專題05相似三角形中的基本模型之對(duì)角互補(bǔ)模型

相似三角形在中考數(shù)學(xué)幾何模塊中占據(jù)著重要地位。相似三角形與其它知識(shí)點(diǎn)結(jié)合以綜合題的形式呈

現(xiàn)，其變化很多，難度大，是中考的?？碱}型。如果大家平時(shí)注重解題方法，熟練掌握基本解題模型，再

遇到該類問題就信心更足了。本專題就對(duì)角互補(bǔ)模型進(jìn)行梳理及對(duì)應(yīng)試題分析，方便掌握。

模型1.對(duì)角互補(bǔ)模型（相似模型）

【模型解讀】四邊形或多邊形構(gòu)成的幾何圖形中，相對(duì)的角互補(bǔ)。該題型常用到的輔助線主要是頂定點(diǎn)向

兩邊做垂線，從而證明兩個(gè)三角形相似.

【常見模型及結(jié)論】

1）對(duì)角互補(bǔ)相似1

條件：如圖，在凡△ABC中，/C=/EOF=9。。,點(diǎn)。是AB的中點(diǎn),

輔助線：過點(diǎn)0作垂足為D,過點(diǎn)0作OHLBC,垂足為H,

結(jié)論：①2ODESOHF；②竺=空（思路提示:OE_OPBHBC）

OFAC而一而一而一就

2）對(duì)角互補(bǔ)相似2

條件：如圖，已知NAO8=/Z）CE=90。，ZBOC=a.

結(jié)論：①AECG-ADCF-,②CE=CZ）?加思路提示：——=——，CF=OG,在RtACOG中，=——）

CDCFOG

輔助線：作法2：如圖2,過點(diǎn)C作CFLOC,交08于尸；

.CECFCF

結(jié)論：?△CFE-ACOD；②CE=CZ）?勿〃a.（思路提示：——=——=tana,在尺公。。尸中，tana=-）

CDCOOC

3）對(duì)角互補(bǔ)相似3

條件：已知如圖，四邊形ABC。中，ZB+ZD=180°

輔助線：過點(diǎn)。作。ELBA,垂足為E,過點(diǎn)。作。尸，BC,垂足為B

結(jié)論：①△DAE~ADCF；②ABC。四點(diǎn)共圓。

例L（2023?成都市?九年級(jí)期中）如圖所示，在RtA5c中，ZABC=90°,AB=3,BC=4,在RtMPN

中，NMPN=90。，點(diǎn)P在AC上，PM交AB于點(diǎn)、E,PN交BC于點(diǎn)、F.當(dāng)PE=2尸尸時(shí)，AP的值為（）.

C.3D.4

【答案】C

【分析】過P作尸質(zhì)BC于H,尸。她8于。，證明回尸。得出PQ=2P//=2B。，再由PQMC證得

^AQP^ABC,得到嬰=嬰=類，設(shè)2。=彳，貝UAQ=3-x,尸0=2x,求出尤值即可解決問題.

ABBCAC

【詳解】解：回在Rt_ABC中，ZABC=90°,AB=3,BC=4,

朋C=JAB?+BC?="+4?=5,

過P作尸H0BC于H,PQEIAB于0,則EIPQ8=EIPHB=E]B=90°,

團(tuán)四邊形PQ28是矩形，回/也=2。，SQPH=90°=SMPN,PQSiBC,

^EPH+^QPE=SEPH+^HPF=90a,^QPE=WPF,

PQPE”

EHPQEEBPHF,E-^-=—,又PE=2PF,^PQ=2PH=2BQ,

^PQ3\BC,SEAQPSEABC,回登=矍=笠，

Q_YOv*Ap6

設(shè)8Q=x,貝UAQ=3-x,PQ=2x,回寸=亍=券，解得：x=1,AP=3,故選：C.

【點(diǎn)睛】本題考查相似三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理、等角的余角相等、矩形的判定與性質(zhì)，熟練掌握

相關(guān)知識(shí)的聯(lián)系與運(yùn)用，添加輔助線是解答的關(guān)鍵.

例2.（2023?上海普陀?九年級(jí)?？计谥校┤鐖D，在等腰直角0ABe中，0ACB=9O。，AC=BC,過點(diǎn)C作射

線CP3A2,￡）為射線CP上一點(diǎn)，E在邊BC上（不與8、C重合）且&EHE=45。，AC與。E交于點(diǎn)0.

⑴求證：a4D￡H3AC氏⑵如果CZ)=CE,求證：CD~=CO?CA.

