專題6.44相似三角形與動(dòng)點(diǎn)問題（鞏固篇）

（專項(xiàng)練習(xí)）

一、單選題

1.如圖，在四邊形ABCD中，AD//BC,AD<BC,ZABC=90°,且AB=3,點(diǎn)E是邊AB上的動(dòng)

點(diǎn)，當(dāng)AADE、ABCE、ACDE兩兩相似時(shí)，貝l]AE=（）

A.-3B.5-C.32或53D,士3或1

23232

2.如圖，在鈍角三角形ABC中，AB=6cm,AC=12cm,動(dòng)點(diǎn)。從點(diǎn)A出發(fā)沿AB以lcm/s的速度向

點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)，同時(shí)動(dòng)點(diǎn)E從點(diǎn)C出發(fā)沿CA以2cm/s的速度向點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)，當(dāng)以為頂點(diǎn)的三角形與△ABC

相似時(shí)，運(yùn)動(dòng)時(shí)間是（）

A.3s或4.8sB.3sC.4.5sD.4.5s或4.8s

3.如圖，在AABC中，AC=6,AB=4,點(diǎn)。與點(diǎn)A在直線2C的同側(cè)，且/AC￡>=/ABC,CD=2,

點(diǎn)E是線段延長(zhǎng)線上的動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)AOCE和AABC相似時(shí)線段CE的長(zhǎng)為（）

4、4?3

A.3B.—C.3或一D.4或一

334

4.如圖，在△ABC中，ZBAC=90°,AB=AC=4,點(diǎn)。是邊BC上一動(dòng)點(diǎn)（不與8,C重合），ZADE

=45°,DE交AC于點(diǎn)、E,下列結(jié)論：①△AOE與△ACD一定相似；②與△OCE一定相似；③當(dāng)

7

4。=3時(shí)，CE=-；?0<CE<2.其中正確的結(jié)論有幾個(gè)？（）

BDc

A.4個(gè)B.3個(gè)C.2個(gè)D.1個(gè)

5.如圖，在10x6的方格紙中，每個(gè)小方格都是邊長(zhǎng)為1的正方形，我們稱每個(gè)小正方形的頂點(diǎn)為格

點(diǎn)，以格點(diǎn)為頂點(diǎn)的圖形稱為格點(diǎn)圖形.點(diǎn)E是格點(diǎn)四邊形ABC。的A8邊上一動(dòng)點(diǎn)，連接ED,EC,若

格點(diǎn)△04￡與白班（7相似，則DE+EC的長(zhǎng)為（）

A.3713B.V149C.3屈或5后D.3屈或71^

6.如圖，RtAABC中，ZACB=90°,ZABC=60°,BC=2cm,D為BC的中點(diǎn)，若動(dòng)點(diǎn)E以lcm/s

的速度從A點(diǎn)出發(fā)，沿著ATB—A的方向運(yùn)動(dòng)，設(shè)E點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為ts（0<t<6）,連接DE,當(dāng)&BDE

與AABC相似時(shí)，t的值為（）

A.2B.2.5或3.5C.3.5或4.5D.2或3.5或4.5

7.如圖，已知點(diǎn)A（1,0）,點(diǎn)8（6,0）（6>1）,點(diǎn)P是第一象限內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)，且點(diǎn)P的縱坐標(biāo)為

h

-,若APOA和△朋8相似，則符合條件的P點(diǎn)個(gè)數(shù)是（）

4

A.0B.1C.2D.3

8.如圖，在△ABC中，AB=6,AC=8,8c=10,。是△ABC內(nèi)部或BC邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（與3、C不

重合），以。為頂點(diǎn)作△。所，使△（相似比k>l）,EF〃BC.兩三角形重疊部分是四邊形AGDH,

當(dāng)四邊形AGOH的面積最大時(shí)，最大值是多少？（）

A.12B.11.52C.13D.872

9.在RfAABC的直角邊AC邊上有一動(dòng)點(diǎn)P（點(diǎn)P與點(diǎn)A、C不重合），過點(diǎn)P作直線截R/AABC,

使截得的三角形與R7AABC相似，滿足條件的直線最多有（）

A.1條B.2條C.3條D.4條

10.如圖，在四邊形ABCD中，AD/7BC,ZABC=90°,AD=2cm,BC=6cm,AB=7cm,點(diǎn)P是從點(diǎn)

B出發(fā)在射線BA上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，運(yùn)動(dòng)的速度是1cm/s,連結(jié)PC、PD.若小PAD與△PBC是相似三角形,

則滿足條件的點(diǎn)P個(gè)數(shù)是（）

二、填空題

11.如圖，在AABC中，AB=8,3c=10,點(diǎn)尸是AB邊的中點(diǎn)，點(diǎn)。是BC邊上一動(dòng)點(diǎn)，若VBPQ

與△瓦1C相似，則C。的長(zhǎng)為.

12.如圖，在矩形ABCD中，點(diǎn)E在上，且AB=8,3c=4,OE=1,點(diǎn)P是邊A3上的一個(gè)動(dòng)

點(diǎn)，連接尸C和尸E,當(dāng)PA=時(shí)，和APBC是相似三角形.

