第04講線線、線面、面面平行的判定與性質(zhì)(核心考點(diǎn)講與練)

Q考點(diǎn)考向

1.平行直線

⑴平行公理

過直線外一點(diǎn)有且只有一條直線和已知直線平行.

⑵基本性質(zhì)4(空間平行線的傳遞性)

平行于同一條直線的兩條直線互相平行.

⑶定理

如果一個(gè)角的兩邊與另一個(gè)角的兩邊分別對(duì)應(yīng)平行,并且方向相同,那么這兩個(gè)角相等.

2.直線與平面平行

(1)直線與平面平行的定義

直線,與平面。沒有公共點(diǎn)，則稱直線/與平面。平行.

(2)判定定理與性質(zhì)定理

文字語言圖形表示符號(hào)表示

平面外一條直線與此

a______

平面內(nèi)的一條直線平時(shí)Q,bua,

判定定理

行，則該直線平行于此allgallQ

平面

一條直線和一個(gè)平面

平行，則過這條直線的a//a,au8,

性質(zhì)定理

任一平面與此平面的QClB=b=a〃b

交線與該直線平行

3.平面與平面平行

⑴平面與平面平行的定義

沒有公共點(diǎn)的兩個(gè)平面叫做平行平面.

(2)判定定理與性質(zhì)定理

文字語言圖形表示符號(hào)表示

一個(gè)平面內(nèi)的兩條相

交直線與另一個(gè)平面auQ,baa,aAb=P,

判定定理

平行，則這兩個(gè)平面//a"B、6〃￡=>a〃￡

平行

兩個(gè)平面平行，則其

中一個(gè)平面內(nèi)的直線。aua=^a//￡

平行于另一個(gè)平面%/

性質(zhì)定理如果兩個(gè)平行平面同

時(shí)和第三個(gè)平面相a//P,aC\y=a,

交，那么它們的交線B0y=b=>a//b

平行

Q方法技巧

i.線面平行的證明方法

（1）定義法：一般用反證法；

（2）判定定理法：關(guān)鍵是在平面內(nèi)找（或作）一條直線與已知直線平行，證明時(shí)注意用符號(hào)語言敘述證明過

程；

（3）性質(zhì)判定法：即兩平面平行時(shí)，其中一個(gè)平面內(nèi)的任何直線都平行于另一個(gè)平面.

2.構(gòu)造平行直線的常用方法

（1）構(gòu)建三角形或梯形的中位線：可直接利用線段的中點(diǎn)、等腰三角形三線合一或利用平行四邊形對(duì)角

線的交點(diǎn)找中點(diǎn)，從而構(gòu)建中位線；

（2）構(gòu)建平行四邊形：可以利用已知的平行關(guān)系（如梯形的上下底邊平行）或構(gòu)建平行關(guān)系（如構(gòu)造兩條直

線同時(shí)平行于已知直線），從而構(gòu)建平行四邊形.

應(yīng)用線面平行的性質(zhì)定理時(shí)，關(guān)鍵是過己知直線作輔助平面與已知平面相交，所得交線與已知直線平行，

還可以利用交線判斷已知平面內(nèi)的直線與已知直線的位置關(guān)系，即在已知平面內(nèi)所有和交線平行的直線都

與已知直線平行，所有和交線相交的直線都與已知直線異面.

3.判定平面與平面平行的4種方法

（1）面面平行的定義，即證兩個(gè)平面沒有公共點(diǎn)（不常用）；

（2）面面平行的判定定理（主要方法）；

（3）利用垂直于同一條直線的兩個(gè)平面平行（客觀題可用）；

（4）利用平面平行的傳遞性，兩個(gè)平面同時(shí)平行于第三個(gè)平面，那么這兩個(gè)平面平行（客觀題可用）.

利用線面平行或面面平行的性質(zhì)，可以實(shí)現(xiàn)與線線平行的轉(zhuǎn)化，尤其在截面圖的畫法中，常用來確定交線

的位置.對(duì)于線段長或線段比例問題，常用平行線對(duì)應(yīng)線段成比例或相似三角形來解決.

Q能力拓展

題型一：線面平行的判定

1.（2021?上海市延安中學(xué)高二期中）已知正方體求證：耳c〃平面A^G.

【分析】根據(jù)題意，結(jié)合線面平行的判定，即可證明.

【詳解】證明：在正方體48CO-A崗GR中，易知AD//8C，因?yàn)锳Du平面AQG，3。＜2平面4。6，

所以耳c〃平面

2.（2021.上海市亭林中學(xué)高二階段練習(xí)）如圖，在正方體A3CD-44GR中，E、尸分別為棱A。、的

中點(diǎn).求證：EF〃平面CBQ.

【分析】連接8。，由三角形中位線定理，根據(jù)正方體的性質(zhì)，利用線面平行的判定定理證明.

【詳解】連接2。，如圖所示.因?yàn)镋、尸分別為棱A。、的中點(diǎn)，所以所〃2D,

又：根據(jù)正方體的性質(zhì)，...四邊形8068/為平行四邊形，...8ZMB/。，

EFIBDi,又,：EF<Z平面CBR,平面CBR,：.EFH平面CBR.

3.（2021.上海市徐匯中學(xué)高二階段練習(xí)）在正方體中，E是棱的中點(diǎn).

（1）作出平面ABE與平面ABCD的交線，保留作圖痕跡；

（2）在棱G2上是否存在一點(diǎn)尸，使得男尸〃平面ABE,若存在，說明點(diǎn)P的位置，若不存在，請(qǐng)說明

理由.

【答案】（1）答案見解析；（2）存在，C2中點(diǎn).