【答案】（1）見解析（2）見解析

【分析】（1）先由等腰直角"BC得到團(tuán)區(qū)4。=詼=45。，從而結(jié)合13mE=45。得到回。4c=I3EA2,再由平行線的

性質(zhì)得到0ACP=I3BAC=I3B=45。，從而得到“￡>03她￡5,然后由相似三角形的性質(zhì)得到AO：AE=AC：AB,

轉(zhuǎn)化為A。：AC=AE：AB,結(jié)合回ZMEWC4B=45。得證結(jié)果;

（2）結(jié)合她。=45。和她。8=90。，由CZ）=CE得至膽］CZ）E=EICEQ=22.5。，從而得到I3D4c=22.5。，然后得到

△OCD00DCA,最后得證結(jié)果.

（1）證明：是等腰直角三角形，回aBAC=SB=45°,

EHZME=45°,0ZZME=ZBAC=45°

0ADAC+ZCAE=/BAE+ZCAE00￡)AC=0￡AB,

0PC0AB,EEACZ)=0BAC=0B=45O,EEADCHSAEB,

AZ)ACADAE

團(tuán)---=---,即----=---,回團(tuán)DAE=回A4C=45°,回HL4DE國2L4C3.

AEABACAB

(2)證明：團(tuán)水。。二45°,她C3=90°,團(tuán)團(tuán)CDE+團(tuán)CED=180°90°45°=45°,

回CO=CE,團(tuán)團(tuán)COE二團(tuán)C￡O=22.5°,^ADE^ACB,[?][?1A￡)E=[?]ACB=900,

aaCAO=18O°0AO￡0CQEa4CO=18O°9O°22.5°45°=22.5°,SECAD=5\CDE,

「OCCD

又甌OCO=EIOCA,aaOC￡HM）CA,回一=一，0CD2=CO?C4.

CDCA

【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)、等腰直角三角形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是通過線段的比例關(guān)

系得到三角形相似.

例3.（2023?廣西河池?校聯(lián)考一模）綜合與實(shí)踐

【問題情境】在Rt^ABC中，ABAC=90°,AB=3,AC=4,在直角三角板即/中，NEDF=90。,將

三角板的直角頂點(diǎn)。放在RtAABC斜邊BC的中點(diǎn)處，并將三角板繞點(diǎn)。旋轉(zhuǎn)，三角板的兩邊DE,DF分

別與邊A3,AC交于點(diǎn)M,N.

【猜想證明】如圖1,在三角板旋轉(zhuǎn)過程中，當(dāng)“為邊A3的中點(diǎn)時(shí)，試判斷四邊形4WDN的形狀，并說

明理由.

圖1

【問題解決】如圖2,在三角板旋轉(zhuǎn)過程中，當(dāng)=時(shí)，求線段CN的長(zhǎng).

圖2

25

【答案】［猜想證明］四邊形4WDN是矩形，理由見解析；［問題解決］CN=7.

16

【分析】［猜想證明］由三角形中位線定理可得ME>〃AC,可證NA=NAMZJ=NMDN=90。，即可求解;

［問題解決］由勾股定理可求3C的長(zhǎng)，由中點(diǎn)的性質(zhì)可得CG的長(zhǎng)，由銳角三角函數(shù)可求解.

【詳解】［猜想證明］四邊形AMDN是矩形，理由如下：

如圖1,點(diǎn)。是BC的中點(diǎn)，點(diǎn)M是AB的中點(diǎn)，

.?.M。是一ABC的中位線，:.MD//AC,:.ZBAC+ZAMD=180°,

ZBAC=90°,ZAMD=90°,NEDF=ZMDN=90°,

ABAC=ZAMD=ZMDN=90°,四邊形Al/DN是矩形;

［問題解決］過點(diǎn)N作NG，CD于G,如圖2：

E

BDGC

圖2

AB=3,AC=4,Z.BAC=90°,BC=7AB2+AC2=5，

丁點(diǎn)。是BC的中點(diǎn)，:.BD=CD=^ZMDN=90。=/BAC,

/.ZB+ZC=90°,/BDM+/NDC=9H

ZB=ZMDB,：.ZNDC=AC,；.DN=CN,

5

5CGA.C

3^?,NGJ_CD,DG=CG=—,cosC==44,:.CN=—

4CNBC16

【點(diǎn)睛】本題考查四邊形綜合應(yīng)用，涉及矩形的判定，直角三角形的性質(zhì)，勾股定理，銳角三角函數(shù)等有

關(guān)知識(shí)，靈活運(yùn)用這些性質(zhì)解決問題是解題的關(guān)鍵.

例4.（2022?江蘇,九年級(jí)專題練習(xí)）如下圖1,將三角板放在正方形ABCD上，使三角板的直角頂點(diǎn)E與

正方形A3CD的頂點(diǎn)A重合，三角板的一邊交于點(diǎn)歹.另一邊交CB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G.

