2026版創(chuàng)新設(shè)計(jì)高考一輪復(fù)習(xí)物理第四章平拋運(yùn)動(dòng)的臨界極值問(wèn)題和空間拋體運(yùn)動(dòng)一、平拋運(yùn)動(dòng)的臨界極值問(wèn)題常見(jiàn)的三種臨界特征(1)有些題目中有“剛好”“恰好”“正好”等字眼，明顯表明題述的過(guò)程中存在著臨界點(diǎn)。(2)若題目中有“取值范圍”“多長(zhǎng)時(shí)間”“多大距離”等詞語(yǔ)，表明題述的過(guò)程中存在著“起止點(diǎn)”，而這些起止點(diǎn)往往就是臨界點(diǎn)。(3)若題目中有“最大”“最小”“至多”“至少”等字眼，表明題述的過(guò)程中存在著極值，這個(gè)極值點(diǎn)往往是臨界點(diǎn)。例1(2024·湖北卷，3)如圖所示，有五片荷葉伸出荷塘水面，一只青蛙要從高處荷葉跳到低處荷葉上，設(shè)低處荷葉a、b、c、d和青蛙在同一豎直平面內(nèi)，a、b高度相同，c、d高度相同，a、b分別在c、d正上方。將青蛙的跳躍視為平拋運(yùn)動(dòng)，若以最小的初速度完成跳躍，則它應(yīng)跳到()A.荷葉a B.荷葉bC.荷葉c D.荷葉d答案C解析例2某次排球比賽時(shí)的場(chǎng)地如圖所示，排球場(chǎng)的場(chǎng)地長(zhǎng)L＝18m，排球網(wǎng)處于場(chǎng)地中線位置，排球網(wǎng)上邊緣離水平地面的高度h＝2.4m。距離中線位置L6處的進(jìn)攻線將左、右兩個(gè)場(chǎng)區(qū)分為前場(chǎng)區(qū)和后場(chǎng)區(qū)。處于進(jìn)攻線中點(diǎn)A處的運(yùn)動(dòng)員將排球從離水平地面高h(yuǎn)1＝3.2m處正對(duì)著球網(wǎng)平面水平擊出，重力加速度大小g＝10m/s2(1)要確保排球不觸網(wǎng)，求排球被水平擊出的最小速度v1;(2)要確保排球不出界，求排球落到水平地面的最大速度v2。答案(1)7.5m/s(2)17m/s解析(1)要確保排球不觸網(wǎng)，排球剛好從排球網(wǎng)上邊緣經(jīng)過(guò)時(shí)，排球被水平擊出的速度最小，根據(jù)平拋運(yùn)動(dòng)規(guī)律有h1－h(huán)＝12g解得t1＝2(h1-h水平方向有L6＝v1t解得排球被水平擊出的最小速度為v1＝L6t1＝18(2)要確保排球不出界，當(dāng)排球剛好落在左側(cè)邊界時(shí)，排球落到水平地面的速度最大，則有h1＝12g解得t2＝2h1g＝則落地時(shí)的豎直分速度為vy＝gt2＝8m/s落地時(shí)的水平分速度為vx＝L2＋L則排球落到水平地面的最大速度為v2＝vx2＋vy二、空間拋體運(yùn)動(dòng)例3(2024·遼寧大連模擬)如圖所示，運(yùn)動(dòng)員從A點(diǎn)將球斜向上擊出，水平擊中墻上B點(diǎn)反彈后又水平飛出，落到C點(diǎn)，BB'豎直，AB'C三點(diǎn)在同一水平面上，B'C垂直于AC。不計(jì)空氣阻力，球碰撞B點(diǎn)前后的速度大小分別為v1、v2，球在AB、BC兩段運(yùn)動(dòng)時(shí)間分別為t1、t2，則正確的是()A.v1＝v2 B.v1<v2C.t1>t2 D.t1＝t2答案D解析球在AB段做斜拋運(yùn)動(dòng)，看成反方向的平拋運(yùn)動(dòng)，則有hBB'＝12gt12，球在BC段做平拋運(yùn)動(dòng)，有hBB'＝12gt22，聯(lián)立解得t1＝t2，故C錯(cuò)誤，D正確;球在AB段水平方向，有xAB'＝v1t1，球在BC段水平方向，有xCB'＝v2t2，由題圖可知xAB'>xCB'，聯(lián)立解得v1>v2跟蹤訓(xùn)練1.如圖所示，容量足夠大的圓筒豎直放置，水面高度為h，在圓筒側(cè)壁開(kāi)一個(gè)小孔P，筒內(nèi)的水從小孔水平射出，設(shè)水到達(dá)地面時(shí)的落點(diǎn)距小孔的水平距離為x，小孔P到水面的距離為y。短時(shí)間內(nèi)可認(rèn)為筒內(nèi)水位不變，重力加速度為g，不計(jì)空氣阻力，在這段時(shí)間內(nèi)，下列說(shuō)法正確的是()A.水從小孔P射出的速度大小為gyB.y越小，則x越大C.x與小孔的位置無(wú)關(guān)D.當(dāng)y＝h2時(shí)，x最大，最大值為答案D解析取水面上質(zhì)量為m的水滴，從小孔噴出時(shí)，由機(jī)械能守恒定律可知mgy＝12mv2，解得v＝2gy，A錯(cuò)誤;水從小孔P射出后做平拋運(yùn)動(dòng)，則x＝vt，h－y＝12gt2，解得x＝v2(h-y)g＝2y(h-y)，可知x與小孔的位置有關(guān)，由數(shù)學(xué)知識(shí)可知，當(dāng)y＝h－y，即y＝12h時(shí)，x最大，2.(多選)如圖所示，刀削面小面圈(可視為質(zhì)點(diǎn))從距離開(kāi)水鍋高為h處被水平削離，與鍋沿的水平距離為L(zhǎng)，鍋的半徑也為L(zhǎng)，忽略空氣阻力，且小面圈都落入鍋中，重力加速度為g。則下列關(guān)于所有小面圈在空中運(yùn)動(dòng)的描述正確的是()A.運(yùn)動(dòng)的時(shí)間都相同B.速度的變化量不相同C.落入鍋中時(shí)，最大速度是最小速度的3倍D.若小面圈剛被拋出時(shí)初速度為v0，則Lg2h<v0<3答案AD解析所有小面圈在空中均做平拋運(yùn)動(dòng)，豎直方向均為自由落體運(yùn)動(dòng)，根據(jù)h＝12gt2得t＝2hg，可知所有小面圈在空中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間都相同，A正確;所有小面圈都只受到重力作用，所以加速度均為g，根據(jù)Δv＝gt可知所有小面圈在空中運(yùn)動(dòng)過(guò)程中速度的變化量相同，B錯(cuò)誤;若小面圈剛被拋出時(shí)初速度為v0，水平距離最小值為L(zhǎng)，最大值為3L，有L＝vmint，3L＝vmaxt，t＝2hg，則Lg2h<v0<3Lg2h，小面圈落入鍋中時(shí)水平速度最大值為最小值的3倍，但是豎直方向速度相等，根據(jù)速度的合成有v＝v02＋v3.(2025·山東濰坊高三期末)如圖所示的正方體空間，其面ABCD水平。現(xiàn)將一小球先后兩次從A點(diǎn)水平拋出，當(dāng)以速度v1沿AC方向拋出時(shí)打在C'點(diǎn)，且在C'點(diǎn)的速度與豎直方向夾角為θ1;當(dāng)以速度v2沿AD方向拋出時(shí)打在DD'中點(diǎn)E，且在E點(diǎn)的速度與豎直方向夾角為θ2。不計(jì)空氣阻力，則()A.v1∶v2＝1∶1 B.v1∶v2＝1∶2C.tanθ1∶tanθ2＝1∶1 D.tanθ1∶tanθ2＝2∶1答案A解析根據(jù)題意，設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為a，由幾何關(guān)系可知，當(dāng)沿AC方向拋出時(shí)，水平位移為x1＝a2＋a2＝2a，則有2a＝v1t1，豎直方向上有a＝12gt12，解得v1＝ag，在C'點(diǎn)時(shí)的豎直分速度為v1y＝gt1＝2ag，則有tanθ1＝v1v1y＝12;當(dāng)沿AD方向拋出時(shí)，水平方向上有a＝v2t2，豎直方向上有a2＝12gt22，v2y＝gt2，解得v2＝ag，v2y＝ag，則有tanθ2＝v2v2學(xué)習(xí)目標(biāo)1.會(huì)分析衛(wèi)星的變軌過(guò)程及各物理量的變化。2.掌握雙星或多星模型的特點(diǎn)。3.會(huì)分析衛(wèi)星的追及與相遇問(wèn)題?？键c(diǎn)一衛(wèi)星的變軌和對(duì)接問(wèn)題1.變軌原理(1)為了節(jié)省能量，在赤道上順著地球自轉(zhuǎn)方向發(fā)射衛(wèi)星到圓軌道Ⅰ上，衛(wèi)星在軌道Ⅰ上做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，有GMmr12＝m(2)在A點(diǎn)(近地點(diǎn))點(diǎn)火加速，由于速度變大，所需向心力變大，GMmr12<mvA2r1，(3)在B點(diǎn)(遠(yuǎn)地點(diǎn))再次點(diǎn)火加速進(jìn)入圓形軌道Ⅲ。