專題6.37相似三角形幾何模型一線三等角（鞏固篇）

（專項練習(xí)）

一、單選題

1.如圖，矩形ABC。中，AD=2,AB=5,在邊CD上取一點P,使得與APBC相似，則這樣的

點P共有（）

A.1個B.2個C.3個D.4個

2.如圖，已知矩形ABC。中，點￡是邊AD上的任一點,連接BE,過E作3E的垂線交BC延長線于

點居交邊。于點P,則圖中共有相似三角形（）

C.4對D.3對

3.如圖，在正方形ABCD中，E為BC中點，DF=3FC.聯(lián)結(jié)AE、AF.EF.那么下列結(jié)果錯誤

的是（）

A.八45￡與AECF相似B.八鉆￡■與△⑷卯相似

C.△ABE與AADF相似D.44EF與AECF相似

4.如圖，已知AABC和AAOE均為等邊三角形，點。在BC邊上，OE與AC相交于點孔圖中相似

的三角形有（）對.

E

/

BDC

A.3B.4C.5D.6

5.如圖，在矩形ABC。中，點瓦尸分別在3C,CD邊上，￡FLAE,9LAC于點打，E尸與AC交于

點M,BH與AE交于苴N,則下列結(jié)論錯誤的是

A.\EFC~\AEBB.AECA/~AABN

C.ACFM~NBEND.AANH-AEFC

6.如圖，已知矩形ABCD中，點E是邊上的任一點，連接BE,過E作跖的垂線交BC延長線于

點尸，交邊C。于點P,則圖中共有相似三角形（）

A.6對B.5對C.4對D.3對

7.如圖，E是正方形ABCD的邊BC上一點，下列條件中：①NBAE=/CEF；②ZAEB=NEFC；

ARRPAFAR

③AELEF；④空=票；⑤簟=空.其中能使AABESAECF的有（）

A.①②B.①②③

C.①②③④D.①②③④⑤

8.如圖，在矩形A8CQ中，點E為上一點，且AB=8,AE=3,8C=4,點尸為A8邊上一動點,

連接尸C、PE,若AB4E與APBC是相似三角形，則滿足條件的點P的個數(shù)為（

A.1B.2C.3D.4

9.如圖，已知矩形A03C的頂點。在坐標(biāo)原點，點A的坐標(biāo)是（一2,1）,點3的縱坐標(biāo)是3,則

點。的坐標(biāo)是（）

A.1別B.[A]C.（J,2間D,1，2閭

10.如圖，矩形A2C0,點A、C在坐標(biāo)軸上，點B的坐標(biāo)為（-2,4）.將^ABC沿AC翻折，得到△ADC,

則點。的坐標(biāo)是（）

-----;C

/、

，，一

，/，/

i,

_匚________________

AOx

A-B-[M]c-居T

二、填空題

11.如圖，在矩形ABC。中，AB=10,A,DP=4是CO邊上的一個動點，貝U當(dāng)AAOP與ABCP相似時,

DP=__________.

DC

P

12.如圖，將邊長為6cm的正方形ABCD折疊，使點。落在邊的中點E處，折痕為切，點C落

在點。處，EQ與BC交于點G,則A￡BG的周長是cm.

13.如圖，將矩形紙片ABC。沿AE折疊，使點B落在對角線AC上的點尸處，再沿EG折疊，使點C

落在矩形內(nèi)的點H處，且E、F、H在同一直線上，若AB=6,BC=8,則CF=,CG=

14.如圖，AB=4,射線和4B互相垂直，點。是42上的一個動點，點E在射線上，BE=g

DB,作E￡LOE,并截取跖=。￡,連接AF并延長交射線于點C,設(shè)8E=x,BC=y,則y關(guān)于x的

函數(shù)解析式為.

15.如圖，在邊長為7的正方形ABC。中放入四個小正方形后形成一個中心對稱圖形，其中兩頂點E,

尸分別在邊BC,上，則放入的四個小正方形的面積之和為一.

16.如圖，在矩形ABCQ中，4B=3,8c=4,點尸為射線BC上的一個動點，過點P的直線尸。垂直

于AP與直線CD相交于點。，當(dāng)8尸=5時，CQ=.

