21.2.1《配方法》

分層練習(xí)

基礎(chǔ)練

考查題型一利用直接開(kāi)平方法解方程

1.（2023春?重慶長(zhǎng)壽?九年級(jí)重慶市長(zhǎng)壽中學(xué)校?？计谥校┙夥匠蹋?/p>

4（2x-l）2=36

【答案】x=2或尸-1

【分析】利用直接開(kāi)平方法解一元二次方程即可.

【詳解】解：4（2X-1）2=36

0（2^-1）2=9,

02x—1=+y（9,即2x-1=±3,

02x—1=3,2,x—1=—3,

Elx=2或尤=-1.

【點(diǎn)睛】本題考查解一元二次方程，熟練掌握解一元二次方程的方法是解題的關(guān)鍵.

2.（2023?廣東廣州?統(tǒng)考一模）解方程（x-2）2=4.

【答案】西=4,x2=0.

【分析】直接開(kāi)平方求解即可得到答案；

【詳解】解：兩邊開(kāi)平方可得，

x-2-±2,

即x=±2+2,

0X,=2+2=4,x2=—2+2=0,

團(tuán)方程的解為：%=4,x2=0；

【點(diǎn)睛】本題考查直接開(kāi)平方法解一元二次方程，解題的關(guān)鍵是熟練掌握一元二次方程的解法及選擇適當(dāng)

的解法求解.

3.解方程：2.r-l=7.

【答案】x=±2

【分析】將方程整理為V=4,再利用直接開(kāi)平方法求出方程的解.

【詳解】解：回2--1=7,

Sx2=4,

0x=±2.

【點(diǎn)睛】本題考查一元二次方程的解法，掌握直接開(kāi)平方法是本題的關(guān)鍵.

4.解關(guān)于x的方程：16X2-49=0

77

【答案】占二,X2=-4

44

【分析】先移項(xiàng)，把-49移到等號(hào)的右邊，再兩邊同時(shí)除以16,最后兩邊直接開(kāi)平方即可得出答案.

【詳解】解：16X2-49=0

移項(xiàng),得16/=49

49

兩邊同時(shí)除以16,得

16

7

兩邊直接開(kāi)平方，得苫=土；

4

77

二方程16/-49=0的解為：％=］，x2=---

【點(diǎn)睛】本題考查了直接開(kāi)平方法解一元二次方程，解這類(lèi)方程時(shí)要移項(xiàng)，把所含未知數(shù)的項(xiàng)移到等號(hào)的

左邊，把常數(shù)項(xiàng)移到等號(hào)的右邊，化成的形式，利用數(shù)的開(kāi)方直接求解.

5.解方程(尤-1)~=64.

【答案］玉=9,%2=-7

【分析】直接利用開(kāi)平方法即可求出答案.

【詳解】解：尤一1=±8,

x—1=8或x—1-—8,

解得：*=9或%=-7.

【點(diǎn)睛】本題考查了直接開(kāi)平方法解一元二次方程，能夠根據(jù)方程特點(diǎn)選擇不同的解法是解題關(guān)鍵.

6.(2023?安徽合肥?統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè))解方程：2(X-1)2-18=0.

【答案】玉=4,X2=-2.

【分析】利用直接開(kāi)平方法求解即可.

【詳解】解：2(X-1)2-18=0,

(1)2=9,

/.x—1=±3,

..玉—4,X］——2.

【點(diǎn)睛】本題主要考查解一元二次方程的能力，熟練掌握解一元二次方程的幾種常用方法：直接開(kāi)平方法、

因式分解法、公式法、配方法，結(jié)合方程的特點(diǎn)選擇合適、簡(jiǎn)便的方法是解題的關(guān)鍵.

考查題型二利用配方法解方程

1.（2023,江蘇徐州?校考二模）解方程：x2—4.x+1=0;

【答案】號(hào)=2+逐，馬=2-6；

【分析】利用配方法解一元二次方程即可得；

【詳解】解：x2-4x+l=0,

移項(xiàng)得/-4x=-l,

酉己方得V一4工+4=—1+4,即（x-2>=3,

解得x-2=±百，

貝曦=2±括，

即占=2+A/^,X2=2--\/3；

【點(diǎn)睛】本題考查了解一元二次方程，熟練掌握方程的解法是解題關(guān)鍵.