2.對(duì)接航天飛船與宇宙空間站的“對(duì)接”實(shí)際上就是兩個(gè)做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的物體追趕問(wèn)題，本質(zhì)仍然是衛(wèi)星的變軌運(yùn)行問(wèn)題。3.變軌過(guò)程各物理量比較速度關(guān)系在A點(diǎn)加速:vⅡA>vⅠ，在B點(diǎn)加速:vⅢ>vⅡB，即vⅡA>vⅠ>vⅢ>vⅡB加速度關(guān)系aⅡA＝aⅠ>aⅢ＝aⅡB周期關(guān)系TⅠ<TⅡ<TⅢ機(jī)械能EⅠ<EⅡ<EⅢ例1(2024·湖北卷，4)太空碎片會(huì)對(duì)航天器帶來(lái)危害。設(shè)空間站在地球附近沿逆時(shí)針?lè)较蜃鰟蛩賵A周運(yùn)動(dòng)，如圖中實(shí)線所示。為了避開(kāi)碎片，空間站在P點(diǎn)向圖中箭頭所指徑向方向極短時(shí)間噴射氣體，使空間站獲得一定的反沖速度，從而實(shí)現(xiàn)變軌。變軌后的軌道如圖中虛線所示，其半長(zhǎng)軸大于原軌道半徑。則()A.空間站變軌前、后在P點(diǎn)的加速度相同B.空間站變軌后的運(yùn)動(dòng)周期比變軌前的小C.空間站變軌后在P點(diǎn)的速度比變軌前的小D.空間站變軌前的速度比變軌后在近地點(diǎn)的大答案A解析變軌前、后，根據(jù)a＝GMr2可知，空間站在P點(diǎn)的加速度相同，A正確;由于變軌后的軌道半長(zhǎng)軸大于變軌前的軌道半徑，則根據(jù)開(kāi)普勒第三定律r3T2＝k可知，空間站變軌后的運(yùn)動(dòng)周期比變軌前的大，B錯(cuò)誤;變軌時(shí)，空間站噴氣加速，因此變軌后在P點(diǎn)的速度比變軌前的大，C錯(cuò)誤;變軌后，空間站在近地點(diǎn)的速度最大，大于變軌后在P點(diǎn)的速度，結(jié)合C跟蹤訓(xùn)練1.(2025·八省聯(lián)考山陜青寧卷，2)神舟十九號(hào)載人飛船與中國(guó)空間站在2024年10月順利實(shí)現(xiàn)第五次“太空會(huì)師”，飛船太空艙與空間站對(duì)接成為整體，對(duì)接后的空間站整體仍在原軌道穩(wěn)定運(yùn)行，則對(duì)接后的空間站整體相對(duì)于對(duì)接前的空間站()A.所受地球的萬(wàn)有引力變大B.在軌飛行速度變大C.在軌飛行周期變大D.在軌飛行加速度變大答案A解析對(duì)接后，空間站的質(zhì)量變大，軌道半徑不變，根據(jù)萬(wàn)有引力表達(dá)式F＝GMmr2可知空間站所受地球的萬(wàn)有引力變大，故A正確;根據(jù)萬(wàn)有引力提供向心力GMmr2＝ma＝mv2r＝m4π2T2r，可得a＝GMr2，v＝GMr，T＝2πr3GM，考點(diǎn)二雙星或多星模型1.雙星模型(1)定義:繞公共圓心轉(zhuǎn)動(dòng)的兩個(gè)星體組成的系統(tǒng)，我們稱之為雙星系統(tǒng)。如圖所示。(2)特點(diǎn)①各自所需的向心力由彼此間的萬(wàn)有引力提供，即Gm1m2L2＝m1ω12r1，②兩顆星的周期、角速度相同，即T1＝T2，ω1＝ω2。③兩顆星的軌道半徑與它們之間的距離關(guān)系為r1＋r2＝L。④兩顆星到圓心的距離r1、r2與星體質(zhì)量成反比，即m1⑤雙星的運(yùn)動(dòng)周期T＝2πL3⑥雙星的總質(zhì)量m1＋m2＝4π2.多星模型所研究星體所受萬(wàn)有引力的合力提供做圓周運(yùn)動(dòng)的向心力，除中央星體外，各星體的角速度或周期相同。常見(jiàn)的多星及規(guī)律如下:常見(jiàn)的三星模型Gm2(2Gm2L2×cos30°常見(jiàn)的四星模型Gm2L2×cos45°×2＋Gm2L2×cos30°×2＋例2(2024·重慶卷，7)在萬(wàn)有引力作用下，太空中的某三個(gè)天體可以做相對(duì)位置不變的圓周運(yùn)動(dòng)，假設(shè)a、b兩個(gè)天體的質(zhì)量均為M，相距為2r，其連線的中點(diǎn)為O，另一天體c質(zhì)量為m(m?M)，若c處于a、b連線的垂直平分線上某特殊位置，a、b、c可視為繞O點(diǎn)做角速度相同的勻速圓周運(yùn)動(dòng)，且相對(duì)位置不變，忽略其他天體的影響，引力常量為G。則()A.c的線速度大小為a的3倍 B.c的向心加速度大小為b的一半C.c在一個(gè)周期內(nèi)的路程為2πr D.c的角速度大小為GM答案A解析由于m?M，則對(duì)a天體有GMM(2r)2＝Mω2r，解得ω＝GM4r3，因a、b、c三個(gè)天體角速度相同，故D錯(cuò)誤;如圖所示，設(shè)a、c連線與a、b連線中垂線的夾角為α，對(duì)c天體有2GMm(rsinα)2cosα＝mω2rtanα，解得α＝30°，則c的軌道半徑為rc＝rtan30°＝3r，由v＝ωr可知c的線速度大小為a的3倍，故A正確;由a＝ω2r可知c的向心加速度大小是b的3倍跟蹤訓(xùn)練2.(多選)(2024·江西上饒模擬)如圖所示，在宇宙中，由兩顆互相繞行的中央恒星被氣體和塵埃盤(pán)包圍，且該盤(pán)與中央恒星的軌道成一定角度，呈現(xiàn)出“霧繞雙星”的奇幻效果，假設(shè)該系統(tǒng)中兩恒星甲、乙的質(zhì)量分別為m1、m2，兩恒星的周期相同，引力常量為G。忽略星體的自轉(zhuǎn)且星體的半徑遠(yuǎn)小于兩恒星之間的距離，且兩恒星始終保持恒定距離s0，不考慮氣體和塵埃盤(pán)對(duì)雙星的引力作用，則下列說(shuō)法正確的是()A.恒星甲、乙的加速度大小之比為m2∶m1B.兩恒星的周期為2πsC.恒星甲、乙的軌道半徑之比為m2∶m1D.若恒星甲的一部分被恒星乙吸收，則兩恒星的周期減小答案AC解析設(shè)恒星甲、乙的軌道半徑分別為r1、r2，根據(jù)萬(wàn)有引力提供向心力，有Gm1m2(r1＋r2)2＝m1a1＝m2a2，解得a1∶a2＝m2∶m1，故A正確;由Gm1m2r1＋r22＝m1ω2r1＝m2ω2r2，且r1＋r2＝s0，ω＝2πT，解得T＝2πs0s0Gm1＋m2，r1∶r2＝m2∶m1，故B考點(diǎn)三天體中的追及相遇問(wèn)題1.相距最近:甲天體“相遇”指兩天體相距最近，以地球和行星“相遇”為例(“行星沖日”)，行星、地球與太陽(yáng)三者共線且行星和地球的運(yùn)轉(zhuǎn)方向相同(如圖甲)，此時(shí)刻行星與地球相距最近。從初始時(shí)刻到之后再次“相遇”，地球與行星距離最小，三者再次共線，有以下兩種解決方法。(1)角度關(guān)系ω1t－ω2t＝n·2π(n＝1，2，3，…)(2)圈數(shù)關(guān)系tT1－tT2＝解得t＝nT1T2T2.相距最遠(yuǎn):行星處在地球和太陽(yáng)連線的延長(zhǎng)線上(如圖乙)，三者共線，運(yùn)轉(zhuǎn)方向相同，有關(guān)系式ω1t－ω2t＝(2n－1)π(n＝1，2，3，…)或tT1－tT2例3(2025·山東濟(jì)寧一模)司馬遷最早把歲星命名為木星，如圖甲所示，兩衛(wèi)星a、b環(huán)繞木星在同一平面內(nèi)做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，繞行方向相反，衛(wèi)星c繞木星做橢圓運(yùn)動(dòng)，某時(shí)刻開(kāi)始計(jì)時(shí)，衛(wèi)星a、b間距離x隨時(shí)間t變化的關(guān)系圖像如圖乙所示，其中R、T為已知量，下列說(shuō)法正確的是()A.衛(wèi)星c在N點(diǎn)的速度大于衛(wèi)星a的速度B.衛(wèi)星a、b的運(yùn)動(dòng)周期之比為1∶4C.衛(wèi)星a的運(yùn)動(dòng)周期為94D.