20212022學(xué)年五年級數(shù)學(xué)上冊舉一反三系列(人教版)

第六單元《多邊形面積》重難點(diǎn)題型(解析版)

衣

【題型1直角三角形的面積】

主要考點(diǎn)：

(1)直角三角形面積公式。

SA=aXb4-2=cXh4-2,

h=2SA4-c,

h=aXb4-Co

(2)構(gòu)造直角三角形，利用直角三角形面積公式，求解。

(3)延長底邊，面積增加，求原三角形面積。

222

(4)在直角三角中，a+b+=co

(5)在一個(gè)三角形中，如果a?+b2=c2,那么這個(gè)三角形是以c邊為斜邊的直角三角形。

【例11如圖，在四邊形ABCD中，有兩個(gè)直角，AD為10厘米，BC為6厘米，ZBAD為

45°,求四邊形ABCD的面積。

因?yàn)镹A=45°,

則三角形ADE和三角形CBE都是等腰直角三角形。

S四邊形ABCD=S三角形ADES三角形CBE

=10X104-26X64-2

=5018

=32（平方厘米）

答：四邊形ABCD的面積是32平方厘米。

【變式11］如圖所示，AD=4,CD=3,ZADC=90°,AB=13,BC=12,求圖形的面積。

解：連接AC,如圖:

D

VCD=3,AD=4,ZADC=90°,

:.AC—51SAADC^義3X4—6。

VAC=5,BC=12,AB=13,

/.AC2+BC2=AB2,

.,.△ABC是以AB為斜邊的直角三角形。

?..△ABC是直角三角形，AC=5,BC=12,

??&甌=打5X12=30，

,?SAABCSAADC=306=24O

即圖形的面積為24O

【變式12]在一塊直角三角形草坪上修一條垂直于斜邊的小路（如圖），這條小路長多少

米？

40m

解：30X404-2X24-50

=12004-50

=24（米）

答：這條小路長24米.

點(diǎn)撥：小路的長就是這個(gè)直角三角形斜邊上的高，先根據(jù)直角三角形的面積公式，求出三

角形的面積，再乘上2,除以底，就是底邊上的高.

【變式13]

三角形的底是5m,如果底邊延長1m,面積就增加1.5m2,那么原來三角形的面積是多少平

方米？

解：

原三角形的高：L5X2+1=3（米）

原三角形的面積：5X3+2=7.5（平方米）

答：原來三角形的面積是7.5平方米。

點(diǎn)撥：根據(jù)三角形面積=底義高+2,把1.5乘2再除以延長的底邊1米，求出三角形的高;

再用原來的底乘高，除以2求出三角形原來的面積。

【題型2梯形蝴蝶定理】

定理：在梯形ABCD中，AD//BC,AD=。，BC=b,面積為S,對角線AC與BD相交于點(diǎn)0,

S2=S49S2x54=Sjx53o

說明：在梯形ABCD中，AD//BC,AABC和4DBC等底等高，所以面積相等，減去公共的△

BOC面積，得。

【例2】下圖的梯形中的陰影部分甲的面積和陰影部分乙的面積相比較，（B）。

A.甲＞乙B.甲=乙C.甲V乙D.無法確定

解：

由梯形蝴蝶定理，知甲、乙面積相等,

故答案為：B

【變式21】如下圖所示，四邊形ABCD和四邊形BEFG是兩個(gè)正方形，EF=6cm,AB=10cmo求

陰影部分的面積。

解法1：

（整個(gè)圖形的面積兩個(gè)空白三角形的面積=陰影部分的面積）

10X10+6X6

=100+36

=136（平方厘米）

10X104-2+（10+6）X64-2

=50+48

=98（平方厘米）

6X（106）4-2

=244-2

=12（平方厘米）

13698+12

=38+12

=50（平方厘米）

答：陰影部分的面積是50平方厘米。

解法2：

（S陰影=S正方形ABCD4-2）

連接BF,則四邊形ABFC為梯形，假設(shè)BC、AF相交于點(diǎn)M,

根據(jù)梯形蝴蝶定理，知SZkABM=S4CMF,

所以，S陰影=10X10+2=50（平方厘米）。

答：陰影部分的面積是50平方厘米。

點(diǎn)撥：例題中擺放的兩個(gè)正方形，對稱線連線平行，得到梯形，再利用梯形蝴蝶定理，求

陰影部分面積，更簡單，如解法2。

【變式22】對甲，乙兩個(gè)陰影部分面積的描述中，下列說法正確的是（B）

5m

A.甲的面積〈乙的面積B.甲的面積=乙的面積

C.甲的面積〉乙的面積D.不能確定

解：因?yàn)榧缀捅M成的三角形與乙和丙組成的三角形等底等高，則其面積相等，同樣的道

理，都減去公共部分丙的面積，面積仍然相等，即甲乙的面積相等。

故選：B.