17.如圖，尸為線段A8上一點，AD與BC交于點E,/CPD=/A=NB,BC交尸。于點居AD交

18.如圖，點E是矩形ABCD的邊CD上一點，把AADE沿AE對折，使點D恰好落在BC邊上的F

點處.已知折痕AE=10j5cm,且治==，那么該矩形的周長為______cm.

FC4

19.如圖，在矩形ABC。中，A2=2,BC=3,點加是BC邊上的一個動點（點M不與點2、C重合）,

BM=x,將沿著AM折疊，使點8落在射線MP上的點夕處，點E是C。邊上一點，CE=y,將

△OWE沿ME折疊，使點C也落在射線上的點C'處，當(dāng)y取最大值時，XCME的面積為.

20.如圖，在AABC中，已知A5=AC=4,BC=6,P是BC邊上的一動點（尸不與點8、C重合）.

連接AP,NB=ZAPE,邊尸E與AC交于點。，當(dāng)AAFD為等腰三角形時，則PB之長為.

三、解答題

21.如圖，AB，3D,CD，3D,48=6,8=4,3。=14,點尸在8。上移動，當(dāng)以尸，C,。為頂點的

三角形與△ABP相似時，求3P的長.

22.如圖，在AABC中，點￡＞、E分別在邊BC、4C上，連接A￡＞、DE.且/8=NAOE=/C.

（1）證明：XBDAsXCED；

（2）若/B=45。，BC=6,當(dāng)點。在BC上運動時（點。不與3、C重合）.且AAOE是等腰三角形,

求此時8。的長.

23.如圖，在AABC中，45=AC,點E在邊2C上，滿足ZDEF=ZB,且點O,尸分別在邊A8,

AC上.求證：ABDEsMEF.

24.如圖，已知CDLBD.

（1）若AB=9,CD=4,%＞=10,請問在上是否存在點P,使以P,A,B三點為頂點的三角形

與以P,C,D三點為頂點的三角形相似？若存在，求3P的長；若不存在，請說明理由;

(2)若AB=9,CD=4,BD=12,請問在3D上存在幾個點使以三點為頂點的三角形與以P,C,D

三點為頂點的三角形相似？并求的長.

25.如圖1,兩個全等的等邊三角形如圖放置，AC與DE交于點G,點D是AB的中點，BC與DF

交于點K,連接GK.

(1)寫出兩對相似(不含全等)三角形；

(2)求證：/GKD=/BKD；

(3)若將條件中的兩個全等的等邊三角形改為兩個全等的等腰三角形(DF=EF=AC=BC),如

圖2,其余條件不變，直接判斷(1)(2)中的結(jié)論是否依然成立.

26.感知:數(shù)學(xué)課上,老師給出了一個模型:如圖1,點A在直線OE上，且/3D4=/54C=NAEC=90。,

像這種一條直線上的三個頂點含有三個相等的角的模型我們把它稱為“一線三等角”模型.

(1)如圖2,RtZXABC中，ZACB=90°,CB=CA,直線￡?經(jīng)過點C,過A作AD_L￡D于點O,過B作

BELED于點、E.求證：ABEC*CDA；

(2)如圖3,在AABC中，。是BC上一點，NC4r>=90。，AC=AD,ZDBA=ZDAB,AB=2布,求

點C到A3邊的距離；

(3)如圖4,在乙鉆8中，E為邊3c上的一點，尸為邊上的一點.若NDEF=NB,AB=10,BE=6,

EF

求應(yīng)的值.

參考答案

1.C

【分析】

如圖，以為直徑作。。交CD于點P,P2,連接AB,BP1,AP2,BP2.則,

△ADP2s△△RCB,取CO的中點尸3,連接APs,BP3,則△ADP3s△P3CS由此可得結(jié)論.

解：如圖，以AB為直徑作。。交C。于點B,P2,連接AB,BPi,AP2,BP2.

「AB為。。直徑，

AZA/?B=90°,

/明。+/期。=90。，

??,458為矩形，ZADC=90°,

/.ZDAPt+ZAP1D=90°,

：.ZDAPt=ZBPtC,

...AADPyAPiCB,

同理△ADP2s4P2CB,

取CO的中點P,連接4P3,BP3,則同理△AOP3s△HCB,

故選：C.

【點撥】本題考查相似三角形的判定，矩形的性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是靈活運用所學(xué)知識解決問題,

屬于中考常考題型.