衛(wèi)星a的加速度大小為64答案C解析根據(jù)萬(wàn)有引力提供向心力GMmr2＝mv2r，可得v＝GMr，可知衛(wèi)星a的速度大于衛(wèi)星b的速度，衛(wèi)星c在N點(diǎn)做近心運(yùn)動(dòng)，所以衛(wèi)星c在N點(diǎn)的速度小于衛(wèi)星b的速度，則衛(wèi)星c在N點(diǎn)的速度小于衛(wèi)星a的速度，故A錯(cuò)誤;根據(jù)圖乙可知衛(wèi)星a、b最遠(yuǎn)距離為5R，最近距離為3R，則rb－ra＝3R，rb＋ra＝5R，可得ra＝R，rb＝4R，根據(jù)GMmr2＝m4π2T2r可得T＝2πr3GM，可知衛(wèi)星a、b的運(yùn)動(dòng)周期之比為1∶8，故B錯(cuò)誤;設(shè)衛(wèi)星a的周期為T(mén)a，衛(wèi)星b的周期為T(mén)b，根據(jù)兩衛(wèi)星從相距最遠(yuǎn)到相距最近有2πTaT＋2πTbT＝π，又Tb＝8Ta，聯(lián)立解得Ta＝94T，故拓展若兩衛(wèi)星a、b環(huán)繞木星在同一平面內(nèi)做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，繞行方向相同，求衛(wèi)星a的運(yùn)動(dòng)周期及衛(wèi)星a的加速度是多少?答案74T解析a、b兩衛(wèi)星繞行方向相同，則兩衛(wèi)星從相距最遠(yuǎn)到相距最近有2πTaT－2πTbT＝π，又根據(jù)Tb＝8Ta，解得Ta＝74T，則an＝跟蹤訓(xùn)練3.(2024·重慶一中模擬)如圖，地球和某行星在同一軌道平面內(nèi)同向繞太陽(yáng)做順時(shí)針的勻速圓周運(yùn)動(dòng)。地球和太陽(yáng)的連線與地球和行星的連線所夾的角叫地球?qū)υ撔行堑挠^察視角，已知該行星的最大觀察視角為θ，當(dāng)行星處于最大觀察視角處時(shí)，是地球上天文愛(ài)好者觀察該行星的最佳時(shí)期。則()A.行星的環(huán)繞半徑與地球的環(huán)繞半徑之比為tanθB.行星的環(huán)繞周期與地球的環(huán)繞周期之比為1C.行星兩次處于最佳觀察期的時(shí)間間隔至少為sinD.行星兩次處于最佳觀察期的時(shí)間間隔可能為(π＋2θ答案D解析該行星的最大觀察視角為θ，如圖，根據(jù)幾何關(guān)系可知r行＝r地sinθ，所以行星的環(huán)繞半徑與地球的環(huán)繞半徑之比為r行r地＝sinθ，故A錯(cuò)誤;根據(jù)開(kāi)普勒第三定律有r行3T行2＝r地3T地2，得行星的環(huán)繞周期與地球的環(huán)繞周期之比為T(mén)行T地＝r行3r地3＝sin3θ，故B錯(cuò)誤;A級(jí)基礎(chǔ)對(duì)點(diǎn)練對(duì)點(diǎn)練1衛(wèi)星的變軌和對(duì)接問(wèn)題1.(多選)(2023·海南卷，9)如圖所示，1、2軌道分別是天宮二號(hào)飛船在變軌前、后的軌道，下列說(shuō)法正確的是()A.飛船從1軌道變到2軌道要點(diǎn)火加速B.飛船在1軌道的周期大于在2軌道的周期C.飛船在1軌道的速度大于在2軌道的速度D.飛船在1軌道的加速度大于在2軌道的加速度答案ACD解析飛船從低軌道向高軌道變軌時(shí)，需要點(diǎn)火加速，A正確;由“高軌低速大周期”的運(yùn)動(dòng)規(guī)律可知，飛船在1軌道上的線速度、角速度、向心加速度均大于在2軌道上的，周期小于在2軌道上的，B錯(cuò)誤，C、D正確。2.(2025·重慶沙坪壩模擬)北京時(shí)間2024年4月26日，神舟十八號(hào)載人飛船升空6.5h后采用自主快速交會(huì)對(duì)接模式，與離地高度約390km的中國(guó)空間站天和核心艙完成對(duì)接，形成三船三艙組合體，下列說(shuō)法中正確的是()A.為實(shí)現(xiàn)對(duì)接，兩者運(yùn)行速度的大小都應(yīng)介于第一宇宙速度和第二宇宙速度之間B.為實(shí)現(xiàn)對(duì)接，應(yīng)先讓飛船和天和核心艙處于同一軌道上，然后點(diǎn)火加速C.若對(duì)接前飛船在較低軌道上做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，對(duì)接后飛船速度和運(yùn)行周期都變大D.若對(duì)接前飛船在較低軌道上做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，對(duì)接后飛船機(jī)械能和運(yùn)行周期都變大答案D解析兩者運(yùn)行速度的大小都應(yīng)小于第一宇宙速度，故A錯(cuò)誤;為實(shí)現(xiàn)對(duì)接，應(yīng)先讓飛船處于較低軌道上，然后點(diǎn)火加速到高軌道實(shí)現(xiàn)對(duì)接，故B錯(cuò)誤;對(duì)接后飛船軌道變高，速度變小，運(yùn)行周期變大，機(jī)械能變大，故C錯(cuò)誤，D正確。3.(2024·貴州畢節(jié)模擬)2024年4月25日，神舟十八號(hào)載人飛船發(fā)射成功。如圖所示，模擬發(fā)射飛船過(guò)程中，飛船在橢圓軌道1上的P點(diǎn)點(diǎn)火變軌進(jìn)入圓形軌道2，繞地球做勻速圓周運(yùn)動(dòng)。下列說(shuō)法正確的是()A.飛船在軌道1上P點(diǎn)的線速度大于在軌道2上P點(diǎn)的線速度B.若要讓飛船與同一軌道上位于前方的空間實(shí)驗(yàn)室對(duì)接，可將飛船加速到一個(gè)較高軌道，然后再減速追上實(shí)驗(yàn)室完成對(duì)接C.飛船在兩個(gè)軌道上運(yùn)行時(shí)，在P點(diǎn)處的機(jī)械能相等D.飛船在兩個(gè)軌道上的運(yùn)轉(zhuǎn)周期T1<T2答案D解析飛船在軌道1上P點(diǎn)點(diǎn)火加速進(jìn)入軌道2，因此軌道1上P點(diǎn)的線速度小于軌道2上P點(diǎn)的線速度，飛船在兩個(gè)軌道上運(yùn)行時(shí)，軌道1上P點(diǎn)處的機(jī)械能小于軌道2上P點(diǎn)處的機(jī)械能，故A、C錯(cuò)誤;從低軌道加速到高軌道后，在高軌道上的環(huán)繞速度小，追不上，故B錯(cuò)誤;根據(jù)萬(wàn)有引力提供向心力，可得GMmr2＝m4π2T2r，解得T＝4π2r3GM，可得高軌周期長(zhǎng)4.(多選)(2024·遼寧大連模擬)2023年6月15日13時(shí)30分，長(zhǎng)征二號(hào)丁遙八十八運(yùn)載火箭在太原衛(wèi)星發(fā)射中心成功將吉林一號(hào)高分06A星等41顆衛(wèi)星準(zhǔn)確送入預(yù)定軌道，刷新了我國(guó)一次發(fā)射衛(wèi)星數(shù)量最多的紀(jì)錄。如圖，火箭運(yùn)行至P點(diǎn)時(shí)同時(shí)釋放A、B兩顆衛(wèi)星，并分別將它們送入預(yù)定橢圓軌道1(A衛(wèi)星)和橢圓軌道2(B衛(wèi)星)。P點(diǎn)為橢圓軌道的近地點(diǎn)，B衛(wèi)星在遠(yuǎn)地點(diǎn)Q處進(jìn)行姿態(tài)調(diào)整并變軌到圓軌道3上運(yùn)動(dòng)，下列說(shuō)法正確的是()A.兩衛(wèi)星在橢圓軌道上運(yùn)動(dòng)過(guò)程中經(jīng)過(guò)P點(diǎn)時(shí)的加速度大小關(guān)系為aA>aBB.兩衛(wèi)星在橢圓軌道上運(yùn)動(dòng)過(guò)程中經(jīng)過(guò)P點(diǎn)時(shí)的速度大小關(guān)系為vA<vBC.變軌前，B衛(wèi)星在P點(diǎn)的機(jī)械能等于在Q點(diǎn)的機(jī)械能D.B衛(wèi)星在P點(diǎn)的動(dòng)能小于其在軌道3上Q點(diǎn)的動(dòng)能答案BC解析萬(wàn)有引力提供向心力，有GMmr2＝ma，得a＝GMr2，兩衛(wèi)星經(jīng)過(guò)P點(diǎn)時(shí)距離中心天體距離相等，則加速度大小相等，故A錯(cuò)誤;衛(wèi)星A在橢圓1軌道，衛(wèi)星B在橢圓2軌道，2軌道的半長(zhǎng)軸大于1軌道的半長(zhǎng)軸，衛(wèi)星必須在兩軌道相切點(diǎn)點(diǎn)火加速以實(shí)現(xiàn)變軌，因此可知兩衛(wèi)星在橢圓軌道上運(yùn)動(dòng)過(guò)程中經(jīng)過(guò)P點(diǎn)時(shí)，B衛(wèi)星的線速度要大于A衛(wèi)星的線速度，故B正確;在同一軌道上，衛(wèi)星機(jī)械能守恒，故C正確;在軌道2上，P點(diǎn)為近地點(diǎn)，Q點(diǎn)為遠(yuǎn)地點(diǎn)，由開(kāi)普勒第二定律可知vP2>vQ2，而衛(wèi)星在2軌道上Q點(diǎn)向軌道3變軌時(shí)需要點(diǎn)火加速，因此有vQ3>vQ2，又由萬(wàn)有引力提供向心力可得GMmr2＝mv2r，整理有v＝GMr，可知軌道半徑越大，線速度越小，由此可知vP2>vQ3>vQ2，由于Ek＝12mv2，則B衛(wèi)星在對(duì)點(diǎn)練2雙星或多星模型5.