37相似三角形一線三等角（K字）型

一、單選題

1.如圖，點分別在反比例函數(shù)〉=L（x>0）,y=q（x<0）的圖象上.若。4,03,籌=2,則a的值

XXCz/i

為（）

【答案】B

【詳解】解：分別過點A作ACLx軸于C,過點B作BDLx軸于D,

?點A在反比例函數(shù)y=L（x>0）上，

X

設(shè)點A的坐標(biāo)為（X,—）,則0C=X,AC=—,

XX

：.ZBD0=Z0CA=90o

V0A±0B,

.,.ZB0D+ZA0C=180°-ZA0B=90°,ZOAC+ZA0C=90°

???ZBOD=ZOAC

AABDO^AOCA

：.OD=BD=OB=2

ACOCOA

2

解得：0D=2AC=—，BD=20C=2x,

x

??,點B在第二象限

2

???點B的坐標(biāo)為（-一，2x）

x

將點B坐標(biāo)代入y=3中，解得a=-4

x

故選：B.

2.如圖，邊長為10的等邊AABC中，點。在邊AC上，且AD=3,將含30°角的直角三角板（N尸=30。）

繞直角頂點。旋轉(zhuǎn)，DE、。廠分別交邊A3、8C于A。.連接PQ,當(dāng)跖//尸Q時，。。長為（）

A.6B.739C.10D.6g

【答案】B

【詳解】解：過點。作QKLAC于K,

在等邊△ABC中，ZA=ZB=ZC=60°fAB=BC=AC=10f

在Rt△跖。中，NE=60。，N尸=30。，

?：EF//PQ,

：.ZDPQ=60°,ZDQP=30°,

：.ZAPD+ZADP=ZAPD+ZQPB,

：.ZADP=ZQPBf

XVZA=ZB=G0°,

：.△ADPs/xBPQ,

.AD_AP_PD

.,?在RtZ^PQ。中，NDQP=30°,

1PD1

???PD』即丁=5,

.ADAPPD

??而一詼—透一5，

AD=3,

.A_1

BP~21

:.BP=6,

已知AB=10

AP=AB-BP=10-6=4,

.4_1

,,瓦一2'

BQ=8,

??.CQ=BC-BQ=10-8=2f

在RtZXCQK中，NC=60。，

NKQC=30。，

...KC口=2=1,

22

DK=AC-AD-KC,

：.OK=10-3—l=6,

rfffsinZC=^

JCQ'

?-3。一

??sinou-K-Q-——,

22

KQ=y/3,

在RtAOQK中，DQ=y)KQ2+DK2,

DQ=7(V3)2+62=V3+36=739，即。。=屈.

故選：B.

3.如圖，將正方形ABCD折疊，使頂點人與8邊上的一點H重合（H不與端點C,。重合），折痕交4）

于點E,交BC于點尸，邊折疊后與邊3c交于點G,設(shè)正方形ABCD的周長為機，△CHG的周長為"，

則竺的值為（)

n

DH

A.夜B.1C.叵"

D.2

22

【答案】D

【詳解】設(shè)正方形ABCD的邊長為a,CH=x,DE=y,則m=4a,

???將正方形ABC。折疊，使頂點A與CD邊上的一點“重合,

.,.ZEHG=ZA=90°,EH=AE,

.*.DH=ax,EH=ay,

ZCHG+ZDHE=90°,ZDEH+ZDHE=90°,

.\ZCHG=ZDEH,

VZD=ZC=90°，

AADEH^ACHG,

.CHCGHGxCGHG

--——，即R:n

DEDHEHya-xa-y

x(a-x)x(a-y)

ACG=-------,HG=------—,

yy

在RtZXDEH中，EH2=DE2+DH2,BP(ay)2=y2+(ax)2,

x2=2a(xy),

x(a-x)x(a-y)2ax-x2

：.n=CH+HG+CG=x+-------+=2a,

yyy

m4a

—=—=2故選：D.

n2af

4.如圖，在矩形ABC。中，AB=4,AD=5,E、F、G、H分別為矩形邊上的點，板過矩形的中心O,

且=E為AB的中點，G為8的中點，則四邊形屏Gb的周長為（)

A.375B.6亞C.8A/3D.6A/3

【答案】B

【詳解】解：連接EG,

?.?四邊形ABC。是矩形，

:.AB=CD,AB//CD,

???￡為A3的中點，G為8的中點，

:.AE=DG,AE//DG,

二.四邊形AEG。是平行四邊形，

:.AD=EG,

???矩形是中心對稱圖形，H尸過矩形的中心。.