（1）觀察猜想：線段所與線段EG的數(shù)量關(guān)系是；

（2）探究證明：如圖2,移動(dòng)三角板，使頂點(diǎn)E始終在正方形ABCD的對(duì)角線AC上，其他條件不變，（1）

中的結(jié)論是否仍然成立？若成立，請(qǐng)給予證明：若不成立.請(qǐng)說明理由：

（3）拓展延伸：如圖3,將（2）中的"正方形ABCD"改為"矩形ABC。"，且使三角板的一邊經(jīng)過點(diǎn)8,其

FF

他條件不變，若=BC=b,求=7的值.

EG

FFh

【答案】（1）EF=EG；（2）成立，證明過程見解析；（3）—

EGa

【分析】（1）利用三角形全等的判定定理與性質(zhì)即可得；

（2）如圖（見解析），過點(diǎn)E分別作垂足分別為證明方法與題（1）相同；

（3）如圖（見解析），過點(diǎn)E分別作磁，垂足分別為M,N,先同（2）求出NFEN=NG￡M,

FFFN

從而可證AFEN~AGEM'由相似三角形的性質(zhì)可得茄=俞’再根據(jù)平行線的性質(zhì)和相似三角形的性

FN

質(zhì)求出說的值，即可得出答案.

ED=EB

【詳解】（1）EF=EG，理由如下：由直角三角板和正方形的性質(zhì)得

/D=ZEBC=/BED=NGEF=90°

ZFED+ZBEF=ZGEB+ZBEF=90°

:"FED=/GEB

ZD=ZEBG=90°

NFED=/GEB

在AFED和AGES中，\ED=EB

ZD=ZEBG=90°

&FED=AGEB(ASA)EF=EG；

(2)成立，證明如下：如圖，過點(diǎn)后分別作砒，3C,E7，C。，垂足分別為則四邊形￡HC/是矩

形

：.ZHEI=90°A/FEI+ZHEF=90°,ZGEH+ZHEF=90°ZFEI=ZGEH

由正方形對(duì)角線的性質(zhì)得，AC為NBCD的角平分線則以=EH

/FEI=ZGEH

在AFEI和\GEH中，＜EI=EHNFEI=AGEH(ASA)EF=EG；

ZFIE=ZGHE=90°

（3）如圖，過點(diǎn)E分別作石垂足分別為”,N同（2）可知，/FEN=/GEM

由長(zhǎng)方形性質(zhì)得：=^ENC=90°,ZABC=ZEMC=90°,AD=BC=bEN//AD,EM//AB

FNCEEMCEENEMENADb

/.ACEN?ACAD,ACEM?ACAB—-----，即nn----=——

AD~CA"~7^~~CAADABEMABa

/FEN=/GEMEFENb

在AFEN和AGEM中,^FEN?AGEA/-

/FNE=/GME=9。。EGEMa

【點(diǎn)睛】本題考查了正方形的性質(zhì)、矩形的性質(zhì)、三角形全等的判定定理與性質(zhì)、相似三角形的判定定理

與性質(zhì)，較難的是題（3）,通過作輔助線，構(gòu)造兩個(gè)相似三角形是解題關(guān)鍵.

例5.（2023?成都市?九年級(jí)專題練習(xí)）已知在MABC中，ABC=90,NA=30，點(diǎn)P在BC上，且

NMPN=9Q.（1）當(dāng)點(diǎn)尸為線段AC的中點(diǎn)，點(diǎn)M、N分別在線段A3、BC上時(shí)（如圖1）.過點(diǎn)尸作

PE_LAB于點(diǎn)E,請(qǐng)?zhí)剿鱌N與尸河之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由;

（2）當(dāng)PC=6PA,①點(diǎn)M、N分別在線段AB,BC±,如圖2時(shí)，請(qǐng)寫出線段PN、尸河之間的數(shù)量

關(guān)系，并給予證明.②當(dāng)點(diǎn)M、K分別在線段AB、BC的延長(zhǎng)線上，如圖3時(shí)，請(qǐng)判斷①中線段PN、

尸河之間的數(shù)量關(guān)系是否還存在.（直接寫出答案，不用證明）

【答案】（1）PN=JWPM,理由見解析；（2）①PN=后PM,理由見解析；②成立.

PFPNAB

【分析】⑴過點(diǎn)P作PE回AB于E,P甩BC于點(diǎn)F,則四邊形BFPE是矩形'所以回PFN盟PEM得出席=「乂BC

然后根據(jù)余切函數(shù)即可求得.（2）同（1）證得團(tuán)PFN麗PEM得出,然后在Rt團(tuán)AEP和Rt團(tuán)PFC中通

PEPM

過三角函數(shù)求得PF=^PC,PE=《PA,即可求得.