【分析】（1）延長AE與AD交于點(diǎn)P,連接即為所求；

（2）存在，分別取GQ和C。的中點(diǎn)G,連接EG,BG,CDi,FG,通過證明EG〃&可得四點(diǎn)共

面，根據(jù)正方體的性質(zhì)得到81〃BG,根據(jù)線面平行判定定理即可得結(jié)論.

【詳解】（1）延長AE與AD交于點(diǎn)尸，連接BP,

由于4EcAD=P,PeAjE,p?平面ABE

XVPe平面ABCD,：.P為面ABE和面ABCD的公共點(diǎn),

同時(shí)B也為面ABE和面ABCD的公共點(diǎn)，

根據(jù)公理3可得BP為平面ABE與平面ABCD的交線.

(2)存在，當(dāng)月為G2的中點(diǎn)時(shí)，滿足題意，理由如下，如圖所示,

分別取和CO的中點(diǎn)憶G,連接EG,BG,CDi,FG,

因?yàn)?￡>/〃21/〃2C,且4Q=BC,所以四邊形A/BCD/為平行四邊形,

因此。/C〃4B,

又E,G分別為D/D,8的中點(diǎn)，所以EG〃。/C,從而EG〃A/B,

這說明A/,B,G,E共面，所以BGu平面A/8E,

又RG為。5和C。的中點(diǎn)，F(xiàn)GHCC.HBB,,且尸G=Cq=8與

因此四邊形與5G尸為平行四邊形

.■.B1F//BG,而用產(chǎn)/平面

故歷尸〃平面4BE.

題型二：線面平行的性質(zhì)

一、單選題

1.（2021?上海市第五十四中學(xué)高二階段練習(xí)）一條直線若同時(shí)平行于兩個(gè)相交平面，那么這條直線與這兩

個(gè)平面交線的位置關(guān)系是（）

A.異面B.相交C.不能確定D.平行

【答案】D

【分析】由題意設(shè)夕13=l,mlla,ml1/3,然后過直線加作平面/與a,〃都相交，利用線面平行的性質(zhì)定

理與判定定理，即可求解.

【詳解】設(shè)《p=l,mlla,ml1（3,過機(jī)作平面/與a,￡都相交，

記。y=a,0y=b,則有根//a,根//〃,/.a//b,

aS0,buB，:.alIB，aua,a/3-1,

a!m/Il.

【點(diǎn)睛】本題考查線面平行的性質(zhì)定理和判定定理綜合應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.

二、填空題

2.（2021.上海.華東師范大學(xué)松江實(shí)驗(yàn)高級(jí)中學(xué)高二階段練習(xí)）a,b,c表示直線，M表示平面，給出下列

四個(gè)命題：

①若a〃加，b//M,貝?。輆〃b；②若buM,a//b,則a〃〃；

③若4_1_<:,bA-C,則a〃b；④若a_LA/,bA-M,則a〃b

其中正確命題有（填序號(hào)）

【答案】④

【分析】對(duì)于①②③：在正方體ABCD4/B/CQ中，取特殊的平面和直線否定結(jié)論

對(duì)于④：利用線面垂直的性質(zhì)定理即可證明.

【詳解】

在正方體ABCDAiBiCiDi中,

對(duì)于①：取平面M為平面A8CC,取直線A4為直線。，直線8G為直線6,

滿足?！ˋf,b//M,但是a、b不平行.故①不正確；

對(duì)于②：取平面M為平面A8C￡>,取直線AD為直線a,直線3c為直線6,

滿足buM,a//b,但是auM.故②不正確；

對(duì)于③：取直線A4為直線小直線CG為直線c,直線用G為直線人,滿足

a±c,b_Lc,但是a、6不平行.故③不正確；

對(duì)于④：因?yàn)閍_LM,b±M,由線面垂直的性質(zhì)定理可得：a//b.

故④正確.

故答案為：④.

3.（2021?上海師范大學(xué)第二附屬中學(xué)高二期中）若直線〃〃平面a,直線匕在平面a內(nèi)，則直線。與6的

位置關(guān)系為.

【答案】平行或異面

【分析】由直線a〃平面a,直線Z?在平面［內(nèi)，知?！ㄘ?，或。與6異面.

【詳解】解：；直線a〃平面a,直線匕在平面a內(nèi)，

則直線。與平面a內(nèi)任意直線無交點(diǎn)，

/.a//b,或。與6異面.

故答案為：平行或異面.

4.（2017?上海市建平中學(xué)高二期中）如圖，在正方體A8CD4/B/GD/中，AB=2,點(diǎn)E為的中點(diǎn)，點(diǎn)

尸在上.若跖〃平面AB/C,則線段E尸的長度等于.

【答案】6

［分析］根據(jù)直線與平面平行的性質(zhì)定理可得EF//AC,再根據(jù)E為AD的中點(diǎn)可得/為CD的中點(diǎn)，從而根

據(jù)三角形的中位線可得.

【詳解】如圖：

因?yàn)镋F〃平面ABC,EFU平面D4BC,且平面AB＜平面A3CD=AC,

所以EF〃AC,

又因?yàn)镋為4D的中點(diǎn)，所以尸為C￡＞的中點(diǎn)，

所以EF=：AC,

因?yàn)檎襟w的棱長為2.所以AC=2V2,

所以所=JL

故答案為：血.

【點(diǎn)睛】本題考查了直線與平面平行的性質(zhì)定理,屬于基礎(chǔ)題.

三、解答題

5.（2021?上海市南洋模范中學(xué)高二階段練習(xí)）已知空間四邊形ABC。，E、F、G、H分別在A3、BC、

CD、ZM上.