二.EG過點0,且。H=O/，OE=OG,

???四邊形E77Gb是平行四邊形，

?；HF=AD=EG,

???四邊形EHG尸是矩形，

.\ZEHG=90°,

???NA=ND=90。，

ZAHE+ZAEH=ZAHE+ZDHG=90°,

:.ZAEH=ZDHG,

:.AAEHsADHG,

.AHAE

…~DG~~DH"

設(shè)AH=x,則DH=5—x,

AE=DG=-AB=2,

2

?.?1X=-2-,解得，X=1或4,

25-x

.?.AH=1或4,

當(dāng)AH=1時，DH=4,則HE={AH?AE。二疝八石,

HG=-JDH2+DG2=742+22=2卡，

.??四邊形EFG”的周長=2x（2石+石）=6百；

同理，當(dāng)47=4時，四邊形EFG”的周長=2x（2行+括）=66；

故選：B.

5.如圖，在等邊三角形"BC中，點O,E分別是邊AC,BC上的點.將“LBC沿DE翻折，點C正好

落在線段A3上的點尸處，使得AF:砥=1:2.若BE=2,則C石的長度為（)

【答案】A

【詳解】解：?.?AABC是等邊三角形，

NA==/ACB=60°,

???沿DE折疊C落在AB邊上的點F上，

:.ACDE^AFDE,

JZDFE=NACB=60°,CD=DF,CE=EF,

VAF：BF=1:2,

設(shè)AF=m,BF=2m,AB=3m,

設(shè)AD=x,CD=DF=3m-x,

〈BE=2,BC=3m,

CE=3m-2,

ZB=60°,NDFE=60。,

JZEFB+ZFEB=120°,ZDFA+ZEFB=120°,

ZDFA=ZFEB,

NA=/B,

:.△DAFsAFBE,

,ADAFDF

“FB-BE-EF?

口門xm3m-x

即——=—=-----，

2m23m-2

x=根13機2_2m=6m—2x

3m2-2m=6m-2m2

Q

解得：m=1,使等式有意義,

2414

CE=3〃z-2=——2=—,

故選擇：A.

6.如圖，E、F、G、〃分別為矩形28（力的邊/氏BC、CD、物的中點，連接AC、HE、EC、GA,GF,已知4G

LGF,AC=R,則下列結(jié)論：①2DGA=/CGF；②XDAGsXCGF；③/后2；④）B步正CF.正確的個數(shù)是

A.2個B.3個C.4個D.5個

【答案】B

【詳解】解：??,/AGF=90。，

ZDGA+ZCGF=90°,

不能說明/DG4=/CGP,故①錯誤.

,/ZDAG+ZDGA=90°,

：.ZDAG=ZCGF,

又ZADG=ZGCF=90°

ADAG~ACGF,故②正確.

如圖連接BD,

DGc

由題意可知AC=20="，

和F分別為CD和BC的中點,

,/ADAG~ACGF

ADDG2CFCG

——=——,即an----=——

GCCFCGCF

在RAGCV中，GF2=CF-+CG2,即CG)2+CG?,解得CG=1

/.AB=2CG=2,故③正確.

BE=CG,

：.CF=—BE,即=故④正確.

2

綜上正確的有②③④共3個.

故選B.

