析】本題考查全等三角形的性質(zhì)，路程、速度、時(shí)間之間的關(guān)系等知識，解題的關(guān)鍵是理解題意，靈

活運(yùn)用所學(xué)知識進(jìn)行分類解決問題.當(dāng)△入《？絲ABPQ時(shí)，可得：AP=BQ.當(dāng)AACP且ABPQ時(shí)，

AC=BQ=4,根據(jù)全等三角形的性質(zhì)分別求解即可.

【詳解】解：當(dāng)△ACPgABP。時(shí)，可得：AP=BQ,

;運(yùn)動(dòng)時(shí)間相同，

:.p,。的運(yùn)動(dòng)速度也相同，

.\x=2；

當(dāng)Z\AC尸名時(shí)，

AR7

AC=BQ=4,PA=PB=-=-,

22

PA7

/.t————

24f

.X一些-竺

t7

故答案為：2或7.

【變式訓(xùn)練】

1.（24-25八年級上?廣東肇慶?期中）如圖，做一個(gè)〃。〃字形框架PABQ,其中AB=42cm,APf足夠

長，于A,Q5_LAS于點(diǎn)5,點(diǎn)M從5出發(fā)向A運(yùn)動(dòng)，同時(shí)點(diǎn)N從區(qū)出發(fā)向。運(yùn)動(dòng)，使",N運(yùn)動(dòng)

的速度之比3:4,當(dāng)兩點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到某一瞬間同時(shí)停止，此時(shí)在射線AP上取點(diǎn)C,使△ACN與全等，則

線段AC的長為.

【答案】28cm或18cm

【知識點(diǎn)】幾何問題（一元一次方程的應(yīng)用）、全等三角形的性質(zhì)

【分析】本題考查了全等三角形的概念和性質(zhì)，一元一次方程的應(yīng)用，利用分類討論的思想是解決問題的

關(guān)鍵.

由題意得NA=N3=90。，設(shè)物/=3xcm,3N=4xcm,則AM=（42-3x）cm,分兩種情況討論：@AM=BM,

AC=BN,ACM^BNM；@AC=BM,AM=BN,ACM^BMN,分別列方程求解即可.

【詳解】解：由題意得NA=NB=90。，

M,N運(yùn)動(dòng)的速度之比3:4,

設(shè)BM=3xcm,BN=4xcm,

AB=42cm,

AM=（42-3x）cm,

①當(dāng)=AC=BN,ACMBNM,

.\42—3x=3x,

解得：x=7,

AC=BN=4x=4x7=28cm；

②當(dāng)=AM=BN,ACM-BMN,

42-3x=4x,

解得：x=6,

AC=BM=3x=3x6=18cm；

故答案為：28cm或18cm.

2.（24-25八年級上,海南省直轄縣級單位?期中）如圖，在長方形A3CD中，AB=3cm,BC=5cm,延長BC

至點(diǎn)E使CE=2cm,連接OE,動(dòng)點(diǎn)。從點(diǎn)B出發(fā)，以每秒2cm的速度沿折線3c-CD-ZM運(yùn)動(dòng).當(dāng)點(diǎn)。

運(yùn)動(dòng)秒時(shí)，ABQ和△DCE全等.

AD

BQ—?CE

【答案】5.5或1

【知識點(diǎn)】全等三角形的性質(zhì)

【分析】本題考查了全等三角形的性質(zhì)，①點(diǎn)。在3C上時(shí)，由全等三角形的性質(zhì)，即可求解；②點(diǎn)。在BC

上時(shí)，同理可求；掌握全等三角形的性質(zhì)，能根據(jù)點(diǎn)的位置進(jìn)行分類討論是解題的關(guān)鍵.

【詳解】解：①點(diǎn)。在上時(shí)，如圖，

t=1

運(yùn)動(dòng)1秒；

②點(diǎn)。在上時(shí)，如圖,

DQ=3,

的運(yùn)動(dòng)路程為：

BC+CD+DQ

=5+3+3

=11,

11uu

..t=——=5.5,

2

???Q運(yùn)動(dòng)5.5秒；

??.Q運(yùn)動(dòng)5.5或1秒；

故答案為：5.5或1.

3.（24-25八年級上?青海海東?期末）如圖，在VABC中，AB=AC,BC=10cm,點(diǎn)。在A8上，且BD=6cm；

點(diǎn)M從3出發(fā)以每秒1cm的速度向點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)，同時(shí)，點(diǎn)N從C出發(fā)向點(diǎn)A運(yùn)動(dòng),設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為f秒，連接DM、

MN.

