專題39解直角三角形（疊合式）子母型

一、單選題

1.如圖，胡同左右兩側(cè)是豎直的墻，一架3收米長的梯子理斜靠在右側(cè)墻壁上，測得梯子與地面的夾角

為45°,此時梯子頂端8恰巧與墻壁頂端重合.因梯子阻礙交通，故將梯子底端向右移動一段距離到達〃

處，此時測得梯子4?與地面的夾角為60°,則胡同左側(cè)的通道拓寬了（）

CDE

A.百米B.3米C.（3-0）米D.（3-君）米

2.如圖，為了測得電視塔的高度AB,在D處用高為1米的測角儀CD,測得電視塔頂端A的仰角為30。，

再向電視塔方向前進100米到達F處，又測得電視塔頂端A的仰角為60°,則這個電視塔的高度AB（單

位：米）為（）.

A.50A/3B.51C.50省+1D.101

3.如圖，小山崗的斜坡AC的坡角a=45°,在與山腳C距離200米的D處，測得山頂A的仰角為26.6°,

小山崗的高AB約為（）.（結(jié)果取整數(shù)，參考數(shù)據(jù)：sin26.6°=0.45,cos26.6°=0.89,tan26.6°=0.50）

D.1618m

4.一天，小戰(zhàn)和同學(xué)們一起到操場測量學(xué)校旗桿高度，他們首先在斜坡底部。地測得旗桿頂部"的仰角

為45°,然后上到斜坡頂部，點處再測得旗桿頂部/點仰角為37°（身高忽略不計）.已知斜坡切坡度

7=1：2.4,坡長為2.6米，旗桿46所在旗臺高度EF為1.4米，旗臺底部、臺階底部、操場在同一水平面

上.則請問旗桿自身高度融為（）米.

（參考數(shù)據(jù)：sin37°七0.6,cos37°弋0.8,tan37°-0.75）

J

A.10.2B.9.8C.11.2D.10.8

5.如圖，在A處測得點尸在北偏東60°方向上，在8處測得點尸在北偏東30°方向上，若AB=2米，則點尸

到直線A3距離PC為（）.

A.3米B.有米C.2米D.1米

二、填空題

6.如圖所示，為了測量出某學(xué)校教學(xué)大樓A3的高度，數(shù)學(xué)課外小組同學(xué)在C處，測得教學(xué)大樓頂端A處

的仰角為45°；隨后沿直線8C向前走了15米后到達。處，尸在。處測得A處的仰角為30°,已知測量

器高1米，則建筑物的高度約為米.（參考數(shù)據(jù)：0-1.414,73?1.732,結(jié)果按四舍五入保

留整數(shù)）

7.如圖，某高速公路建設(shè)中需要測量某條江的寬度AB,飛機上的測量人員在C處測得A、B兩點的俯角分

別為60°和45°.若飛機離地面的高度C0為900m,且點0,A,B在同一水平直線上，則這條江的寬度

AB為.（結(jié)果保留根號）

8.圭表是度量日影長度的一種天文儀器，由“圭”和“表兩個部件組成，垂直于地面的直桿叫表”，水平

放置于地面且刻有刻度以測量影長的標尺叫“圭”如圖是小彬根據(jù)學(xué)校所在地理位置設(shè)計的圭表示意圖，

其中冬至?xí)r正午陽光入射角/ABC%28.8。，夏至?xí)r正午陽光入射角ZADC?75.8°.已知“表"高AC=20。",

則“圭”上所刻冬至線與夏至線之間的距離約為.（精確到1。小參考數(shù)據(jù):

cos75.8°?0.2,tan75.8°~0.4,cos28.8°?0.9,tan28.8°~0.5）

冬至線夏至線

9.如圖，在一筆直的海岸線/上有相距46的兩個觀測站，3站在A站的正東方向上，從A站測得船

C在北偏東60。的方向上，從8站測得船C在北偏東30。的方向上,則船C到海岸線/的距離是km.

10.如圖，校園內(nèi)有一棵與地面垂直的樹，數(shù)學(xué)興趣小組兩次測量它在地面上的影子，第一次是陽光與地

面成60°角時，第二次是陽光與地面成30角時，己知兩次測量的影長相差8米,則樹高43為多少？—.（結(jié)

果保留根號）

A

11.如圖，為了測量某條河的寬度，先在河的一岸邊任選一點A,又在河的另一岸邊取兩個點B、C,測得

Za=30°,NB=45°,量得BC的長為200米，則河的寬度為.（結(jié)果保留根號）

三、解答題

12.某數(shù)學(xué)興趣小組學(xué)過銳角三角函數(shù)后，計劃測量中原福塔的總高度.如圖所示，在8處測得福塔主體

建筑頂點A的仰角為45°,福塔頂部桅桿天線4）高120m,再沿4方向前進20m到達￡處，測得桅桿天

線頂部。的仰角為53.4。.求中原福塔切的總度.（結(jié)果精確到1m.參考數(shù)據(jù):sin53.4°"0.803,cos53.4°

feO.596.tan53.4°=1.346)