7.如圖，點2E是正AABC兩邊上的點，將沿直線OE翻折，點3的對應(yīng)點恰好落在邊AC上，當(dāng)

AC=4AF時，"的值是()

【答案】D

【詳解】解：設(shè)/4X,

,/AABC為等邊三角形，

：.AC=AB=B(=^x,ZA=ZB=ZC=60°,(7^3x

,/ABDE翻折得到AFDE，

：.^D=FD,BE=FE,/B=/DF斤襯,

：.ZAFD^ZDFE=ZC+AFEC,

：./AFD=4CEF,

：.AADFsACFE,

BDDFC^DF_+DP+A尸_AB+A尸_5x_5

--

BEEFC&CFE-EF+CE+CF-BC+CF一式一亍

故選：D

二、填空題

8.如圖，在邊長為6的等邊△/回中，〃是邊8c上一點，將△/8C沿鰭折疊使點力與點〃重合，若初：

止2:3,則CF=.

【答案】2.4

【詳解】解：根據(jù)題意得：/ED戶/A,D2AF,

???△/阿是等邊三角形，

???//=/廬//60°,

:./ED2W,

:?/BDE+/CDF—8Goz^=120°,

VZ^=60°,

：.ZBD^-ZBED=180°N廬120°,

???/BDE+/CD2/BDE+/BED,

:?/CD六/BED,

:.MBDESMCFD,

.BDDECFBD_2

.,彳=而‘即而=詼"屋

??,等邊△/回的邊長為6,

CF2

：.--------=",解得：CF=2.4.

6-CF3

故答案為：2.4

9.如圖，四邊形ABCD中，AB〃CD,ZC=90°,AB=1,CD=2,BC=3,點P為BC邊上一動點，若AP_L

【答案】1或2

【詳解】設(shè)BP=x,則PC=3x,

???AB〃CD,ZC=90°,

.?.ZB=180°ZC=90°,

AZB=ZC,

VAP±DP,

AZAPB+ZDPC=90°,

VZCDP+ZDPC=90°，

：.NCDP=NAPB,

AACDP^ABPA,

.ABPB

??正一而‘

VAB=1,CD=2,BC=3,

lY

----=—,解得：X1=1,X=2,

3-x22

???BP的長為1或2,

故答案為：1或2

10.已知AABC是等邊三角形，AB=6,點D,E,F點分別在邊A瓦5cAe上，BD:BE=2:3,同時

平分4￡尸和々。尸，則BD的長為.

14

【答案】y

【詳解】解：如圖，???￡)￡同時平分4EF和4DF,

:.ZBDE=ZFDE,ZBED=ZFED,

NBDE=ZFDE

在ASD石與AED￡中，IDE=DE,

/BED=/FED

:.ABDE=AFDE(ASA),

:.ZDBE=ZDFE,BD=DF,BE=EF,

???AABC是等邊三角形，

:.ZA=ZABC=ZC=6O°,

.\ZDFE=60°,

ZADF+ZAFD=ZAFD+ZCFE=120°,

.\ZADF=ZCFE,

:.^ADFsbCFE,

.ADDFAF

'~CF~~EF~~CE"

BD:BE=2:3,

：.^BD=DF=2x,BE=EF=3x,

.\AD=6—2x,CE=6—3x,

.6-2x_2x_AF

CF3x6-3x

,.CF=9-3x,AF=4-2x,

?.?AF+CF=6,

/.9—3x+4—2x=6,

7

x=—.

5

BD=2x=——.

5

14

故答案為：—.

11.如圖，在四邊形/加》中，NZ=N氏120°,/分6、4M，點昆廠分別在線段/〃、DCh（點片與點/、

〃不重合），若/跳戶120°,AUx、Dly,則y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式為

【答案】y=~x2+^x

63

【詳解】解：?.?N4=/氏120°,NBE戶120°,

AAEB+ADEF=/DEF+ZDFE=60°

:.ZAEB=ZDFE

/\ABEC/J/\DEF

.AEDF

,AB~DE

?二/廬6、/氏4,A斤x、D戶y,

.九一一

64-x

1、

y=-x(z4/l-x)

BPy=——X2+-X(0<X<4)

63

17

故答案為：y=--^+-x

o3

12.如圖，等邊AABC的邊長為10,點"是邊上一動點，將等邊AABC沿過點M的直線折疊，該直線

與直線AC交于點N,使點A落在直線3C上的點。處，且血：DC=1:4,折痕為MN,則AN的長為.