（1）當(dāng)四邊形EFG"是平面四邊形時(shí)，試判斷E"、FG與3D三條直線的位置關(guān)系，并說明理由；

（2）已知當(dāng)AC=a,BD=b,異面直線AC、8。所成角為0,當(dāng)四邊形EFGH是平行四邊形時(shí)，試判

斷E、F、G、H點(diǎn)在什么位置時(shí)，四邊形EFGH的面積最大，試求出最大面積并說明理由.

【答案】（1）見解析；（2）當(dāng)E、F、G、H分別為A3、BC、CD、加中點(diǎn)時(shí)，四邊形EFGH的面積

最大，最大面積為《sin。，說明見解析.

【分析】（1）先定位置，EHlIFG或EH、FG相交，再分情況證明，當(dāng)E"http://FG時(shí)，利用線面平行的性

質(zhì)可得EH//BD,當(dāng)EH、尸G相交時(shí)，證明￡/7,或＞相交即可；

（2）先根據(jù)線線角得四邊形跳G"一內(nèi)角為6,利用平行四邊形的面積公式可得四邊形EFG”的面積

S=2x-EF-FGsin3,再根據(jù)相似比可得黑+黑=1,即牝+牛=1,最后結(jié)合基本不等式即可得出

2ACBDab

答案.

【詳解】解：(1)EH、尸G與3。三條直線平行，或者相交于一點(diǎn)，

因?yàn)樗倪呅蜤FG"是平面四邊形，所以EH//FG或EH、FG相交，

①當(dāng)EH//FG時(shí)，

因?yàn)镋Hu平面ABD,FG<Z平面ABD,

所以尸G//平面

又因?yàn)镕Gu平面C3D,平面CfiDc平面AB￡)=BD,

所以FG//BD,

所以尸G//8D//EH,

所以EH、FG與8。三條直線平行；

②當(dāng)EH、尸G相交時(shí)，設(shè)交點(diǎn)為產(chǎn)，

因?yàn)镋Hu平面ABC,所以尸e平面ABD,

因?yàn)槭珿u平面CB。，所以Pe平面C3。,

又因平面CBDc平面ABr>=jBD,所以尸cBD,

所以EH、FG與三條直線相交于一點(diǎn)；

(2)當(dāng)四邊形瓦GH是平行四邊形時(shí)，

則E"http://尸G,EF//HG,

因?yàn)镋Hu平面ABD,PGU平面ABD,

所以尸G//平面

又因?yàn)槭珿u平面C8D,平面CBDc平面ABD=BD,

所以FG//BD,

同理可得EF//AC,

所以BEFG即為異面直線AC、3。所成的角或補(bǔ)角，則/￡FG=6或萬-6,

則平行四邊形EFGH的面積S=2x：跖.bG-sinO,

在，ABC中，3=黑，

ACZJC

FGCF

在△BCD中,

BD一而，

所以所EG=^.BF.CF,

BC2

當(dāng)且僅當(dāng)=B時(shí)，EF-FG取得最大值二，

4

即E、F、G、H分別為鉆、BC、CD、DA的中點(diǎn)時(shí)，四邊形EFG”的面積最大，最大值為約sinO.

4

題型三：面面平行的判定

一、單選題

1.（2021?上海市進(jìn)才中學(xué)高二期中）如圖為正方體ABCO-A/B/GQ,動(dòng)點(diǎn)M從丹點(diǎn)出發(fā)，在正方體表

面沿逆時(shí)針方向運(yùn)動(dòng)一周后，再回到囪的運(yùn)動(dòng)過程中，點(diǎn)M與平面4。。的距離保持不變，運(yùn)動(dòng)的路程

尤與/之間滿足函數(shù)關(guān)系/=/（尤），則此函數(shù)圖象大致是（）

<vv\

【答案】c

【分析】可知點(diǎn)M沿著.AC21運(yùn)動(dòng)，設(shè)點(diǎn)P為B/C的中點(diǎn)，分析當(dāng)M從囪到P時(shí)，在平面48/C。內(nèi),

作點(diǎn)4關(guān)于3/8的對(duì)稱點(diǎn)4,由MCi=PC：+PM2,分析排除即得解

【詳解】由于點(diǎn)M與平面4。。的距離保持不變，且從S點(diǎn)出發(fā)，因此點(diǎn)M沿著，AC與運(yùn)動(dòng).

設(shè)點(diǎn)尸為SC的中點(diǎn)，當(dāng)M從8/到P時(shí)，如圖所示

在平面AiBiCD內(nèi)，作點(diǎn)Ai關(guān)于BiB的對(duì)稱點(diǎn)4,

則MAi+MD=MA'+MD,

由圖象可知，當(dāng)M從S到P時(shí)，M4/+M。是減小的，是由大變小的，

所以當(dāng)M從8/到尸時(shí)，是逐漸減小的，故排除8,D；

因?yàn)槭?。是定值，MG=QPC；+PM2,函數(shù)是減函數(shù)，類似雙曲線形式，所以C正確；

故選：C

2.（2021?上海市七寶中學(xué)高二期中）在三棱臺(tái)ABC】-ABC中，點(diǎn)。在A4上，且AA〃8。，點(diǎn)/是三

角形內(nèi)（含邊界）的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且有平面瓦亞//平面AACG，則動(dòng)點(diǎn)M的軌跡是（）

A.三角形A與G邊界的一部分B.一個(gè)點(diǎn)

C.線段的一部分D.圓的一部分

【答案】C

【分析】過。作DE〃AC1交8G于E,連接BE,證明平面雙汨〃平面A41cc，得AfeDE,即得結(jié)論.

