熱點七材料閱讀問題——中考數(shù)學(xué)熱點考點訓(xùn)練

熱點趨勢解讀

材料閱讀問題一般先提供一個解題思路或介紹一種解題方法或展示一個數(shù)學(xué)結(jié)論的推導(dǎo)過程

等，要求學(xué)生理解其內(nèi)容、方法要點以及數(shù)學(xué)思想，再進行自主探索，解決相應(yīng)問題.

材料閱讀問題可在學(xué)生現(xiàn)有的知識水平和認知水平下，拓寬學(xué)生的視野，幫助學(xué)生加深對知識

點的理解.在近幾年的中考中，材料閱讀問題在試題中頻頻“亮相”，旨在考查學(xué)生的閱讀理

解能力及知識遷移能力.

1.閱讀下面材料，并完成相應(yīng)的任務(wù).

“速算”是指在特定情況下用特定的方法進行計算，它有很強的技巧性.觀察下列各式：

22x28=616；

35x35=1225；

47x43=2021；

51x59=3009；

我們發(fā)現(xiàn)，兩位數(shù)瓦與瓦相乘，當(dāng)b+c=10時，有如下速算規(guī)律：先將十位數(shù)字。與。+1相乘，得

到的結(jié)果作為積的前兩位數(shù)字；再將個位數(shù)字b和c相乘，得到的結(jié)果作為積的后兩位數(shù)字.如

果bxc結(jié)果是一位數(shù)，則在其前面補0.

(1)請根據(jù)上述規(guī)律計算：73x77=；86x84=.

⑵我們可以用所學(xué)的知識證明這個結(jié)論,這種在數(shù)與代數(shù)領(lǐng)域的推理或證明稱為代數(shù)推理.請

證明上述閱讀材料中的結(jié)論.

2.閱讀下列材料：我們知道,忖的幾何意義是在數(shù)軸上數(shù)x對應(yīng)的點與原點的距離，即兇=|%-0|,

也就是說,昌-9|表示在數(shù)軸上數(shù)W與數(shù)超對應(yīng)的點之間的距離.

例1：解方程國=2,因為在數(shù)軸上到原點的距離為2的點對應(yīng)的數(shù)為所以方程忖=2的解為

x=2或九=—2.

例2：解不等式|x-1|〉2,在數(shù)軸上找出卜-1|=2的解(如圖)，因為在數(shù)軸上到1對應(yīng)的點的距離

等于2的點對應(yīng)的數(shù)為-1或3,所以方程卜-1|=2的解為1=3或%=-1,因此不等式卜-1|>2的

解集為XV—1或％>3.

2^f<-2->|

-o—1—?—i—d—1—?—?—?—

-1012345678

參考閱讀材料，解答下列問題：

⑴方程,+3|=4的解為.

⑵解不等式：卜―3歸5.

(3)解不等式：|x—4|+|x+2］>8.

3.材料1：觀察方程6。-2)=8(%-2),假設(shè)y=x-2,則原方程可變形為6y=8y,通過先求y

的值，從而得x的值，這種解方程的方法叫做整體求解法.

材料2：解一元一次方程的一般步驟是去分母、去括號、移項、合并同類項、將未知數(shù)的系數(shù)

化為1,但像-A°?+7=*二這樣分子、分母均含有小數(shù)的方程，需要先將分母中的小

0.20.5

數(shù)化為整數(shù)再求解.比如：原方程可化為工<+7=上三，去分母，得3x-2+14=-6-4x,

21

移項、合并同類項，得7%=-18,將未知數(shù)的系數(shù)化為1,得》=-電.

7

材料3：在解含絕對值的方程|x+3|=2時，可應(yīng)用分類討論的方法：①當(dāng)x+320時，原方程

可化為x+3=2,解得x=—1；②當(dāng)x+3<0時，原方程可化為x+3=—2,解得％=—5.故原方

程的解是1=-1或尤=-5.

閱讀以上材料，解答下列問題.

［問題1］請用材料1的方法解方程：6(4%-3)+2(3-4%)=3(4%-3)+5.