(2025·廣東深圳高三期末)人類首次發(fā)現(xiàn)的引力波來(lái)源于距地球之外13億光年的兩個(gè)黑洞互相繞轉(zhuǎn)最后合并的過(guò)程。如圖所示，設(shè)兩個(gè)黑洞A、B繞其連線上的O點(diǎn)做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，黑洞A的軌道半徑大于黑洞B的軌道半徑，兩個(gè)黑洞的總質(zhì)量為M，兩個(gè)黑洞中心間的距離為L(zhǎng)，則下列說(shuō)法正確的是()A.兩黑洞的運(yùn)行周期均為2πLB.黑洞A的線速度一定小于黑洞B的線速度C.兩個(gè)黑洞的總質(zhì)量M一定，L越大，角速度越大D.黑洞A的質(zhì)量一定大于黑洞B的質(zhì)量答案A解析設(shè)兩個(gè)黑洞的質(zhì)量分別為mA、mB，軌道半徑分別為rA、rB，角速度為ω，由萬(wàn)有引力定律可知GmAmBL2＝mAω2rA，GmAmBL2＝mBω2rB，其中rA＋rB＝L，mA＋mB＝M聯(lián)立解得ω＝GML3，則兩黑洞的運(yùn)行周期為T(mén)＝2πω＝2πL3GM，A正確，C錯(cuò)誤;由于二者角速度相等，則線速度分別為vA＝ωrA，vB＝ωrB，rA>rB，則vA>vB，B錯(cuò)誤;根據(jù)以上分析可知mA6.(多選)(2025·山東煙臺(tái)高三期末)如圖所示，天文觀測(cè)中觀測(cè)到有質(zhì)量相等的三顆天體位于邊長(zhǎng)為l的等邊△ABC三個(gè)頂點(diǎn)上，三顆天體均做周期為T(mén)的勻速圓周運(yùn)動(dòng)。已知引力常量為G，不計(jì)其他天體對(duì)它們的影響，關(guān)于這個(gè)三星系統(tǒng)，下列說(shuō)法中正確的是()A.三顆天體的質(zhì)量均為4π2lC.三顆天體線速度大小均為πl(wèi)T 答案AD解析軌道半徑等于等邊三角形外接圓的半徑，根據(jù)幾何關(guān)系可知r＝33l，根據(jù)題意可知其中任意兩顆星對(duì)第三顆星的合力指向圓心，設(shè)三顆星的質(zhì)量均為M，根據(jù)牛頓第二定律有2×GM2l2cos30°＝M4π2T2r＝Mv2r，解得M＝4π2l對(duì)點(diǎn)練3天體中的追及相遇問(wèn)題7.(多選)(2025·河北滄州高三月考)2024年2月3日，我國(guó)在西昌衛(wèi)星發(fā)射中心使用長(zhǎng)征二號(hào)丙運(yùn)載火箭，成功將吉利星座02組衛(wèi)星發(fā)射升空，11顆衛(wèi)星順利進(jìn)入預(yù)定軌道，發(fā)射任務(wù)獲得圓滿成功。假設(shè)一顆衛(wèi)星為地球的勘測(cè)衛(wèi)星，該勘測(cè)衛(wèi)星在赤道的上方，距離地面的高度h1＝4.1×103km，地球同步衛(wèi)星距地面高度h2＝3.6×104km。已知地球半徑R＝6.4×103km，地球同步衛(wèi)星的周期T＝24h，勘測(cè)衛(wèi)星的轉(zhuǎn)動(dòng)方向與地球的自轉(zhuǎn)方向相同。下列說(shuō)法正確的是()A.勘測(cè)衛(wèi)星的周期約為3hB.勘測(cè)衛(wèi)星的周期約為1.5hC.假設(shè)該衛(wèi)星勘測(cè)赤道上的一小片森林，至少經(jīng)過(guò)約157D.假設(shè)該衛(wèi)星勘測(cè)赤道上的一小片森林，至少經(jīng)過(guò)約247答案AD解析設(shè)勘測(cè)衛(wèi)星的周期為T(mén)1，由開(kāi)普勒第三定律得R＋h13T12＝R＋h23T2，解得T1≈3h，故A正確，B錯(cuò)誤;假設(shè)該衛(wèi)星勘測(cè)赤道上的一片森林，至少經(jīng)過(guò)時(shí)間t勘測(cè)一次，8.(2023·湖北卷，2)2022年12月8日，地球恰好運(yùn)行到火星和太陽(yáng)之間，且三者幾乎排成一條直線，此現(xiàn)象被稱為“火星沖日”?；鹦呛偷厍驇缀踉谕黄矫鎯?nèi)沿同一方向繞太陽(yáng)做圓周運(yùn)動(dòng)，火星與地球的公轉(zhuǎn)軌道半徑之比約為3∶2，如圖所示。根據(jù)以上信息可以得出()A.火星與地球繞太陽(yáng)運(yùn)動(dòng)的周期之比約為27∶8B.當(dāng)火星與地球相距最遠(yuǎn)時(shí)，兩者的相對(duì)速度最大C.火星與地球表面的自由落體加速度大小之比約為9∶4D.下一次“火星沖日”將出現(xiàn)在2023年12月8日之前答案B解析火星和地球均繞太陽(yáng)運(yùn)動(dòng)，由于火星與地球的軌道半徑之比約為3∶2，根據(jù)開(kāi)普勒第三定律有r火3r地3＝T火2T地2，可得T火T地＝r火3r地3＝3322，故A錯(cuò)誤;當(dāng)火星與地球相距最遠(yuǎn)時(shí)，兩者的速度方向相反，此時(shí)兩者相對(duì)速度最大，故B正確;在星球表面，根據(jù)萬(wàn)有引力定律有GMmR2＝mg，由于不知道火星和地球的質(zhì)量比和半徑比，所以無(wú)法得出火星和地球表面的自由落體加速度之比，故C錯(cuò)誤;火星和地球繞太陽(yáng)做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，有ω火＝2πT火，ωB級(jí)綜合提升練9.(2024·貴州遵義模擬)2023年9月21日，景海鵬、朱楊柱、桂海潮三位神舟十六航天員在中國(guó)空間站夢(mèng)天實(shí)驗(yàn)艙向全國(guó)青少年進(jìn)行了第四次太空科普授課，朱楊柱告訴我們“他在空間站里一天能看到16次日出(周期為1.5h)”。設(shè)中國(guó)空間站a和北斗系統(tǒng)中某顆中圓衛(wèi)星b均為赤道上空衛(wèi)星，中圓衛(wèi)星b的周期為12h，如圖所示，某時(shí)刻空間站a和中圓衛(wèi)星b相距最近，且兩者運(yùn)動(dòng)方向相同，以下說(shuō)法正確的是()A.航天員的速度大于第一宇宙速度B.中國(guó)空間站a和中圓衛(wèi)星b軌道半徑之比為1∶8C.中國(guó)空間站a與中圓衛(wèi)星b加速度之比為8∶1D.從此時(shí)刻開(kāi)始每隔127答案D解析根據(jù)萬(wàn)有引力提供向心力GMmr2＝mv2r，可得v＝GMr，地球第一宇宙速度是衛(wèi)星繞地球做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的最大線速度，可知航天員的速度小于第一宇宙速度，故A錯(cuò)誤;根據(jù)開(kāi)普勒第三定律有ra3Ta2＝rb3Tb2，可得中國(guó)空間站a和中圓衛(wèi)星b軌道半徑之比為ra∶rb＝3Ta2∶3Tb2＝1∶4，故B錯(cuò)誤;根據(jù)牛頓第二定律GMmr2＝ma，可得a＝GMr2，則中國(guó)空間站a與中圓衛(wèi)星b加速度之比為aa∶ab＝rb2∶ra2＝16∶1，故C10.(2024·北京卷，19)科學(xué)家根據(jù)天文觀測(cè)提出宇宙膨脹模型:在宇宙大尺度上，所有的宇宙物質(zhì)(星體等)在做彼此遠(yuǎn)離運(yùn)動(dòng)，且質(zhì)量始終均勻分布，在宇宙中所有位置觀測(cè)的結(jié)果都一樣。以某一點(diǎn)O為觀測(cè)點(diǎn)，以質(zhì)量為m的小星體(記為P)為觀測(cè)對(duì)象。當(dāng)前P到O點(diǎn)的距離為r0，宇宙的密度為ρ0。