【詳解】如圖，過。作。E〃AG交4a于E,連接8E,

BD//AA,,8￡>0平面44。。，/區(qū)（=平面44。夕，所以8D//平面441clC,

同理。E//平面A41GC,又BDcDE=D,BD,DEu平面BDE,

所以平面成火〃平面A41GC,所以AfeDE,（M不與O重合，否則沒有平面3DW）,

故選：C.

3.（2020?上海虹口?高二期末）設(shè)口,〃是兩個(gè)不同的平面，加是直線且機(jī)uc.“加是“a/?”的

A.充分而不必要條件B.必要而不充分條件

C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件

【答案】B

試題分析：用ua,w尸得不到a因?yàn)閍,萬可能相交，只要巾和a,￡的交線平行即可得到

m/3；a洲ua,和尸沒有公共點(diǎn)，，用P，即a"尸能得到（；...“""/"是"a"尸"

的必要不充分條件.故選B.

考點(diǎn)：必要條件、充分條件與充要條件的判斷.

【方法點(diǎn)晴】考查線面平行的定義，線面平行的判定定理，面面平行的定義，面面平行的判定定理，以及

充分條件、必要條件，及必要不充分條件的概念，屬于基礎(chǔ)題；，，：尸并得不到a萬，根據(jù)面面平行的判

定定理，只有a內(nèi)的兩相交直線都平行于尸，而a尸，并且mua,顯然能得到電產(chǎn)，這樣即可找出

正確選項(xiàng).

二、填空題

4.（2020?上海交大附中高二期中）給出下列命題：

①任意三點(diǎn)確定一個(gè)平面；

②三條平行直線最多可以確定三個(gè)個(gè)平面；

③不同的兩條直線均垂直于同一個(gè)平面，則這兩條直線平行；

④一個(gè)平面中的兩條直線與另一個(gè)平面都平行，則這兩個(gè)平面平行；

其中說法正確的有（填序號(hào)）.

【答案】②③

【解析】對(duì)四個(gè)選項(xiàng)進(jìn)行逐一分析即可.

【詳解】對(duì)①：根據(jù)公理可知，只有不在同一條直線上的三點(diǎn)才能確定一個(gè)平面，故錯(cuò)誤；

對(duì)②：三條平行線，可以確定平面的個(gè)數(shù)為1個(gè)或者3個(gè)，故正確；

對(duì)③：垂直于同一個(gè)平面的兩條直線平行，故正確；

對(duì)④：一個(gè)平面中，只有相交的兩條直線平行于另一個(gè)平面，兩平面才平行，故錯(cuò)誤.

綜上所述，正確的有②③.

故答案為：②③.

【點(diǎn)睛】本題考查立體幾何中的公理、線面平行的判定，屬綜合基礎(chǔ)題.

5.（2021.上海市亭林中學(xué)高二階段練習(xí)）正方體4與GR中，平面A耳2和平面8CQ的位置關(guān)系

為;

【答案】平行

【詳角星】解：VABi^CiD,ADi/ZBCi,ABiU平面ABiDi,ADi<=平面ABiDi,ABiHADi-A

CiDu平面BCiD,BCiu平面BCiD,CiDABC尸Ci由面面平行的判定理我們易得平面ABiDi〃平面BCiD

故答案為平行

6.（2021?上海奉賢區(qū)致遠(yuǎn)高級(jí)中學(xué)高二期中）如圖，在棱長為2的正方體ABC。-A烏GR中，E、F、G父

別為AB、8C、G2的中點(diǎn).點(diǎn)尸在底面內(nèi)，若直線。丁與平面跳G無公共點(diǎn)，則線段2尸的最小值

為.

【答案】A/6

【分析】連結(jié)2A,AC,DC,推導(dǎo)出EF〃平面ACR,EG〃平面ACR,從而平面EFG〃平面AC，,

推導(dǎo)出點(diǎn)尸在直線AC上，在△ACR中，AD\=AC=CD1=2Q,S期。=2相，由此能求出當(dāng)，AC時(shí)，

線段2P的長度最小，并能求出最小值.

【詳解】

連結(jié)QA,AC,DXC,

E,F,G分別為A3,BC,C2的中點(diǎn)，

AC//EF,仁平面AC，，ACu平面AC，，

.?.￡/〃平面45］,

EG//ADt,EG仁平面ACDX,AD{u平面ACD1,

「.EG//平面ACO1,

EFEG=E,；.平面EFG//平面AC?,

2尸//平面跳6,

二點(diǎn)尸在直線AC上，在△AC。中，當(dāng)RPLAC時(shí)，線段的長度最小，

22

ADX=AC=CD、=V2+2=2點(diǎn),

S9c=~x2^2x2夜xsin60°=2百,

26.17

二.當(dāng)RPLAC時(shí)，線段2尸的長度最小，最小值為匚市

2

故答案為：瓜■

7.（2021?上海市延安中學(xué)高二期中）已知正方體的體積為64,點(diǎn)及尸分別是線段8CCG

的中點(diǎn)，點(diǎn)G在四邊形BCG4內(nèi)運(yùn)動(dòng)（含邊界），若直線AG與平面AEF無交點(diǎn)，線段CG的取值范圍為

【答案】［30,2君］

【分析】分別取線段4G、與8的中點(diǎn)p、Q,連接AP、A?、PQ,證明平面AEF〃平面4尸。，可得當(dāng)

G與尸（或。）重合時(shí)，CG取最大值，當(dāng)G在PQ的中點(diǎn)R時(shí)，CG有最小值，利用勾股定理求得線段CG

的取值范圍.