13.如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，邊長(zhǎng)為4的等邊△OA8的邊OA在無(wú)軸上，C、D、E分別是

AB、OB、0A上的動(dòng)點(diǎn)，且滿足3￡）=2AC,DE//AB,連接CD、CE,當(dāng)點(diǎn)E坐標(biāo)為時(shí)，XCDB

與△ACE相似.

14.如圖，7?以493中，ZO=90°,04=20cm,OB=15cm,動(dòng)點(diǎn)尸從點(diǎn)A出發(fā)在線段40上以每

秒2cm的速度向O運(yùn)動(dòng)，動(dòng)直線昉從Q4開始以每秒1cm的速度向上平行移動(dòng)，分別與。氏A3交于點(diǎn)E,

F,連接EP,設(shè)動(dòng)點(diǎn)尸與動(dòng)直線所同時(shí)出發(fā)，運(yùn)動(dòng)時(shí)間為f秒.當(dāng)f為時(shí)，△EOP與△BQ4相

似.

15.在中，ZACB=90°,AC=6,BC=8,過點(diǎn)B作射線動(dòng)點(diǎn)。從點(diǎn)A出發(fā)沿射

線AC方向以每秒3個(gè)單位的速度運(yùn)動(dòng)，同時(shí)動(dòng)點(diǎn)E從點(diǎn)C沿射線AC方向以每秒2個(gè)單位的速度運(yùn)動(dòng).過

點(diǎn)E作AC交射線剛于足G是所中點(diǎn)，連接OG.設(shè)點(diǎn)。運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為當(dāng)△/)￡<?與相

似且點(diǎn)D位于點(diǎn)E左側(cè)時(shí),t的值為.

16.圖，HAABC中，Z4CB=90°,在BC的延長(zhǎng)線上截取3。=AB,連接A。，過點(diǎn)8作于

點(diǎn)E,交AC于點(diǎn)R連接DP,點(diǎn)尸為射線8E上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，若AC=9,BC=12,當(dāng)AAPB與VAED相似

時(shí)，8尸的長(zhǎng)為

17.如圖，有一正方形ABCD,邊長(zhǎng)為60,E是邊8上的中點(diǎn)，對(duì)角線8。上有一動(dòng)點(diǎn)尸，當(dāng)AABR

與ADEF相似時(shí)，BF的值為.

18.如圖，已知直線y=-gx+2與尤軸交于點(diǎn)8,與y軸交于點(diǎn)A,點(diǎn)尸為直線上一動(dòng)點(diǎn)(不

與A、8重合),過點(diǎn)尸作PQLx軸于點(diǎn)。，若以點(diǎn)P,O,。為頂點(diǎn)的三角形與AAOB相似，則點(diǎn)尸的坐

19.如圖，在直角三角形A8C中，直角邊AC=3cm,BC=4cm.設(shè)尸，。分別為48、8c上的動(dòng)點(diǎn),

在點(diǎn)P自點(diǎn)A沿A8方向向8作勻速移動(dòng)的同時(shí)，點(diǎn)。自點(diǎn)8沿BC方向向點(diǎn)C作勻速移動(dòng)，它們移動(dòng)的

速度均為每秒1。相，當(dāng)。點(diǎn)到達(dá)C點(diǎn)時(shí)，P點(diǎn)就停止移動(dòng).設(shè)P,。移動(dòng)的時(shí)間t秒.

(1)當(dāng)f為何值時(shí)，△P3。是以D5為頂角的等腰三角形？

(2)△P8Q能否與直角三角形ABC相似？若能，求f的值；若不能，說(shuō)明理由.

A

20.已知：如圖，直線MN,垂足為O,AD=8,點(diǎn)8是射線DM上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，ABAC=90°,

邊AC交射線ON于點(diǎn)C,NABC的平分線分別與A。、AC相交于點(diǎn)E、F.

(1)求證：/XABEsMBF；

(2)如果鉆=無(wú)，F(xiàn)C=y,求＞關(guān)于尤的函數(shù)關(guān)系式；

(3)聯(lián)結(jié)。片如果以點(diǎn)。、E、F為頂點(diǎn)的三角形與△Bb相似，求AE的長(zhǎng).

21.閱讀與思考

如圖是兩位同學(xué)對(duì)一道習(xí)題的交流，請(qǐng)認(rèn)真閱讀下列對(duì)話并完成相應(yīng)的任務(wù).

在△ABC中，AB=8,BC=5,MX,D是線段AB上一點(diǎn)，且DB=6過點(diǎn)D作DE交AC于點(diǎn)E,使以

A，D,E為頂點(diǎn)的三角形與相似，求DE的長(zhǎng)。

如圖，過點(diǎn)D作DE/BC，交AC于點(diǎn)E,MAADECOAABC.

DEAD

—=—,

BCDB

ADAB-DB

DE=—?BC=----*BC=

DBDB

這個(gè)解答中有兩個(gè)錯(cuò)誤，其中有一個(gè)是比例式寫錯(cuò)了

解決問題：

(1)寫出正確的比例式及后續(xù)解答.

(2)指出另一個(gè)錯(cuò)誤，并給出正確解答.

拓展延伸：

(3)如圖，已知矩形A8CO的邊長(zhǎng)A8=3cm,BC=6cm.某一時(shí)刻，動(dòng)點(diǎn)M從A點(diǎn)出發(fā)沿AB方向以

lcm/s的速度向B點(diǎn)勻速運(yùn)動(dòng)；同時(shí)，動(dòng)點(diǎn)N從。點(diǎn)出發(fā)沿D4方向以2cm/s的速度向A點(diǎn)勻速運(yùn)動(dòng)，是

否存在時(shí)刻右使以A,M,N為頂點(diǎn)的三角形與△AC。相似？若存在，直接寫出，的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)

明理由.

