21全等三角形倍長(zhǎng)中線(xiàn)法

一、單選題

1.如圖，在等腰直角三角形43c中，ZC=90°,AC=8,b為A3邊的中點(diǎn)，點(diǎn)〃￡分別在AC,3c邊上

運(yùn)動(dòng)，且保持AD=CE,連接DE,DF,EF.在此運(yùn)動(dòng)變化的過(guò)程中，下列結(jié)論：①Q(mào)EF是等腰直角三角

形；②四邊形CDFE的面積保持不變；③AD+BE>DE.其中正確的是（）

A.①②③B.①C.②D.①②

2.在一ABC中，AC=5,中線(xiàn)A￡>=7,則AB邊的取值范圍（）

A.2<AB<12B.4<AB<12C.9<AB<19D.10<AB<19

3.如圖，DE是AABC的中位線(xiàn)，F(xiàn)是DE的中點(diǎn)，CF的延長(zhǎng)線(xiàn)交AB于點(diǎn)G,若4CEF的面積為12cm則S

△DGF的值為（）

4.如圖，在AABC中，AB=6,AC=10,BC邊上的中線(xiàn)AD=4,則△ABC的面積為（）

C.20D.48

5.如圖，在平行四邊形ABCD中，CD=2AD=8,E為AD上一點(diǎn)，尸為。C的中點(diǎn)，則下列結(jié)論中正確

的是（）

D

E.

A.BF=4B.ZABC>2ZABFC.ED+BC=EBD.S四邊形DEBC=2S\EFB

6.如圖，在AABC中，AB>AC,AD是中線(xiàn)，AE是角平分線(xiàn)，點(diǎn)廠(chǎng)是AE上任意一點(diǎn)（不與A,E重

合），連接防、CF.給出以下結(jié)論：@41=11；②NDAE=2（NAC8—NABC）；③

ACEC2

1(AB-AC)<AD<1(AB+AC)；?AB+CF>AC+BF.其中一定正確的有(

)

7.如圖，在，ABC中，。為BC的中點(diǎn)，若AC=3,AO=4.則A3的長(zhǎng)不可熊是（)

8.如圖，在中，AB=4,4C=2,點(diǎn)，為6c的中點(diǎn)，則4?的長(zhǎng)可能是（

A.1B.2C.3D.4

9.如圖，ABC中，AB>AC,是中線(xiàn)，有下面四個(gè)結(jié)論：

①△ABD與aACD的面積相等；

@AD<^（AB+AC）；

③若點(diǎn)尸是線(xiàn)段AD上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)P不與點(diǎn)A,。重合），連接尸3,PC,貝!]尸的面積比△ACP的

面積大；

④點(diǎn)P,。是A,。所在直線(xiàn)上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)P與點(diǎn)。不重合），若DP=DQ,連接PB,QC,^PB//QC.

所有正確結(jié)論的序號(hào)是（）

C.②③D.①③④

10.在一.ABC尸中，BC=2AB,于點(diǎn)。，點(diǎn)E為AF的中點(diǎn)，若NADE=5O。，則的度數(shù)是

A.50°B.60°C.70°D.80°

二、填空題

11.如圖，在中，點(diǎn)，是正的中點(diǎn)，若46=5,AC=13,AD=6,則）7的長(zhǎng)為

12.如圖，在/1BC中，AD為8C邊的中線(xiàn),￡為AD上一點(diǎn)，連接8E并延長(zhǎng)交AC于點(diǎn)式，若/4￡F=NE4E,

BE=4,EF=1.6,則CP的長(zhǎng)為.

13.如圖，在平行四邊形ABC。，點(diǎn)歹是BC上的一點(diǎn)，連接”，AE平分NE4D,交CO于中點(diǎn)E,連

接石尸，若NEW=60°,AD=5,CF=3,則EF=

AD

E

BFC

14.在△/回中，26=47,點(diǎn)。是內(nèi)一點(diǎn)，點(diǎn)￡是切的中點(diǎn)，連接力反作及反若點(diǎn)尸在劭的

垂直平分線(xiàn)上，/BAC=a,則N〃2=________.（用a含的式子表示）

尸

15.如圖，已知加是△加C的中線(xiàn)，￡是/C上的一點(diǎn),BE交AD千F,AC=BF,/物C=24°,ZE?C=32°,

則乙4%=________.

B』-------D---------。

16.如圖，..ABC中，AB=13,AD=6,AC=5,。為8C邊的中點(diǎn)，則5謝=______.

17.如圖，AB=AE,AB±AE,AD=AC,ADLAC,點(diǎn)〃為8C的中點(diǎn)，AM=3,DE=_____

X

BuC

18.如圖，ABC中，點(diǎn)，在AC上，AD^3,AB+AC==1。，點(diǎn)￡是8。的中點(diǎn)，連接

CE,ZACB=ZABC+2NBCE,則CD=____________.

A

BC

三、解答題

19.如圖，加是△48C的中線(xiàn)，點(diǎn)￡在加上，且BE=AC,求證：ZBED=ZCAD.

A

20.如圖，在11ABe中，AC=5,AB=3,邊8C上的中線(xiàn)AD=2,求8C的長(zhǎng).

A

21.如圖，AD是,ABC的中線(xiàn)，BE交AC于E,交AD于凡且AE=EF,求證:AC^BF.

BD

22.如圖，是二ABC的中線(xiàn)，點(diǎn)￡在6c的延長(zhǎng)線(xiàn)上，CE=AB,ZBAC=ZBCA,試說(shuō)明：AE=2AD.