D

BE

13.由于發(fā)生山體滑坡災(zāi)害，武警救援隊火速趕往災(zāi)區(qū)救援，探測出某建筑物廢下方點C處有生命跡象,

在廢墟一側(cè)地面上探測點A、B相距2米，探測線與該地面的夾角分別是30°和60°（如圖所示），試確

定生命所在點C的深度.（參考數(shù)據(jù)：拒心1.414,豆七1.732,結(jié)果精確到0.1）

14.某校九年級數(shù)學(xué)興趣小組的活動課題是“測量物體高度”.小組成員小明與小紅分別采用不同的方案

測量同一個底面為圓形的古塔高度，以下是他們研究報告的部分記錄內(nèi)容：

課題：測量古塔的高度

小明的研究報告小紅的研究報告

一

圖示

__甲卷_聿

ABD

用距離地面高度為1.6必的測角器

在點/用距離地面高度為1.60的測角器測出古

測量方案與測出古塔頂端的仰角為35°,再用皮尺測

塔頂端的仰角為17°,然后沿4)方向走58.8〃

測量數(shù)據(jù)得測角器所在位置與古塔底部邊緣的最短

到達點昆測出古塔頂端的仰角為45。.

距離為30/zz.

sin35°^0.57,cos35°七0.82,tan35°sinl7°-0.29,cosl7°-0.96,tanl7°憶

參考數(shù)據(jù)

心0.700.30,72^1.41

計算古塔高

度

30Xtan35°+1.6222.6（加

(結(jié)果精確

到0.Iffl)

(1)寫出小紅研究報告中“計算古塔高度”的解答過程；

(2)數(shù)學(xué)老師說小紅的結(jié)果較準確，而小明的結(jié)果與古塔的實際高度偏差較大.針對小明的測量方案分

析測量發(fā)生偏差的原因；

(3)利用小明與小紅的測量數(shù)據(jù)，估算該古塔底面圓直徑的長度為

15.如圖，在數(shù)學(xué)綜合實踐活動中，某小組想要測量某條河的寬度A2,小組成員在專業(yè)人員的協(xié)助下利

用無人機進行測量，在P處測得A,3兩點的俯角分別為45°和30°(即/CE4=45。，ZCPB=30°).若

無人機離地面的高度尸。為120米，且點Q,A,B在同一水平直線上，求這條河的寬度AB.(結(jié)果精確

到1米）.（參考數(shù)據(jù)：＞/2?1.414,V3?1.732）

16.如圖，學(xué)?？萍夹〗M計劃測量一處電信塔的高度,小明在A處用儀器測得到塔尖〃的仰角ZDAC=15°,

向塔正前方水平直行260nl到達點8,測得到塔尖的仰角/笳C=30°,若小明的眼睛離地面L6m,你能計

算出塔的高度龐嗎？寫出計算過程.

17.學(xué)完三角函數(shù)知識后，某校“數(shù)學(xué)社團”的小明和小華決定用自己學(xué)到的知識測量紀念塔的高度.如

圖，是高為1m的測角儀，在。處測得塔頂端A的仰角為40°,向塔方向前進40m在E處測得塔頂端A

的仰角為63.4°,求紀念塔AB的高度（結(jié)果取整數(shù)）.

參考數(shù)據(jù)：sin40?0.64,cos40°?0.77,tan40°?0.84,tan63.4°?2.00.

A

18.位于河南省登封市境內(nèi)的元代觀星臺，是中國現(xiàn)存最早的天文臺，也是世界文化遺產(chǎn)之一.

某校數(shù)學(xué)社團的同學(xué)們使用卷尺和自制的測角儀測量觀星臺的高度.如圖所示，他們在地面一條水平步

道上架設(shè)測角儀，先在點M處測得觀星臺最高點A的仰角為22。，然后沿方向前進16根到達點N處,

測得點A的仰角為45。.測角儀的高度為1.6加，

⑴求觀星臺最高點A距離地面的高度（結(jié)果精確到01”.參考數(shù)據(jù)：

sin22°x0.37,cos22。?0.93,Sw22°?0.40,應(yīng)?1.41）；

（2）“景點簡介”顯示，觀星臺的高度為126”，請計算本次測量結(jié)果的誤差，并提出一條減小誤差的合理

化建議.

19.如圖，某樓房A3頂部有一根天線BE,為了測量天線的高度，在地面上取同一條直線上的三點C,D,

A,在點C處測得天線頂端E的仰角為60°,從點C走到點D,測得8=5米，從點D測得天線底端8的仰

角為45°,已知A,B,E在同一條垂直于地面的直線上，AB=25米.