D

22.如圖，在矩形ABC。中，AB=1,AD=3,E為邊的一動(dòng)點(diǎn)(不與端點(diǎn)重合)，連接CE并

延長(zhǎng)，交區(qū)4的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F,延長(zhǎng)EA至點(diǎn)G,^AG=AE,分別連接BE,BG,FG.

(1)在點(diǎn)E的運(yùn)動(dòng)過程中，四邊形8EEG能否成為菱形？請(qǐng)判斷并說(shuō)明理由.

(2)若△瓦正與△即C相似，求AE的長(zhǎng).

23.如圖，ABLBD,CDLBD,B、。分別為垂足.

(2)已知：AB=2,CD=3,BD=1,點(diǎn)P是線段8。上的一動(dòng)點(diǎn)，若使點(diǎn)尸分別與A、2和C、。構(gòu)成

的兩個(gè)三角形相似，求線段尸8的值.

(3)己知：AB=2,C￡)=3,點(diǎn)尸是直線2。上的一動(dòng)點(diǎn)，設(shè)尸8=無(wú)，使點(diǎn)尸分別與A、2和C、

。構(gòu)成的兩個(gè)三角形相似，求y關(guān)于尤的函數(shù)解析式.

24.如圖，在矩形ABCD中，AD=nAB(n>\),點(diǎn)E是AD邊上一動(dòng)點(diǎn)(點(diǎn)E不與A,。重合)，連

接8E,以BE為邊在直線3E的右側(cè)作矩形￡BFG,使得矩形EBFGs矩形ABC。，EG交直線8于點(diǎn)//.

(1)【嘗試初探】在點(diǎn)E的運(yùn)動(dòng)過程中，ZWE與△上"始終保持相似關(guān)系，請(qǐng)說(shuō)明理由.

(2)【深入探究】若〃=2,隨著E點(diǎn)位置的變化，H點(diǎn)的位置隨之發(fā)生變化，當(dāng)H是線段8中點(diǎn)時(shí),

求tanAABE的值.

(3)【拓展延伸】連接9,FH,當(dāng)△防〃是以切為腰的等腰三角形時(shí)，求tanNABE的值(用含"

的代數(shù)式表示).

參考答案

1.D

【分析】分兩種情況：①當(dāng)/CED=90。時(shí)，和②當(dāng)NCDE=90。時(shí)，，利用角平分線的性質(zhì)和直角三

角形30。角的性質(zhì)分別可得AE的長(zhǎng)，即可解題.

解：分兩種情況：

①當(dāng)NCED=90。時(shí)，如圖1,

過E作EFXCD于F,

；.AB與CD不平行，

...當(dāng)AADE、ABCE、ACDE兩兩相似時(shí),

:.NBEC=NCDE=ZADE,

NA=NB=NCED=90。，

???NBCE=NDCE,

???AE=EF,EF=BE,

AE=BE=—AB=—；

22

②當(dāng)NCDE=90。時(shí)，如圖2,

??,當(dāng)4ADE、ABCE>aCDE兩兩相似時(shí)，

???ZCEB=ZCED=ZAED=60°,

???NBCE=NDCE=30。，

?.,NA=NB=90。，

???BE=ED=2AE,

VAB=3,

.\AE=1,

3

綜上，AE的值為1或1；

2

故選：D.

【點(diǎn)撥】本題考查了含30。角的直角三角形、相似三角形的性質(zhì)和判定，是重要考點(diǎn)，難度較易，掌

握相關(guān)知識(shí)是解題關(guān)鍵.

2.A

【分析】分當(dāng)△AOEs/XABC時(shí)和當(dāng)△AOEs/XACB時(shí)兩種情況，利用相似三角形的性質(zhì)進(jìn)行求解即

可.

解：由題意得：AD=tcm,CE=2tcm,

AE=AC-CE=(\2-2t)cm

當(dāng)△AOES2XABC時(shí)，

AEAD12-2tt

——=——即nn-----=-，

ACAB'126

解得1=3；

當(dāng)△ADES/XACB時(shí),

AEAD12-2tt

——=——即Hn-----=——，

ABAC612

解得［=4.8；

綜上所述，當(dāng)運(yùn)動(dòng)時(shí)間是3s或4.8s時(shí)，以A,D,E為頂點(diǎn)的三角形與△ABC相似,

故選A.

【點(diǎn)撥】本題主要考查了相似三角形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵在于能夠利用分類討論的思想進(jìn)行求解.

3.C

【分析】根據(jù)NACD=/ABC,可得NA=NZ)CE,然后分兩種情況討論，即可求解.

解：VZACD=ZABC,ZACD+NDCE=ZA+ZABC,

AZA=ZDCE,

當(dāng)ACDE?AABC時(shí)，

,CDCE

VAC^6,AB=4,CD=2,

2CF

，解得：CE=3；

46

當(dāng)ACED?AABC時(shí)，

,CECD

"AC'

：AC=6,AB=4,CD=2,

CP?4

???殍=：，解得：CE=：

463

4

...線段CE的長(zhǎng)為3或g.