【詳解】分別取線段用￡、耳B的中點(diǎn)尸、Q,連接4尸、A。、PQ,

連接正，BG，由三角形中位線定理可得PQ//BG，EF//BQ,；.PQ//EF,

又：PQu平面APQ,EFa平面APQ,.,.跖//平面APQ,

同理可證，AE7/平面4尸。，

又AEcEF=E,.,.平面AE尸//平面4尸。，故點(diǎn)G在線段P。上運(yùn)動(dòng)（含端點(diǎn)位置）.

當(dāng)G與P（或Q）重合時(shí)，（CG）i=CP=JCC；+G尸=,不+2?=2也:

當(dāng)G在P。的中點(diǎn)R時(shí)，（CG）mM=CR=,Cy_Rp2=《2肩一（何=372.

CGe［30,2⑸.

故答案為：［30,2遂］

8.（2020?上海?華師大二附中高二期中）已知正三角形ABC的邊長4石，則到三個(gè)頂點(diǎn)的距離都為2的平

面有一個(gè)；

【答案】8

【分析】分類討論，三個(gè)頂點(diǎn)都在平面的同一側(cè)，三個(gè)頂點(diǎn)在平面的兩側(cè)，一側(cè)一個(gè)，另一側(cè)兩個(gè).

【詳解】若此平面與平面ABC平行，這樣的平面有2個(gè)到三頂點(diǎn)距離為2；

若此平面與平面ABC相交，

則一定過三角形其中兩邊的中點(diǎn)，

由于三角形邊長為46，

因此如過A3的中點(diǎn)。和AC的中點(diǎn)E的平面，

到三頂點(diǎn)距離為2的有兩個(gè)，這樣共有6個(gè)，

所以所求平面?zhèn)€數(shù)為8.

故答案為：8.

【點(diǎn)睛】本題考查點(diǎn)到平面的距離，由于是三角形的三個(gè)頂點(diǎn)到平面的距離相等，因此要分類討論，即三

角形所在平面與所求平面平行和相交兩種情形，相交時(shí)為保證距離相等，平面必定過三角形兩邊中點(diǎn).屬

于較易題.

三、解答題

9.（2021?上海?位育中學(xué)高二期中）如圖，在斜三棱柱ABC-A與G中，AC=BC,。為A8的中點(diǎn)，2為

4片的中點(diǎn)，平面ABC，平面A844,異面直線BG與AB1互相垂直.

⑴求證：平面ADC〃平面5RG；

（2）已知AC==6,設(shè)CG到平面A叫A的距離為x,試問x取何值時(shí)，三棱柱ABC-的體積最

大？并求出最大值.

【答案】（1）證明見解析（2）x=3應(yīng)時(shí)，體積最大為36

【分析】（1）由平面與平面平行的判定證明；

（2）結(jié)合幾何關(guān)系（線面垂直、相似三角形）設(shè)法先求出/4刖，再求出9.ACD的體積，由體積對(duì)應(yīng)關(guān)系

推導(dǎo)出匕.TBC,利用函數(shù)思想通過二次函數(shù)求最值.

（1）證明：在斜三棱柱ABC-A與G中，四邊形ABBiA是平行四邊形，

且。為A3的中點(diǎn)，R為4月的中點(diǎn)，.?.AA/ABD且A2=&＞，

.??四邊形為平行四邊形，則AO//RB,

ADct平面BD￡,D{Bu平面BD^,

二a。//平面BAG，連接。2,如圖所示，

:.DD\/IAAJCC、,且叫二四一6，

則四邊形。2GC為平行四邊形，

DCUDG，且DC仁平面BD￡,"Gu平面BAG,

DC//平面B2C],

\D^DC=D,且A。，DCu平面A。。,

???平面ADC〃平面BAG；

?平面4耳。1平面43與4，，平面A5C_L平面43耳4,

且平面ABC】平面ABB|A=AB,CDLAB,CDu平面ABC,

\CD人平面ABB^,CG//平面ABB^,

；?"i與平面A四A的距離x=CD,

(54。<2平面4244，:.CDLA,D,在用△AOC中，AC=6,則4?=<36-N(0<x<6),

?■?BDt=屈”,

(20，平面4844，則GQ，平面ABgA，而Agu平面ABgA，.?.CQJ.A/

且A耳，BQ,又CRBC,=C,,CQ,2。1匚平面8。?,二4男，平面8。6，且BRu平面5。6，

.■.AB^BDJ,記交點(diǎn)為E,則三角形A￡B為直角三角形，

AEABBE2,---------

△BRES3E,且與石一片2一即1]，Ag=6,即=j36-x"

B[E=2,D]E=；｛36—爐,SB]ED[=gB[E?D[E=1736-X2,

*,■AAD=BBD=3SBFD

A|AUDD|L)\D]cz>|=>，/36—V,

_2x?，36-%2

■1?V,ACD=-S.AADCD=*‘36-x-,=

〃—D)

i4|-AC3ZAA]AL)3A]ACA-AC￡z—3

,,9MG-女'=3匕-ABC=2%?J36-%2(0<x<6),設(shè)y=：2x^36-x2,

2422

Bpy=2A/36X-X=2^x(36-x),當(dāng)f=18時(shí)，即x■=3A/2，三棱柱ABC-A4G的體積最大，匕向G-ABC=36.