【答案】7或

【詳解】方法一：當(dāng)點A落在如圖1所示的位置時,

:.ZA=ZB=ZC=ZMDN=60(,

???ZMDC=ZB+NBMD,ZB=Z.MDN,

/.ZBMD=4NDC,

NBMD?NCDN,

BD_DM_BM

'CNDNCD

???DN=AN,

BDDNBM

?二Z得R——=——=——，

CNANCD

BD:DC=1:4,BC=10,

，DB=2,CD=8,

設(shè)AN=a,

貝|JC7V=1O—x,

2DMBM

10-xx8'

2x16

DM=-------,BM=

10—%10-x

-/BM+DM=10,

2x16

10—x10-x

解得％=7,

:.AN=1；

方法二：當(dāng)A在CB的延長線上時，如圖2,

與①同理可得?ACDN.

BDDMBM

?二得——二——=——.

CNDNCD

BD:DC=1:49BC=10,

DB=—,CD=—,

33

設(shè)AN=%,

則CN=x—10,

10

.yDMBM9

x-10x40

lOx_400

DM=—--------,DM=—---------

3(10)9(10)'

BM+DM=10,

lOx400s

3(10)9(10)，

解得：X=

皿65

/.AN=—,

3

故答案為：7或三".

13.如圖，在矩形/及/中，BC=6,AB=2,Rt△座F的頂點￡在邊切或延長線上運動，且/婀=90°,

EF=1BE,DF=M,貝1」龐=.

【答案】3忖

【詳解】如圖所示，過尸作4，切，交切的延長線于G,則NG=90°,

B

???四邊形A6切是矩形，

：.ZC=90°,AB=CD=2,

又：/戚=90°,

：.ZFEG+ZBEC=90°=ZEBC+ZBEC,

:./FEG=/EBC,

又：/C=NG=90°,

:.叢BCEs叢EGF,

FGGEEFFGGE1

..——=——=——，H即n——=——=-,

ECCBBEEC63

：.FG=-EC,GE=2=CD,

3

:.DG=EC,

設(shè)EC=x,則〃G=x,FG—x,

：Rt△物G中，F(xiàn)@'Dd=DF,

：.(1x)2+/=(回)2,

解得*=9,

即H=9,

RtABCE中，BE=y]cE2+BC2=J9+36=3小,

故答案為：375.

14.如圖，AABC為等邊三角形，點D,￡分別在邊AB,ACh,BD=3,將VADE沿直線龐翻折得到VEOE,

當(dāng)點廠落在邊以上，且3斤=4b時，DEAF的值為

A

【答案"

【詳解】解：如圖,作△46。的高力￡,作△應(yīng)尸的高血

A

回為等邊三角形，△/龐與a/T應(yīng)關(guān)于龐成軸對稱,

:./DF5/DA&60°，ADDF,

：./CFE+/FEO/CF吩/DFF120°,

：.ZDFB=/CEF,

又N廬N俏60°，

:.XBDFsXCFE,

BDCF

BECE

BFCF

BPCE=

BD

設(shè)CF=x(x>0)，

*：B六4CF,

???阱4x,

??,盼3,

4r2

：.CE=—

3

*.*BC=BF+CF=4x+x=5x,

4/

???AD=AB-BD=BC-BD=DF=5x-3AE=EF=5x--,

f3

Y△BDFs^CFE,

DFBD

EFCF

5x-33

解得：下2,

C氏4,

：.B(=5A=10,

:在股△/應(yīng)中，/廬60°,

.?.心/6sin60。=10乂也=56,

2

/.SAABC=-xlOx573=25相，

2

■:在RtABHD中,BD=3,/后60°,

.?.研瑟in60°=3x—=—,

22

?*.5dW^-BFDH=-x8x^=6^,

222

■:△BDFs^CFE,

.5一附"12

,S.CFEUFJbJ"

SABD戶，

:.SACE廣殳國,

3

又尸為軸對稱圖形對應(yīng)點的連線,應(yīng)為對稱軸，

：.AD=DF,△/加'為等腰三角形，DELAF,

：.S四邊形ADF^^DEAF=SACEF^SAABCSACEF

=25&60正=旭,

33

,八口入廠_98百

??DE?AF—----?