2.（2022秋?吉林長(zhǎng)春?九年級(jí)?？茧A段練習(xí)）解方程：/一8尤_1=。

【答案】外=4+折，0=4-而

【分析】運(yùn)用配方法進(jìn)行計(jì)算即可.

【詳解】X2-8X-1=0

%2—8x=1

x2-8x+16=l+16

（X-4）2=17

x-4=±V17

%=4+J171x,=4-A/17

【點(diǎn)睛】本題主要考查了解一元二次方程，熟練掌握解一元二次方程的解法是解答本題關(guān)鍵.

3.（2023?江蘇徐州?統(tǒng)考一模）解方程：f一8X+4=0

【答案】占=4+2石，/=4-2"（2）3<x<4

【分析】利用配方法求解即可；

【詳解】解：犬一8工+4=0

配方得：（x-4y=12；

開(kāi)方得：X-4=±2A/3

%=4+2-\/3,x2=4—2-\/3；

【點(diǎn)睛】本題考查了解一元二次方程，能正確配方是解題的關(guān)鍵.

4.用配方法解3尤2-2x-1=0.

【答案】占=一；，々=1

【分析】利用配方法解一元二次方程即可.

【詳解】解：3x2-2x-1=0,

移項(xiàng)得3%2一2%=1,

71

二次項(xiàng)系數(shù)化成=

配方得m+2即IT=?

1,2

—=+—,

33

解得，石二一§'兀2=1.

【點(diǎn)睛】本題考查了配方法解一元二次方程.配方法的一般步驟：(1)把常數(shù)項(xiàng)移到等號(hào)的右邊；(2)把

二次項(xiàng)的系數(shù)化為1;(3)等式兩邊同時(shí)加上一次項(xiàng)系數(shù)一半的平方.

5.解方程：

⑴2f+4%-l=0；

(2)2X(X-1)=2X-1.

【答案】⑴玉=一1+^x2=-1-^-

22

(2)^=1+—,x2=1--—

【分析】(1)利用配方法解一元二次方程即可得；

(2)先去括號(hào)，再利用配方法解一元二次方程即可得.

【詳解】(1)解：2Y+4x—1=0,

2x2+4x=1,

%2+2x=—,

2

i93

X2+2X+1=-+1,BP(x+l)

x+l=±，

2

14-迷

X=-1±--,

2

所以方程的解為王=-l+'x?=—1—，

(2)解：2x(x—1)=2x—1,

2X2—2%—2x-1f

212—4%——19

x2—2x=——,

2

191

X2-2X+1=--+1,gp（x-l）=-,

I+后

x—1=±----，

2

1+夜

x=1±——，

2

所以方程的解為國(guó)=1+手，%=1-日.

【點(diǎn)睛】本題考查了解一元二次方程，熟練掌握一元二次方程的常用方法（直接開(kāi)平方法、配方法、公式

法、因式分解法、換元法等）是解題關(guān)鍵.

6.（2023?遼寧大連?統(tǒng)考一模）解方程：M尤-6）=6.

【答案】AJ=3+A/15,^=3-715

【分析】根據(jù)單項(xiàng)式乘多項(xiàng)式的運(yùn)算法則把原方程變形，利用配方法解出方程.

【詳解】解：原方程變形為：d-6x=6,

Six?-6元+9=15,即（x-3f=15,

x—3=,

=3+Jl5,%=3-J15.

【點(diǎn)睛】本題考查的是一元二次方程的解法，掌握配方法解一元二次方程的一般步驟是解題的關(guān)鍵.

考查題型三配方法的應(yīng)用

1.（2022秋?河南許昌?九年級(jí)?？茧A段練習(xí)）閱讀下面的材料并解答后面的問(wèn)題：

小力：能求出f+4無(wú)+3的最小值嗎？如果能，其最小值是多少？

小強(qiáng)：能，求解過(guò)程如下：

因?yàn)閤2+4x+3

=x2+4x+4-4+3

=（X+2）2-1,

而（尤+2）—1>—1,

所以/+4刀+3的最小值是-i.