(1)求小星體P遠(yuǎn)離到2r0處時(shí)宇宙的密度ρ;(2)以O(shè)點(diǎn)為球心，以小星體P到O點(diǎn)的距離為半徑建立球面。P受到的萬(wàn)有引力相當(dāng)于球內(nèi)質(zhì)量集中于O點(diǎn)對(duì)P的引力。已知質(zhì)量為m1和m2、距離為R的兩個(gè)質(zhì)點(diǎn)間的引力勢(shì)能Ep＝－Gm1m2R，a.求小星體P從r0處遠(yuǎn)離到2r0處的過(guò)程動(dòng)能的變化量ΔEk;b.宇宙中各星體遠(yuǎn)離觀測(cè)點(diǎn)的速率v滿足哈勃定律v＝Hr，其中r為星體到觀測(cè)點(diǎn)的距離，H為哈勃系數(shù)。H與時(shí)間t有關(guān)但與r無(wú)關(guān)，分析說(shuō)明H隨t增大還是減小。答案(1)18ρ0(2)a.－23Gπρ0m解析(1)在宇宙中所有位置觀測(cè)的結(jié)果都一樣，則小星體P運(yùn)動(dòng)前后距離O點(diǎn)半徑為r0和2r0的球內(nèi)質(zhì)量相同，即ρ0·43πr03＝ρ·43π(2解得ρ＝18ρ0(2)a.此球內(nèi)的質(zhì)量為M＝ρ0·43πP從r0處遠(yuǎn)離到2r0處，機(jī)械能守恒，則該過(guò)程動(dòng)能的變化量為ΔEk＝－ΔEp＝－GMmr0－-GMm2r0＝－b.宇宙中各星體遠(yuǎn)離觀測(cè)點(diǎn)的過(guò)程中，r增大，引力勢(shì)能增大，動(dòng)能減小，速度減小，根據(jù)v＝Hr可知，H減小，故H隨t減小。C級(jí)培優(yōu)加強(qiáng)練11.(多選)(2025·河北秦皇島模擬)地月系統(tǒng)可認(rèn)為是月球繞地球做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，如圖甲所示，月球繞地球運(yùn)動(dòng)的周期為T(mén)1，也可認(rèn)為地月系統(tǒng)是一個(gè)雙星系統(tǒng)，如圖乙所示，在相互之間的萬(wàn)有引力作用下，繞連線上的O點(diǎn)做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，月球繞O點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的周期為T(mén)2，若地球、月球質(zhì)量分別為M、m，兩球心相距為r，引力常量為G，下列說(shuō)法正確的是()A.圖甲中月球繞地球運(yùn)動(dòng)的周期T1等于圖乙中月球繞O點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的周期T2B.圖乙雙星軌道中O點(diǎn)到地心距離為mMC.圖甲中，地球密度為3πD.圖甲中，若把部分月壤運(yùn)回到地球，最終月球繞地球做圓周運(yùn)動(dòng)的軌道半徑將變小答案BD解析根據(jù)萬(wàn)有引力提供向心力有GMmr2＝m4π2T12r，解得圖甲月球繞地球運(yùn)動(dòng)的周期為T(mén)1＝2πr3GM。地月系統(tǒng)是一個(gè)雙星系統(tǒng)，設(shè)地月雙星軌道中O點(diǎn)到地心距離為r1，到月心距離為r2，則GMmr2＝M4π2T22r1＝m4π2T22r2，且r1＋r2＝r，可得r1＝mM＋mr，r2＝MM＋mr，T2＝2πr3G(M＋m)，可知圖甲中月球繞地球運(yùn)動(dòng)的周期T1大于圖乙中月球繞O點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的周期T2，故A錯(cuò)誤，B正確;圖甲中根據(jù)萬(wàn)有引力提供向心力有GMmr2＝m4π2T12r，設(shè)地球的半徑為R，地球的體積為V專題強(qiáng)化七圓周運(yùn)動(dòng)的臨界問(wèn)題學(xué)習(xí)目標(biāo)會(huì)分析水平面內(nèi)、豎直面內(nèi)及傾斜面內(nèi)物體做圓周運(yùn)動(dòng)的向心力來(lái)源及臨界問(wèn)題。考點(diǎn)一水平面內(nèi)圓周運(yùn)動(dòng)的臨界問(wèn)題1.運(yùn)動(dòng)特點(diǎn)(1)運(yùn)動(dòng)軌跡是水平面內(nèi)的圓。(2)合外力沿水平方向指向圓心，提供向心力，豎直方向合力為零，物體在水平面內(nèi)做勻速圓周運(yùn)動(dòng)。2.常見(jiàn)的兩種臨界極值問(wèn)題(1)與摩擦力有關(guān)的臨界極值問(wèn)題物體間恰好不發(fā)生相對(duì)滑動(dòng)的臨界條件是物體間的靜摩擦力恰好達(dá)到最大靜摩擦力。(2)與彈力有關(guān)的臨界極值問(wèn)題壓力、支持力的臨界條件是物體間的彈力恰好為零;繩上拉力的臨界條件是繩恰好拉直且其上無(wú)彈力或繩上拉力恰好為最大承受力等。例1(多選)如圖所示，兩個(gè)質(zhì)量均為m的小物塊A和B(可視為質(zhì)點(diǎn))放在水平圓盤(pán)上，A與轉(zhuǎn)軸OO'的距離為L(zhǎng)，B與轉(zhuǎn)軸的距離為2L。物塊與圓盤(pán)間的最大靜摩擦力為物塊所受重力的k倍，重力加速度大小為g。整個(gè)裝置能繞過(guò)圓盤(pán)中心的豎直轉(zhuǎn)軸轉(zhuǎn)動(dòng)，若圓盤(pán)從靜止開(kāi)始繞轉(zhuǎn)軸緩慢地加速轉(zhuǎn)動(dòng)，用ω表示圓盤(pán)轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度，且最大靜摩擦力等于滑動(dòng)摩擦力，下列說(shuō)法正確的是()A.B一定比A先開(kāi)始滑動(dòng)B.A、B所受的摩擦力始終相等C.ω＝kg2D.當(dāng)ω＝2kg3答案AC解析小物塊A、B做圓周運(yùn)動(dòng)時(shí)，由靜摩擦力提供向心力，即Ff＝mω2r。當(dāng)角速度增大時(shí)，靜摩擦力增大，當(dāng)增大到最大靜摩擦力時(shí)，發(fā)生相對(duì)滑動(dòng)，對(duì)物塊A有FfA＝mωA2L，當(dāng)FfA＝kmg時(shí)，kmg＝mωA2L，ωA＝kgL;對(duì)物塊B有FfB＝mωB2·2L，當(dāng)FfB＝kmg時(shí)，kmg＝mωB2·2L，ωB＝kg2L，則ω＝kg2L是B開(kāi)始滑動(dòng)的臨界角速度，且B比A先開(kāi)始滑動(dòng)，故A、C正確;兩物塊滑動(dòng)前轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度相同，則FfA＝mω2L，F(xiàn)fB＝mω2·2L，則FfA<FfB，故B錯(cuò)誤;ω＝2kg3L<ωA＝kgL，A拓展(多選)例1中，若在A、B之間拴一根長(zhǎng)為L(zhǎng)、不可拉伸的輕繩，如圖所示，開(kāi)始時(shí)，輕繩恰好伸直但無(wú)拉力，現(xiàn)讓該轉(zhuǎn)盤(pán)從靜止開(kāi)始轉(zhuǎn)動(dòng)，使角速度ω緩慢增大，直到物塊A恰要在轉(zhuǎn)盤(pán)上滑動(dòng)。在此過(guò)程中，下列說(shuō)法正確的是(重力加速度為g，物塊A、B均可視為質(zhì)點(diǎn))()A.當(dāng)角速度增大到ω＝kgLB.當(dāng)角速度增大到ω＝kgLC.物塊A恰要在轉(zhuǎn)盤(pán)上滑動(dòng)時(shí)，繩的拉力大小為13D.