點(diǎn)撥：可以直接根據(jù)梯形蝴蝶定理，得到正確答案。

【變式23］兩條對角線把梯形ABCD分割成四個(gè)三角形，已知兩個(gè)三角形的面積（如圖所

示），求另兩個(gè)三角形的面積各是多少？（單位：平方厘米）

解法1：

因?yàn)樵谌切蜛BD與三角形DAC中，底都是AD,高都是AD與BC平行線段的距離，所以三

角形ABD與三角形DAC的面積相等，

所以三角形ABO的面積與三角形DOC的面積相等，三角形ABO的面積是6平方厘米，

而B0:0D=12:6=2:1,則三角形ABO的面積:三角形AOD的面積=2:1,

所以三角形AOD的面積是6+2=3（平方厘米）。

答：另兩個(gè)三角形的面積各是6平方厘米、3平方厘米。

解法2：

由梯形蝴蝶定理，

知SAA0B=SAC0D=6平方厘米，

SAA0D=6X64-2=3（平方厘米）。

答：另兩個(gè)三角形的面積各是6平方厘米、3平方厘米。

【題型3一塊地中，修建一條或幾條小路后，剩余面積的問題】

【例3】明明家有一塊梯形菜地，上底長45米，下底長77米，高是50米，菜地中間有一

條1米寬的小路，你知道這塊菜地的面積是多少平方米嗎？

45米

77米

解法1：

（45+77）X504-21X50

=305050

=3000（平方米）

答：這塊菜地的面積是3000平方米。

解法2：

［（451）+（771））］X504-2

=3000（平方米）

答：這塊菜地的面積是3000平方米。

點(diǎn)撥：

根據(jù)組合圖形面積的解法，觀察圖形，可知這塊菜地的面積等于梯形的面積減去平行四邊

形小路的面積，利用梯形和平行四邊形的面積公式求出兩個(gè)圖形的面積，再作差即可得到

這塊菜地的面積，如解法1；

因小路寬度1米，平移小路一側(cè)的圖形，使小路兩邊重合，得到上底454=44（米），下底

77176（米）的梯形，利用梯形面積公式，即可求出這塊菜地面積，如解法2。

【變式31］如圖是個(gè)大草坪，長方形草地中間有兩條過道，怎樣可簡便計(jì)算綠地的面積?

(單位：m)

解：

(655)X(1055)=6000(m2)

答：綠地面積是6000m2。

點(diǎn)撥：簡便計(jì)算方法，同例2第二種解法，分析題意，可以把陰影部分組合到一起，可得

到一個(gè)新的長方形，新長方形的長即1055=100(米)，寬即為655=60(米)，然后根據(jù)

“新長方形的長X寬”即可解答本題。

【變式32］下圖是一塊長方形草坪，長方形的長是100米，寬是80米，中間有兩條道路,

一條是長方形，一條是平行四邊形，那么草坪部分的面積是多少平方米？

2米

解：

(1002)X(802)

=98X78

=7644(平方米)

答：草坪部分的面積是7644平方米。

點(diǎn)撥：將草坪平移，還是得到了一個(gè)長方形，它的長是(1002)米，寬是(802)米，長方

形的面積=長又寬，然后將長和寬代入，列式計(jì)算即可。

【變式33】有一個(gè)長25m,寬16m的長方形花壇，如果在這個(gè)花壇的四周修3m寬的小路

(如下圖)，小路的面積是多少平方米?

解法1:

(25+3X2)X(16+3X2)

=(25+6)X(16+6)

=31X22

=682(平方米)

25X16=400(平方米)

682400=282(平方米)

答：小路的面積是282平方米。

解法2：

[2X(25+3)+2X(16+3)]X3

=94X3

=282(平方米)