22

【詳解】（1）PN=>/3PM,

理由：如圖1,作PF_LBC,0^ABC=9O,PE_LAB,0PE//BC,PF//AB,

回四邊形PFBE是矩形，回/EPF=90

EIP是AC的中點(diǎn)，0PE=|BC,PF=|AB,

0^MPN=9O,4PF=90,EI^MPE=^NPF,IBMPE^NPF,

PNPFABAB/-

團(tuán)----=---—-—,團(tuán)/A=30在RT3ABe中，cot30=----=A/3,

PMPEBCBe

喘=5即PN3PM.

（2）@PN=V6PM,如圖2在RtABC中，過點(diǎn)P作PE_LAB于E,PF_LBC于點(diǎn)/

團(tuán)四邊形BFPE是矩形，ELPFNS'PEMEl—=—，

PEPM

又回RL.AEP和Rt_PFC中，NA=30,NC=60

0PF=—PC,PE=-PAH—=—=

22PMPEPA

0PC=V2PA團(tuán)里=?,即：PN=&PM

②如圖3,成立.

【點(diǎn)睛】本題考查了矩形的判定和性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)以及三角函數(shù)的應(yīng)用.

例6.（2023浙江中考二模）（1）特例感知：如圖1,已知在RfABC中，SBAC=90。，AB=AC,取8c

邊上中點(diǎn)，連接AD,點(diǎn)E為AB邊上一點(diǎn),連接。E,作。地。E交AC于點(diǎn)F求證：BE=AF；

（2）探索發(fā)現(xiàn)：如圖2,已知在用ABC中，0BAC=90°,AB=AC=3,取8C邊上中點(diǎn)。，連接AD,點(diǎn)

E為BA延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，AE=1,連接。E,作。fBDE交AC延長(zhǎng)線于點(diǎn)E求AF的長(zhǎng)；

（3）類比遷移：如圖3,已知在ABC中，0BAC=120°,AB=AC=4,取8c邊上中點(diǎn)。，連接A。，點(diǎn)

E為射線8A上一點(diǎn)（不與點(diǎn)A、點(diǎn)B重合），連接DE,將射線。E繞點(diǎn)。順時(shí)針旋轉(zhuǎn)30。交射線CA于點(diǎn)

F,當(dāng)AE=4AF時(shí)，求AP的長(zhǎng).

【答案】（1）見解析；（2）4；（3）匕包或一3+如或2±巫

222

【分析】（1）證明回題＞瓦/（ASA）,根據(jù)全等三角形的性質(zhì)即可得到

（2）方法同（1）,利用全等三角形的性質(zhì)解決問題；

（3）證明SEB。胴。CR推出空=空，設(shè)AF=〃z,則AE=4"Z,分三種情形，分別構(gòu)建方程求解即可.

【詳解】（1）證明：如圖1中,

A

圖1

EHABC中，EBAC=90°,AB=AC,AD是高，

^\BD=CD=AD=-BC,0B=0C=45",SBAD=^\CAD=-S\BAC=^5°,

22

SDF^\DE,EBEZ)尸=&4。8=90°,E0BZ)E=a4Z)F=9Oo-^ADE,

ZBDE=ZADF

在ABDE和△&￡)/中，IBD=AD,EHBZ圮00AQF(ASA),0BE=AF；

ZB=ACAD=45°

(2)解:如圖2中,

由(1)知，BD=CD=AD,fflB=0C=EIBAr)=0CAD=45°,

fflE￡>F=0ADB=90°,EBB￡)E=90°+EIA￡>E,

ZBDE=NADF

在ABOE和AAZm中，|BD=AD,EEBDEEBAQF(ASA),0BE=AF,

ZB=ZCAD=45°

EIAB=3,AE=1,^BE=AB+AE=4,EIA尸=4；

(3)解：如圖3中，

圖3

0AB=AC,BD=CD,EL4D0BC,回CA￡>=1■回BAC=60°,SBD=CD=AB?sinGO°=2y/3,

0AE=4AF,團(tuán)可以假設(shè)AF=m,貝!jAE=4m,BE=4-4m,CF=4-m,

^\EDC=^EDF+^FDC=團(tuán)3+團(tuán)3即，團(tuán)EDFFB=30°,

BEBD

團(tuán)團(tuán)尸0C=團(tuán)5EO,團(tuán)團(tuán)3=團(tuán)。，^EBD^\DCF,團(tuán)——=——,

CDCF

回上普=2^,整理得，m2-5m+l=0,解得、=5-0T或上石（舍棄），

2代4-加22

經(jīng)檢驗(yàn)，機(jī)=211是分式方程的解.