若物塊A即將在轉(zhuǎn)盤(pán)上滑動(dòng)時(shí)剪斷輕繩，則此時(shí)物塊A所受摩擦力大小為23答案CD解析物塊A、B與轉(zhuǎn)盤(pán)間的最大靜摩擦力均為kmg，物塊隨轉(zhuǎn)盤(pán)一起轉(zhuǎn)動(dòng)，開(kāi)始時(shí)靜摩擦力提供向心力，繩開(kāi)始出現(xiàn)拉力時(shí)，對(duì)物塊B由牛頓第二定律有kmg＝mω12·2L，解得ω1＝kg2L，選項(xiàng)A錯(cuò)誤;物塊A恰要在轉(zhuǎn)盤(pán)上滑動(dòng)時(shí)，對(duì)物塊A有kmg－FT＝mω22L，對(duì)物塊B有kmg＋FT＝mω22·2L，聯(lián)立解得ω2＝2kg3L，輕繩拉力FT＝13kmg，選項(xiàng)B錯(cuò)誤，C正確;物塊A即將在轉(zhuǎn)盤(pán)上滑動(dòng)時(shí)，剪斷輕繩后，對(duì)物塊A有Ff＝mω22總結(jié)提升物塊隨圓盤(pán)轉(zhuǎn)動(dòng)的幾種臨界問(wèn)題分析(最大靜摩擦力等于滑動(dòng)摩擦力)一物塊隨圓盤(pán)一起運(yùn)動(dòng)兩物塊用輕繩連接，其中一個(gè)位于圓盤(pán)中心(μ相同)兩物塊用輕繩連接，位于圓盤(pán)中心同側(cè)(μ相同)兩物塊用輕繩連接，分別位于圓盤(pán)中心兩側(cè)(rA>rB，mA＝mB，μ相同)情境圖出現(xiàn)臨界狀態(tài)之前靜摩擦力提供向心力，即F靜＝mω2r。對(duì)物塊B:靜摩擦力提供向心力，即F靜＝mBω2rB。對(duì)物塊A:FA靜＝mAω2rA，對(duì)物塊B:FB靜＝mBω2rB。對(duì)物塊A:FA靜＝mAω2rA，對(duì)物塊B:FB靜＝mBω2rB。臨界狀態(tài)1物塊剛好相對(duì)圓盤(pán)滑動(dòng):靜摩擦力達(dá)到最大靜摩擦力，由μmg＝mω2r得ω＝μgr(臨界角速度)輕繩恰好繃直時(shí)，對(duì)物塊B有:靜摩擦力達(dá)到最大靜摩擦力，由μmBg＝mBω2rB得ω＝μgr輕繩恰好無(wú)拉力時(shí)，物塊B的靜摩擦力達(dá)到最大靜摩擦力，由μmBg＝mBω2rB得ω＝μgr輕繩恰好無(wú)拉力時(shí)，物塊A的靜摩擦力達(dá)到最大靜摩擦力，由μmAg＝mAω2rA得ω＝μgr臨界狀態(tài)2——物塊A剛好相對(duì)圓盤(pán)滑動(dòng)時(shí)，對(duì)A有FT＝μmAg，對(duì)B有μmBg＋FT＝mBω2rB。物塊A剛好要相對(duì)圓盤(pán)滑動(dòng)時(shí)，對(duì)A有μmAg－FT＝mAω2rA，對(duì)B有μmBg＋FT＝mBω2rB。物塊B剛好要相對(duì)圓盤(pán)滑動(dòng)時(shí)，對(duì)B有FT－μmBg＝mBω2rB，對(duì)A有μmAg＋FT＝mAω2rA。跟蹤訓(xùn)練1.(多選)(2025·四川南充模擬)如圖，足夠大水平圓盤(pán)中央固定一光滑豎直細(xì)桿，質(zhì)量分別為2m和m的小球A、B用輕繩相連，小球A穿過(guò)豎直桿置于原長(zhǎng)為l的輕質(zhì)彈簧上，彈簧勁度系數(shù)為k＝6mgl，B緊靠一個(gè)固定在圓盤(pán)上且與OAB共面的擋板上，在緩慢增加圓盤(pán)轉(zhuǎn)速過(guò)程中，彈簧始終在彈性限度內(nèi)，不計(jì)一切摩擦，重力加速度為A.小球B離開(kāi)圓盤(pán)后，彈簧彈力不變B.繩子越長(zhǎng)小球B飛離圓盤(pán)時(shí)的角速度就越大C.當(dāng)角速度為gl時(shí)，彈簧長(zhǎng)度等于D.當(dāng)角速度為4gl答案AD解析小球B離開(kāi)圓盤(pán)后，對(duì)B豎直方向FTcosθ＝mg，對(duì)A豎直方向F彈＝2mg＋FTcosθ＝3mg，即彈簧彈力不變，選項(xiàng)A正確;設(shè)小球B恰飛離圓盤(pán)時(shí)繩子與豎直方向夾角為θ0，此時(shí)彈簧長(zhǎng)度為l1，對(duì)A:k(l－l1)＝3mg，解得l1＝l2，設(shè)球A、B之間的繩長(zhǎng)為L(zhǎng)，則cosθ0＝l2L，對(duì)B:mgtanθ0＝mω02Lsinθ0，解得ω0＝gLcosθ0＝2gl，則小球B飛離圓盤(pán)時(shí)的角速度為定值，與繩長(zhǎng)無(wú)關(guān)，選項(xiàng)B錯(cuò)誤;當(dāng)角速度為gl<ω0時(shí)，小球B還沒(méi)有離開(kāi)圓盤(pán)，此時(shí)彈簧長(zhǎng)度大于l2，選項(xiàng)C錯(cuò)誤;當(dāng)角速度為4g考點(diǎn)二豎直面內(nèi)圓周運(yùn)動(dòng)的臨界問(wèn)題豎直面內(nèi)圓周運(yùn)動(dòng)的兩種模型對(duì)比物理情景輕繩模型輕桿模型實(shí)例球與繩連接、水流星、沿內(nèi)軌道運(yùn)動(dòng)的“過(guò)山車”等球與桿連接、球在光滑管道中運(yùn)動(dòng)等圖示最高點(diǎn)無(wú)支撐最高點(diǎn)有支撐受力特征在最高點(diǎn)除重力外，物體受到的彈力方向向下或等于零在最高點(diǎn)除重力外，物體受到的彈力方向向下、等于零或向上受力示意圖力學(xué)方程mg＋FT＝mvmg±FN＝mv臨界特征FT＝0mg＝mv即vmin＝grv＝0即F向＝0FN＝mg過(guò)最高點(diǎn)的條件在最高點(diǎn)的速度v≥grv≥0模型輕繩模型例2(2025·北京西城一模)如圖甲所示，長(zhǎng)為R且不可伸長(zhǎng)的輕繩一端固定在O點(diǎn)，另一端系一小球，使小球在豎直面內(nèi)做圓周運(yùn)動(dòng)。由于阻力的影響，小球每次通過(guò)最高點(diǎn)時(shí)速度大小不同。測(cè)量小球經(jīng)過(guò)最高點(diǎn)時(shí)速度的大小v、繩子拉力的大小F，作出F與v2的關(guān)系圖線如圖乙所示。下列說(shuō)法中正確的是()A.根據(jù)圖線可以得出小球的質(zhì)量m＝aRB.根據(jù)圖線可以得出重力加速度g＝aC.繩長(zhǎng)不變，用質(zhì)量更小的球做實(shí)驗(yàn)，得到的圖線斜率更大D.用更長(zhǎng)的繩做實(shí)驗(yàn)，得到的圖線與橫軸交點(diǎn)的位置不變答案A解析根據(jù)牛頓第二定律可知F＋mg＝mv2R，解得F＝mRv2－mg，由圖像可知mR＝a-02b-b，可得小球的質(zhì)量m＝aRb，當(dāng)F＝0時(shí)，由0＝mRb－mg，可得重力加速度g＝bR，故A正確，B錯(cuò)誤;圖線的斜率為k＝mR，則繩長(zhǎng)不變，用質(zhì)量更小的球做實(shí)驗(yàn)，得到的圖線斜率更小，故C錯(cuò)誤;圖線與橫軸交點(diǎn)的位置0＝mRv2跟蹤訓(xùn)練2.(2024·江西模擬)如圖，玩具小車在軌道上做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，測(cè)得小車1s繞軌道運(yùn)動(dòng)一周，圓軌道半徑為0.3m，玩具小車的質(zhì)量為0.5kg，AC為過(guò)圓心的豎直線，BD為過(guò)圓心的水平線，重力加速度g取10m/s2，小車看作質(zhì)點(diǎn)，下列說(shuō)法正確的是()A.小車在BD下方運(yùn)動(dòng)時(shí)處于失重狀態(tài)B.小車在B點(diǎn)不受摩擦力作用C.小車在C點(diǎn)時(shí)對(duì)軌道的壓力恰好為零D.小車在A點(diǎn)時(shí)對(duì)軌道的壓力比在C點(diǎn)時(shí)大10N答案D解析小車在BD下方運(yùn)動(dòng)時(shí)，向心加速度指向圓心，均有豎直向上的分量，處于超重狀態(tài)，故A錯(cuò)誤;由于玩具小車在軌道上做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，切向方向上所受合力為零，則在B點(diǎn)受到豎直向上的摩擦力，故B錯(cuò)誤;設(shè)玩具小車在C點(diǎn)時(shí)受到向下的壓力FNC，則FNC＋mg＝mv2R，又v＝2πRT＝0.6πm/s，解得FNC＝1N，由牛頓第三定律得FNC'＝FNC≈1N，故C錯(cuò)誤;設(shè)玩具小車在A點(diǎn)時(shí)受到向上的支持力FNA，則FNA－mg＝mv2R，由牛頓第三定律知FNA'＝FNA，得FNA'－FNC'＝2mg(1)最高點(diǎn)，若v≥gR，F(xiàn)彈＋mg＝mv2R，繩或軌道對(duì)球產(chǎn)生彈力F(2)若v<gR，則不能到達(dá)最高點(diǎn)，即到達(dá)最高點(diǎn)前小球已經(jīng)脫離了圓軌道。模型輕桿模型例3(多選)(2024·陜西咸陽(yáng)模擬)如圖所示，長(zhǎng)為0.1m的輕桿一端固定一質(zhì)量為0.1kg的小球，小球繞圓心O在豎直面內(nèi)做圓周運(yùn)動(dòng)。