⑴用含/的式子表示BM、MC-,

(2)若點(diǎn)N的運(yùn)動(dòng)速度也為每秒lcm,f為何值時(shí)，DBM9MCN；

(3)若點(diǎn)N的運(yùn)動(dòng)速度和點(diǎn)/的速度不相等，要使則點(diǎn)N的運(yùn)動(dòng)速度為多少?全等時(shí)才為多

少？

【答案】(l)3M=t,MC=10T；

(2)4；

(3)每秒gem；t=5.

【知識點(diǎn)】列代數(shù)式、幾何問題(一元一次方程的應(yīng)用)、全等三角形的性質(zhì)

【分析】(1)根據(jù)題意列代數(shù)式即可；

(2)由點(diǎn)N的運(yùn)動(dòng)速度也為每秒1cm,則NC=f,BM=NC,再由.DBMW.MCN,則MC=3D=6,

所以107=6,然后求解即可；

(3)由點(diǎn)N的運(yùn)動(dòng)速度和點(diǎn)M的速度不相等,則BM手NC,DBM^NCM，則BM=MC,NC=BD=6,

即刊為8c中點(diǎn)，所以然后求解即可；

本題考查了全等三角形的性質(zhì)，解一元一次方程，列代數(shù)式，掌握知識點(diǎn)的應(yīng)用是解題的關(guān)鍵.

【詳解】(1)解：由題意得：BM=t,MC=10-t；

(2)解：回點(diǎn)N的運(yùn)動(dòng)速度也為每秒1cm,

IBNC=r,BM=NC,

0DBM^.-.MCN；

團(tuán)MC=BD=6,

團(tuán)10—/=6,解得t=4,

團(tuán)/=4時(shí)，DBM烏MCN；

(3)解：由點(diǎn)N的運(yùn)動(dòng)速度和點(diǎn)M的速度不相等，則&WHNC,

團(tuán)DBMaNCM,

SBM=MC,NC=BD=6,

EIM為2C中點(diǎn)，

I3Z=10—?,解得：t=5,

回點(diǎn)N的速度為每秒1cm.

題型08利用全等圖形求正方形網(wǎng)格中角度之和

例題：(24-25七年級下?全國?課后作業(yè))如圖，在3義3的正方形方格中，每個(gè)小正方形的邊長都是1.已知

AABC^AEDF,貝INI和N2的關(guān)系是()

A.N1=N2B.N2=2N1

C.Z2=90°+ZlD.Z1+Z2=18O°

【答案】D

【知識點(diǎn)】全等三角形的性質(zhì)

【分析】本題考查了全等三角形的性質(zhì)，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)定理即可得到結(jié)論.

【詳解】解：^ABC^EDF,

0Z1=ZABC,

0ZABC+Z2=18O°,

0Z1+Z2=18O°.

故選：D.

【變式訓(xùn)練】

1.如圖，已知方格紙中是4個(gè)相同的小正方形，貝崛1+回2的度數(shù)為.

【答案】45。/45度

【分析】觀察圖形可知/3與N1所在的直角三角形全等，貝=根據(jù)外角的性質(zhì)卡得N4=N2+N3,

即可求解.

【詳解】觀察圖形可知N3與N1所在的直角三角形全等，

0Z1=Z3,

0Z4=45°,

EIZ1+Z2=Z3+Z2=Z4=45O,

故答案為：45°.

【點(diǎn)睛】本題考查了利用全等的性質(zhì)求網(wǎng)格中的角度，三角形外角的性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，得出

/1=/3是解題的關(guān)鍵.

2.如圖，在3x3的正方形網(wǎng)格中標(biāo)出了N1和N2,貝U/l+N2=度.

【分析】作輔助線，使442犯為等腰直角三角形，根據(jù)全等三角形.OEB組3EC,可得到NDZ/=N2,利

用等角代換即可得解.

【詳解】解：如圖，連接AD、BD,ZADB=90°,AD=BD=BC,/DAB=/DBA=45°,

DF=BE

<NDFB=NBEC=9Q°,

FB=EC

:.DFB』BEC（SAS）,

;.ZDBF=Z2,

/DBA=45°,

Z1+Z2=Z1+Z.DBF=180°-45°=135°,

故答案為：135.

'p

05強(qiáng)化訓(xùn)練

一、單選題

1.（24-25八年級上?廣西來賓?期末）如圖，ACB^A.CB,,NBC與=40。，則乙4劇的度數(shù)為（）

A.50°B.30°C.4