題型四：面面平行證明線線平行

一、單選題

1.（2021?上海大學(xué)附屬南翔高級(jí)中學(xué)高二期中）已知正方體平面萬和線段AA，BBt,

CC,,分別交于點(diǎn)E,F,G,H,則截面EEG”的形狀不可能是（）

A.梯形B.正方形C.長方形D.菱形

【答案】A

【分析】根據(jù)面面平行的性質(zhì)定理，可以得出￡7〃/八7,EF//HG,由此可推斷四邊形跖G”一定為平行

四邊形，從而可得出答案.

【詳解】因?yàn)槊鍭D2A〃面BCG4，面萬門面40,4=￡"，面乃c面3CC4=EG,

所以EHHFG,

同理可得EF////G,所以四邊形EbG”為平行四邊形，

所以截面的形狀不可能是梯形.

若面1〃面ABC。，此時(shí)四邊形E尸GH是正方形，也是菱形；

當(dāng)E,"是所在棱的中點(diǎn)，F(xiàn),G分別與反C重合時(shí)，四邊形EFG8是長方形.

2.（2021?上海?高二專題練習(xí)）如圖，正方體48。-48￡2的棱長為1，P為3C的中點(diǎn)，。為線段CG

上的動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)A、尸、Q的平面截該正方體所得的截面記為S,給出下列三個(gè)結(jié)論:

②當(dāng)CQ=:時(shí)，S為等腰梯形；

③當(dāng)CQ=1時(shí)，S的面積為邁；

2

以上結(jié)論正確的個(gè)數(shù)是（）

A.0B.1C.2D.3

【答案】D

【分析】根據(jù)題意作出滿足條件的圖形，由線線，線面，面面關(guān)系結(jié)合正方體的結(jié)構(gòu)特征找出截面再論證

得到結(jié)論.

【詳解】當(dāng)CQ=g時(shí)，即。為C。中點(diǎn)時(shí)，如圖所示：

所以截面AP0Q為等腰梯形，故②正確；

由上圖當(dāng)點(diǎn)。向C移動(dòng)時(shí)，滿足。<CQ<g,只需在DQ上取點(diǎn)M滿足尸0///〃，如圖所示:

故可得截面APQM為四邊形，故①正確;

當(dāng)CQ=1時(shí)，。與G重合，如圖所示：

取42的中點(diǎn)E連接AE因?yàn)槠矫妗ㄆ矫鍮CG耳，所以尸￡//4/，且尸q=AF,又CJ=AF,

所以截面APCF為菱形，所以其面積s=gaG?尸尸=：6-3=半，故③正確.

故選：D

【點(diǎn)睛】本題主要考查命題的真假判斷以及正方體的截面問題，還考查了空間想象和推理論證的能力，屬

于中檔題.

二、填空題

3.（2021?上海市進(jìn)才中學(xué)高二期中）已知正三棱錐尸-ABC底面面積％g=3,點(diǎn)。在高尸。上且

2PQ=QO,則經(jīng)過Q點(diǎn)且平行于底面的截面面積為.

【答案】|

【分析】根據(jù)面面平行的性質(zhì)可得經(jīng)過。點(diǎn)且平行于底面的截面三角形的邊長與底面，ABC邊長之比，由

面積之比等于邊長之比的平方即可求解.

【詳解】如圖：正三棱錐P—ABC中，PO1ABC,因?yàn)?PQ=Q。，所以第=g,

經(jīng)過。點(diǎn)且平行于底面的截面為平面DEF,

因?yàn)槠矫鍰EF〃面ABC,

平面。砂c面RLBuDE,平面ABC1面=所以DE7//W,

PEPDDEPQ

同理可證明。Q//AO,所以

PB-PAAB-PO-3

所以￥=所以S."EF=4S.C=：X3=],

31ABCW,>"‘

故答案為：—

三、解答題

4.（2021?上海市徐匯中學(xué)高二期中）已知正三棱柱的所有棱長都是1

⑴畫經(jīng)過ABC三點(diǎn)的截面

（2）過棱8c作和底面成60二面角的截面，求此截面面積.

【答案】（1）見解析（2）竽

【分析】（1）連接A8與8s交于點(diǎn)尸，連接AC與4c交于點(diǎn)°,再連接尸。即可；

⑵取BC的中點(diǎn)E,連接AE,EF,得到是截面與底面所成的角，由AF=A￡.tan60

得到截面不與棱AA相交，與平面4內(nèi)￡相交于RS，得到截面為梯形&S8C求解.

⑴如圖所示;

連接AB與g8'交于點(diǎn)P,連接AC與4G交于點(diǎn)。

然后連接尸。與B'C'交于點(diǎn)M,與交于點(diǎn)N,

所以經(jīng)過ABC三點(diǎn)的截面是ABMN；

(2)如圖所示:

取8c的中點(diǎn)E,連接AE,EF,

所以NAEF是截面與底面所成的角，即NA斯=60。,

因?yàn)锳E=3,

2

3

所以AF=AE-tan60=^>\A,

所以截面不與棱AA相交，與平面相交于知,

因?yàn)槠矫鍭BC”平面ABC,

所以而7/8C,

所以截面為梯形RSBC,

又"三，防=磊=省,

所以5.=：80所=3,

2

因?yàn)?1

~9,

SFRS=~S.FBC=~X~^=~'

所以截面的面積為s=s〃一Sms=等一的=苧

5.(2021?上海?復(fù)旦附中高二期中)已知正方體A8C。-A4CQ的棱長為2,若M,N分別是CC”AR的

中點(diǎn)，作出過加，N,B三點(diǎn)的截面，并求出這截面的周長.

【答案】作圖答案見解析，周長為竺+芷+巫.