問(wèn)題：你能否求出Y一8尤+5的最小值？如果能，請(qǐng)仿照上例寫(xiě)出你的求解過(guò)程.

【答案】一一8尤+5的最小值為T(mén)1,過(guò)程見(jiàn)解析

【分析】仿照題意利用配方法求解即可

【詳解】解：龍2-8X+5

=X2-8X+16-16+5

=（X-4）2-11,

0（X-4）2>O,

0（X-4）2-11>-11,

Elf-8x+5的最小值為-11.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了配方法的應(yīng)用，正確理解題意是解題的關(guān)鍵.

2.（2022秋?河南開(kāi)封?九年級(jí)校考階段練習(xí)）用配方法求解下列問(wèn)題.

⑴求代數(shù)式尤2一2尤-1的最小值.

⑵求代數(shù)式-V-6y+2的最大值.

【答案】⑴-2

（2）11

【分析】（1）利用配方法進(jìn)行求解即可；

（2）利用配方法進(jìn)行求解即可.

【詳解】（1）解:原式=d-2x+l-1-1

=（尤-1）—2；

0（^-1）2>0,

0(X-1)2-2>-2,

團(tuán)代數(shù)式X2-2X-1的最小值為-2；

(2)解：原式=—廣一6y—9+2+9

=-(y+3)2+ll；

0(y+3)2>O,

0-(y+3)2<O

0-(^+3)2+ll<ll,

團(tuán)代數(shù)式-V-6y+2的最大值為11.

【點(diǎn)睛】本題考查配方法的應(yīng)用.熟練掌握配方法，是解題的關(guān)鍵.

3.(2022春?廣東深圳?八年級(jí)?？茧A段練習(xí))配方法是數(shù)學(xué)中一種重要的恒等變形的方法，它的應(yīng)用十分

非常廣泛，在因式分解、化簡(jiǎn)根式、解方程、證明等式和不等式、求函數(shù)的極值和解析式等方面都經(jīng)常用

到它.下面我們就求函數(shù)的極值，介紹一下配方法.

例：已知代數(shù)式/+6°+2，當(dāng)a=時(shí)，它有最小值，是

解：a2+6a+2=a2+6a+9-9+2=(a+3)2-9+2=(a+3)2-7

因?yàn)?a+3)&0,所以.+3)2-72-7.

所以當(dāng)。=-3時(shí)，它有最小值，是-7.

參考例題，試求：

⑴填空：當(dāng)。=時(shí)，代數(shù)式(a-3/+5有最小值，是

⑵已知代數(shù)式/+8.+2，當(dāng)。為何值時(shí)，它有最小值，是多少？

【答案】(1)3,5

⑵當(dāng)。為T(mén)時(shí)，J+8a+2有最小值，是-14

【分析】(1)根據(jù)平方的非負(fù)性，可知當(dāng)“=3時(shí)，(4-3)2取最小值0,所以當(dāng)〃=3時(shí)，(°-3)2+5有最小

值，易求此值；

(2)先運(yùn)用配方法變形片+84+2=(4+4)2—14,得出(“+4)2-14最小時(shí)，gp(a+4)2=0,然后得出答案.

【詳解】⑴解:(a-3)220,

.1(a—3)+525,

團(tuán)當(dāng)。=3時(shí)，它有最小值，是5.

故答案為：3,5；

(2)解：a2+8a+2=a2+80+16-16+2=(a+4)2-14,

回當(dāng)a+4=0,即a=7■時(shí)，(a+4)2-14最小，

團(tuán)當(dāng)。為T(mén)時(shí)，/+8.+2有最小值，是-14.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了非負(fù)數(shù)的性質(zhì)和配方法的應(yīng)用，注意任意數(shù)的偶次方的最小值是0,(2)中運(yùn)用

配方法將/+8a+2變形為(“+4)2-14是解題關(guān)鍵.