（1）求A與C之間的距離；

（2）求天線BE的高度.（參考數(shù)據(jù)：道。1.73,結(jié)果保留整數(shù)）

20.炎黃二帝巨型塑像位于河南省鄭州市西北部三十公里之處的黃河風(fēng)景名勝區(qū)向陽山（始祖山）上，炎

黃二帝巨塑背依邙山，面向黃河.數(shù)學(xué)活動小組的同學(xué)為測量像體的整體高度，在地面上選取兩點A和2,

且點A,8及其中像體在同一平面內(nèi)，像體底部N與點A,3在同一條直線上，同學(xué)們利用高1m的

測傾儀在A處測得像頂M的仰角為35。，在5處測得像頂M的仰角為45。，且AB=45m.根據(jù)測量小組提

供的數(shù)據(jù)，求該塑像的高度.（結(jié)果精確到1m,參考數(shù)據(jù)：sin35。a0.57,cos35°-0.82,tan35°~0.70.）

C「我。［金|

ABN

21.圖1是某種路燈的實物圖片，圖2是該路燈的平面示意圖，為立柱的一部分，燈臂AC,支架BC

與立柱分別交于48兩點，燈臂AC與支架交于點G已知NM4c=60。，ZACB=15°,AC=40cm,

求支架的長.（結(jié)果精確到1cm,參考數(shù)據(jù)：上=1.414,1.732,76?2.449）

圖2

22.如圖，一艘漁船以40海里/小時的速度由西向東追趕魚群，在A處測得小島C在漁船的北偏東60。方

向；半小時后，漁船到達8處，此時測得小島C在漁船的北偏東30。方向.已知以小島C為中心，周圍18

海里以內(nèi)為軍事演習(xí)著彈危險區(qū).如果這艘漁船繼續(xù)向東追趕魚群，是否有著彈危險？

北北

23.如圖，王剛想測量樓CD的高度，樓在圍墻內(nèi)，王剛只能在圍墻外測量，他無法測得觀測點到樓底的

距離，于是王剛在A處仰望樓頂，測得仰角為37°,再往樓的方向前進30米至B處，測得樓頂?shù)难鼋菫?/p>

53°（A,B,C三點在一條直線上），求樓CD的高度（353。。1.33,tan37°?0.75,結(jié)果精確到1米，王

剛的身高忽略不計）.

24.科技改變生活，5G時代將對我們的生活產(chǎn)生意想不到的改變.某數(shù)學(xué)興趣小組要測量5G信號塔的高

度，如圖，在起點M處用高1米（DM=1米）的測量儀測得信號塔A3的頂端8的仰角為30。，在同一剖面

沿水平地面向前走20米到達廠處，測得頂端8的仰角為63.4。，求信號塔AB的高度約為多少米？（精確到1

米.參考數(shù)據(jù)：sin63A0~0.89,cos63.4°~0.45,ta?63.4°?2.00,73?1.73）

25.如圖，在一次空中表演中，水平飛行的殲一一10飛機在點A發(fā)現(xiàn)航展觀禮臺。在俯角為21°方向上.

飛機繼續(xù)向前飛行了800米到達8點.此時測得點。在點B俯角為45°的方向上.請你計算當飛機飛到。點

的正上方點C時（點A、8、C在同一直線上），豎直高度CD約為多少米？（結(jié)果保留整數(shù)，參考數(shù)值:

sin21°?0.36,cos21°?0.93,tan21°?0.38）

26.如圖，一艘漁船沿南偏東42°方向航行，在A處測得一個小島P在其南偏東64°方向.又繼續(xù)航行

（40-166）海里到達B處，測得小島P位于漁船的南偏東72°方向，已知以小島P為圓心，半徑16后海

里的圓形海域內(nèi)有暗礁.如果漁船不改變航向有沒有觸礁的危險，請通過計算加以說明.如果有危險，漁

船自B處開始，沿南偏東多少度的方向航行，能夠安全通過這一海域？（參考數(shù)據(jù)：sin22°=士叵，

295

27.如圖是某工廠貨物傳送帶的平面示意圖.為提高傳送過程的安全性，工廠計劃改造傳送帶與地面的夾

角，使其由原來的43°減小為30°.已知原傳送帶47長為5米.

（1）求新傳送帶的長度（結(jié)果保留小數(shù)點后一位）;

(2)新舊貨物傳送帶著地點6、C之間相距多遠(結(jié)果保留小數(shù)點后一位)？

(參考數(shù)據(jù)：cos30°20.866,tan30°^0.577,sin43°^0.682,cos43°?=0.731,tan43°?=0.933.)

28.如圖，某輪船在海上向正東方向航行，在點A處測得小島。在北偏東60。方向，之后輪船繼續(xù)向正東

方向行駛1.5/7到達8處，這時小島0在船的北偏東30°方向36海里處.

(1)求輪船從A處到8處的航速.

(2)如果輪船按原速繼續(xù)向正東方向航行，再經(jīng)過多少時間輪船才恰好位于小島。的東南方向？

29.二七紀念塔位于鄭州市二七廣場，是獨特的仿古，它是為紀念京漢鐵路工人大罷工而修建的紀念性建

筑物.學(xué)完三角函數(shù)知識后，某校“數(shù)學(xué)社團”的劉明和王華決定用自己學(xué)到的知識測量二七紀念塔的高

度.如圖，CD是高為1米的測角儀，在D處測得塔頂端A的仰角為40。，向塔方向前進38米在E處測得

塔頂端A