答：小路的面積是282平方米。

點(diǎn)撥：(D大長方形的面積減去小長方形的面積就是小路的面積。大長方形的長是25米

加上2個(gè)小路的寬，大長方形的寬是16米加上2個(gè)小路的寬；小長方形的長是25米、寬

是16米，根據(jù)長方形的面積=長又寬計(jì)算即可，詳見解法1。(2)將小路拼接成一個(gè)長方

形，其長為12X(25+3)+2X(16+3)]厘米，寬為3厘米，利用長方形面積公式，進(jìn)行求解，

詳見解法2。

【題型4一半模型及拓展】

主要考點(diǎn)：等底等高的三角形的面積，是平行四邊形面積的一半；三角形的一條中線，等

分三角形的面積；平行四邊形的對角線，等分該平行四邊形的面積；等高兩個(gè)三角形面積

的比，等于底的比。

【例4】下面的平行四邊形，底是15厘米，高是6厘米。在這個(gè)平行四邊形內(nèi)畫一個(gè)盡可

能大的三角形，三角形的面積是多少平方厘米？

解：15X64-2=45（平方厘米）

答：三角形的面積是45平方厘米。

點(diǎn)撥：要在平行四邊形中畫一個(gè)盡可能大的三角形，則三角形的底和高等于平行四邊形的

底和高；然后再根據(jù)三角形面積=底又高+2求得即可。

【變式41］如圖，陰影部分三角形面積是5cm3，底是4cm,那么空白部分的面積是（B）

cm2.

7

4cm

A.10B.5C.20D.25

答案：Bo

點(diǎn)撥：因?yàn)橥可糠值拿娣e和空白部分的面積相等，都等于平行四邊形的面積的一半，所

以空白部分的面積也是5cm2。

【變式42］下圖平行四邊形的面積是75dm2,它的底被分成了3等份。求陰影部分的面積。

解:

754-24-3=12.5(dm2)

答：陰影部分的面積12.5平方分米。

點(diǎn)撥：平行四邊形的對角線把這個(gè)平行四邊形分成了兩個(gè)面積相等的三角形，據(jù)此求出平

行四邊形面積的一半；平行四邊形的底被分成了3等份，則得到每個(gè)小三角形的面積是對

角線分平行四邊形得到的每個(gè)三角形面積的&據(jù)此解答。

【變式43］如圖，把一個(gè)平行四邊形分成四個(gè)部分，其中三角形c的面積占平行四邊形的全

三角形b的面積是8平方厘米，則這個(gè)平行四邊形的面積是（48）平方厘米。

解:

易知，b、c面積之和為平行四邊形面積的一半,

由c的面積占平行四邊形的右得b占平行四邊形面積的6-共，

所以平行四邊形的面積是：

8+（泊）

=84--

6

=48（平方厘米）,

答：這個(gè)平行四邊形的面積是48平方厘米,

故答案為：48.

點(diǎn)撥：b、c面積之和為平行四邊形面積的一半；分量+對應(yīng)分率=單位“1”。

【題型5等高或等底平行四邊形面積的應(yīng)用】

【例5】如圖，一個(gè)平行四邊形被分成了四個(gè)小平行四邊形，其中三個(gè)的面積分別是5平方

厘米，8平方厘米，10平方厘米，第四個(gè)小平行四邊形的面積是（6.25）平方厘米。

解：

第四個(gè)小平行四邊形的面積：

5X104-8=6.25（平方厘米）o

答：第四個(gè)小平行四邊形的面積是6.25平方厘米。

點(diǎn)撥：根據(jù)平行四邊形的特點(diǎn)及平行四邊形的面積公式知道，5與8的比值等于第四個(gè)小平

行四邊形的面積與10的比值，5X10=?X8（可當(dāng)作公式運(yùn)用），即由此解方程得答案。

【變式51］如圖所示，一個(gè)大長方形被兩條線段AB,CD分成四個(gè)小長方形。如果其中圖形

I,lbin的面積分別為8,6,5,那么陰影部分的面積為（C）。

A?B.lC.12DD

2238

C

AB

D

解:

陰影部分的面積：

8X54-64-2=y（平方厘米）。

故，答案選C。

【變式52］如圖，長方形被兩條直線分成四個(gè)小長方形，其中三個(gè)小長方形的面積分別是

12cm2、8cm2、20cm2,求另一個(gè)長方形（陰影部分）的面積。

解：

陰影部分的面積：

20X12+8=30（平方厘米）。

答：陰影部分的面積30cm2。

點(diǎn)撥：設(shè)陰影部分的面積是xnK則8x=20X122,即可解答題目。

【變式53】一個(gè)大長方形被兩條平行于它的兩條邊的線段分成四個(gè)較小的長方形，其中三

個(gè)長方形的面積如下圖所示，求第四個(gè)長方形的面積。（單位：厘米）

c

7E14

36

D

解：

第四個(gè)長方形的面積：

7X364-14=18（平方厘米）o

答：第四個(gè)長方形的面積是18cm2。

【題型6等高或等底三角形面積的應(yīng)用】

【例6】下圖中平行四邊形的面積是20平方厘米。陰影部分的面積是多少?