2.A

【分析】

根據(jù)矩形的性質(zhì)，得到直角和平行線，利用相似三角形的判定和性質(zhì)進(jìn)行推理判斷即可.

解：??,四邊形ABCD是矩形，

；?ZEDP=ZFCP=90°f

9：ZEPD=ZFPC,

：.AEDPs2FCP：

ZFEP=ZFCP=90°,

VZF=ZF,

AFEBSAFCP；

:?XFEBSXEDP：

丁四邊形ABC。是矩形，

???ZA=ZD=90°,

ZBEF=90°,

；?/AEB+/DEP=90。,ZAEB+ZABE=90°,

：.ZDEP=ZABE,

/.AEDPSABAE；

AFCPsABAE；

:.XFEBSXBAE：

共有6對，

故選A.

【點撥】本題考查了矩形的性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，互余原理，熟練掌握三角形相似的判定

定理是解題的關(guān)鍵.

3.C

【分析】

根據(jù)正方形的性質(zhì)及勾股定理逆定理可以判斷△AEF是直角三角形，再根據(jù)三角形相似的判定可以選

出結(jié)果錯誤的選項.

解：設(shè)正方形邊長為1,則由己知可得：=+；n—rVs_r—9~5

,EF=--1------=—,AF=.1-1-----=—,

4164V164

55?5

???陋+左丁1r1re.?.△AEF是直角三角形,

.,.在RTAABE、RTAECF>RTAADF、RTAAEF中,

ABECAEAD4

ZB=ZC=ZAEF=ZD,

BE-CF-EF--，DF-3

...RTAABE、RTAECF、RTAAEF兩兩相似，但是△ABE與AADF不相似,

:.A、B、D正確，C錯誤,

故選C.

【點撥】本題考查正方形與三角形相似的綜合應(yīng)用，靈活運用正方形的性質(zhì)和三角形相似的判定是解

題關(guān)鍵.

4.C

【分析】

由等邊三角形的性質(zhì)得出NBAC=/B=/C=/ZME=NAOE=/E=60。，得出△ABCSZ\AZ）E,再

證出/區(qū)4￡）=/曲￡,得出由NA產(chǎn)￡=NDFC,Z￡=ZC,證出/s△￡）（;—得出

xABDs△DCF；由ND4F=NC4O,ZADF=ZC,即可得出AAOFs/vic。.

解：圖中的相似三角形有AABCS△&￡）￡,^ABD^AAEF,AAEFS^DCF,AABDS/\DCF,

^ADF^AACD；理由如下：

ZXABC和AADE均為等邊三角形，

ZBAC=NB=ZC=ZDAE=NADE=ZE=60°,

△ABCs△ADE；

'：ZBAC=ZDAE,

：.ZBAD=ZFAE,

：.AABD^AA￡F；

?；NAFE=NDFC,/E=/C,

：.AAEFsADCF,

：.AABDsADCF；

'：ZDAF=ZCAD,ZADF^ZC,

：.AADF^AACD,

故選：C.

【點撥】本題考查了等邊三角形的性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)；熟練掌握等邊三角形的性質(zhì)，并

能進(jìn)行推理論證與計算是解決問題的關(guān)鍵.

5.D

【分析】

根據(jù)矩形四個角都是直角，又匹_LAE,BH，AC,利用等角的余角相等，逐個判別可以得出結(jié)論.

解：如圖：

A.在AEFC、AAEB中，

.四邊形ABCD是矩形，且

?.Zl+Z2=90°,Z4+Z2=90°

.-.Z4=Z1,S.ZECF+ZABE=90°

AEFC-AAEB,A正確；

B.在AECM、AABN中，

???四邊形A3CD是矩形，且跖，AE,8HLAC

Zl+Z2=90°,Zl+ZBAN=90°,則N2=/aW

,/Z3+ZBAH=90°,NASH+NASH=90。,貝iJ/3=NABN

AECM~AABN,B正確；

C.在ACEW、ABEN中

由前面知：Z.3=ZABN,又N3+NMC/=90。，ZABN+ZNBE=90°,則NMC「=NA?E,

又：Z1=Z4,

\CFM~NBEN,C正確；

D在AANH、AEFC中

已經(jīng)知道：Z2=ZBAN,而AE并不是/BAC的角平分線，

手NNAH,

AANH?AEFC,錯誤.

故選D.