［問題2］(1)在材料2中，某同學(xué)由絲士絲+7=士工變形至I1也2+7=土豈是禾I」

0.20.521

用了()

A.等式的基本性質(zhì)1B.等式的基本性質(zhì)2

C.分數(shù)的基本性質(zhì)D.去分母

(2)請用材料2的方法解方程：825一二=i.

0.020.03

319

［問題3］請用材料3的方法解方程：x+---x+-.

424

4.閱讀以下材料,蘇格蘭數(shù)學(xué)家納皮爾(/即加,1550-1617年)是對數(shù)的創(chuàng)始人，他發(fā)明對數(shù)是在指

數(shù)書寫方式之前，直到18世紀瑞士數(shù)學(xué)家歐拉(Ev/er.1707-1783年)才發(fā)現(xiàn)指數(shù)與對數(shù)之間的聯(lián)

系.

對數(shù)的定義：一般地.若a*=N(a>0且awl),那么x叫做以。為底N的對數(shù)，

記作x=log”N,比如指數(shù)式24=16可以轉(zhuǎn)化為對數(shù)式4=log216，對數(shù)式2=log39可以轉(zhuǎn)化為

指數(shù)式32=9.我們根據(jù)對數(shù)的定義可得到對數(shù)的一個性質(zhì)：

logfl(M-2V)=logflM+logflN(a>0,awl,M>0,N〉0),理由如下：

n

設(shè)log。M=m,logaN=〃，則M=d",N=a.

?N=a'"由對數(shù)的定義得加+〃=log”(M?N)

又：m+n-logaM+logaN

:Aoga(M-N)=logaM+logflN.

根據(jù)上述材料，結(jié)合你所學(xué)的知識，解答下列問題：

⑴填空：①log232=；②1(^27=，③1(^1=

(2)求證：k)goH=k)gaM-IogoN(a>0,awl,Af〉0,N>0)；

(3)拓展運用：計算log5125+log56-log530.

5.閱讀與思考

下面是小明同學(xué)的一篇數(shù)學(xué)讀書筆記，請仔細閱讀并完成相應(yīng)的任務(wù).

我在課外讀物《怎樣解題》中看到這樣一個問題：

如圖1,給定不在同一直線上的三個點A,民C,如何利用無刻度的直尺和圓規(guī)在點民C之間畫一

條過點A的直線，且點B和點C到這條直線的距離相等？

圖1圖2圖3

下面是我的解題步驟：

如圖2,第一步：以點3為圓心，以AC的長為半徑畫?。?/p>

第二步：以點C為圓心，以的長為半徑畫弧，兩弧交于點D；

第三步：作直線AD,則點5和點C到直線AZ）的距離相等.

下面是部分證明過程：

證明：如圖3.連接5。,。,過點3作郎，4。于點己過點。作3,4￡）于點￡連接5c交

AD于點0.

由作圖可知AB=CD,AC=

四邊形ABDC是平行四邊形.（依據(jù)1）

.?.30=CO.（依據(jù)2）

于是我得到了這樣的結(jié)論：只要確定線段5c的中點，由兩點確定一條直線即可確定問題中所

求直線.

任務(wù)：

⑴填空：材料中的“依據(jù)1”是指；“依據(jù)2”是指.

（2）請將小明的證明過程補充完整.

（3）尺規(guī)作圖：請在圖4中，用不同于材料中的方法，在點B和點C之間作直線40,使得點B和

點C到直線40的距離相等.（要求：保留作圖痕跡，標(biāo)明字母，不寫作法）

B

c

圖4

6.閱讀與思考

請閱讀以下材料并完成相應(yīng)的任務(wù).

偉大的古希臘數(shù)學(xué)家、哲學(xué)家、物理學(xué)家阿基米德提出了有關(guān)圓的一個引理.

這個引理的作圖步驟如下：

①如圖，已知AB,C是弦AB上一點，作線段AC的垂直平分線,分別交A3于

點D,AC于點E,連接AD,CD.

②以點。為圓心,04的長為半徑作弧，交A3于點F(F,A兩點不重合)，連接

DF,BD,BF.

引理的結(jié)論：BC=BF.

(1)任務(wù)一：用尺規(guī)完成材料中的作圖，保留作圖痕跡,并標(biāo)明字母.