23.已知：如圖，在△/笈中，，是6c中點(diǎn)，￡是46上一點(diǎn)，尸是/，上一點(diǎn).若/EDF=90°,且畫(huà)+

F(f=EF,求證：/掰C=90°.

24.如圖，在ABC中，AB=AC,BE是AC的中線(xiàn)，點(diǎn)〃在AC的延長(zhǎng)線(xiàn)上，連接8D,BC平分NEBD.

(1)求證：ZABE=ND；

(2)求證：BD=2BE.

25.如圖，在AABC中，。是8C上一點(diǎn)，連接AD,已知CD=AS,NBAD=NBDA,AE是AABD的中

線(xiàn).求證：AC=2AE.（提示：延長(zhǎng)AE至尸，使EF=AE,連接。尸）

26.如圖，AD為..ABC的中線(xiàn)，/在AC上，BF交AD于E,^.BE=AC.求證：AF=EF.

27.如圖，AD為"C中8C邊上的中線(xiàn)(A3>AC).

(1)求證：AB-AC<2AD<AB+AC；

(2)若AB=8cm,AC=5cm,求AD的取值范圍.

BD

28.⑴基礎(chǔ)應(yīng)用：如圖1,在a'中，46=5,AC=7,四是正邊上的中線(xiàn)，延長(zhǎng)獨(dú)到點(diǎn)￡使龍=必

連接區(qū)把陰陽(yáng)2助利用旋轉(zhuǎn)全等的方式集中在△力〃中，利用三角形三邊關(guān)系可得皿的取值范圍

是

(2)推廣應(yīng)用：應(yīng)用旋轉(zhuǎn)全等的方式解決問(wèn)題如圖2,在中，是8c邊上的中線(xiàn)，點(diǎn)￡,廠(chǎng)分別在

AB,47上，&DE1DF,求證：BE+CF>EF-,

(3)綜合應(yīng)用：如圖3,在四邊形力及力中，AB=AD,/8+/4力=180°且NEAF=g/8A。,試問(wèn)線(xiàn)段躍

BE、也具有怎樣的數(shù)量關(guān)系，并證明.

圖2

29.(1)方法呈現(xiàn)：

如圖①：在ABC中，若AB=6,AC=4,點(diǎn)，為6c邊的中點(diǎn)，求a'邊上的中線(xiàn)的取值范圍.

解決此問(wèn)題可以用如下方法：延長(zhǎng)42到點(diǎn)￡使。￡=4),再連接應(yīng)；可證從而把46、

AC,2AD集中在ABE中，利用三角形三邊的關(guān)系即可判斷中線(xiàn)加的取值范圍是,這種

解決問(wèn)題的方法我們稱(chēng)為倍長(zhǎng)中線(xiàn)法；

(2)探究應(yīng)用：

如圖②，在ABC中，點(diǎn)〃是8c的中點(diǎn)，DELDF于點(diǎn)、。，DE交AB于點(diǎn)、E,DF交AC于點(diǎn)、F,連接跖

判斷鹿+CF與砂的大小關(guān)系并證明；

(3)問(wèn)題拓展：

如圖③，在四邊形48切中，AB//CD,46與加的延長(zhǎng)線(xiàn)交于點(diǎn)?點(diǎn)￡是比7的中點(diǎn)，若〃是ZBA產(chǎn)的

角平分線(xiàn).試探究線(xiàn)段AF,爐之間的數(shù)量關(guān)系，并加以證明.

A

AA

30.(1)閱讀理解：如圖1,在△/以中，若A&=5,/C=8,求比'邊上的中線(xiàn)的取值范圍.小聰同學(xué)

是這樣思考的：延長(zhǎng)力。至反使龐=AD,連接能利用全等將邊/C轉(zhuǎn)化到期在△掰￡中利用三角形

三邊關(guān)系即可求出中線(xiàn)4?的取值范圍.在這個(gè)過(guò)程中小聰同學(xué)證三角形全等用到的判定方法是,

中線(xiàn)的取值范圍是；

(2)問(wèn)題解決：如圖2,在△板中，點(diǎn)，是宛的中點(diǎn)，點(diǎn)〃在邊上，點(diǎn)"在"7邊上，若DMLDN.求

證：BM'CN>MN；

(3)問(wèn)題拓展：如圖3,在△板中，點(diǎn)〃是8c的中點(diǎn)，分別以/C為直角邊向外作成△/陽(yáng)

和版△/③其中/掰4/陰。=90°,AB^AM,AC^AN,連接可探索四與腑的關(guān)系，并說(shuō)明理由.

B

D

31.(1)閱讀理解：

如圖①，在ABC中，若AB=8,AC=5,求BC邊上的中線(xiàn)AD的取值范圍.可以用如下方法：將△ACD

繞著點(diǎn)〃逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)180得到在ZXABE中，利用三角形三邊的關(guān)系即可判斷中線(xiàn)AO的取值范圍

是;

(2)問(wèn)題解決：

如圖②，在，ABC中，，是BC邊上的中點(diǎn)，DELDF于點(diǎn)、D,DE交AB于點(diǎn)E,DF交AC于點(diǎn)、F,連接EF,

求證：BE+CF>EF；

(3)問(wèn)題拓展：

如圖③，在四邊形ABCD中，Z5+ZD=180°,CB=CD,ZBCD=100°,以C為頂點(diǎn)作一個(gè)50。的角，角

的兩邊分別交AB、AD于￡、尸兩點(diǎn)，連接即探索線(xiàn)段BE