【點撥】本題考查了矩形的性質(zhì)，同角或等角的余角相等，相似三角形的證明，熟練掌握相似三角形

的證明方法是解題的關(guān)鍵.

6.A

【分析】

根據(jù)的性質(zhì)得到NA=NABC=ND=NDCB=90。，根據(jù)鄰補(bǔ)角的定義得到NPCF=90。，根據(jù)余角的性質(zhì)

得至！JNABE=NDEP,根據(jù)相似三角形的判定定理即可得到結(jié)論.

解：???四邊形ABCD是矩形,

???ZA=ZABC=ZD=ZDCB=90°,

：.ZPCF=90°,

,/BE工EF,

：.ZBEF=90°f

：.ZABE+ZAEB=ZAEB+/DEP=90。,

:.ZABE=ZDEP,

,/AD//BC,

:.ZDEP=ZF,

???ZABE=ZDEP=ZF,

/.AABEsA￡)￡ps.FB^\CFP,

.?.圖中共有相似三角形有6對，

故選A.

【點撥】本題考查了相似三角形的判定，矩形的性質(zhì)，熟練掌握相似三角形的判定和性質(zhì)是解題的關(guān)

鍵.

7.D

【分析】

對于①②④，直接利用相似三角形的判定方法判斷即可；對于③，先利用同角的余角相等轉(zhuǎn)化為①,

即可進(jìn)行判斷，對于⑤，利用比例的性質(zhì)和勾股定理進(jìn)行判斷.

解：VZB=ZC=90°,...只要滿足44E=/CEF或NA￡B=/￡FC,均可判定△43￡-4￡。凡所以

①②都正確;

③中，當(dāng)AE_L印時，?.*ZAEB+ZBAE=90°,ZAEB+ZCEF=90°,:./BAE=NCEF,

:.AABEsAECF,故③正確;

④中對應(yīng)邊成比例，且夾角均為90。，...△ABEs/^ECF,故④正確;

*AEAB_lAEEFAE2EF2

⑤中,當(dāng)樂=法時,則1m耘=由,即gn定=赤'

?46-AB?E尸-EC??BE2_CF2.BECF

"-AF-一記-'"AB7-EC7'"AB~EC

XVZB=ZC=90°,:AABEsXECF,...⑤正確;

綜上，故選D.

【點撥】本題考查了正方形的性質(zhì)、相似三角形的判定和性質(zhì)、比例的性質(zhì)和勾股定理等知識，熟知

相似三角形的判定與性質(zhì)是判斷①②③④的關(guān)鍵，對于⑤，則需綜合運用比例的性質(zhì)和勾股定理進(jìn)行判斷.

8.C

【分析】

設(shè)AP=x,貝ljBP=8-x,分△和△兩種情況，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)列出

比例式，計算即可.

解：設(shè)貝l]BP=8-x,

當(dāng)時，-,即5=言，

BCPB48-x

24

解得，x若,

APpAq

當(dāng)△朋ESZXCBP時，——=——，即言=2

PBBC8-x4

解得，尤=2或6,

可得：滿足條件的點尸的個數(shù)有3個.

故選：C.

【點撥】本題考查了相似三角形的性質(zhì)，解答時，注意分情況討論思想的靈活運用.

9.A

【分析】

作軸于點。，過點A作尸軸于點E,過點C作/軸于點G,先通過角度等量代換

3

證明AE4O?ADOB,求出0D=-,再證明ADBO=AFAC,求出FC,AF,則CG=OE—CF,EF=AE+FA,

2

由此可解.

解：如圖，

作軸于點過點A作尸軸于點E,過點C作尸軸于點G,

.點A的坐標(biāo)是（一2,1），點8的縱坐標(biāo)是3,

AAE=1,OE=29BD=3,

???50_L%軸，F(xiàn)E_LX軸，尸G_Ly軸，

JZAFC=ZOEA=ZBDO=90°,

,/四邊形AO3C是矩形，

???ZCAO=ZAOB=90°,

：.ZEAO+ZEOA=/DOB+404=90。,

:?/EAO=/DOB,

JAE4O-ADOB,

四邊形AOBC是矩形，

AC=OB,

:ZEAO+ZEOA=ZFAC+ZEAO=90°,

：.ZEOA^ZFAC.