⑵任務(wù)二：請你完成引理結(jié)論的證明過程.

證明：VAC±BD,ME±BC,

：.ZCBD+ZBCM=90°,ZCME+ZBCM=90°.

ZCBD=ZCME.

又???NCBD=/①,（同弧所對的圓周角相等）

ZCME=ZAMF,

：.ZCAD=ZAMF.

：.AF=@.

任務(wù)：

(1)材料中①處缺少的條件為，②處缺少的條件為,；

(2)根據(jù)材料，應(yīng)用婆羅摩笈多定理解決下面試題：

如圖，已知中,N￡L4C=90o,AB=AC=2,5C,AC分別交0。于點D,E,連接AD,BE

交于點P.過點P作肱V//BC,分別交OMA5于點MN.若ADLBE,求⑷V的長.

8.閱讀與思考

閱讀下列材料，并完成相應(yīng)任務(wù).

三角形內(nèi)角平分線性質(zhì)定理：三角形一個內(nèi)角平分線內(nèi)分對邊,所得的兩條線

段與這個角的兩邊對應(yīng)成比例.即：知圖1,在△ABC中，若AD是NBAC的平分

線，則■=

AC

三角形外角平分線的性質(zhì)定理：三角形一個外角平分線外分對邊，所得的兩條

線段與其內(nèi)角的兩邊成比例.即：如圖2,在△ABC中，若河是△ABC的外角

NG4E的平分線，則竺一空.

AAE

圖2

上述定理的證明方法有多種，我們均采用“面積法”來進行證明.

三角形內(nèi)角平分線性質(zhì)定理的證明

證明：如圖3,過點。作。GLAB,。/，AC,垂足分別為

?.?AD平分/84C,

：.DG=DH,

1

&ABDG,R

S^ABD_2_AB

S4ACD-ACDHAC

2

_BD

,△ACDDC

BDAB

DC-AC

三角形外角平分線性質(zhì)定理的證明

證明：如圖4,過點R作EK，AB,FN，AC,垂足分別為K,N.

?.?AF平分NKAC,

.-.FK=FN,

任務(wù):

(1)如圖5,在RtAlBC中，NACB=90。，CD是NACB的平分線.若AC=4,BC=3,則AT>=

c

圖5

⑵請將“三角形外角平分線的性質(zhì)定理”的證明過程補充完整.

⑶如圖6,在△ABC中，若是。的平分線,AR是△ABC的外角NC鉆的平分線,航是線

段。廠的中點，且=3,AC=2,5C=4，請直接寫出線段A"的長.

9.閱讀與思考：請仔細閱讀下列研究報告，并完成相應(yīng)的任務(wù).關(guān)于“雙心四邊形”的研究報告研

究對象：雙心四邊形研究思路：根據(jù)研究幾何圖形的一般路徑，按照“概念一性質(zhì)一判定”的路

徑展開研究.研究方法：觀察一猜想一推理證明一應(yīng)用拓展研究內(nèi)容：

【概念提出】我們知道，任意三角形都有外接圓和內(nèi)切圓.類似的，如果一個四邊形既有外接圓又

有內(nèi)切圓，我們稱這樣的四邊形為雙心四邊形.

【特例感知】我們研究過的平行四邊形、矩形、菱形、正方形中，一定是雙心四邊形的是

;（填特殊四邊形的名稱）

【性質(zhì)探究】根據(jù)雙心四邊形的定義,對其性質(zhì)研究如下：

對角：雙心四邊形的對角

對邊：雙心四邊形兩組對邊之和相等.

理由如下：如圖1,四邊形ABCD是雙心四邊形，其中。v是四邊形ABCD的外接圓,0P是四邊

形ABCD的內(nèi)切圓，切點分別為E,F,G,H.

為說明AD+5C=AB+CD,連接PE,尸產(chǎn),PS.

與A3,BC分別相切于點E,F,

D

圖1

PE±AB,PFLBC,（依據(jù)：）

:"PEB=NPFB=9Q0,

:.PB=PB,PE=PF,

：.RtAPBE^RtAPBF.

