專題19三角形

一、三角形的角平分線、中線和高

【高頻考點(diǎn)精講】

1、從三角形的一個(gè)頂點(diǎn)向底邊作垂線，垂足與頂點(diǎn)之間的線段叫做三角形的高。

2、三角形一個(gè)內(nèi)角的平分線與這個(gè)內(nèi)角的對(duì)邊交于一點(diǎn)，則這個(gè)內(nèi)角的頂點(diǎn)與交點(diǎn)間的線段叫做三角形的角平分

線。

3、三角形一邊的中點(diǎn)與此邊所對(duì)頂點(diǎn)的連線叫做三角形的中線。

4、三角形有3條中線，3條高線，3條角平分線，它們都是線段。

【熱點(diǎn)題型精練】

1.（2022?玉林中考）請(qǐng)你量一量如圖△ABC中8C邊上的高的長(zhǎng)度，下列最接近的是（）

A

A.0.5cmB.0.7cmC.1.5cmD.2cm

2.（2022?杭州中考）如圖，于點(diǎn)。，已知NA3C是鈍角，貝！J（）

C

A

ABD

A.線段CD是△ABC的AC邊上的高線

B.線段CO是△ABC的AB邊上的高線

C.線段是△ABC的邊上的高線

D.線段AD是AABC的AC邊上的高線

3.（2022?江門模擬）如圖所示在△ABC中，A8邊上的高線畫法正確的是（）

H

/抬A

A.8HCB.BCc.5HCj）.BC

4.（2022?西安模擬）如圖，△ABC中，AB=10,AC=8,點(diǎn)。是8c邊上的中點(diǎn),連接AD,若△AC。的周長(zhǎng)為

20,則△A3。的周長(zhǎng)是（）

A

二

BDC

A.16B.18C.20D.22

5.（2022?荷澤模擬）在△ABC中，ZACB=90°,CD、CE分別為AB邊上的高和中線，若NDCE=20。，則/BAC

的度數(shù)為.

6.（2022?上海模擬）如果一個(gè)三角形有一條邊上的高等于這條邊的一半，那么我們把這個(gè)三角形叫做半高三角形.已

知直角三角形ABC是半高三角形，且斜邊AB=10,則它的周長(zhǎng)等于.

二、三角形的面積

【高頻考點(diǎn)精講】

1、三角形的面積等于底邊長(zhǎng)與高線乘積的一半，即弘=1X底義高。

2

2、三角形的中線將三角形分成面積相等的兩部分。

【熱點(diǎn)題型精練】

7.（2022?桂林中考）如圖，在△ABC中，ZB=22.5°,ZC=45°,若AC=2,則△ABC的面積是（）

A.-------B.1+V2C.2V2D.2+V2

2

8.（2022?遂寧中考）如圖，。、E、P分別是△ABC三邊上的點(diǎn)，其中8C=8,8c邊上的高為6,MDE//BC,則

△。所面積的最大值為（）

A.6B.8C.10D.12

9.（2022?常州中考）如圖，在△ABC中，E是中線的中點(diǎn).若△AEC的面積是1,則△A3。的面積是

10.（2022?錦州中考）如圖，4為射線ON上一點(diǎn)，21為射線0M上一點(diǎn)，ZBiAi6>=60°,。4=3,814=1.以

81Al為邊在其右側(cè)作菱形481C1Q1,且/814￡>1=60°,CLDI與射線0M交于點(diǎn)生，得△。與歷；延長(zhǎng)改功

交射線ON于點(diǎn)42,以82A2為邊在其右側(cè)作菱形A282C2D2,且/8泊2￡>2=60°,。2。2與射線0M交于點(diǎn)囪,

得△C2B2B3；延長(zhǎng)8302交射線ON于點(diǎn)A3,以83A3為邊在其右側(cè)作菱形A383c3。3,且/8343。3=60°,C3D3

與射線交于點(diǎn)84,得△C3B3B4；…，按此規(guī)律進(jìn)行下去，則△C2022B2022B2023的面積為

11.（2022?宜賓中考）《數(shù)書九章》是中國(guó)南宋時(shí)期杰出數(shù)學(xué)家秦九韶的著作，書中提出了已知三角形三邊°、6、c

求面積的公式，其求法是：“以小斜嘉并大斜哥減中斜募，余半之，自乘于上，以小斜哥乘大斜塞減上，余四約

之，為實(shí).一為從隅，開平方得積.”若把以上這段文字寫成公式，即為S=:c2a2—（2士嗎二星）2].現(xiàn)有周

長(zhǎng)為18的三角形的三邊長(zhǎng)滿足a：b：c=4：3：2,則用以上給出的公式求得這個(gè)三角形的面積為.