3

故答案為：竺叵.

3

三、解答題

15.如圖，在等邊△/8C中，P為BC上一點,〃為〃上一點，且/加少=60°,2BP=3CD,BP=\.

(1)求證△/冊△閔9；

(2)求△/回的邊長.

D

//\

BPC

【答案】（1）證明見解析；（2）3.

【詳解】證明：（1）???△力少是等邊三角形，

：.AB=BC=AC,ZB=ZC=60°,

VZBPA+ZAPD+ZDPC=180°且NZ/Y?=60°,

：.ZBPA+ZDPC=120°

VZDPC+ZC+APDC=180°,

:?/DPC+/PDC=120°,

:?/BPA=/PDC,

:.XABPsXPCD；

（2）9：2BP=3CD,且^=1,

CD=3,

3

■：△ABP^XPCD

BPAB

"'CD~~PC，

^AB=BC=x,則尸C=x-1,

1X

3

???_人=—xvV-l_L,

3x

..x—3,

經(jīng)檢驗：x=3是原方程的解，

所以三角形ABC的邊長為：3.

16.［感知］如圖①，在四邊形ABCD中，點P在邊AB上（點P不與A、B重合），ZA=ZB=90°.Z）P±PC,

易證：ZkDAPs^PBC（不要求證明）

［探究］如圖②，在四邊形ABCD中，點P在邊AB上（點P不與A、B重合），ZA=ZB=ZDPC.

（1）求證：ADAP^APBC.

（2）若PD=5,PC/0.BC=8求AP的長.

c

［應(yīng)用］如圖③，在4ABC中,AC=BC=4,AB=6，點P在邊AB上（點P不與A、B重合），連結(jié)CP,作/CPE=ZK,

與邊BC交于點E.當(dāng)CE=3EB時，直接寫出AP的長.

【答案】（1）詳見解析；（2）4；［應(yīng)用］AP=3土石

【詳解】（1）?.?/DPB=/A+NADP,

NDPC+NCPB=NA+NADP,

VZA=ZDPC,

...NADP=NCPB

VZA=ZB

ADAP?APBC

（2）-/ADAP-APBC

.PDAP

**PC-BC

.5_AP

AAP=4.

［應(yīng)用］AP=3土君，理由如下：

NBPC=NA+NACP

NCPE+NEPB=NA+NACP

丁ZCPE=ZA

???ZEPB=ZACP

又??，AC=BC

ZA=ZB

AAAPC^ABEP

.APAC

，eBE-PB

VCE=3EB

1

.\BE=-BC=1

4

?AP_4

"1--6-AP

解得AP=3土石

17.如圖，AB!/CD,CDLBD且AB=6,8=4,瓦>=14,在3D上是否存在一點尸，使得以尸、B、A

為頂點的三角形與以尸、。、C為頂點的三角形相似，若存在，求BP的長，若不存在，請說明理由.

【答案】存在，BP=2或12或8.4

【詳解】解：存在.

,/AB//CD,CDA.BD,/.ZB=ZD=90°,

設(shè)=貝|尸￡>=14一天.

①△MPSAPDC時，空=空

PDCD

6x

即，一=土，解得為=2,X2=12,

14-x4

...當(dāng)3尸=2或12時，Z\ABPs/\PDC；

②當(dāng)△ABPSACDP時，言=黑，

即6:=Lx一，解得x=8.4,

414一尤

.?.當(dāng)3P=8.4時，AABPs^CDP.

綜上所述，當(dāng)成=2或12或8.4時，以P、B、A為頂點的三角形與以P、D、C為頂點的三角形相似.

18.如圖，Z^ABC為等腰直角三角形，ZA=90°,D為AB的中點，點E在BC上，點F在AC上，且NDEF

=45°.

(1)求證：△BEDs^CFE；

(2)若BD=3,BE=2a,求CF的長.