任務(wù)：

(1)材料中“”處空缺的內(nèi)容依次為：;;

(2)請將材料中關(guān)于對邊性質(zhì)的說理過程補充完整；

(3)如圖2,已知四邊形ABCD是雙心四邊形，其中NB=ND=90。，/。=60。，5。=￡＞。=6,直接

寫出其外接圓圓心與內(nèi)切圓圓心之間的距離.

圖2

10.(。閱讀材料：小紅遇到這樣一個問題：如圖①，在四邊形ABCD中,NA=NC=90。,ND=60。,

AB=46,BC=6,求AD的長.小紅發(fā)現(xiàn)，延長AB與DC相交于點E,通過構(gòu)造,經(jīng)過

推理和計算能夠使問題得到解決(如圖②).請回答：AZ)的長為.

⑵參考小紅思考問題的方法,解決問題：

C

AA

④

①如圖③，在四邊形ABCD中,tanA=1,NB=NC=135。,AB=9,CD=3,求BC和AD的長;

2

3

②如圖④,四邊形ABCD內(nèi)接于0。,鉆=17,00=10,/4=90。,853=二,求40的長.

H.閱讀與思考

下面是小華同學(xué)的一篇數(shù)學(xué)反思，請仔細閱讀，并完成相應(yīng)的任務(wù).

巧用“對稱”作圖

問題：已知：如圖1,點E是nABCD的邊上的一點.

求作：矩形EFGH，使點F,G,H在口ABCD的邊上，且對角線交點與口ABCD的對

角線交點重合.

分析：所求作的矩形的一個頂點E是已知的,且在口ABCD的邊上，并且矩形對

角線交點與口ABCZ）的對角線交點重合.矩形與平行四邊形都是中心對稱圖形,

所以點E與點G一定關(guān)于對角線交點中心對稱，這樣就可以確定點G了,對角線

EG也隨之確定,然后根據(jù)矩形對角線的性質(zhì)可以確定頂點

作法：1.連接交于點0.

2.連接EO并延長交邊于點G.

3.以點。為圓心，以EO的長為半徑作弧，交邊于點F.

4.連接尸0并延長交邊。C于點H.

5.依次連接點E,F,G,H.

四邊形EFGH就是所求作的矩形（如圖2）.

圖2

反思：以上作圖中關(guān)鍵利用了圖形的對稱性.由此想到這種方法可以遷移到其

它對稱圖形的作圖中.

任務(wù)：

⑴根據(jù)以上作法,求證：四邊形EFGH是矩形，

(2)若將上面材料中所求作的矩形EFGH改為菱形EFGH,其它條件不變，請用尺規(guī)在圖3中作

出符合條件的菱形EFGH；(要求：保留作圖痕跡，不寫作法)

(3)圖2中，若口ABCD的邊AB=13,AD=ll,sinNADC=—,D石=2,則線段切的長為.

答案以及解析

1.答案：(1)5621,7224

⑵見解析

解析：⑴由上述規(guī)律可知,73x77=7x8x100+3x7=5621,

86x84=8x9x100+6x4=7224,

故答案為：5621,7224；

(2)證明：,：b+c=10,

aZ?xac=(10a+x(10axc)

=1004+10ac+10ab+bc

=100fl2+10a(Z?+c)+Z?c

=100/+100a+bc

=100a(a+l)+Z?c.

2.答案：(l)x=l或者x=—7

(2)-2<%<8

(3)%>5或者％<-3

解析：(I)：?在數(shù)軸上到-3對應(yīng)的點的距離等于4的點的對應(yīng)的數(shù)為1或-7

方程,+3卜4的解為x=l或x=—7,

故答案為：x=l或x=-7；

(2”.?在數(shù)軸上到3對應(yīng)的點的距離等于5的點的對應(yīng)的數(shù)為-2或8

方程以一3|=5的解為％=—2或％=8

...|^-3|<5的解集為一2W九W8.

⑶由絕對值的幾何意義可知，方程卜-4|+,+2|=8就是求在數(shù)軸上到4和-2對應(yīng)的點的距離之

和等于8的點對應(yīng)的x的值.