三、三角形三邊關(guān)系

【高頻考點(diǎn)精講】

1、三角形三邊關(guān)系定理：三角形兩邊之和大于第三邊，三角形的兩邊差小于第三邊。

2、只要兩條較短的邊長(zhǎng)之和大于第三邊的長(zhǎng)度就可以判定這三條線段能構(gòu)成一個(gè)三角形。

【熱點(diǎn)題型精練】

12.（2022?西藏中考）如圖，數(shù)軸上A,B兩點(diǎn)到原點(diǎn)的距離是三角形兩邊的長(zhǎng)，則該三角形第三邊長(zhǎng)可能是（）

「4.............................................

-5-4-3-2-1012345

A.-5B.4C.7D.8

13.（2022?淮安中考）下列長(zhǎng)度的三條線段能組成三角形的是（）

A.3,3,6B.3,5,10C.4,6,9D.4,5,9

14.（2022?南通中考）用一根小木棒與兩根長(zhǎng)分別為3CM,6c機(jī)的小木棒組成三角形，則這根小木棒的長(zhǎng)度可以為

()

A.1cmB.2cmC.3cmD.4cm

15.（2022?益陽(yáng)中考）如圖1所示，將長(zhǎng)為6的矩形紙片沿虛線折成3個(gè)矩形，其中左右兩側(cè)矩形的寬相等，若要

將其圍成如圖2所示的三棱柱形物體，則圖中a的值可以是（）

C.3D.4

16.（2022?河北中考）平面內(nèi)，將長(zhǎng)分別為1,5,1,1,d的線段，順次首尾相接組成凸五邊形（如圖），則d可

能是（)

d1

5

A.1B.2C.7D.8

17.（2022?德陽(yáng)中考）八一中學(xué)九年級(jí)2班學(xué)生楊沖家和李銳家到學(xué)校的直線距離分別是5歷九和3b那么楊沖,

李銳兩家的直線距離不可能是（）

A.\kmB.2kmC.3kmD.8km

18.（2022?哈爾濱中考）在△ABC中，A。為邊BC上的高，ZABC=30°,ZCAD=20°,則N3AC是度.

19.（2022?東營(yíng)中考）如圖，在中，弦AC〃半徑OB,ZBOC=40°,則/40C的度數(shù)為.

四、三角形內(nèi)角和定理與外角性質(zhì)

【高頻考點(diǎn)精講】

1、三角形的內(nèi)角和等于180°。

2、三角形外角的定義：三角形的一邊與另一邊的延長(zhǎng)線組成的角，叫做三角形的外角。三角形共有六個(gè)外角，其

中有公共頂點(diǎn)的兩個(gè)相等。

3、三角形外角的性質(zhì)

（1）三角形的外角和為360°。

（2）三角形的一個(gè)外角等于和它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和。

（3）三角形的一個(gè)外角大于和它不相鄰的任何一個(gè)內(nèi)角。

【熱點(diǎn)題型精練】

20.（2022?北京模擬）如圖，直線AB〃C。，連接BC,點(diǎn)E是上一點(diǎn)，NA=15°,NC=27°,則NAEC的

大小為（）

A.27°B.42°C.45°D.70°

21.（2022?西安模擬）如圖，在△ABC中，ZC=90°,AE是△ABC的外角/BA。的平分線，8/平分NABC與

AE的反向延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)R則NBFE為（）

C.45°D.50°

22.(2022?漳州模擬)將一副三角尺按如圖所示的位置擺放，則a-0=.度?