4.(2023?廣東韶關(guān)?八年級(jí)?？计谀?閱讀下面的解答過(guò)程：

求V+4y+8的最小值

解：y2+4y+8

=y2+4y+4+4

=(y+2?+4

=(y+2)2>0,即(y+2y的最小值為0,

.,.(y+2)2+4的最小值為4.

即y?+4y+8的最小值是4.

根據(jù)上面的解答過(guò)程，回答下列問(wèn)題：

(1)式子f+2x+2有最______值(填"大"或"小")，此最值為(填具體數(shù)值).

(2)求gf+x的最小值.

⑶求+2x+4的最大值.

【答案】⑴小，1

⑵-；

(3)5

【分析】(1)原式配方后，利用非負(fù)數(shù)的性質(zhì)確定出最小值即可；

(2)原式配方后，利用非負(fù)數(shù)的性質(zhì)確定出最小值即可；

(3)原式變形后，利用完全平方公式配方，再利用非負(fù)數(shù)的性質(zhì)確定出最大值即可.

【詳解】⑴式子/+2*+2=(》+1)2+1,有最小值，此最值為1；

故答案為：小，1;

⑵原式=((%2+2%+1)-3=；(%+1)2一3,

當(dāng)x+l=O,即％=-1時(shí)，原式有最小值，最小值為一;；

(3)原式=-(廠(chǎng)-2x+1)+5=-(x-1)+5,

當(dāng)x-l=O,即x=l時(shí)，原式有最大值，最大值為5.

【點(diǎn)睛】本題考查了配方法的應(yīng)用，熟練掌握完全平方式是解題的關(guān)鍵.

5.(2022秋?遼寧沈陽(yáng)?九年級(jí)沈陽(yáng)市第四十三中學(xué)?？计谥?我們已經(jīng)學(xué)習(xí)了利用配方法解一元二次方程,

其實(shí)配方法還有其他重要應(yīng)用.

例如：求代數(shù)式f+4x+5的最小值.解答過(guò)程如下：

解：/+4x+5=(尤?+4x+4)+l=(x+2)~+1

EI(x+2)2>0

0(X+2)2+1>1

回當(dāng)x=-2時(shí)，尤？+4x+5有最小值，是1

(1)仿照上述方法，求代數(shù)式無(wú)2-6X+12的最小值；

(2)*+8%-1有最(直接填"大域"小")值，是(直接填空).

【答案】⑴3

(2)大；15

【分析】(1)利用配方法把原式變形，根據(jù)偶次方的非負(fù)性解答即可；

(2)利用配方法把原式變形，根據(jù)偶次方的非負(fù)性解答即可；

【詳解】(1)%2—6%+12,

=(x?-6x+9)+3,

=(x-3y+3,

團(tuán)(尤一3)2NO,

團(tuán)(x—3)2+3N3,

團(tuán)當(dāng)x=3時(shí)，代數(shù)式工2-6了+12的最小值是3.

(2)—%?+8x—1,

=(-X2-8X+16)+15,

=-(X-4)2+15,

0(X-4)2>O,

0-(x-4)2<0,

0-(X-4)2+15<15,

團(tuán)當(dāng)x=4時(shí)，代數(shù)式一尤2+8尤一1的最小值是15.

故答案為：大，15.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了配方法，非負(fù)數(shù)的性質(zhì)，掌握配方法的一般步驟和偶次方的非負(fù)性是解題的關(guān)鍵.

6.(2022秋?廣西柳州?九年級(jí)統(tǒng)考期中)閱讀材料

數(shù)學(xué)課上，韋老師在求代數(shù)式尤2一?+5的最小值時(shí)，利用公式/±2而彳/=(?！?2,對(duì)式子作如下變形回

x2—4x+5=x2—4x+4+l=(x—2)+1,

團(tuán)(無(wú)一2)2>0,

國(guó)(X-2)2+1?1當(dāng)x=2時(shí)，(無(wú)一2y+l=l,

回當(dāng)x=2時(shí)，(尤-2)2+1有最小值1,即￡-4尤+5的最小值為1.通過(guò)閱讀，解決下列問(wèn)題國(guó)

(1)當(dāng)了=時(shí)，代數(shù)式2(x-5)2+4有最小值為

(2)代數(shù)式尤2+2x+1的最小值為

⑶當(dāng)x取何值時(shí)，代數(shù)式-尤2+6x+3的有最大或最小值，并求出最大或最小值.