故選：C

【點(diǎn)撥】本題主要考查了相似三角形的性質(zhì)，熟練掌握相似三角形的性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵.

4.A

【分析】利用有兩個(gè)角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形相似可以判定①②正確；根據(jù)相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例,

利用△ADEs△A。得出比例式求得AE的長(zhǎng)，進(jìn)而得出③正確；利用判定③正確的結(jié)論，通過分析A。

的取值范圍即可得出④正確.

解：'：ZBAC=9Q°,AB=AC=4,

???N3=NC=45。，BC={AB2+AC2=4夜.

ZADE=45°,

???ZADE=ZC=45°.

'：ZDAE=ZCADf

：.AADE^AACD.

???①正確；

???ZAZ）E=45°,

ZADB+ZE￡>C=180°-45。=1350.

???N3=45。，

ZADB+ZBAD=180°45°=135°.

ZBAD=ZEDC.

,:/B=/C,

：.AABD^ADCE,

???②正確；

由①知：△AOES/XAC。，

.ADAC

**AE-AD*

：.AD2=AE^AC.

：.AE=-,

4

97

EC=AC-AE=4——=-.

44

???③正確；

??,點(diǎn)。是邊3。上一動(dòng)點(diǎn)（不與3,。重合），

.?.0<A￡><4.

??,垂線段最短，

???當(dāng)AOJ_5C時(shí)，AO取得最小值=330=2?.

A2V2<AD<4.

'：AD2=AE^AC,

.AD2AD2

..A4ZE7=------=-------.

AC4

.\2<AE<4.

4n2

'：EC=AC-AE=4-,

4

：.0<CE<2.

.?.④正確.

綜上，正確的結(jié)論有：①②③④.

故選：A.

【點(diǎn)撥】本題主要考查了等腰直角三角形的性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，三角形的內(nèi)角和定理，

利用有兩個(gè)角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形相似進(jìn)行相似三角形的判定是解題的關(guān)鍵.

5.C

【分析】分△ZMESA￡gc和△ZME'S&TBE兩種情況討論，求得AE和BE的長(zhǎng)度，根據(jù)勾股定理

可求得DE和EC的長(zhǎng)度，由此可得DE+EC的長(zhǎng).

解：由圖可知￡)A=3,AB=S,BC=4,AE=8EB,NA=N2=90。,

若/\DAEsAEBC,

.DAAE38-EB

則n一=一，即Hn一=-----,

EBBCEB4

解得￡B=2或￡8=6,

當(dāng)EB=2時(shí)，￡C=>/22+42=2A/5>DE=^+62=375>

DE+EC=5杷,

當(dāng)EB=6時(shí)，EC=A/62+42=2-\/13,DE=^32+2?=A/13，

DE+EC=3屈,

若八DAEsACBE,

r\\Apqo_D17q?

貝1=黑，即3=1^，解得=（（不符合題意，舍去），

JDCBE4BE7

故。E+EC=5s/5或3岳,

故選：C.

【點(diǎn)撥】本題考查相似三角形的性質(zhì)和判定，勾股定理，能結(jié)合圖形，分類討論是解題關(guān)鍵.注意不

要忽略了題干中格點(diǎn)三角形的定義.

6.D

【分析】由RtAABC中，ZACB=90°,ZABC=60°,BC=2cm,可求得AB的長(zhǎng)，由D為BC的中點(diǎn),

可求得BD的長(zhǎng)，當(dāng)&BDE與AA5c相似時(shí)，ABDE為直角三角形，然后分別從若/DEB=90。與若NEDB=90。

時(shí)，去分析求解即可求得答案.

解：：R3ABC中，ZACB=90°,ZABC=60°,BC=2cm,

；.AB=2BC=4(cm),

VBC=2cm,D為BC的中點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)E以Icm/s的速度從A點(diǎn)出發(fā)，

；.BD=；BC=1(cm),BE=ABAE=4t(cm),

當(dāng)與AABC相似時(shí)，ABDE為直角三角形，

若NBED=90。，

當(dāng)A—B時(shí)，VZABC=60°,

.?.ZBDE=30°,

，BE=；BD=I(cm),

t=3.5,

當(dāng)B—A時(shí)，仁4+0.5=4.5.

若NBDE=90。時(shí)，

當(dāng)A—B時(shí)，VZABC=60°,

.*.ZBED=30°,

ABE=2BD=2(cm),

t=42=2,

當(dāng)B-A時(shí)，t=4+2=6(舍去).

綜上可得：t的值為2或3.5或4.5.

故選：D.

【點(diǎn)撥】此題考查了含30。角的直角三角形的性質(zhì)，注意掌握分類討論思想與數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用，

將相似問題轉(zhuǎn)化為直角三角形問題是解題的關(guān)鍵.

7.D

【分析】利用相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例，分①△B4。手△以8,②AB40s△BAP兩種情況分別求解

即可.

b

解：：點(diǎn)P的縱坐標(biāo)為一，

4

h

點(diǎn)尸在直線上，

①當(dāng)△E4O絲△出^時(shí)，AB=b-1=OA=1,：.b=2,則尸(1,1)；

②：當(dāng)△出Os尸時(shí)，PA：AB=OA：PA,

.\B42=AB*OA,

8)2=48,

解得b=8±4百，

；.尸(1,2+6)或(1,2-g),

綜上所述，符合條件的點(diǎn)尸有3個(gè),

故選。.