P是圓周上的最高點(diǎn)，重力加速度g＝10m/s2，下面說(shuō)法正確的是()A.當(dāng)小球運(yùn)動(dòng)到與O相平的水平位置時(shí)，桿對(duì)小球作用力為零B.若小球經(jīng)過(guò)P點(diǎn)時(shí)速度為1m/s，桿對(duì)小球作用力為零C.若小球經(jīng)過(guò)P點(diǎn)時(shí)桿對(duì)小球作用力等于0.36N，小球的速度一定等于0.8m/sD.若小球經(jīng)過(guò)Q點(diǎn)時(shí)桿對(duì)小球作用力等于5N，小球速度一定等于2m/s答案BD解析當(dāng)小球運(yùn)動(dòng)到與O相平的水平位置時(shí)桿對(duì)小球提供一個(gè)指向圓心的拉力，故A錯(cuò)誤;在最高點(diǎn)P，當(dāng)只有重力提供向心力時(shí)有mg＝mvP2L，代入數(shù)據(jù)解得vP＝gL＝1m/s，故B正確;在最高點(diǎn)P，桿對(duì)小球的作用力可能向上，也可能向下，因此有mg－F1＝mv12L或mg＋F2＝mv22L，其中F1＝F2＝0.36N，解得v1＝0.8m/s或v2＝1.36m/s，故C錯(cuò)誤;當(dāng)小球運(yùn)動(dòng)到最低點(diǎn)時(shí)，小球受桿的拉力為5N，有F3－mg＝mvQ1.在最高點(diǎn)，桿(或管道)的彈力與速度的關(guān)系(1)當(dāng)v＝0時(shí)，F(xiàn)彈＝mg，F(xiàn)彈背離圓心。(2)當(dāng)0<v<gR時(shí)，mg－F彈＝mv2R，F(xiàn)彈背離圓心并隨(3)當(dāng)v＝gR時(shí)，F(xiàn)彈＝0。(4)當(dāng)v>gR時(shí)，mg＋F彈＝mv2R，F(xiàn)彈指向圓心并隨2.解題技巧(1)物體通過(guò)圓周運(yùn)動(dòng)最低點(diǎn)、最高點(diǎn)時(shí)，利用合力提供向心力列牛頓第二定律方程。(2)物體從某一位置到另一位置的過(guò)程中，用動(dòng)能定理找出兩處速度關(guān)系。(3)注意:求對(duì)軌道的壓力時(shí)，轉(zhuǎn)換研究對(duì)象，先求物體所受支持力，再根據(jù)牛頓第三定律求出壓力。跟蹤訓(xùn)練3.如圖所示，質(zhì)量為1.6kg、半徑為0.5m的光滑細(xì)圓管用輕桿固定在豎直平面內(nèi)，小球A和B(均可視為質(zhì)點(diǎn))的直徑略小于細(xì)圓管的內(nèi)徑(內(nèi)徑遠(yuǎn)小于細(xì)圓管半徑)。小球A、B的質(zhì)量分別為mA＝1kg、mB＝2kg。某時(shí)刻，小球A、B分別位于圓管最低點(diǎn)和最高點(diǎn)，且A的速度大小為vA＝3m/s，此時(shí)桿對(duì)圓管的彈力為零，則B球的速度大小vB為(g＝10m/s2)()A.2m/s B.4m/s C.6m/s D.8m/s答案B解析對(duì)A球，所受合力提供向心力，設(shè)管對(duì)A的支持力為FA，由牛頓第二定律有FA－mAg＝mAvA2R，代入數(shù)據(jù)解得FA＝28N，由牛頓第三定律可得，A球?qū)艿膹椓ωQ直向下，F(xiàn)A'＝28N。設(shè)B球?qū)艿膹椓镕B'，由管的受力平衡可得FB'＋FA'＋m管g＝0，解得FB'＝－44N，負(fù)號(hào)表示和重力方向相反，由牛頓第三定律可得，管對(duì)B球的彈力FB為44N，方向豎直向下，對(duì)B球由牛頓第二定律有FB＋mBg＝mBvB2R，解得vB考點(diǎn)三傾斜面上圓周運(yùn)動(dòng)的臨界問(wèn)題例4如圖所示，一傾斜的勻質(zhì)圓盤(pán)繞垂直于盤(pán)面的固定對(duì)稱軸以恒定角速度ω轉(zhuǎn)動(dòng)，盤(pán)面與水平面的夾角為15°，盤(pán)面上離轉(zhuǎn)軸距離為r＝1m處有一質(zhì)量m＝1kg的小物體，小物體與圓盤(pán)始終保持相對(duì)靜止，且小物體在最低點(diǎn)時(shí)受到的摩擦力大小為6.6N。若重力加速度g取10m/s2，sin15°＝0.26，則下列說(shuō)法正確的是()A.小物體做勻速圓周運(yùn)動(dòng)線速度的大小為2m/sB.小物體受到合力的大小始終為4NC.小物體在最高點(diǎn)受到的摩擦力大小為0.4N，方向沿盤(pán)面指向轉(zhuǎn)軸D.小物體在最高點(diǎn)受到的摩擦力大小為1.4N，方向沿盤(pán)面背離轉(zhuǎn)軸答案B解析在最低點(diǎn)對(duì)小物體受力分析，合力提供向心力，即Ff－mgsin15°＝mv2r，解得v＝2m/s，故A錯(cuò)誤;小物體做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，所受合力大小始終為F合＝mv2r＝4N，故B正確;小物體在最高點(diǎn)所受合力大小為4N，摩擦力Ff'＝F合－mgsin15°＝1.4N，即在最高點(diǎn)受到的摩擦力大小為1.4N，方向沿盤(pán)面指向轉(zhuǎn)軸，故物體在傾斜面上做圓周運(yùn)動(dòng)時(shí)，設(shè)斜面的傾角為θ，重力垂直斜面的分力與物體受到的支持力大小相等，平行斜面的分力與靜摩擦力的合力提供向心力。在轉(zhuǎn)動(dòng)過(guò)程中，轉(zhuǎn)動(dòng)越快，物體最容易滑動(dòng)的位置是最低點(diǎn)，恰好滑動(dòng)時(shí)，有μmgcosθ－mgsinθ＝mω2R。跟蹤訓(xùn)練4.如圖所示，在與水平地面夾角為θ＝30°的光滑斜面上，有一半徑為R＝0.1m的光滑圓軌道，一質(zhì)量為m＝0.2kg的小球在圓軌道內(nèi)沿軌道做圓周運(yùn)動(dòng)，g＝10m/s2，下列說(shuō)法中正確的是()A.小球能通過(guò)圓軌道最高點(diǎn)的最小速度為0B.小球能通過(guò)圓軌道最高點(diǎn)的最小速度為1m/sC.小球以2m/s的速度通過(guò)圓軌道最低點(diǎn)時(shí)對(duì)軌道的壓力為8ND.小球通過(guò)圓軌道最低點(diǎn)和最高點(diǎn)時(shí)對(duì)圓軌道的壓力之差為6N答案D解析小球做圓周運(yùn)動(dòng)，在最高點(diǎn)，根據(jù)牛頓第二定律有mgsinθ＋FN1＝mv2R，當(dāng)FN1＝0時(shí)，小球有最小速度，解得vmin＝gRsinθ＝22m/s，故A、B錯(cuò)誤;小球以2m/s的速度通過(guò)圓軌道最低點(diǎn)時(shí)，根據(jù)牛頓第二定律有FN2－mgsinθ＝mv'2R，解得FN2＝9N，根據(jù)牛頓第三定律，小球?qū)壍赖膲毫Υ笮?N，故C錯(cuò)誤;小球從最高點(diǎn)到最低點(diǎn)，根據(jù)動(dòng)能定理有mgsinθ·2R＝12mv'2－12mv2，聯(lián)立解得FN2'－FN1A級(jí)基礎(chǔ)對(duì)點(diǎn)練對(duì)點(diǎn)練1水平面內(nèi)圓周運(yùn)動(dòng)的臨界問(wèn)題1.(2025·福建三明市模擬)如圖所示，當(dāng)汽車通過(guò)拱橋頂點(diǎn)的速度為10m/s時(shí)，汽車對(duì)橋頂?shù)膲毫檐囍亓Φ?4A.15m/s B.20m/s C.25m/s D.30m/s答案B解析如果要使汽車在粗糙的橋面經(jīng)過(guò)橋頂時(shí)，不受摩擦力作用，即汽車只受重力作用，則有mg＝mv'2R，當(dāng)汽車通過(guò)拱橋頂點(diǎn)的速度為10m/s時(shí)，汽車對(duì)橋頂?shù)膲毫檐囍氐?4，即支持力為34mg，則有mg－34mg＝mv2R，聯(lián)立解得2.(2025·四川成都模擬)如圖，一水平圓盤(pán)繞豎直中心軸以角速度ω做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，緊貼在一起的A、B兩物體(可視為質(zhì)點(diǎn))隨圓盤(pán)做圓周運(yùn)動(dòng)，B恰好不下滑，A恰好不滑動(dòng)，兩物體與轉(zhuǎn)軸距離為r，已知A與B間的動(dòng)摩擦因數(shù)為μ1，A與圓盤(pán)面間的動(dòng)摩擦因數(shù)為μ2，最大靜摩擦力等于滑動(dòng)摩擦力。