2

當(dāng)點(diǎn)尸在CA的延長(zhǎng)線上時(shí)，CF=4+m,由△EBOSBOCF,可得變=也，

CDCF

回與"=20,解得，士巫或土巫（舍棄），經(jīng)檢驗(yàn)，加=-3+如是分式方程的解.

2V34+m222

當(dāng)點(diǎn)E在射線BA上時(shí)，BE=4+4m,

inc-LBEBD4+4/772指

^H\EBD^\DCFi團(tuán)-------,團(tuán)----7=—=----

CDCF2^/34-m

解得，八卷1或智1（舍棄）,

經(jīng)檢驗(yàn)，加=止叵是分式方程的解.

2

綜上所述，滿足條件的AF的值為211或士史或小巫.

222

【點(diǎn)睛】本題屬于幾何變換綜合題，考查了全等三角形的判定與性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)，等腰直

角三角形的判定與性質(zhì)等知識(shí)；熟練掌握等腰直角三角形的判定與性質(zhì)，證明三角形全等是解題的關(guān)鍵,

學(xué)會(huì)用分類討論的思想思考問題，屬于中考?？碱}型.

課后專項(xiàng)訓(xùn)練

1.（2022?黑龍江?雞西九年級(jí)期末）如圖，在RtABC中，ZABC=90°,AB=6,BC=8,在RtAMPN中,

NMPN=90。，點(diǎn)尸在AC上，PM交A3于點(diǎn)E,PN交BC千點(diǎn)、F,當(dāng)尸E=2PF時(shí)，AP的長(zhǎng)為（）

【答案】B

由△QPEEER尸尸，推出"=四=2,可得PQ=2PR=28。,

【分析】如圖作尸。0AB于。，PRSBC于R.

PRPF

PQ//BC,可得A。：QP：AP=AB：BC：AC=3：4：5,設(shè)尸。=4x,則AQ=3x,AP=5x,BQ=2x,

可得2x+3尤=6,求出x即可解決問題.

【詳解】解：如圖作P。0AB于。，P庵BC于R.

^SiPQB=SQBR=QBRP=90°,團(tuán)四邊形PQBR是矩形,

EBQPR=90°=EIMPN,^\QPE=^RPF,

^EQPE^RPF,回理=必=2，RPQ=2PR=2BQ,

PRPF

^PQUBC,^AQP^ABC,

S4Q：QP：AP=AB：BC：AC=3：4：5,

設(shè)PQ=4x,則AQ=3x,AP=5x,BQ=2x,

EI2x+3x=6,0x=-,0Ap=5x=6.故選：B.

5

【點(diǎn)睛】本題考查相似三角形的判定和性質(zhì)、勾股定理、矩形的判定和性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)添

加常用輔助線，構(gòu)造相似三角形解決問題.

2.（2023廣東九年級(jí)期中）如圖，ABC中，44c=60。，AD平分/BAC,ZBDC=120°,連接3。，CD

并延長(zhǎng)分別交AC,AB于點(diǎn)E和點(diǎn)尸，若DE=6,-DF=|3,則8。的長(zhǎng)為（）

【答案】C

【分析】由AEDF四點(diǎn)共圓，得到DE=DF,再證明△CDESAG4F,得到AF與AC的比，延長(zhǎng)C尸到P,

使DP=DB,得到ABDP為等邊三角形，在證明出AAFC^APFB，證出P尸與PB,利用￡）歹即可求出8。.

【詳解】解：Za4C=60°,ZBDC=120°,:.A,E、D、尸四點(diǎn)共圓，

AD平分N3AC,:,ZDAE=ZDAF，:.DE=DF=6,

ZBDC=120°,ZCDE=60°=ZFAC,

ZACD=ZACD,:.Z\CDE^/\CAF,AF:AC=DE:CD=f>:10=?>-.5,

如圖，延長(zhǎng)C尸到尸，使DP=DB,

ZPBD=60°,BDP為等邊三角形，:.ZP=6O0,

:.AAFC^APFB,:.PF:PB=AF:AC=3:5,設(shè)每一份為3

：.PB=PD=5k,PF=3k,:.DF=2k=6,:.k=3,

.?.3。=5左=15.故選：C.

【點(diǎn)睛】本題考查了三角形相似的性質(zhì)、等邊三角形的性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)的應(yīng)用，四點(diǎn)共圓的應(yīng)用及相似比的

轉(zhuǎn)化是解題關(guān)鍵.

3.(2023?山西臨汾?統(tǒng)考二模)在菱形ABC。中，ABC=60,AC=6,對(duì)角線AC,BD交于點(diǎn)、O,E,F

分別是AB,AD邊上的點(diǎn)，且NEB=60,BE=2,CF與BD交于點(diǎn)、G,則盥的值為.