【點(diǎn)撥】本題考查了相似三角形的性質(zhì)，正確地分類討論是解題的關(guān)鍵.

8.A

44

【分析】先判斷面積最大時(shí)點(diǎn)D的位置，由△BGDs^BAC,找出AH=8§GA,得到S矩形AGDH=§

AG2+8AG,確定極值，AG=3時(shí)，面積最大，于是得到結(jié)論.

解：VAB2+AC2=100=BC2,

.,.ZBAC=90°,

VADEF^AABC,

AZEDF=ZBAC=90o,

如圖1延長(zhǎng)ED交BC于M,延長(zhǎng)FD交BC于N,

；.NB=NE,

：EF〃BC,

ZE=ZEMC,

.\ZB=ZEMC,

；.AB〃DE,

同理：DF//AC,

???四邊形AGDH為平行四邊形,

ZEDF=90°,

四邊形AGDH為矩形，

VGA1AC,

四邊形AGDH為正方形，

當(dāng)點(diǎn)D在AABC內(nèi)部時(shí)，四邊形AGDH的面積不可能最大,

如圖2,

點(diǎn)D在內(nèi)部時(shí)（N在AABC內(nèi)部或BC邊上），延長(zhǎng)GD至N,過N作NMLAC于M,

矩形GNMA面積大于矩形AGDH,

...點(diǎn)D在△ABC內(nèi)部時(shí)，四邊形AGDH的面積不可能最大，

只有點(diǎn)D在BC邊上時(shí)，面積才有可能最大，

如圖3,

圖3

點(diǎn)D在BC上，

VADEF^AABC,

；./F=/C,

VEF/7BC.

.*.ZF=ZBDG,

.\ZBDG=ZC,

；.DG〃AC,

.".△BGD^ABAC,

.BGGD

"AB"AC)

.AB-AGAH

"-AB—-AC'

.6-AGAH

?.------=----，

68

4

；.AH=8—GA,

3

44

S矩形AGDH=AGXAH=AGX(8yAG)=jAG2+8AG,

8

當(dāng)AG=j矩形AGDHS矩形AGDH

故選A.

【點(diǎn)撥】此題主要考查了相似三角形的性質(zhì)和判定，平行四邊形，矩形，極值的確定，勾股定理的逆

定理，解本題的關(guān)鍵是作出輔助線，

9.D

【分析】過點(diǎn)P作直線與另一邊相交，使所得的三角形與原三角形已經(jīng)有一個(gè)公共角，只要再作一個(gè)

等于△ABC的另一個(gè)角即可.

②過點(diǎn)P作BC的平行線PE,交AB于E,則AAPEs/XACB；

③過點(diǎn)P作AB的平行線PF,交BC于F,則APCFs/^ACB；

④作/PGC=NA,則AGCPsZ\ACB.

故選D.

【點(diǎn)撥】本題主要考查相似三角形的判定，用到的知識(shí)點(diǎn)：平行于三角形的一邊的直線與其他兩邊相

交，所構(gòu)成的三角形與原三角形相似；有兩個(gè)角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形相似.

10.A

解：因?yàn)锳D〃:BC,ZABC=90°,

所以NA=NABC=90。，設(shè)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)t秒鐘時(shí)，△PAD與△PBC是相似三角形，

當(dāng)點(diǎn)P在線段BA上時(shí)，

因?yàn)锳D=2cm,BC=6cm,AB=7cm,

所以PB=t,PA=7t,

pj?n7_*271

(1)當(dāng)APADS/^PBC時(shí)，有土1=叱，所以__L=:，解得t=」；

PBBCt64

(2)(2)當(dāng)APADs^CBP時(shí)，有以=衛(wèi)，

CBBP

所以----=一，

6t

解得t=3,t=4；當(dāng)點(diǎn)P在線段BA的延長(zhǎng)線上時(shí)，PB=t,PA=t7,

21

同理：當(dāng)4PAD^APBC時(shí)，解得t=——；

當(dāng)APADs^CBP時(shí)，解得口號(hào)胸.

既

因?yàn)閠>0,

所以仁三”

綜上所述，t=m或t=3或1=4或1=衛(wèi)或t=Wl翅，所以滿足條件的點(diǎn)P共有5個(gè),

42既

故選A.

考點(diǎn)：相似三角形的判定與性質(zhì).

11.5或彳

【分析】根據(jù)題意分兩類進(jìn)行討論：△BPQs^BCA或ABPQSABAC,分別求得結(jié)果即可.

解：'：AB=8,6C=10,點(diǎn)尸是AB邊的中點(diǎn)

BP=4

當(dāng)△3PQs/^gCA時(shí)

?B^=BQ

即力也

108

解得：BQ=^

C2=y

當(dāng)小BPQSRAC時(shí)

.BP_BQ

*BA-BC

解得：BQ=5

：.CQ=5

：.CQ=5^34

故答案為：5或三34.

【點(diǎn)撥】本題主要考查相似三角形的判定，正確進(jìn)行分類討論是解題的關(guān)鍵.

24

12.一或2或6

7

【分析】分和兩種情況討論，利用相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例列方程即可

求解.