陰影部分面積：

204-24-（2+3）X2

=104-5X2

=4（平方厘米）

答：陰影部分的面積是4平方厘米。

點(diǎn)撥：204-2=10（平方厘米），先求出乙、丙面積之和，乙、丙同底，得到1份面積為10

+（2+3）=2（平方厘米），乙占2份，即乙面積為2X2=4（平方厘米）。

【變式61］如圖，正方形的周長是28cm,①的面積是15cm2,求陰影部分的面積。

解：

正方形邊長：

284-4=7(cm),

S正方形=S平行四邊形=7X7=49(cm2),

S陰影=4915=34(cm2)。

答：陰影部分的面積是34cm2。

點(diǎn)撥：陰影部分的面積=平行四邊形的面積①的面積。

【變式63］如圖，在邊長相等的四個(gè)正方形中，畫了兩個(gè)三角形(用陰影表示)，這兩個(gè)三

角形的面積關(guān)系是(B)

A.Si>S2B.Si=S2C.Si<S2

解：因?yàn)檎叫蔚倪呴L都相等，三角形S］和S2等底等高，則它們的面積相等;

故選：B.

【題型7相鄰兩個(gè)正方形組合面積問題】

【例7】圖中兩個(gè)正方形的邊長分別是6厘米和4厘米，則圖中陰影部分三角形的面積是多

少平方厘米。

解：4X492=8(平方厘米)，

答：陰影部分三角形的面積是8平方厘米。

點(diǎn)撥：陰影部分三角形的底和高都等于正方形的邊長，根據(jù)三角形的面積=底又高+2,帶

入公式計(jì)算即可。

【變式71】如圖的兩個(gè)正方形，邊長分別為8厘米和4厘米，那么陰影部分的面積是逕平

方厘米

8

解：4X4+8X8X4X(4+8)|X8X8,

=16+642432,

=24(cm2)；

答：陰影的面積是24cm2。

故答案為：240

點(diǎn)撥：陰影部分面積，等于兩個(gè)正方形的面積減去兩個(gè)空白三角形的面積；該題不是蝴蝶

定理類型，易錯誤使用蝴蝶定理，進(jìn)行解答。

【變式72］下面的幾組圖形中大、小正方形的邊長分別都是6dm和4dm,求各圖中的陰影

部分的面積。

解:

(1)(6+4)X44-2=20(dm2),

(2)4X64-2=12(dm2),

(3)(4+6)X6+2=30(dm2),

(4)6X64-2=18(dm2)。

點(diǎn)撥:第一個(gè)陰影部分的面積相當(dāng)于底邊(6+4)dm高4dm的三角形的面積；第二個(gè)陰影部

分的面積相當(dāng)于底邊4dm高6dm的三角形的面積；第三個(gè)陰影部分的面積相當(dāng)于底邊(4+6)

dm高6dm的三角形的面積；第四個(gè)陰影部分的面積相當(dāng)于底邊6dm高6dm的三角形的面積。

【變式73］如圖ADFC是長方形，已知三角形ABC的面積是36平方厘米，AC長8厘米，DE

長3厘米，求：

(1)求AD的長。

(2)求陰影部分的面積。

解：

(1)AD=36X2+8=9(厘米)，

(2)AE=ADDE=6(厘米)，

因?yàn)锳C=2BD,

所以BD=8+2=4(厘米),

陰影部分面積：4X34-2=6(平方厘米)。

答：陰影部分的面積是6平方厘米。

點(diǎn)撥：如圖的直角三角形ACE與直角三角形DBE中，對應(yīng)邊的比相等(屬于初中知識)。

【題型8平行四邊形面積的應(yīng)用】

【例8】一個(gè)平行四邊形的周長是86cm(如圖)，以CD為底時(shí)，它的高是20cm,BC長

25cm,求BC邊上的高是多少厘米?

CD=864-225=4325=18（厘米），

BC邊上的高：18X204-25=3604-25=14.4（厘米）。

答：BC邊上的高是14.4厘米。

點(diǎn)撥：平行四邊形相鄰兩邊之和=周長+2；利用平行四邊形的面積公式S=ah即可求出平行

四邊形的面積，再用平行四邊形的面積除以BC的長度，就可以求出BC邊上的高；熟練掌

握這種利用面積相等法，求平行邊四邊形一底邊上的高的方法。

【變式81】圖中平行四邊形的面積是18平方米，兩組對-邊間的距離分別是2米和3米，這

個(gè)平行四邊形的周長是（30米）。

解：

184-2=9（米），

184-3=6（米），

（6+9）X2=15X2=30（米）。

答：這塊平行四邊形的周長是30米。

【變式82】一個(gè)平行四邊形，底為6米，高為3米，如果底不變，高增加2米，則面積增

加（12）平方米；如果高不變，底增加2米，則面積增加（6）平方米。

解：

(3+2)X66X3=12(平方米)

3X(6+2)6X3=6(平方米)

答案:12；6O

【變式83】一個(gè)平行四邊形，如果底增加3厘米，高不變，面積就增加6平方厘米，如果

底不變，高減少1厘米，面積則減少4平方厘米，原來平行四邊形的面積是多少平方厘米?