BC

【答案】y

4

【分析】由菱形的性質(zhì)及/召CF=60。可證一ACFMBCE(ASA),nAF=BE=2,FD=4-,由AD〃3C得

NFDG=NCBG,ZDFG=NBCG,于是，。尸GBCG,可得”=空=工，進(jìn)而求得答案.

BCBG3

【詳解】BZECF=ZACB=6O°

ECF1ACE1ACB?ACE@NFCA=NECB

回四邊形ABC。是菱形，^AD//BC,?FAC-1BAD

2

團(tuán)N3AT)=180。一NA5C=120?；?？FAC-?BAD60?^\ZFAC=ZEBC,

2

又回ACuBCEkACF宣一BCE(ASA)..-,AF=BE=2,FD=4

SAD//BCSZFDG=NCBG,ZDFG=/BCG

0DFGB

BCBG3

設(shè)。G=2x,BG=3無貝！J=5x,OB——x,OG—BG—OB——x

22

1

OG1;故答案為：--

"DG2x44

【點(diǎn)睛】本題考查菱形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，利用全等及相似得

到線段間的數(shù)量關(guān)系是解題的關(guān)鍵.

4.（2023?江蘇揚(yáng)州?八年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如圖，已知AABC是等邊三角形,D是AC的中點(diǎn),F為AB邊上一

CE

點(diǎn)，且AF=2BF,E為射線BC上一點(diǎn)，回EDF=120°,則一=—.

【答案】|

【分析】過D作DGEIBC交AB于G,則DG為AABC的中位線，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得EIACB=I3ABC=6O。，

由DGI3BC,得EIFGD=：L20°,0GDC=12O°,△AGD為等邊三角形，而EIEDF=120°,得EIGDF=EICDE,易證得

△GDFEBCDE,所以FG：CE=DG：DC,即CE：DC=FG：DG=FG：AG,設(shè)BF=x,AF=2x,貝UAB=3x,AG

=1.5x,FG=1.5x-x=0.5x,即可得到CE：CD的比值.

【詳解】解：過D作DGI3BC交AB于G,如圖，

EID是AC的中點(diǎn)，I3DG為AABC的中位線，

EHABC是等邊三角形，00ACB=BABC=6O°,00DCE=12O°,

X0DG0BC,釀FGD=120°,0GDC=12O°,AAGD為等邊三角形,

00EDF=12O°,EEGDF=EICDE,EI0GDFSSCDE,

0FG：CE=DG：CD,即CE：CD=FG：DG,而DG=AG=BG,AF=2BF,

設(shè)BF=x,AF=2x,則AB=3x,AG=1.5x,FG=1.5x-x=0.5x,

0CE：CD=FG：DG=FG：AG=0.5x：1.5x=l：3.故答案為

【點(diǎn)睛】本題考查了等邊三角形的性質(zhì)：等邊三角形三邊相等；三個(gè)角都等于60。；也考查了相似三角形

的判定與性質(zhì)，熟練應(yīng)用各性質(zhì)進(jìn)行推理計(jì)算是解題關(guān)鍵.

5.（2023?安徽?九年級(jí)專題練習(xí)）點(diǎn)。是ABC內(nèi)一點(diǎn)，平分/BAC,延長(zhǎng)交A3于點(diǎn)E,延長(zhǎng)

交AC于點(diǎn)尸.

CDCF

（1汝口圖1,若AB=AC,證明：DE=DF；（2）如圖2,若乙BDC+NB4c=180。，證明：——=—；

BDBE

DE2

⑶如圖3,若Nfi4c=60。，ZfiDC=120°,DF=4,—=求3D的值.

【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析；（3）89=6或12.

【分析】（1）由"SAS”可證△謖￡>/△ACD,可得ZABF=ZACE,3D=CD,由"ASA"可證AABF^AACE,

可得3R=CE,可得結(jié)論；（2）通過證明.COPs,BDH,可得空="|1，即可求解；

BDBH

（3）通過證明點(diǎn)A,點(diǎn)E,點(diǎn)。，點(diǎn)產(chǎn)四點(diǎn)共圓，可得NDEF=NDFE=30°,可求DE=nF=4,DC=6,

由勾股定理可求CF=2近，由勾股定理可求解.