解：；四邊形ABCD是矩形，且AB=8,BC=4,DE=1,

；.AD=BC=4,AE=ADDE=3,

設(shè)PA=x,則尸3=AF—PA=8—x,

①當(dāng)APAE-APBC時(shí),

PAAEx3

——,即nn----=-

PBBC8-x4

24

解得：X=y

②當(dāng)APAE?ACBP時(shí),

PAAEx3

——,即nn一=----,

BCPB48—x

解得：占=2,x2=6.

24

...當(dāng)尤=萬(wàn)或2或6時(shí)，AR4E和AP3C是相似三角形.

故答案為：,24或2或6.

【點(diǎn)撥】本題考查了相似三角形的性質(zhì)，分類討論是解題的關(guān)鍵.

13.

【分析】根據(jù)DE〃AB，nTWOD=OE=DE,然后設(shè)點(diǎn)E(a,0),則OE=OD=a,從而得至ljBD=AE=4a,

然后分四種情況討論，即可求解.

解：VDE//AB,

；./DEC=NACE,AODEsAOBA,

,：AOAB是等邊三角形，

??.△ODE也是等邊三角形，ZA=ZB=60°,

OD=OE=DE,

設(shè)點(diǎn)E（〃，0）,則OE=OD=OE=〃，

.\BD=AE=4af

若N3CD=NA=60。時(shí)，貝！JCQ〃OA,

???ZCDB=60o,

???△BCD是等邊三角形，

：.BD=BC,

?/BD=2AC,

：.BC=2AC,

VAB=4,

48

：.AC=-AE=BD=BC=—,

3f3

：.AE^AC,此時(shí)△CDB與△ACE1不相似；

同理若N8Z）C=NA=60時(shí)，△CDB與AACE不相似;

???NA與N5是對(duì)應(yīng)角，

若ABCDsAACE,止匕時(shí)生=處=j=l,

ACAE4—ci

：.BC=AC=2,

'：BD=2AC,

BD=4,不合題意;

若ABCDS/\AEC,止匕時(shí)==

AEAC

BC=2AE=2（4〃）=82”,

9：BD=2AC,

：.AC=1（4-tz）=2-1,

VAB=4,

???8-2。+2-色=4,

2

解得：a若1?,

???點(diǎn)？；

故答案為：

【點(diǎn)撥】本題主要考查了等邊三角形的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，熟練掌握等邊三角形的性質(zhì),

相似三角形的判定和性質(zhì)，并利用分類討論思想解答是解題的關(guān)鍵.

14.6或四

11

【分析】分別用/表示OP與OE的長(zhǎng)度，根據(jù)NEOP與ZBO4都是直角，當(dāng)△EOP與△BQ4相似時(shí),

。與。是對(duì)應(yīng)點(diǎn)，因此分△EOPs△BOA與△EOPs“103兩種情況討論，根據(jù)相似列方程解之即可.

解：???動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)在線段49上以每秒2cm的速度向O運(yùn)動(dòng)，04=20cm,

.\AP=2tcmf。尸二(202%)cm,

又,:動(dòng)直線M從開始以每秒1cm的速度向上平行移動(dòng)，

0E=；cm,

根據(jù)NEOP與ZBQ4都是直角，。與。是對(duì)應(yīng)點(diǎn)，因此分△EOPSABQ4與△EO尸SAAOB兩種情況

討論,

當(dāng)―,嘮啜時(shí)，臺(tái)等

解得：t=6,

當(dāng)△EOPSAA.,即黑=黑時(shí)，4=需

解得：:與

QA

綜上所述：當(dāng)仁6或五時(shí)，AEOP與△BOA相似,

故答案時(shí)：6或胃.

【點(diǎn)撥】本題考查相似三角形的性質(zhì)，根據(jù)三角形相似進(jìn)行討論分析是解題的關(guān)鍵.

22

15.3或或3

【分析】若ADEG與AACB相似，分情況討論，則當(dāng)或巖=段，由相似三角形的性質(zhì)可求解.

EGBCEGAC

:.GE=4.

點(diǎn)。位于點(diǎn)片左側(cè)時(shí)，即ADvAE,

二3,<6+2,,

解得：t<69

DE=AE—AD=6+2/—3,=6—/,

若ADEG與AACB相似，則巖=能或巖=黑，

EGBCEGAC

6—r6_p.6——才8

??----=一或----=-,

4846

.,..=3或力=2

3

故答案為：3或1.

【點(diǎn)撥】本題考查了相似三角形的判定，解題的關(guān)鍵是利用分類討論思想解決問題.

16.I"而或9匹

【分析】先通過等腰三角形三線合一的性質(zhì)得出BE垂直平分4D可得E4=FD,設(shè)E4=ED=x,

則CF=9—x,分別討論當(dāng)上4=PB時(shí)，AAPB?AAFD，當(dāng)=寸，^APB~AFAD,根據(jù)相似三角形

的性質(zhì)求解即可.