【答案】⑴5,4

(2)0

⑶當(dāng)x=3時(shí)，-d+6元+3有最大值，最大值是12

【分析】(1)由2(X-5)L0可得2(x-5y+424,從而判斷它在x=5時(shí)取最小值；

(2)配方可得(x+l)2,根據(jù)(X+l)2..O,即可得出結(jié)論；

(3)提取-1,然后配方得-(x-3)2+12,根據(jù)十一3)10可得結(jié)論.

【詳解】([)解：(1)■,2(x-l)2..O,

.,.2(x-5)2+4>4,

當(dāng)x=5時(shí)，取到等號(hào),

.,.當(dāng)x=5時(shí)，2。-I)，+4有最小值，最小值為：4；

故答案為5,4；

(2)解：X2+2X+1=(X+1)2,

當(dāng)x=-l時(shí)，f+2x+l有最小值，最小值為：0;

故答案為0；

(3)解：—X2+6x+3

=-(x2-6x+9)+9+3

=-(丈-3)2+12,

—(x—3)~?0,

3)2+12,12,

當(dāng)x=3時(shí)，取到等號(hào)，

.?.當(dāng)x=3時(shí)，-尤2+6犬+3有最大值，最大值為12.

【點(diǎn)睛】此題考查了配方法的應(yīng)用，以及非負(fù)數(shù)的性質(zhì)，熟練掌握完全平方公式是解本題的關(guān)鍵.

提升練

1.綜合題

閱讀下列材料：

配方法是初中數(shù)學(xué)中經(jīng)常用到的一個(gè)重要方法，學(xué)好配方法對(duì)我們學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)有很大的幫助，所謂配方就是

將某一個(gè)多項(xiàng)式變形為一個(gè)完全平方式，變形一定要是恒等的，例如解方程d-4x+4=0,則(x-2)2=0,

團(tuán)x=2尤2-2.x+j2+4y+5=0

求x、貝U有(尤2_2x+l)+(r+4y+4)=0,回。一I)?+(,+2)2=0.解得尤=1,y=-2./_2彳_3=0貝U

有f-2x+l-l-3=0,0(x-l)2=4.解得x=3或x=-l,根據(jù)以上材料解答下列各題：

⑴若o2+4a+4=0.求。的值.

(2)x2-4.r+y2+6y+13=0.求(x+yf?。"的值.

(3)若“2一2〃一8=0.求。的值.

(4)若a,b,。表示4ABe的三邊，Ka2+b2+c2-ac-ab-bc=0,試判斷ABC的形狀，并說(shuō)明理由.

【答案】(1)a=-2；(2)-1；(3)—ABC為等邊三角形.理由見(jiàn)解析

【分析】(1)運(yùn)用完全平方公式將4+4。+4=0變形為(a+2)2=0,即可求出a的值，(2)將

Y-4x+y2+6y+i3=()分成兩個(gè)完全平方式的形式，根據(jù)非負(fù)數(shù)的性質(zhì)求出x、y的值，再代入(苫-,廣?！?/p>

即可解答，(3)先把左邊配成完全平方式，右邊化為常數(shù)，即可求解，(4)先將已知等式利用配方法變形,

再利用非負(fù)數(shù)的性質(zhì)解題即可.

【詳解】(l)13a2+4a+4=0，

0(a+2)2=0,

團(tuán)a+2=0,

團(tuán)a=—2；

(2)Elx2-4x+y2+6y+13=0,

0(x-2)2+(y+3)2=O,

Elx=2,y=-3,

0(x+yr2011=(2-3f2011=-l；

(3)移項(xiàng)得，a2-2a=8,

兩邊同時(shí)加上1得，a2-2a+l=8+b

配方得，(a-1)2=9,

a一1=±3,

解得a=-2,a=4；

(4)一ABC為等邊三角形.理由如下：

0a2+b2+c2-ac-ab—be=0>

團(tuán)2a2+2b2+2c2—2ac—2ab—2bc=0,

即a2+b2—2ab+b2+c2—2bc+a2+c2—2ac=0,

0(a-b)2+(b-c)2+(c-a)2=O,

團(tuán)a—b=0,b—c=0,c—a=0,

團(tuán)a=b=c,

團(tuán)ABC為等邊三角形.