解：

原來平行四邊形的高：

6+3=2厘米，

底：

4+1=4厘米，

原來平行四邊形的面積：

4X2=8（平方厘米）。

答：原來平行四邊形的面積是8平方厘米。

【題型9平移得到陰影部分面積求法】

【例9】如圖，兩個(gè)相同的直角三角形重疊在一起，求陰影部分的面積是多少？（單位：厘

易知，

S陰影=S梯形ABFN

=［（83）+81X64-2

=39（平方厘米）。

答：陰影部分的面積是39平方厘米。

點(diǎn)撥：兩個(gè)相同的直角三角形，面積相等，減去公共的ANCF的面積，仍然相等。

【變式91］下圖中，aABC和4DEF是兩個(gè)完全相同的等腰直角三角形，AB=9cm,FC=5cmo

求圖中陰影部分的面積。

解：

易知AB=9cm,FC=FH=5cm,

所以BF=95=4(cm),

陰影部分的面積=長方形BFHG面積+等腰直角三角形OGH面積

=4X5+4X24-2

=20+4

=24(平方厘米)。

答：圖中陰影部分面積為24平方厘米。

點(diǎn)撥：解題關(guān)鍵是根據(jù)等腰直角三角形兩腰相等，得到0GH斜邊為4厘米，斜邊上的高為2

厘米。

【變式92】兩個(gè)完全相同的梯形的一部分重疊在一起，如下圖，求陰影部分的面積。

解：

203=17（厘米）

（17+20）X64-2=111（平方厘米）

答：陰影部分的面積是111平方厘米。

點(diǎn)撥：本題中，兩個(gè)相同的直角梯形重疊在一起，中間的小梯形是它們的公共部分，所以

陰影部分的面積等于空白的較大一點(diǎn)的梯形的面積；然后根據(jù)已知數(shù)據(jù)求出梯形的上底，

再利用梯形面積公式進(jìn)行解答。

【變式93】ZkABC和4DEF為兩個(gè)疊放在一起的等腰直角三角形（如圖）。已知BC=10,

CF=1,DE=7。則陰影部分的面積是多少？

解：

因?yàn)镕E=DE=7,CF=CG=1,

所以CE=7-1=6；

因?yàn)锽C=10,

所以BE=10-6=4；

FB=FC+BC=1+1O=11；

陰影部分的面積=S△FBMS△FCGS△BEH,

=ixilX(114-2)-X1X1--X4X4

222

=30.25-0.5-8

=21.75(平方厘米)。

答：陰影部分的面積是21.75平方厘米。

n

【題型10畫指定面積的長方形、正方形、三角形、平行四邊形、梯形】

【例1】在方格紙上分別畫出面積是9cm2的長方形、正方形、三角形、平行四邊形和梯形。

（每個(gè)小方格的面積表示1cm2）

解：作圖如下:

點(diǎn)撥:

（1）常用定理公式：

平行四邊形的面積=底乂高，

三角形的面積=底乂高+2,

梯形的面積二（上底+下底）X高+2,

正方形的面積=邊長義邊長，

長方形的面積=長又寬；

另

正方形另一面積公式：正方形的面積=對角線X對角線+2。

（2）快速、正確畫指定面積的三角形、梯形的技巧：讓三角形高為2厘米，則底為9厘米;

讓梯形高為2厘米，則上底、下底之和為9厘米。

【變式101］在如圖方格上畫出面積等于6平方厘米的平行四邊形，三角形和梯形各一個(gè)。

（每個(gè)方格代表1平方厘米）

解：

因?yàn)镾平行四邊形=S三角形=S梯形=6平方厘米，

所以平行四邊形的底和高可以為3厘米和2厘米，

三角形的底和高為4厘米和3厘米，

梯形的上底，下底和高為2厘米，4厘米和2厘米,

于是可以畫出這幾個(gè)圖形：

【變式102】在下面的方格圖中畫一個(gè)底是6厘米，高是4厘米的平行四邊形，再把這個(gè)平

行四邊形面積的，涂上黃色。

解：

平行四邊形的面積是：6X4=24（平方厘米）

24X