解：:BELAD,BD=AB,

ZABE=ZDBE,AE=DE,

???BE垂直平分A。，

:.FA=FD,

,-,AlPB與VAFD相似，

:.AP^BP^AP=AB,

在及AABC中，???AC=9,BC=12,

:.AB=^AC2+BC2=15-

:.BD=15,

:.DC=BD-BC=3,

設(shè)E4=FD=x,貝!JC尸=9-x,

在RtADCF中，CD2+CF-=DF2

:.AB=^AC2+BC2=15-

32+(9-%)2=x2,解得x=5,

：.AF=DF=5,

在RMADC中，

AD=\lAC2+DC2=3710，

當(dāng)上4=尸3時(shí)，AAPB-AAFD,

ABBPan15BP

ADFD3M5

2

當(dāng)AB=AP時(shí)，AAPBfFAD,

ABBP15_BP

—=--,HaPn-=—<=，

FDAD53屈

BP=9y/10；

5,—,—

綜上，BP的長(zhǎng)為弓Jid或9師，

故答案為：5JIU或9"市.

【點(diǎn)撥】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，垂直平分線的性質(zhì)，勾股定理，相似三角形的判定和性質(zhì),

熟練掌握知識(shí)點(diǎn)并運(yùn)用分類討論的思想是解題的關(guān)鍵.

17.6或8.

【分析】根據(jù)勾股定理和相似三角形的性質(zhì)得出比例式解答即可.

解：：四邊形ABCD是正方形

:.BC=CD=6右,ZC=90°

1/E是邊CO上的中點(diǎn)

：.DE=CE=^CD=3yf2

在RfABC。中，由勾股定理得

BD=y/BC2+CD2=J(6衣?+(6&)2=12

設(shè)BF=x,則有。尸=12-x,

①當(dāng)4ABFs0DE時(shí),

,DFDE口口12—尤3立

BABF6&尤

解得尤=6.

②當(dāng)AABFS4EDF時(shí),

由變=匹，即曰=呻，

BFBAx672

解得，x=8,

綜上所述，BF的值為6或8.

故答案為：6或8.

【點(diǎn)撥】此題考查相似三角形的性質(zhì)、勾股定理、正方形的性質(zhì)等知識(shí)，關(guān)鍵是根據(jù)相似三角形的性

質(zhì)列出方程進(jìn)行解答.

18.（2,1）或（24，］8）或（一：4，|8）

【分析】設(shè)m+2），則PQ=-；m+2,OQ=\n\,分或APQOSABOA兩種

情形討論，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)列出方程，解方程求解即可.

解：；點(diǎn)尸為直線A8y=-gx+2上一動(dòng)點(diǎn)

設(shè)機(jī),一）機(jī)+2）,則PQ=-;m+2,OQ=|同

ZPQO=90°,NAOB=90°

若以點(diǎn)P,O,。為頂點(diǎn)的三角形與AAOB相似,

「.△POQSA4O3或APQOSR0A

.也=國(guó)或絲二更

OBOA^OAOB

1

*.*y=-—x+2,

2

令x=0,貝1jy=2,令＞=。，貝!J%=4

.\OA=2,30=4

11

II一一TYI+2］、.II一一tn+2

.網(wǎng)_2或網(wǎng)_2

-T-2-~2~4

4、4

解m=2或根=］或相=一耳

???尸（2,1）或4（-,8-）或4（土，8-）

5533

484

故答案為：（2,1）或（二，二）或（一1

【點(diǎn)撥】本題考查了相似三角形的性質(zhì),一次函數(shù)與坐標(biāo)軸交點(diǎn)問題，分類討論是解題的關(guān)鍵.

52025

19.（1）r=5秒；（2）或秒.

【分析】（1）根據(jù)△尸8。是以可為頂角的等腰三角形，可得BP=BQ,分別表示出8P和8。，列出

方程即可求出f的值;

（2）分段PBQS^ABC與&P2QSZ\CR4兩種情況進(jìn)行討論，分別根據(jù)相似三角形對(duì)應(yīng)比成比例列

出方程求解即可.

解：（1）?.,直角邊AC=3cm,BC=4cm,

由勾股定理可得，AB=7AC2+BC2=A/32+42=5-

AAP=t,BP=5-t,BQ=t,

V△PBQ是以DB為頂角的等腰三角形，

：.BP=BQ,即5/=f,解得/='1秒，

.?.當(dāng)f=:秒，△依。是以￡)8為頂角的等腰三角形;

2

(2)能.

理由：當(dāng)APBQS/XABC時(shí),

BQBPt5—t無(wú)刀/曰20工1

法二瓶‘即Rn『工‘解侍」=豆秒；

當(dāng)時(shí)，理=股，即工=生］，解得：U空秒,

ABBC549

當(dāng)仁方20或125秒時(shí)，△尸時(shí)與直角三角形42c相似.

【點(diǎn)撥】此題考查了相似三角形的性質(zhì)和判定，等腰三角形的性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握相

似三角形的性質(zhì)和判定，等腰三角形的性質(zhì).

20.(1)見分析；(2)y=—(4<x<8)；(3)-4+475.

8-x

【分析】(1)根據(jù)直線MMZBAC=90°,可得/BAD=NBCF,再由BP平分NA3C,可得

ZABE=ZCBF,即可求證;

(2)作FH，3C垂足為點(diǎn)H,根據(jù)AABE^Z\CBF,可得ZAEB=NCFB,從而得到ZAEF=ZAFE,

進(jìn)而得到AE=AF=x,再由角平分線的性質(zhì)定理，可得AP=FH=x.再證得ACFH?可得

FH_FC

即可求解;

~AD~^C

(3)根據(jù)題意可得：點(diǎn)。、E、尸為頂點(diǎn)的三角形與△BCF相似，即以點(diǎn)。、E、尸為頂點(diǎn)的三角形

與"BE相似.然后分兩種情況討論即可求解.