623

【分析】根據(jù)一個(gè)平面與兩個(gè)平行平面相交交線平行即可做出截面，再根據(jù)平行線分線段成比例，三角形

相似、三角形全等利用勾股定理求出截面圖形各個(gè)邊長即可求周長.

【詳解】

連接因?yàn)槊婧?，?！鍮CG耳，所以截面與兩平面的交線平行,

過點(diǎn)N作M7/3M交AA于點(diǎn)尸，連接所，

同理過點(diǎn)M作ME加7交G2于E，連接A?，

則五邊形BMENF即為所求截面，

因?yàn)镃陽〃24，M是CC,的中點(diǎn)，所以=PGM，可得CF=BC=2,

,D.END.1124

因?yàn)镹D、EPCE,所以第=黃=5，所以QE=「EC「可得2石=/，EC=-,

Xc。］L。］z23r3

AQ=*=］,

2

因?yàn)?/〃2與，所以某=等=$一=：,所以4P=；,AF=1,

3

所以5尸=

+1=|-BAf=收+儼f,

所以這截面五邊形3MENF的周長為9+且+史+3+?=當(dāng)+垣+史.

2233623

題型五：面面平行證明線面平行

一、單選題

1.（2019?上海?復(fù)旦附中高二期中）如圖，在棱長為2的正方體ABC。-A耳￡2中，耳尸,G分別是棱

AB.BCCG的中點(diǎn)，尸是底面A3CD內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)，若直線2P與平面E尸G不存在公共點(diǎn)，則三角形尸的

面積的最小值為

A.互B.1C.J2D.2

2

【答案】C

【分析】延展平面E/G,可得截面EFG//OR,其中〃、0、R分別是所在棱的中點(diǎn)，可得RP//平面

所GHQR,再證明平面'AC//平面所GHQ?,可知在AC上時(shí)，符合題意，從而得到尸與。重合時(shí)三角

形尸8月的面積最小，進(jìn)而可得結(jié)果.

【詳解】

延展平面MG,可得截面所GHQR,其中X、Q、R分別是所在棱的中點(diǎn),

直線2尸與平面E產(chǎn)G不存在公共點(diǎn),

所以。尸//平面所GHQR,

由中位線定理可得AC//EF,

E尸在平面瓦'GHQR內(nèi)，

AC在平面E/GHQR外，

所以AC//平面EPGHQR,

因?yàn)?尸與AC在平面RAC內(nèi)相交，

所以平面2AC//平面EFGHQR,

所以P在AC上時(shí)，直線與平面班G不存在公共點(diǎn)，

因?yàn)锽O與AC垂直，所以尸與。重合時(shí)BP最小，

此時(shí)，三角形尸8片的面積最小，

最小值為gx2x亞=痣，故選C.

【點(diǎn)睛】本題主要考查線面平行的判定定理、面面平行的判定定理，屬于難題.證明線面平行的常用方法：

①利用線面平行的判定定理，使用這個(gè)定理的關(guān)鍵是設(shè)法在平面內(nèi)找到一條與已知直線平行的直線，可利

用幾何體的特征，合理利用中位線定理、線面平行的性質(zhì)或者構(gòu)造平行四邊形、尋找比例式證明兩直線平

行.②利用面面平行的性質(zhì)，即兩平面平行，在其中一平面內(nèi)的直線平行于另一平面.

二、填空題

2.（2021.上海市七寶中學(xué)高二階段練習(xí)）若直線。、6是平面a內(nèi)的兩條直線，且“、b均在平面夕外.則

“a〃6，。//尸”是“a/勿”的條件.

【答案】必要不充分

【分析】根據(jù)面面平行的判定定理及性質(zhì)結(jié)合充分性和必要性的定義即可得出答案.

【詳解】解：若直線。、6是平面a內(nèi)的兩條直線，且。、6均在平面夕外，

當(dāng)a〃夕，blip,且。,6相交時(shí)，al1/3,當(dāng)a,b不相交時(shí)，無法判斷兩平面的位置關(guān)系，

故“a%,姐0"不是“a/夕，的充分條件，

當(dāng)&//￡,則a//￡,blip,所以“a//￡,從/”是“a%”的必要條件，

所以“R/夕,萬//”是“a/〃”的必要不充分條件.

故答案為：必要不充分.

3.（2021?上海市文來中學(xué)高二期中）如圖，長方體ABCO-A4G，中，AD=1,DD、=2,AB=6E,F,G

分別為ABIC,GR中點(diǎn)，點(diǎn)尸在平面ABC。內(nèi)，若直線。尸〃平面跳G,則線段與尸長度的最小值是

【分析】首先找出過點(diǎn)2且與平面所G平行的平面，然后在所作的平面內(nèi)找線段長度的最小值即可.

【詳解】連接2A,，C,AC,

因?yàn)橥呤?G分別為AB,BC,CR中點(diǎn)，

所以AC//EF,又因?yàn)槊鍭C，，ACu面AC',所以班〃面AC',

同理EG//面ACD],

又因?yàn)镋GIEPnE,所以面EFG〃面AC，，

因?yàn)橹本€〃平面EFG,所以點(diǎn)尸在直線AC上，且當(dāng)AC時(shí)，線段RP的長度最小，

在△AC2中，肛=#),AC=2,CD、=幣,

所以cos/D|AC=^^,sinZD,AC=,

1010

所以SACD='x2義如義近,

c12102

在△ACQ中，設(shè)AC邊上的高為/z,

則,x2x/?=巫，所以/?=典，即線段。/長度的最小值為亞.