又;AE4O-ADOB,

:?/EOA=/DBO,

：.ZDBO=ZFAC,

在AD3O和AE4C中，

ZDBO=ZFAC

<NODB=NCFA,

AC=OB

：.ADBO=AFAC,

3

:.FC=OD=—,AF=BD=3,

2

31

ACG=OE-CF=2——=-,EF=AE+E4=l+3=4,

22

??,點C在第二象限，

?二點c的坐標(biāo)是1-5,4；

故選A.

【點撥】本題考查矩形的性質(zhì)、平面直角坐標(biāo)系內(nèi)點的坐標(biāo)，全等三角形的判定與性質(zhì)，相似三角形

的判定與性質(zhì)等知識點，通過作輔助線構(gòu)造全等及相似三角形是解題的關(guān)鍵.

10.A

【分析】

如圖，過。作軸于點E,延長交DE于尸，由題意知，四邊形ABEE是矩形，由翻折的性

質(zhì)可知ZADC=90。，AD=AB=4,CD=BC=2,則AE=CF+2,DF=4-DE,證明AADEsADCF,

則A等D=D有F=A器F’即94=D有F=CF￡+^2'計算求出°F、OE的長’進(jìn)而可得。點坐標(biāo).

JLXX乙VxJLT"1Jr」

解：如圖，過。作上，了軸于點E,延長BC交DE于歹，

C_

OE

由題意知，四邊形是矩形，由翻折的性質(zhì)可知NAOC=90。，AD=AB=4,CD=BC=2,

：.AE^CF+2,DF=4-DE,

'：ZDAE+ZADE=90°,ZADE+ZCDF=90°,

ZDAE=ZCDF,

AADEMDCF,

.ADDEAE口口4DECF+2

---，即一二=-------

DCCFDF2CF4—DE

解得DE=9

612

：.D

55y

故選A.

【點撥】本題考查了翻折的性質(zhì)，矩形的判定與性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì).解題的關(guān)鍵在于構(gòu)

造A4DE、ADCF,利用相似的判定與性質(zhì)求出線段CF、DE的長.

11.2或8或5

【分析】

需要分類討論：和△RIOS^XPBC,分別根據(jù)相似三角形的對應(yīng)邊成比例求得￡）尸的長

度即可.

解：在矩形ABCD中，AB=CD=IO,AD=BC=4,

①當(dāng)△APDSAPBC時,

可得翁器，即4PD

10-PD4

解得：PO=2或PZ)=8；

②當(dāng)△B4￡)S2\JPBC時，

/口ADPDPD

可得——=——，嗚二

BCPC10-PD

解得：DP=5.

綜上所述，。尸的長度是2或8或5.

故答案為：2或8或5.

【點撥】本題考查了矩形的性質(zhì)，相似三角形的性質(zhì).熟練掌握相似三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

12.12

【分析】

首先根據(jù)翻折的性質(zhì)可得。產(chǎn)=￡凡設(shè)EF=xcm,表示出AF,然后利用勾股定理列方程求出x,從而得

到AREP的長，再證出和ABGE相似，根據(jù)相似三角形對應(yīng)邊成比例列式求出BG、EG,然后根

據(jù)三角形周長的定義列式計算即可得解.

解：由翻折的性質(zhì)得，DF=EF,設(shè)EB=xcm,貝!|AF=(6-x)cm,

:點E是AB的中點，

AE=BE=gx6=3,

在RtAAEF中，AE^AF^EF2,即32+(6-x)2-x2,

解得x=?,

4

：.EF=—,AF=6--=-(cmV

444V7

?：NFEG=ND=90。,

：.ZAEF+ZBEG=90°,

ZAEF+ZAFE=90°,

：.ZBEG=ZAFEf

XVZB=ZA=90°,

:?△BGES/^AEF,

,BEBGEG

**AF-AE-FE?

3BGEG

即9=亍=亙，

4~4

/.BG=4cm,EG=5cm,

AEBG的周長=3+4+5=12(cm).

故答案為：12.

【點撥】本題考查了翻折變換的性質(zhì)，勾股定理，相似三角形的判定與性質(zhì)，熟記性質(zhì)并求出AAEB

的各邊的長，利用相似三角形的性質(zhì)求出△EBG各邊的長是解題的關(guān)鍵.