解：(1)直線MN,ZBAC=90°,

ABAD+ZABD=90°,NBCF+ZABD=90°,

ZBAD=ZBCF,

歹平分ZABC,

,ZABE=NCBF,

△ABEs^CBF；

(2)作切_L3c垂足為點(diǎn)H,

A

,:Z\ABEs八CBF,

:.ZAEB=ZCFB,

VZA￡B+Zz4EF=180°,ZCFB-^ZAFE=ISQ°

：.ZAEF=ZAFE,

AE=AF-x；

尸平分NABC,FHLBC,ABAC=90°,

：.AF=FH=x.

,：FHLBC,AD_L直線MN,

：.FH//AD,

：.ACFH?△C4Z>,

???里4,即在上，

ADAC8y+x

解得：y=^^(4<x<8)；

(3)如圖,連接。尸，

設(shè)AE=x,由△ABEs^CBT"如果以點(diǎn)0、E、尸為頂點(diǎn)的三角形與△⑶。尸相似，即以點(diǎn)。、E、

為頂點(diǎn)的三角形與△ABE相似.

?:ZAEB=ZDEF,

若ZBAE=/FDE,則。尸〃AB,

:?ZABE:ZDFE,

,:ZABE=/DBE,

:.NDBE=NDFE,

???BD=DF,

DF//AB,

：.ZDFC=ZBAC=90°,

???ZDFC=ZADB=90°9

又NBAD=ZBCF,

：.AABD%ACDF,

???CF=AD=8,

由（2）得：CF=——，

8-x

解得：尤=-4±4百(舍去負(fù)值)，,AE=X=-4+4A6.

若ZBAE=4)FE,則人鉆石?AFDE,

.AEBEAEEF

??=，即Hn=，

EFDEBEDE

,：ZBED=ZAEF,

：.LAEFsABED,

：.ZAFE=ZBDE,

由(2)得：ZAEF=ZAFE,

???N/VE是銳角，而N&花是直角，所以這種情況不成立.

綜上所述，如果以點(diǎn)。、E、尸為頂點(diǎn)的三角形與△3CP相似，AE的長(zhǎng)為-4+4遍.

【點(diǎn)撥】本題主要考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，角平分線的性質(zhì)定理，熟練掌握相似三角形的判

定和性質(zhì)，角平分線的性質(zhì)定理，并利用分類討論思想解答是解題的關(guān)鍵.

DFAD41?

21.⑴詈=嗯，解答見分析(2)沒有進(jìn)行分類討論，見分析(3)存在，■或

nCAn25

【分析】(1)根據(jù)三角形相似的性質(zhì)可得段=當(dāng)，再進(jìn)行計(jì)算即可；

ZJCAn

(2)根據(jù)題意可知另一個(gè)錯(cuò)誤是沒有進(jìn)行分類討論，進(jìn)行解答即可；

(3)根據(jù)題意可知有兩種情況分別是AAWN?ADC4和AAVW?A/MC,然后列出方程進(jìn)行計(jì)算即可.

解：(1)由題意得；AADE~AABC

，正確比例式是：段=當(dāng)，

BCAB

.八廠ADBC(AB—BD)BC2x55

..DE-.......=-------------=----=—；

ABAB84

(2)另一個(gè)錯(cuò)誤是沒有進(jìn)行分類討論，如圖，過點(diǎn)。作

A

D,

E

.DEAD

又?.,NA=/A,貝AOES/XACH

*BC-AC

?—ADBC2x55

..DE=-----------=------=—,

AC42

綜合以上可得：DE為?；騡.

42

(3)由題意可知，有兩種情況,

第一種：當(dāng)AAAW?時(shí),

igAM=t,貝i]4N=62f,

?,AMANQ

則n由區(qū)=市得'

t6—2/

3-6

3

解得：弓;

第二種：當(dāng)△AAW?△以。時(shí),

AMAN

則由

~DXDC

t6—2t

6-3

解得：u112,

3I?

綜上所述，當(dāng)r=5或r=二時(shí)以A,M,N為頂點(diǎn)的三角形與△AC。相似.

【點(diǎn)撥】本題考查了相似三角形的性質(zhì)，解決此題的關(guān)鍵是要學(xué)會(huì)分類討論.

22.⑴能，理由見分析(2)4￡=；或4片=匹@

22

【分析】(1)當(dāng)點(diǎn)E為的中點(diǎn)時(shí)，利用對(duì)角線互相垂直平分的四邊形是菱形進(jìn)行判斷即可;

(2)直接利用相似三角形的性質(zhì)得到對(duì)應(yīng)邊成比例，求解即可，注意分類討論對(duì)應(yīng)邊.

解：(1)當(dāng)點(diǎn)E為AD的中點(diǎn)時(shí),

則4￡是4FBC的中位線,

...點(diǎn)A是的中點(diǎn),

：.AF=AB,

;矩形ABC。中，ZBAD=90°,

C.BFLGE,

,:AG=AE,

???GE與3歹互相垂直平分，

???四邊形BEFG為菱形.

（2），?,矩形A5CO中，AB=CD,

若ABAEs^CDE

AEBAi

則——二——二1,

DECD

13

：.AE=-AD=~；

22

若^BAESAEDC,

,AE_BA