23.(2022?北京中考)下面是證明三角形內(nèi)角和定理的兩種添加輔助線的方法，選擇其中一種，完成證明.

三角形內(nèi)角和定理：三角形三個(gè)內(nèi)角的和等于180°.

己知：如圖，△ABC,求證：ZA+ZB+ZC=180°.

方法一方法二

證明：如圖，過(guò)點(diǎn)A作DE/72c.證明：如圖，過(guò)點(diǎn)C作

/D

B

五、全等三角形的判定與性質(zhì)

【高頻考點(diǎn)精講】

1、三角形全等的判定

(1)三組對(duì)應(yīng)邊分別相等的兩個(gè)三角形全等(SSS)。

(2)有兩邊及其夾角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等(SAS)。

(3)有兩角及其夾邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等(ASA)。

(4)有兩角及一角的對(duì)邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等(AAS)。

2、全等三角形的性質(zhì)

(1)全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等；全等三角形的對(duì)應(yīng)角相等。

(2)全等三角形的周長(zhǎng)、面積相等。

（3）全等三角形的對(duì)應(yīng)邊上的高對(duì)應(yīng)相等。

（4）全等三角形的對(duì)應(yīng)角的角平分線相等。

（5）全等三角形的對(duì)應(yīng)邊上的中線相等。

【熱點(diǎn)題型精練】

24.（2022?成都中考）如圖，在△ABC和所中，點(diǎn)A,E,B,。在同一直線上，AC//DF,AC^DF,只添加

一個(gè)條件，能判定AABC會(huì)△QE尸的是（）

A.BC=DEB.AE=DBC./A=/DEFD.NABC=/D

25.（2022?淄博中考）如圖，在△ABC中，AB=AC,點(diǎn)。在AC邊上，過(guò)△A3。的內(nèi)心/作于點(diǎn)E.若

BD^10,8=4,則BE的長(zhǎng)為（）

A.6B.7C.8D.9

26.（2022?湘西州中考）如圖，在Rt^ABC中，NA=90°,〃為BC的中點(diǎn)，X為上一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)C作CG〃

AB,交出0的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G,若AC=8,AB=6,則四邊形ACGH周長(zhǎng)的最小值是（）

A.24B.22C.20D.18

27.（2022?湖北中考）如圖，已知AB=DE,請(qǐng)你添加一個(gè)條件,使AABC咨ADEF.

28.（2022?日照中考）如圖，在平面直角坐標(biāo)系無(wú)Oy中，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（0,4）,尸是x軸上一動(dòng)點(diǎn)，把線段E4繞

點(diǎn)尸順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到線段尸凡連接OR則線段長(zhǎng)的最小值是

29.（2022?深圳中考）已知△ABC是直角三角形，ZABC=90°,AB=3,BC=5,AE=2E,連接CE,以CE為

底作直角三角形COE,且8=。￡尸是AE邊上的一點(diǎn)，連接和且/尸20=45°，則AF長(zhǎng)為.

30.（2022?溫州中考）如圖，8。是△ABC的角平分線，DE//BC,交AB于點(diǎn)E.

（1）求證：ZEBD=ZEDB.

（2）當(dāng)A8=AC時(shí)，請(qǐng)判斷C￡）與ED的大小關(guān)系，并說(shuō)明理由.

31.（2022?懷化中考）如圖，在等邊三角形ABC中，點(diǎn)M為AB邊上任意一點(diǎn)，延長(zhǎng)8C至點(diǎn)N,使CN=AM,連

接交AC于點(diǎn)P,于點(diǎn)

（1）求證：MP=NP；

（2）若求線段PH的長(zhǎng)（結(jié)果用含a的代數(shù)式表示）.

32.（2022?北京中考）在△ABC中，ZACB=90°,。為△ABC內(nèi)一點(diǎn)，連接B。，DC,延長(zhǎng)。C到點(diǎn)E,使得CE

=DC.

（1）如圖1,延長(zhǎng)BC到點(diǎn)R使得CP=BC,連接AF,EF.^AFlEF,求證：BDLAF-,

（2）連接AE,交BD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)連接CH,依題意補(bǔ)全圖2.若用等式表示線段與

S的數(shù)量關(guān)系，并證明.