?.?在數(shù)軸上4和-2對應(yīng)的點的距離是6

滿足方程的x的點在4的右邊或-2的左邊

若x對應(yīng)的點在4的右邊，可得彳=5；若x對應(yīng)的點在-2的左邊，可得％=-3

方程卜_4|巾+2|=8的解為x=5或x=—3

卜―4|巾+2卜8的解集為x>5或者尤<—3.

3.答案：［問題1］x=2

［問題2］(1)C

、

(/C2)x=--6-9-

370

［問題3］x=3或％=-2

解析：［問題1］已知6(4x—3)+2(3—4x)=3(4%—3)+5,

移項，得6(4x—3)+2(3—4%)—3(4%—3)=5,

整理得，6(4x—3)—2(4%—3)—3(4%—3)=5,

合并同類項，得4x-3=5,

移項，得4x=5+3,

合并同類項，得4x=8,

將未知數(shù)的系數(shù)化為1,得x=2.

［問題2］(1)C

/c、0.25-0.1%2x.

(2)-------------+------=1,

0.020.03

整理，得25-10,咄=］,

23

去分母，得3(25—10%)+400尤=6,

去括號，得75-30x+400x=6,

移項，合并同類項，得370x=-69,

將未知數(shù)的系數(shù)化為1,得％=-㈣.

370

［問題3］去絕對值符號時，分兩種情況討論：

①當(dāng)元+—20,即九2——時，

44

原方程可化為x+』=』x+2,

424

1Q313

移項，^x--x=---,合并同類項，^-x=-,

24422

將未知數(shù)的系數(shù)化為1,得x=3,符合題意.

33

②當(dāng)無+—<0,即x<——時，

44

原方程可化為一(x+3]=，x+2,

I4；24

319

去括號，n-x--=-x+-,

424

1Q3

移項，--X-------，

244

合并同類項，得士》=-3,

2

將未知數(shù)的系數(shù)化為1，得％=-2,符合題意.

綜上，原方程的解是x=3或1=-2.

4.答案：(1)5,3,0

(2)見解析

(3)2

解析：⑴①。25=32,...log?32=5,

3

②：3=27,.\log327=3,

0

③7=l,.,.log7l=0；

⑵設(shè)log0M=m,logaN=n,

：.a'n=M,a'l=N,

M

am=a'n~n

~N

?Aog-=m-n,

..M..

??loga￡=log“MTog〃Nr；

⑶logs125+log56-log530

125x6

=1隰

30

=log525

=2.

5.答案：(1)兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形，平行四邊形的對角線互相平分

(2)證明過程補充完整見解析

(3)(答案不唯一)見解析

解析：(1)兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形，

平行四邊形的對角線互相平分

(2)-.-BE±AD,CF±AD,

ZBEO=ZCFO=90°,

ZBOE=ZCOF,

BO=CO

:.ABOE學(xué)ACOF(AAS)

:.BE=CF

6.答案：(1)圖見解析

(2)證明見解析

解析：(1)如圖所示，即為所求;

(2)證明：?.?￡漢垂直且平分AC,

/.AD=CD,

:.ZDAC=ZACD.

???/DAB+ZBFD=180°,ZACD+/BCD=180。，

:.NBCD=/BFD.

.AD=DF,

：.CD=DF,ZABD=ZDBF,

:△BCLq\BFD（AAS）,

:.BC=BF.

7.答案：（1）①C4D；②MF

（2）1

解析：（1）證明：VAC±BD,MEA.BC,

：.ZCBD+ZBCM=90°,ACME+ZBCM=90°.

/.NCBD=NCME.

又：/CBD=/C4D,（同弧所對的圓周角相等）

NCME=ZAMF,

：.ZCAD^ZAMF.

：.AF=MF.

故答案為：①C4。；②MF；

（2）v四邊形ABD石是。。內(nèi)接四邊形,

ABAC+ZBDE=130°,

■：ZBAC=90°,

ZBDE=90°,BPDE±CS,

-.-NM//CB,

:.MN±DE,

-.AD.LBE,

:.AN=BN,

:.PN=-AB=1.