ACD'2227

B

三、解答題

4.（2021?上海浦東新?高二期中）已知P是矩形A3CZ）所在平面外一點(diǎn)，M,N分別是AB,PC的中點(diǎn),

求證：〃平面PAD.

M

【分析】解法1：取尸D中點(diǎn)G,連接G4,GN,由三角形中位線定理結(jié)合已知條件可得四邊形4WNG是

平行四邊形，從而得MN//AG,再利用線面平行的判定定理可證得結(jié)論，

解法2：取CO中點(diǎn)連接HN,則由三角形中位線定理和平行四邊形的性質(zhì)可得HN//DP,

HM//DA,再由面面平行的判定定理可得平面HNM//平面PAD,然后由面面平行的性質(zhì)可得結(jié)論

【詳解】解法（1）取尸。中點(diǎn)G,連接G4,GN,

G是尸。中點(diǎn)，N是PC中點(diǎn)，^GNIIDC,GN=；DC,

M是矩形邊AB中點(diǎn)，^AM//DC,AM^-DC,

2

GNHAM,GN=AM,所以四邊形AAWG是平行四邊形，

nMN/IAG,且MN是平面R4D外的一條直線，AG是平面B4D上的一條直線，

〃平面BID

解法（2）取C。中點(diǎn)H,連接引0,HN,

H是。C中點(diǎn)，N是PC中點(diǎn)，所以HN//DP,

因?yàn)镸是A3的中點(diǎn)，H是CO的中點(diǎn)，

所以AA/=：AB,￡>H=goC,

因?yàn)锳B=CD,AB//CD,

所以=AM//DH,

所以四邊形AMHD為平行四邊形

所以HM//DA,

因?yàn)槠矫媸珹D,DPu平面R4D,碗（2平面PAD,2Mu平面尸AD,

所以〃平面PA￡>,HM//平面上4Z）,

因?yàn)镠7VHM=H

所以平面印皿〃平面PA￡）,

因?yàn)锳INu平面HNM,所以MN〃平面PAD.

aw

題型六：空間平行的轉(zhuǎn)化

一、填空題

1.（2021?上海市復(fù)興高級(jí)中學(xué)高二期中）過平面外一點(diǎn)與這個(gè)平面平行的直線有條

【答案】無數(shù)

【分析】結(jié)合平面的基本性質(zhì)，以及線，面平行判定定理和性質(zhì)定理，即可得到結(jié)論.

【詳解】如圖所示，因?yàn)辄c(diǎn)Ai夕，在平面a作兩條相交直線。,6,

由直線。與點(diǎn)A可以確定一個(gè)平面夕，在平面夕內(nèi)過點(diǎn)A作c//a,

由直線b與點(diǎn)A可以確定一個(gè)平面7,在平面/內(nèi)過點(diǎn)A作d//a,

因?yàn)閏「d=A口c//a,d//a,設(shè)直線c與d確定平面Af,則平面Af//a,

在平面“內(nèi)過點(diǎn)A的所有直線都平行與平面a,

故過平面外一點(diǎn)能作出無數(shù)條直線和這個(gè)平面平行.

故答案為：無數(shù)條.

2.（2019?上海?復(fù)旦附中高二期中）如圖，在棱長為1的正方體ABCO-A耳GR中，/是平面與平面

ABCD的交線，則點(diǎn)Q到I的距離是.

【分析】由BQ///,得到點(diǎn)2到/的距離即是兩條平行線間的距離，通過A到BQ的距離求出BQ和/兩條

平行線的距離.

【詳解】在正方體A3。-44G2中，

1?,平面451G2〃平面ABCD

〃平面ABCD,

I是平面ABXD｝與平面ABCD的交線，

■.B.DJ/1,

則點(diǎn)2到/的距離即是BR和/兩條平行線的距離，

而A到42的距離也是耳2和/兩條平行線的距離.

在正方體ABCD-AB￡R中，04=Afi,==夜，

?-?A瓦R是正三角形，A至!J8Q的距離為貶文走=必，

22

則點(diǎn)2至卜的距離也是好.

2

故答案為如

2

【點(diǎn)睛】本題考查了直線與平面平行、平面與平面平行的性質(zhì)，和兩條平行線之間的距離，注意當(dāng)某些條

件不易直接求時(shí)，可轉(zhuǎn)換成與其相等的另外條件來求，屬于中等題.

二、解答題

3.（2021?上海市延安中學(xué)高二期中）如圖，作出平面EFG截長方體所得的截面（不必寫出畫圖步驟，但

需保留作圖痕跡）.

【分析】利用面面平行的性質(zhì)定理，平面跳G與長方體左右面的交線平行，上下兩個(gè)面的交線平行，因此

還需過E作即FG,交GA于尸；過G作G?！?，交CG于。，連接PQ即可.

【詳解】

D,

說明：由于不知道及EG三個(gè)點(diǎn)的具體位置，故該圖只是可能的一種情形.

Q鞏固提升

一、單選題

1.（2021.上海市徐匯中學(xué)高二期中）若/，加是平面a外的兩條不同直線,且就/a,則“/〃”/'是"http:///a”

的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

【答案】A

【分析】根據(jù)線線、線面的平行關(guān)系，結(jié)合條件間的推出關(guān)系，判斷“/〃機(jī)”、之間的充分、必要關(guān)

系.

【詳解】m是平面a外的兩條不同的直線，，"〃口,

...若〃/加,則推出“///a”；若///a,則/〃機(jī)或/與加相交；

?,.若/,機(jī)是平面a外的兩條不同直線，Jim/la,貝『'///加"是"http:///a”的充分不必要條件.

故選：A.

2.（2021.上海.高二專題練習(xí)）在