圖1圖2

33.（2022?資陽(yáng)中考）如圖，在△ABC中（ABCBC）,過(guò)點(diǎn)C作CO〃AB,在CD上截取CZ）=CB,C8上截取CE

=A3,連接。E、DB.

（1）求證：AABC^AECD；

（2）若/A=90°，AB=3,BD=2V5,求△BCD的面積.

六、等腰（等邊）三角形的判定與性質(zhì)

【高頻考點(diǎn)精講】

1、等腰三角形的概念：有兩條邊相等的三角形叫做等腰三角形。

2、等腰三角形的性質(zhì)：①等腰三角形的兩腰相等；②等腰三角形的兩個(gè)底角相等（等邊對(duì)等角）；③等腰三角形的

頂角平分線、底邊上的中線、底邊上的高相互重合。（三線合一）

3、等邊三角形的概念：三條邊都相等的三角形叫做等邊三角形，等邊三角形是特殊的等腰三角形。

4、等邊三角形的性質(zhì)：①等邊三角形的三個(gè)內(nèi)角都相等，且都等于60。；②等邊三角形是軸對(duì)稱圖形，有3條對(duì)

稱軸；③等邊三角形的內(nèi)角平分線垂直平分對(duì)邊，三邊的垂直平分線是對(duì)稱軸。

【熱點(diǎn)題型精練】

34.（2022?淮安中考）如圖，在△ABC中，AB^AC,NBAC的平分線交于點(diǎn)。，E為AC的中點(diǎn)，若A2=10,

則DE的長(zhǎng)是（）

A.8B.6C.5D.4

35.（2022?淄博中考）某城市幾條道路的位置關(guān)系如圖所示，道路道路A8與AE的夾角/BAE=50°.城

市規(guī)劃部門想新修一條道路CE,要求則NE的度數(shù)為（）

BD,

A.23°B.25°C.27°D.30°

36.（2022?宜賓中考）如圖，在△ABC中，A8=AC=5,。是8C上的點(diǎn)，DE〃AB交AC于點(diǎn)、E,DF//ACAB

于點(diǎn)凡那么四邊形AEZ里的周長(zhǎng)是（)

C.15D.20

37.（2022?鎮(zhèn)江中考）如圖，點(diǎn)A、B、C、。在網(wǎng)格中小正方形的頂點(diǎn)處，與BC相交于點(diǎn)O,小正方形的邊

長(zhǎng)為1,則的長(zhǎng)等于（）

6V2972

38.（2022?寧波中考）如圖，在RtZkABC中，。為斜邊AC的中點(diǎn)，E為BD上一點(diǎn)、,F為CE中點(diǎn).AE=AD,

DF=2,則BD的長(zhǎng)為（）

C.2V3D.4

39.（2022?張家界中考）如圖，點(diǎn)。是等邊三角形ABC內(nèi)一點(diǎn)，0A=2,OB=\,OC=V3,則△AOB與△BOC

的面積之和為（）

3V3

c.—D.V3

4

40.（2022?蘇州中考）定義：一個(gè)三角形的一邊長(zhǎng)是另一邊長(zhǎng)的2倍，這樣的三角形叫做“倍長(zhǎng)三角形”.若等腰

△ABC是''倍長(zhǎng)三角形"，底邊BC的長(zhǎng)為3,則腰AB的長(zhǎng)為.

41.（2022?岳陽(yáng)中考）如圖，在△ABC中，AB=AC,于點(diǎn)。，若8C=6,貝UCZ）=

42.（2022?鄂州中考）如圖，在邊長(zhǎng)為6的等邊△ABC中，D、E分別為邊BC、AC上的點(diǎn)，與BE相交于點(diǎn)P,

若BD=CE=2,則的周長(zhǎng)為.

七、三角形中位線定理

【高頻考點(diǎn)精講】

1、三角形中位線定理：三角形的中位線平行于第三邊，并且等于第三邊的一半。

2、幾何語(yǔ)言：如圖，：點(diǎn)。、E分