【點(diǎn)睛】本題考查解一元二次方程，熟練掌握配方法及利用非負(fù)數(shù)的性質(zhì)及一元二次方程是解題關(guān)鍵.

2.(2022秋?四川南充?九年級(jí)四川省營(yíng)山中學(xué)校?？茧A段練習(xí))閱讀材料:若病一2機(jī)〃+2/—8〃+16=0,

求m、n的值.

解：m2—2mn+2n2—8n+16=0,

/.(m2-2mn+n2)+(n2-8n+16)=0

/.(m—ri)2+(n—4)2=0,

:.m-n=0,n—4=0,

:.n=4,m=4.

根據(jù)你的觀(guān)察，探究下面的問(wèn)題：

(1)已矢口Y+2孫+2丁+2>+1=0,求x—y的值.

(2)已知I3ABC的三邊長(zhǎng)a、b、c都是正整數(shù)，且滿(mǎn)足片+〃一6?！?6+25=0,求邊c的最大值.

(3)若已知a-b=4,。6+02-6c+13=0,求a-Z?+c的值.

【答案】(1)2(2)6(3)7

【分析】(1)將多項(xiàng)式第三項(xiàng)分項(xiàng)后，結(jié)合并利用完全平方公式化簡(jiǎn)，根據(jù)兩個(gè)非負(fù)數(shù)之和為0,兩非負(fù)

數(shù)分別為。求出x與y的值，即可求出x-y的值；

(2)將已知等式25分為9+16,重新結(jié)合后，利用完全平方公式化簡(jiǎn)，根據(jù)兩個(gè)非負(fù)數(shù)之和為0,兩非負(fù)

數(shù)分別為0求出a與b的值，根據(jù)邊長(zhǎng)為正整數(shù)且三角形三邊關(guān)系即可求出c的長(zhǎng)；

(3)由a-b=4,得到a=b+4,代入已知的等式中重新結(jié)合后，利用完全平方公式化簡(jiǎn)，根據(jù)兩個(gè)非負(fù)數(shù)

之和為0,兩非負(fù)數(shù)分別為。求出b與c的值，進(jìn)而求出a的值，即可求出a-b+c的值.

【詳解】(1)0x2+2xy+2y2+2y+l=O

0(x2+2xy+y2)+(y2+2y+l)=0

0(x+y)2+(y+1)2=0

0x+y=Oy+l=O

解得：x=l,y=-1

0x-y=2；

(2)Ea2+b2-6a-8b+25=0

0(a2-6a+9)+(b2-8b+16)=0

0(a-3)2+(b-4)2=0

Ela-3=0,b-4=0

解得：a=3,b=4

回三角形兩邊之和〉第三邊

0c<a+b,c<3+4,0c<7.又Ele是正整數(shù)，EBABC的最大邊c的值為4,5,6,13c的最大值為6；

(3)Ea-b=4,即a=b+4,代入得：(b+4)b+c2-6c+13=0,整理得：(b2+4b+4)+(c2-6c+9)=(b+2)

2+(c-3)2=0,回b+2=0,且c-3=0,即b=-2,c=3,a=2,貝!]a-b+c=2-(-2)+3=7.

故答案為7.

【點(diǎn)睛】本題考查了因式分解的應(yīng)用，以及非負(fù)數(shù)的性質(zhì)，熟練掌握完全平方公式是解答本題的關(guān)鍵.

3.閱讀材料：把形如ax2+bx+c的二次三項(xiàng)式或(其一部分)配成完全平方式的方法叫做配方法，配方法的基

本形式是完全平方公式的逆寫(xiě)，即a2+2ab+b2=(a+b)2配方法在代數(shù)式求值，解方程，最值問(wèn)題等都有著廣

泛應(yīng)用.

例如：

①我們可以將代數(shù)式a2+6a+1