5

13.4-##2.5

2

【分析】

根據(jù)折疊的性質(zhì)得到AF=AB,利用勾股定理求出AC,進(jìn)而求出CF,設(shè)=則EF=x,

CE=8-x,在如ACEF中，由勾股定理得E尸2+C/2=EC2,即尤?+4?=（8-尤?，解方程求出BE,進(jìn)而求

RFAD

出CE,再證AABESAECG,即有笠=黑，則問題得解.

CGEC

解：根據(jù)折疊的性質(zhì)有AF=AB,

VBC=8,AB=6,

貝l|設(shè)=貝l]EF=x,CE=8—x,AF=AB=6,

在小△ABC中，由勾股定理得ac=JAB、Be?=io,

，CF=AC-AF=W-6=4,

根據(jù)折疊的性質(zhì)有/B=ZAFE=90°,

則有/￡/。=90。，

在Rt^CEF中，由勾股定理得EF-+CF2=EC2,

即/+4。=（8-x）2,

解得x=3,

:.BE=3,CE=5,

由折疊的性質(zhì)得，ZAEF=-ZBEF,ZGEF=-ZCEF,

22

；.ZAEG=90。，

ZCEG+ZAEB=90°,

又ZBAE+ZAEB=90°,

NBAE=NCEG,

又：NB=NECG=90°,

**?AABESAECG,

.BEAB36

..——=——,即Rn——=-,

CGECCG5

故答案為：4,—.

【點撥】本題考查了折疊的性質(zhì)、勾股定理、相似三角形的判定與性質(zhì)、一元二次方程的應(yīng)用等知識,

DE1AR

證得AABESAECG進(jìn)而得到笠=黑是解答本題的關(guān)鍵.

CGEC

12Y

14.y=——（0VxW2）

"4-x

【分析】

作fTLLBC于H.證明△OBE經(jīng)則切=BE=x,EH=BD=2BE=2x,由OvBDVAB求得自

變量的范圍，根據(jù)b得三，即可求解.

ABCB

VZDBE=ZDEF=ZEMF=90°,

；?NDEB+/BDE=90°,ZDEB+ZFEH=90°,

ZBDE=ZFEH.

在△05石和打中，

ZBDE=ZFEH

<ZB=/EHF,

DE=EF

:.△DBEmLEHF,

??BE=^DB,

：?FH=BE=x,EH=BD=2BE=2x,

?：Q<BD<AB,A3=4,

.-.0<2x<4,BP0<x<2

9：FH//AB,

:.CFHSQB

.FH_CH

**AB-CB，

.xy—3x

??,

4y

12x

?'?y=------(0<x^2).

4-x

故答案為：丁=12產(chǎn)x(0VxW2).

4-x

【點撥】本題考查了全等三角形的性質(zhì)與判定，相似三角形的性質(zhì)與判定，函數(shù)關(guān)系式，證明

小CFHsjJAB是解題的關(guān)鍵.

15.22

【分析】

GHLBC,證明根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得到GH=2EM,HE=2MN,根據(jù)正方形

的性質(zhì)列方程求出MN,根據(jù)勾股定理、正方形的面積公式計算，得到答案.

解：如圖，作

則ZHGE+ZHEG=ZHEG+ZMEN=90°,

：./HGE=/MEN,

?.,ZGHE=ZEMN=90°,

:?叢GHEs叢EMN,

.HEHGEG_1

??就一俞一麗—5'

GH=2EM,HE=2MN,

設(shè)MN=x,則HE=2x,

:?EM=7—4x,

：.GH=2EM=2（l-4x）,

/.AB=x+2（7-4x）,

即：7=x+2（7-4x）,

解得：x=l,

AEM=7-4x=3,

；?EN=y/EM2+MN2==回’

/.GE=2EN=2A/10,

四個小正方形的面積之和=2xl2+JQx2jQ=22.

故答案為：22.

【點撥】本題考查的是相似三角形的判定和性質(zhì)、中心對稱圖形的概念，掌握相似三角形的判定定理

和性質(zhì)定理、正方形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

16.-

3

【分析】

通過證明可得AB=BP,即可求解.

解：如圖，

?：BP=5,8C=4,

：.CP=1,

???PQJ_A尸，

JZAPQ=90°=ZABCf

：.ZAPB+ZBAP=9Q°=ZAPB-i-ZBPQf

：.ZBAP=ZBPQ,

又???ZABP=ZPCQ=90°,

：.AABPs^pcQ,

.ABBP

9，~CP~CQf

,3_5

*'T=ce

?**CQ=^,

故答案為：g.