【答案】(1)見解析；(2)CF=y.

【詳解】(1)證明：:△ABC為等腰直角三角形，NA=90°,

???NB=NC=45°.

VZDEC=ZB+ZBDE=ZDEF+ZCEF,ZDEF=45°,

ZBDE=ZCEF,/.ABED^ACFE.

（2）：D為AB的中點，.,.AB=2AD=6,

；.BC=^AB=6近,

；.CE=BC-BE=40.

由（1）知△BEDs/XCFE,...處=典，

CECF

.320.u16

?.-f==---,?.CF=—.

4V2cF3

19.在矩形相切中，￡為左邊上一點，把VADE沿四翻折，使點〃恰好落在勿邊上的點尸.

（1）求證：AABF-AFCE；

（2）若AB=26,A9=4,求皮的長.

【答案】（1）證明見解析；（2）組.

3

【詳解】（1）二?四邊形ABCD是矩形，

ZB=ZC=ZD=90°,

由翻折的性質(zhì)得：ZAFE=ZD^90°,

：.ZAFB+ZEFC=90°,ZFEC+ZEFC=90°,

ZAFB=NFEC,

NB=NC

在AABF和叢FCE中,

ZAFB=ZFEC

.ABF~@CE；

（2）設(shè)EC=x,

由翻折的性質(zhì)得：AF=AD=4,

?*-BF=y/AF2-AB2=也2_（2后=2，

?.?四邊形ABCD是矩形，

:.BC=AD=4,

：.CF=BC-BF=2,

由（1）可知，^ABF-^CE,

.C^ECp2=x

ABBF2V32

解得了=空，

3

即EC=^.

3

20.如圖，在正方形ABCD中，點E在AD上，EF_LBE交CD于點尸.

(1)求證：AABE-ADEF；

(2)連結(jié)成，若AABE?AEBF,試確定點￡的位置并說明理由.

【答案】(1)見解析；(2)點￡為/〃的中點.理由見解析

【詳解】(1)證明:四邊形285是正方形，

???N左N氏90°,

：.ZAEB+ZAB￡=90°,

■:EF1BE,

:./AEB+/DEFW,

:./AB&/DEF.

在△/阿和△郎中，

jZABE=ZDEF

[ZA=ZD

:AABESADEF；

(2),.?△/第s△加F,

.AB_BE

,?森一定'

■:叢ABEs叢EBF,

.ABBE

??瓦—而‘

.ABAB

??瓦一耘’

：.DE=AE,

?,?點￡為助的中點.

21.如圖，在金。中，AB=AC=1O,BC=15,點。為邊3C上一點，且BQvCD,點E為AC中點,

ZADE=ZB.

(1)求BD的長.

(2)求證：DA=DE.

【答案】(1)5；(2)證明見解析；

9

【詳解】(1)：AB=AC=lQf：.ZB=ZCf

?:ZADE=ZB,/.1800-ZADE=1800-ZBf

ZADB+/EDC=ZADB+NBAD,：.ZEDC=ZBADf

.5八人.ABBD

??△ABDs/\DCE,??-----------,

DCCE

,**E為AC中點，CE=—AC=5,

2

IQY

VBC=15,^BD=x,貝!JOC=15—x,即：-----=一，解得：玉=5,x=10,

15-x52

BD<CD,

：.BD=5.

(2)由(1)可知5O=CE=5,VAB=DC=IO,：.ZB=ZC,

BD=CE

在AABD和ADCE中，，=NC,Z\ABD附ADCE(SAS)

AB=DC

：.DA=DE

22.如圖，已知四邊形ABCD,NB=NC=90°,P是BC邊上的一點，NAPD=90°.

(1)求證：AABP-APCD；

(2)若BC=10,CD=3,PD=35/5,求AB的長.

【答案】（1）證明見解析；（2）8.