2

20

8.答案：

（2）補全證明見解析

解析：(1)如圖所示:

由三角形內(nèi)角平分線性質(zhì)定理可得，器=能

AC=4,BC=3,

AD4

BD-3

在RtAABC中,NACfi=90。,AC=4,BC=3,則由勾股定理可得AB==5,

^AD^4x,BD=3x,

則AB=AD+BD=7x=5,解得x=9

7

AD=4x=4x』=型,

77

故答案為：—;

(2)過點A作AE，BF,過點/作/K_LAB,FN_LAC,垂足分別為E,K,N,如圖4,

?.?AF平分/KAC,

:.FK=FN,

&-AC-FN“

.?△acr_2AC

SAABF-ABFK45

2

c-CFAEN

...SAACF；2JF

S^ABF-BFAEBF

2

BFAB

,CF-AC；

(3)如圖所示：

圖6

在AABC中,由三角形內(nèi)角平分線性質(zhì)定理可得，器=筆

在中，由三角形外角平分線性質(zhì)定理可得言=(1；

?:AB=3,AC=2,

BF_BD_3

"~CF~~DC~^

?.衣=4,

:.DC=~,

5

^BF=3y,CF=2y,

貝I由可得,3y=4+2y,

解得y=4,

，CF=8,

Q48

DF=DC+CF=-+8=—,

55

?.?若AD是ABAC的平分線,AF是ZVIBC的外角ZCAE的平分線,

:.ZDAF=90°,

???M是線段小的中點,

124

:.AM=-DF=—.

25

9.答案：(1)正方形；互補；圓的切線垂直于經(jīng)過切點的半徑

(2)見解析

⑶4百-6

解析：⑴平行四邊形、矩形、菱形、正方形中，一定是雙心四邊形的是正方形;

對角：雙心四邊形的對角互補；

的依據(jù)：圓的切線垂直于經(jīng)過切點的半徑

故答案為：正方形；互補；圓的切線垂直于經(jīng)過切點的半徑.

(2)證明：連接PE,PF,PB.

與A3,BC分別相切于點E,F,

:.PE±AB,PFLBC,

:.NPEB=NPFB=90。,

:.PB=PB,PE=PF,

：.RtAPBE^RtAPBF.

:.BE=BF

同理,CGMCF.DGMDVAEMAH.

:.DH+AH+BF+CF=BE+AE+CG+DG,

即A￡>+5C=AB+CD.

⑶如圖所示，連接AC,作NAOC的角平分線交AC于點P,以AC為直徑作OQ,過點P作

于點跖以為半徑作。P,則P,Q分別為四邊形ABC。的外接圓圓心與內(nèi)切圓圓

心,

圖2

ZABC=ZADC=90°,ZACB=60°,BC=DC=6,AC=AC,

AABC^AADC(HL)

/.ZACB=-/BCD=30。,則ABAC=ZDAC=60°,

2

AC=BC=-^=4y/3,AD=AB=-AC=2y/3

cos30°石2

T

AQ=2技

在RtAAPM中,ZPAM=ACAD=60°,

設(shè)=x，則PM=AM-tan60=百x,AP=^^-=2AM=2x

cos60°

又":P。是NAOC的角平分線，

/.NPDM=45°

PM=MD=6X

AD=x+A/3X

又：AD=26

X+yf3x—2^/3

解得：x=3-j3

：.AP=6-26

：.Pg=AQ-AP=2A/3-(6-2A/3)=473-6

即其外接圓圓心與內(nèi)切圓圓心之間的距離為4逐-6.

10.答案：⑴6

⑵①5C的長為3四,AD的長為6百；②6

解析：⑴如圖，延長AB、。。交于點E,

ZA=ZBCD=90°,ZD=60°,

，ZE=90°-ZD=90°-60°=30°,NBCE=180O-ZBCD=180°-90°=90°,

AB=40BC=g,

：.BE=2BC=273,

AE=AB+BE=46+26=65

在RtZkADE中,ZA=90°,ZE=30°,AE=6百，

，A￡>=AE-tanE=6Gxtan30°=6百X3=6,

3

.?.AD的長為6

故答案為：6；

(2)①如圖，延長AB、DC交于點、E,

ZABC=/BCD=135。，AB=9,CD=3,

/.ZEBC=ZBCE=180°-135°=45°,

???BE=CE.ZE=180°-(ZEBC+ZBCD)=180?！?45。+45°