【點撥】本題考查相似三角形、矩形的性質(zhì).根據(jù)題意找相似的條件是關(guān)鍵.利用相似比計算線段的

長度是常用的方法.

17.3

【分析】

先根據(jù)條件證明△尸CPSABCP,利用相似三角形的性質(zhì)：對應(yīng)角相等，再證明進(jìn)

而證明△APGsABFP再證明時注意圖形中隱含的相等的角.

解：'：ZCPD=ZB,ZC=ZC,

:APCFs^BCP.

'：ZCPD^ZA,ND=/D,

：.叢APDs^PGD.

'：ZCPD=ZA=ZB,NAPG=/B+/C,ZBFP=ZCPD+ZC

：.ZAPG=ZBFP,

：.XAPGsXBFP.

則圖中相似三角形有3對，

故答案為：3.

【點撥】本題考查相似三角形的判定.識別兩三角形相似，除了要掌握定義外，還要注意正確找出兩

三角形的對應(yīng)邊、對應(yīng)角.

18.72

【分析】

根據(jù)矩形的性質(zhì)可得AB=CD,AD=BC,ZB=ZD=90°,再根據(jù)翻折變換的性質(zhì)可得NAFE=ND=90。,

pc3

AD=AF,然后根據(jù)同角的余角相等求出/BAF=/EFC,然后根據(jù)左="設(shè)CE=3k,CF=4k,推出

EF=DE=5k,AB=CD=8k,利用相似三角形的性質(zhì)求出BF,再在RtAADE中，利用勾股定理構(gòu)建方程即

可解決問題.

解：在矩形ABCD中，AB=CD,AD=BC,ZB=ZD=90°,

VAADE沿AE對折，點D的對稱點F恰好落在BC上，

.,.ZAFE=ZD=90°,AD=AF,

ZEFC+ZAFB=180°90°=90°,

ZBAF+ZAFB=90°,

.".ZBAF=ZEFC,

..EC_3

?正="

.,.設(shè)CE=3k,CF=4k,

EFDE=ylEC2+FC2=5k,AB=CD=8k，

VZBAF=ZEFC,且NB=NC=90°

.,.△ABF^AFCE,

.ABBFSkBF

??二,國Hn」=,

FCCE4k3k

.\BF=6k,

JBC=BF+CF=10k=AD,

VAE2=AD2+DE2,

.?.500=100k2+25k2,

Ak=2

AB=CD=16cm,BC=AD=20cm,

???四邊形ABCD的周長=72cm

故答案為72.

【點撥】本題考查翻折變換，矩形的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是學(xué)會利用

參數(shù)構(gòu)建方程解決問題.

27

19.—.

32

【分析】

由折疊的性質(zhì)得：ZAMB'=ZAMB,ZEMC=ZEMC,得出/AME=90°,ZAMB+ZEMC=90a,

,,BMABnnx2

得出證出△ABMSAJWCE,得出即一—,求出

CECMy3-x

iQ\(Q399

y=-±x2+-x=--\x--\+?,當(dāng)■時,y取最大值三，即C￡=7,由三角形面積公式即可得出△CME

222(2)8288

的面積.

解：??,四邊形A5CD是矩形，

：.ZB=ZC=90°,

：.ZAMB+ZBAM=90°,

由折疊的性質(zhì)得：ZAMR=ZAMBfZEMC=ZEMC,

VZAMB'+ZAMB+ZEMC+ZEMC=1SO°,

AZAME=90°,ZAMB+ZEMC=90°,

???ZBAM=/EMC,

：.LABMsdMCE,

??---=----，即—=----

CECMy3-x

.1231(3丫9

22212J8

393399

當(dāng)冗=—時，即—即—,CM=5C-5M=—時，y取最大值—，即CE=—,

282288

13927

此時△CME的面積=ACME的面積=-x—x—=一，

22832

27

故答案為—.

【點撥】本題考查了矩形的性質(zhì)、翻折變換的性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)等知識；熟練掌握翻折

變換的性質(zhì)，證明三角形相似是解決問題的關(guān)鍵.