【詳解】（1）證明：I3AO平分/BAC,SZBAD=ZCAD,

又回AB=AC,AD=AD,0AABD^AACD（SAS）,SZABF=ZACE,BD=CD,

又聞AB=AC,ZBAF=ZCAE,0A/1BF^AACE（ASA）,^\BF=CE,?DE=DF；

（2）證明：如圖2,作NHBD=NACD,交CE的延長(zhǎng)線于點(diǎn)H,

QZBDC+ZBAC=180°,EZBAC+ZEDF=180°,SZAFD+ZAED=180°,

0ZAfD+ZDFC=180°,ZAED=ZCFD=ZBEH,

^ZHBD=ZACD,/CDF=ZBDH,^tCDF^tBDH,

CDCF「heCDCF

0—=—,/CFD=NH,@NH=NBEH,@BE=BH,0—=—

BDBHBDBE：

(3)解：如圖3,連接收，過點(diǎn)E作ENL5尸于N,過點(diǎn)尸作FH，EC于H,

圖3

回">平分N54C,0ZR4D=ZC4D=3O°,

0ABAC+NBDC=180°,EZBAC+ZEDF=180°,

回點(diǎn)A,點(diǎn)E,點(diǎn)。，點(diǎn)廠四點(diǎn)共圓，

ElZDFE=ZZME=30o,ZDEF=ZZMF=30°,

0ZDEF=ZDFE=30°,SDE=DF=4,

pr>2

0—=-,ECE>=6,0ZEDB=ZFDC=180°-120°=60°,

0NDEN=NDFH=30°,田DN=DH=2,FH=EN=20

0CH=4,國CF7cH2+FH?=416+12=2幣,

0——=,0—^―=2s,設(shè)BD=6x,則BE=2yfjx,

BDBEBDBE

@BE2=EN*BN2,028x2=12+(6x-2)2,

解得：x=l或尤=2,回3￡)=6或12.

【點(diǎn)睛】此題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理

等知識(shí)，添加恰當(dāng)輔助線構(gòu)造相似三角形是解題的關(guān)鍵.

6.（2023秋?山西忻州?九年級(jí)?？计谀┚C合與實(shí)踐

問題情境：在學(xué)習(xí)了三角形的相似后，同學(xué)們開始了對(duì)不同三角形中的相似模型的探究.

猜想推理:

（1）如圖1,在等邊」中，。為邊上一點(diǎn)，E為AC邊上一點(diǎn)，NADE=60。，AB=6,BD=2,

貝UCE=.問題解決：（2）如圖2,一ABC是等邊三角形，。是8C的中點(diǎn)，射線DE,￡>尸分別交A3,

AC于點(diǎn)E,F,且NEE>F=120°,求證：DE=DF.（3）如圖3,ZBAC=90°,AB=6,AC=8,D是BC

DF

的中點(diǎn)，射線DE,。尸分別交AB,AC于點(diǎn)E,F,且NEDF=90。,求寸的值.

DF

44

【答案】（1）］：（2）見解析；（3）—

【分析】（1）首先求出8,證明得到生=哭，即可求出結(jié)果；

CDCE

（2）連接">,過。作DMIAB于作DN1AC于M根據(jù)ASA證明△MDE/△2VDF,再根據(jù)全等三

角形的性質(zhì)可得DE=DE；

（3）過點(diǎn)。分別作于Af,DN1AC于N,根據(jù)勾股定理及中位線的性質(zhì)可得DM=4,DN=3,

根據(jù)矩形的性質(zhì)可得NME?E=NNZ）尸，最后由相似三角形的判定與性質(zhì)可得答案.

【詳解】解：（1）困在等邊A5C中，AB=BC=6,BD=2,ZB=ZC=6O°,SCD=BC-BD=4,

EINADE=60。，ZADC=ZADE+ZCDE=ZB+ZBAD,

回NCDE=NBAD,HAABD^ADCE,0—,即9=2,0C￡=-；

CDCE4CE3

(2)如圖，連接AD,過。作。欣工AB于M,作DN/AC于N,

0ABC是等邊三角形，。為8C的中點(diǎn)，

團(tuán)4￡＞是—R4C的平分線，/BAC=NB=NC=60。，SDM=DN,ZMDN=120°,

又田NEDF=120°,SZMDN=ZEDF,0ZMDE=ZNDF,

ZMDE=ZNDF

團(tuán)在aVDE與_ND尸中，＜DM=DN,回VMOE/VND尸(ASA),忸DE=DF;

NDME=NDNF

BD

圖2

圖3

在,.ABC中，BC=\lAB2+AC2=10>。是BC的中點(diǎn)，=

DMLAB,ACYAB,DNJ.AC,:.DM//AC,DN//AB,

。是BC的中點(diǎn)，二。"是_/WC的中位線，ON是一ABC的中位線，.-.DM=4,DN=3,

■四邊形AMDN為矩形，：.ZADN=90°,:.ZMDE+ZEDN=9CP,

ZEDN+ZNDF=90°,:.ZMDE=ZNDF,

DEDM4

ZDME=ZDNF=90°,:.AAMDE^AANDF,—=——=-.