【詳解】（1）ZB=ZC=90°,ZAPD=90°,

:.ZBAP+ZAPB=ZCPD+ZAPB=90°,

:.ZBAP=ZCPD,

NBAP=NCPD

在AAB尸和APCD中,

NB=NC

:.^ABP^^CD；

（2）???在R/VPCD中，CD=3,PD=3非,

：.PC=y]PD2-CD2=6

,??3C=10,

:.PB=BC-PC=4,

由（1）已證：AAB尸?△PCD,

?假SPT=r解得AB=8-

23.【感知】如圖①，在四邊形被力中，點P在邊四上（點P不與點46重合），ZA=ZS=ZDPC=90°.易

證△DAPs△尸3c.（不需要證明）

【探究】如圖②，在四邊形相切中，點尸在邊居上（點戶不與點48重合），ZA=ZB=ZDPCPD=4,

PC=8,BC=6,求"的長.

【拓展】如圖③，在“LBC中，AC=BC=8,AB=n,點戶在邊四上（點戶不與點/、6重合），連結(jié)

CP,作/CPE=NA,"與邊6。交于點￡,當(dāng)△CPE是等腰三角形時，直接寫出加5的長.

【答案】【探究】3；【拓展】4或亍.

【詳解】探究：證明：???/￡>%是△”口的外角,

?*.ZDPB=ZA+ZPDA,

即ZDPC+Z.CPB=ZA+ZPDA,

'：ZA=ZDPC,

NPDA=NCPB,

又：ZA=ZB,

ZxDAPs/^pBC,

,PDAP

""PC-BC'

VPD=4,PC=8,BC=6,

???4一=Ap，

86

解得：A尸=3；

拓展：\UA(=BQ

：.ZA=ZBf

?.?/。力是4加匕的外角，

：.ZCPB=AA+ZPCA,臂NCPE+NEPB=/A+NPCA,

,/Z.QZ.CPE,

AACP=ZBPE,

ZA=ZB,

:.叢ACPs叢BPE,

當(dāng)上位時，ACPE=ZCEP,

■:/CEP>/B,NCP芹/4NB,

：.0CE不成立;

當(dāng)陷笈時，△AC3ABPE,

則小心8,

仍圈％=12-8=4；

當(dāng)￡上0時，ZCPE=AECP,

,:/B=Z.CPE,

：.AECP=AB,

：.PC=PB,

?：4ACPs叢BPE,

8用16

?A_C_=_A__P=_P_C_即Hn__=_1_2__-_P_B—___P_B_&MS7S..PnRn—__

"BPBEEP'PBBE8-BE,'3

,c1620

：.AP=AB-PB=12——=—,

33

綜上所述：是等腰三角形時，45的長為4或一.

24.如圖，在矩形相繆中，少為皿的中點，EF1EC交AB于F,延長〃與直線切相交于點G,連接刀C

^AB>AE).

(1)求證：叢AEFs叢DCE；

(2)△/四與△泣是否相似？若相似，證明你的結(jié)論；若不相似，請說明理由；

AT)

⑶設(shè)妥=左，是否存在這樣的次值，使得△/哥'與△班'C相似？若存在，證明你的結(jié)論并求出左的值；若

不存在，請說明理由.

【答案】（1）見解析；（2）相似，證明見解析；（3）存在，上=坐

【詳解】（1）證明：：母上歐，

:./FEC=90°,

：.ZAEF+ZDEC=90°,

'：ZAEF+ZAFE=90°,

ZDEC=ZAFE,

又：//=/功。=90°,

:.△AEFsXDCE；

(2)解：AAEFs4ECF.

理由：：￡為助的中點，

:.AE=DE,

■:NAEF=/DEG,/A=NEDG,

△龐G(ASA),

：.EF=EG,AAFE=Z.EGC.

又＜EFLCE,

"垂直平分刀G,

；.△4聲是等腰三角形.

/AFE=4EGC=/EFC.

又：//=/笈。=90°,

:.XAEFsMECF；

(3)解：存在上考使得砂與△哥'C相似.