20.2或竺

3

【分析】

分別討論AP=PD、PD=AD、PA=AD三種情況，當(dāng)AP=PD時，可證明△APBgZkPDC,可得PC=AB,

進(jìn)而可求出PB的長；當(dāng)PD二AD時，可證明△APCs^BAC,根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可求出PC的長，

進(jìn)而可得PB的長；當(dāng)PA=AD時，P點與點B重合，不符合題意；綜上即可得答案.

解：①當(dāng)AP=PD時，

NAPC=NAPD+NDPC=NB+NBAP,ZB=ZAPD,

???ZDPC=ZBAP,

VAB=AC,

AZB=ZC,

VZB=ZC,ZDPC=ZBAP,AP=PD,

/.△APB^APDC,

APC=AB=4,

???PB=BCPO2,

②當(dāng)PD=AD時，

VAD=PD,ZAPD=ZB,

AZAPD=ZPAD=ZB,

VZPAD=ZB,ZC=ZC,

：.AAPC^ABAC,

.PCAC日nPC_4

ACBC46

Q

解得：PC=|,

.".PB=BCPC=—.

3

③當(dāng)PA=AD時，P點與點B重合，不符合題意；

綜上所述：PB的長為2或1.

故答案為2或?

【點撥】本題考查全等三角形的判定與性質(zhì)及相似三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握判定定理及性質(zhì)并

運用分類思想是解題關(guān)鍵.

21.當(dāng)3尸為8.4或2或12時，以C、D、尸為頂點的三角形與以P、B、A為頂點的三角形相似.

【分析】

設(shè)。P=x,則2尸=2￡>x=14x,根據(jù)垂直的定義得到/8=/。=90。，再根據(jù)兩組對應(yīng)邊的比相等且夾角對

應(yīng)相等的兩個三角形相似，當(dāng)/=黑時，AABPs^CDP,即。=好三；當(dāng)磐=聶時，

CDDP4xDPDC

6]4—x

KABPs&PDC,即？=三三；然后分別解方程求出x即可.

x4

解：設(shè)￡>P=x,KiJBP=BDx=14x,

；A2_LB￡)于2,CD_LB￡)于￡),

ZB=ZD=90°,

.?.當(dāng)空=”時，^ABPSACDP,即9=匕二二,

CDDP4X

9Q?父

解得x=5,BP=14-y=8.4；

當(dāng)絲=變時，AABPs^PDC,即

DPDCx4

整理得N14X+24R,

解得x/=2,X2=12,

BP=142=12,BP=1412=2,

.?.當(dāng)BP為8.4或2或12時，以C、。、P為頂點的三角形與以P、B、A為頂點的三角形相似.

【點撥】本題考查了相似三角形的判定：兩組對應(yīng)邊的比相等且夾角對應(yīng)相等的兩個三角形相似.

22.()見分析；(2)6-3夜或3.

【分析】

(1)根據(jù)題目已知條件可知NAZ)E+NADB+NEDC=180。，ZB+ZADB+ZDAB=180°,所以得到

NDAB=NEDC,即可得證.

(2)由題意易得AABC是等腰直角三角形，所以/BAC=90。，當(dāng)△&￡>￡是等腰三角形時，根據(jù)分類

討論有三種情況：①AO=AE,②AD=DE,③AE=DE；因為點。不與3、C重合，所以第一種情況不符合,

其他兩種情況根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)“等邊對等角”及NB=ZADE=45°,求出問題即可.

解：（1）ZADE+ZA￡）B+N￡DC=180。

在△ABD中，ZB+ZADB+ZDAB=1^0

■■■ZB=ZADE

：.NEDC=NDAB

又"

ABDAsACED；

⑵；NB=ZADE=NC,4=45。

AABC是等腰直角三角形

ZSAC=90。

：BC=6,

:.AB=AC=^BC=3拒

①當(dāng)AO=AE時，則ZADE=ZAED

4=45°,

ZB=ZADE^ZAED=45°

NZME=90°

ZDAE=ZBAC=90°

?.?點。在3C上運動時（點。不與3、C重合），點E在AC上

,此情況不符合題意.

②當(dāng)人。=。￡時，如圖，

A

ZDAE=ZDEA

二由（1）可知ZEDC=ND4B

又ZB=ZCABD/RCED

AB=DC=3五

50=6-3萬

③當(dāng)時，如圖

???ZB=45°,