μ1與μ2應(yīng)滿足的關(guān)系式為()A.μ1＋μ2＝1 B.μ1C.μ1μ2＝1 D.μ1答案C解析以A、B整體為研究對(duì)象，受力分析如圖甲所示，由靜摩擦力提供向心力可得μ2(mA＋mB)g＝(mA＋mB)ω2r;以B為研究對(duì)象，受力分析如圖乙所示，由A對(duì)B的彈力提供向心力，則有FN＝mBω2r，由平衡條件可得μ1FN＝mBg，聯(lián)立解得μ1μ2＝1，故C正確。3.(2025·湖南邵陽(yáng)模擬)如圖所示，豎直桿AB在A、B兩點(diǎn)通過(guò)鉸鏈連接兩等長(zhǎng)輕桿AC和BC，AC和BC與豎直方向的夾角為θ，輕桿長(zhǎng)為L(zhǎng)，在C處固定一質(zhì)量為m的小球，重力加速度為g，當(dāng)裝置繞豎直軸AB轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度ω從0開(kāi)始逐漸增大時(shí)，下列說(shuō)法正確的是()A.當(dāng)ω＝0時(shí)，AC桿和BC桿對(duì)球的作用力都表現(xiàn)為拉力B.AC桿對(duì)球的作用力先增大后減小C.一定時(shí)間后，AC桿與BC桿上的力大小之差恒定D.當(dāng)ω＝Lcosθg答案C解析當(dāng)ω＝0時(shí)，小球在水平方向受力平衡，因此AC桿對(duì)小球的作用力表現(xiàn)為拉力，BC桿對(duì)小球的作用力表現(xiàn)為支持力，且大小相等，故A錯(cuò)誤;當(dāng)ω逐漸增大時(shí)，AC桿對(duì)小球的拉力逐漸增大，BC桿對(duì)小球的支持力逐漸減小，當(dāng)BC桿的作用力為0時(shí)，有mgtanθ＝mω2Lsinθ，解得ω＝gLcosθ，當(dāng)ω繼續(xù)增大時(shí)，AC桿對(duì)小球的拉力繼續(xù)增大，BC桿對(duì)小球的作用力變?yōu)槔Γ抑饾u增大，故B、D錯(cuò)誤;一定時(shí)間后，AC桿和BC桿對(duì)球的作用力都變?yōu)槔?，拉力的豎直分力之差等于小球的重力，即FACcosθ－FBCcosθ＝mg，所以FAC－FBC＝mgcosθ，因此AC桿與BC對(duì)點(diǎn)練2豎直面內(nèi)圓周運(yùn)動(dòng)的臨界問(wèn)題4.如圖所示，豎直固定的光滑圓軌道內(nèi)有一質(zhì)量為m的小球在做完整的圓周運(yùn)動(dòng)。已知軌道半徑為R，a為最高點(diǎn)，b為最低點(diǎn)，c和d為與圓心O等高的點(diǎn)，e和f為關(guān)于圓心O的對(duì)稱點(diǎn)，重力加速度大小為g。下列說(shuō)法正確的是()A.小球在a點(diǎn)的速度必須大于gRB.小球在c點(diǎn)和d點(diǎn)時(shí)與軌道之間沒(méi)有彈力C.小球在e點(diǎn)所受合力和在f點(diǎn)所受合力等大反向D.若小球運(yùn)動(dòng)到a點(diǎn)時(shí)，速度為3gR，則小球?qū)壍赖膲毫Υ笮?答案D解析小球若恰能經(jīng)過(guò)a點(diǎn)，則mg＝mvmin2R，解得vmin＝gR，即小球在a點(diǎn)的速度大于等于gR，A錯(cuò)誤;小球在c點(diǎn)和d點(diǎn)時(shí)軌道對(duì)小球的支持力提供向心力，即與軌道之間都有彈力，B錯(cuò)誤;小球在e點(diǎn)和f點(diǎn)受力情況如圖，可知小球在e點(diǎn)所受合力和在f點(diǎn)所受合力大小不相等，方向不是相反，C錯(cuò)誤;小球在a點(diǎn)時(shí)，合力提供向心力，有FNa＋mg＝m(3gR)2R，5.用生活中常見(jiàn)的細(xì)繩和塑料容器制作“水流星”模型，如圖所示，容器中盛有質(zhì)量為m的清水，然后使其在豎直平面內(nèi)做半徑為L(zhǎng)的圓周運(yùn)動(dòng)(不考慮細(xì)繩和容器質(zhì)量，重力加速度為g)。則下列說(shuō)法正確的是()A.“水流星”通過(guò)最高點(diǎn)時(shí)，繩子張力不可以為零B.“水流星”通過(guò)最高點(diǎn)時(shí)，清水恰好不流出來(lái)的速度是0C.假如“水流星”可在豎直面內(nèi)做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，則“水流星”通過(guò)最低點(diǎn)和最高點(diǎn)，細(xì)繩的張力差為4mgD.假如“水流星”可在豎直面內(nèi)做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，則“水流星”通過(guò)最低點(diǎn)和最高點(diǎn)，細(xì)繩的張力差為2mg答案D解析“水流星”通過(guò)最高點(diǎn)，當(dāng)繩的張力恰好為零時(shí)，對(duì)水和容器整體，根據(jù)牛頓第二定律mg＝mv2L，解得v＝gL，所以“水流星”通過(guò)最高點(diǎn)時(shí)，繩子張力可以為零，清水恰好不流出來(lái)的速度是gL，故A、B錯(cuò)誤;假如“水流星”在豎直面內(nèi)以速度v'做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，在最低點(diǎn)，根據(jù)牛頓第二定律得FT1－mg＝mv'2L，解得FT1＝mg＋mv'2L，在最高點(diǎn)，根據(jù)牛頓第二定律得mg＋FT2＝mv'2L，解得FT2＝mv'2L－mg，則ΔFT6.如圖所示，輕桿長(zhǎng)3L，在桿兩端分別固定質(zhì)量均為m的球A和球B(均可視為質(zhì)點(diǎn))，光滑水平轉(zhuǎn)軸穿過(guò)桿上距球A為L(zhǎng)處的O點(diǎn)，外界給系統(tǒng)一定能量后，桿和球在豎直平面內(nèi)轉(zhuǎn)動(dòng)，球B運(yùn)動(dòng)到最高點(diǎn)時(shí)，桿對(duì)球B恰好無(wú)作用力。忽略空氣阻力，重力加速度為g，則球B在最高點(diǎn)時(shí)()A.球B的速度為零B.球A的速度大小為2C.水平轉(zhuǎn)軸對(duì)桿的作用力為1.5mgD.水平轉(zhuǎn)軸對(duì)桿的作用力為2.5mg答案C解析球B運(yùn)動(dòng)到最高點(diǎn)時(shí)，桿對(duì)球B恰好無(wú)作用力，即僅重力提供向心力，則有mg＝mvB22L，解得vB＝2gL，故A錯(cuò)誤;由于A、B兩球的角速度相等，則球A的速度大小vA＝122gL，故B錯(cuò)誤;B球在最高點(diǎn)時(shí)，對(duì)桿無(wú)彈力，此時(shí)A球受到的重力和桿的彈力的合力提供向心力，有F－mg＝mvA2L，解得F＝1.5mg，由牛頓第三定律可知桿受到A球的彈力大小為1.5對(duì)點(diǎn)練3傾斜面上圓周運(yùn)動(dòng)的臨界問(wèn)題7.如圖所示，一傾斜的勻質(zhì)圓盤(pán)繞垂直于盤(pán)面的固定對(duì)稱軸以恒定的角速度ω轉(zhuǎn)動(dòng)，盤(pán)面與水平面的夾角為37°，盤(pán)面上離轉(zhuǎn)軸距離1.0m處有一小物體與圓盤(pán)始終保持相對(duì)靜止，小物體的質(zhì)量為1.0kg，小物體與盤(pán)面間的動(dòng)摩擦因數(shù)為0.8(設(shè)最大靜摩擦力等于滑動(dòng)摩擦力)。則當(dāng)ω達(dá)到最大值時(shí)，小物體運(yùn)動(dòng)到最高點(diǎn)時(shí)所受摩擦力的大小為(g取10m/s2，sin37°＝0.6，cos37°＝0.8)()A.5.6N B.6.0N C.6.4N D.8.0N答案A解析經(jīng)分析，當(dāng)小物體運(yùn)動(dòng)到最低點(diǎn)時(shí)，摩擦力達(dá)到最大值，角速度達(dá)到最大值，根據(jù)牛頓第二定律得μmgcos37°－mgsin37°＝mωm2r，在最高點(diǎn)，根據(jù)牛頓第二定律得Ff＋mgsin37°＝mωm2r，聯(lián)立以上兩式并代入數(shù)據(jù)得Ff＝－5.6N，負(fù)號(hào)表示摩擦力的方向沿盤(pán)面向上，大小為5.68.如圖