理由：

假設(shè)廝與△物T相似，存在兩種情況：

①當(dāng)/AFE=/BCF,則有//笈與N毋T互余，于是N〃U=90°,因此此種情況不成立;

②當(dāng)/AFE=/BFC,使得△4EF與△班7相似，

設(shè)BC=a,則AB=ka,

'：XAEFSMBCF,

.AF_AE_j_

??標(biāo)一~BC~2f

12

AF=—ka,BF=—ka,

33

'：XAEFS^DCE,

11，

"=竺，即］=*，解得，Y

DCDEka-'u2

2

存在k=^~使得△板與△班'C相似.

25.（1）問題

如圖1,在四邊形ABCD中，點戶為AB上一點，當(dāng)/OPC=NA=/B=90。時，求證：ADBC^APBP.

（2）探究

若將90。角改為銳角（如圖2）,其他條件不變，上述結(jié)論還成立嗎？說明理由.

（3）應(yīng)用

如圖3,在44BC中，AB=2肥，NB=45。，以點/為直角頂點作等腰RtaADE.點〃在BC上，點￡在

AC上，點/在BC上，且NEFD=45。，若CE=后,求CO的長.

【答案】（1）見解析；（2）成立；理由見解析；（3）5

【詳解】解：（1）證明：如圖1,

-.?Z￡)PC=90°

:.ZBPC+ZAPD=90°,

vZA=90°,

:.ZADP+ZAPD=90°

:.ZAPD=ZBPC,

又?.?ZA=/3=90。

:.△ADPs^BPC,

.\AD:BP=AP:BC

:.ADBC=APBP；

(2)結(jié)論=仍成立;

理由：如圖2,

???/BPD=ZDPC+ZBPC,

又?.?ZBPD=ZA+ZAPD,

ZDPC+^BPC=ZA+ZAPD,

ZDPC=NA=a,

:"BPC=ZAPD,

又???NA=N5=0,

:./\ADP^/\BPC,

:.AD:BP=AP:BC

:.ADBC=APBP；

(3)?.?NEFD=45。,

.\ZB=ZADE=45°f

:.ZBAD=ZEDF,

：.AABD^ADFE

:.AB:DF=AD:DE

RtAWE是等腰直角三角形

:.AD:DE=l：s/2

:.AB:DF=1:6

AB=2>/2

.-.DF=4

RtAADE是等腰直角三角形

.-.ZAED=45°

ZEFD=45°

ZDEC=NEFC=180°—45°=135°

又：ZC=ZC

:.^DECs&EFC

，DC:EC=EC:CF即￡C2=FC(4+FC)

EC=y/5

5-FC(4+FC)

：.FC=1,解得CD=5.

26.如圖，己知邊長為10的正方形ABCDE是8c邊上一動點(與3、C不重合)，連結(jié)AE,G是8C延

長線上的點，過點E作AE的垂線交NDCG的角平分線于點/，若尸G_L8G.

(1)求證：AABEs^EGF；

(2)若EC=2,求△CEF的面積；

(3)請直接寫出EC為何值時，△CEF的面積最大.

【詳解】解：（1）???四邊形ABCD是正方形,

.\ZDCG=90°,

：CF平分/DCG,

AZFCG=1-ZDCG=45°,

VZG=90°,

AZGCF=ZCFG=45°,

???FG=CG,

??,四邊形ABCD是正方形，EF±AE,

.*.ZB=ZG=ZAEF=90°,

AZBAE+ZAEB=90°,ZAEB+ZFEG=90°,

ZBAE=ZFEG,

VZB=ZG=90°,

AABAE^AGEF；

(2)VAB=BC=10,CE=2,

.*.BE=8,

.*.FG=CG,

.\EG=CE+CG=2+FG,

由(1)知，ABAE^AGEF,

.ABBE

**EG-FG?

?I。_8

"2+FG-FG?

???FG=8,

.,.SAECF=|CE-FG=^-X2X8=8；

(3)設(shè)CE=x,則BE=10x,

.\EG=CE+CG=x+FG,

由(1)知，ABAE^AGEF,

.ABBE

**EG-FG?

.1010—%

"x+FG~FG'

.\FG=10x,

[25

SAECF--XCEXFG=—Xx,(10x)—(x—5)+,

25

當(dāng)X=5時,