DFDN3

【點(diǎn)睛】本題考查了三角形綜合題.需要掌握等邊三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，相似三角形

的判定和性質(zhì)，關(guān)鍵是找到圖中關(guān)鍵的相似和全等三角形，比較典型，但有點(diǎn)難度.

7.（2023廣東深圳三模試題）（1）【探究發(fā)現(xiàn)】如圖1,正方形A5co的對(duì)角線相交于點(diǎn)。，在正方形A'3'C'O

繞點(diǎn)。旋轉(zhuǎn)的過程中，邊AO與邊8C交于點(diǎn)"，邊CO與邊CO交于點(diǎn)N.證明：一OMC經(jīng).OND；

（2）【類比遷移】如圖2,矩形ABCD的對(duì)角線相交于點(diǎn)O,且AB=6,AD=12.在矩形A'3'C'O繞點(diǎn)。旋

轉(zhuǎn)的過程中，邊A'O與邊BC交于點(diǎn)邊CO與邊8交于點(diǎn)N.若DN=1,求CM的長(zhǎng);

（3）【拓展應(yīng)用】如圖3,四邊形A3CO和四邊形A'3'C'O都是平行四邊形，且NA'OC'=NADC,AB=3,

BC=3也,△BCD是直角三角形.在A'3'C'O繞點(diǎn)。旋轉(zhuǎn)的過程中，邊A'O與邊BC交于點(diǎn)M,邊C'O

與邊。交于點(diǎn)N.當(dāng)YABCD與二A'3'C'O重疊部分的面積是YABCD的面積的1時(shí)，請(qǐng)直接寫出QV的

長(zhǎng).

【分析】（1）根據(jù)正方形的性質(zhì)和全等三角形的性質(zhì)，找相等的邊和角證全等即可；

（2）過點(diǎn)。作A3的平行線交AD于點(diǎn)E、交BC于點(diǎn)、P,過點(diǎn)N作AB垂線交PE于點(diǎn)。，構(gòu)造相似三角

形,PQM和一QNO,列比例式求解算出PM,最后根據(jù)CM=C尸-計(jì)算即可；

（3）過點(diǎn)。作BC的垂線交BC于點(diǎn)根據(jù)勾股定理算出根據(jù)已知條件觀察推理出一0MHs二，

OBH。CBD,結(jié)合YABC”二AB,CO重疊部分的面積是YABCD的面積的■，設(shè)=加列方程求出機(jī)，

4

最后根據(jù)勾股定理求出ON即可.

【詳解】（1）正方形ABCD的對(duì)角線相交于點(diǎn)。，在正方形AZ'C'O繞點(diǎn)。旋轉(zhuǎn)的過程中，邊A'O與邊BC

交于點(diǎn)邊C'O與邊CO交于點(diǎn)N

:./C'ON=ZDOC=90°,ZOCM=ZODN=45°,OC=OD,

ZC'OA-ZCON=NDOC—NCON,即ZMOC=ZNOD,

ZMOC=ZNOD

在和△OA?中，OC=OD,;.—OMCgOND陷K）；

ZOCM=NODN

(2)如圖，過點(diǎn)。作A3的平行線交AZ)于點(diǎn)E、交3C于點(diǎn)P,過點(diǎn)N作A3垂線交PE于點(diǎn)。,

四邊形ABCD和四邊形A'3'C'O都是矩形，AB=6,AD=12,DN=i,

ZOPM=ZOQN=AMON=90°,EQ=DN=1,OE=OP=-AB=-x6=3,

一一22

NQ=CP=AE=BP=^BC=^xl2=6,

ZPOM+ZQON=ZQON+ZQNO=90°,OQ=OE-EQ=3-1=2,

OPMP3MP

:.ZPOM=ZQNO,:...POM^QNO,??而=而，即\=虧，，叱=1，

:.CM=CP-MP=6-1=5；

(3)如圖，過點(diǎn)。作BC的垂線交BC于點(diǎn)H,

設(shè)ZDBC=a,則ZADC=0+90。=ZAOC,

設(shè)_4BOM=B,則NNOD=180°—萬一(。+90°)=90°-&-/，

AOMH=a+(3,ZOND=900-ZNOD=90o-(900-a-j3)=a+/3,:.ZOMH=ZONO,

X?_ZOHM=ZODN=90°,/.OMH^tOND,

AB=CD=3,BC=345,四邊形ABC。和四邊形A'B'C'O都是平行四邊形，△BCD是直角三角形

：.BD=7SC2-CD2=745^9=6回=OD=3，CBD(有公共角且都有直角),

OHCD1

??==工二大，⑦2OH=BH,^\OH2+BH2=OB2,BPOH2+4OH2=9,

BHBD2

團(tuán)OH=歧，3H=述，設(shè)MH=m,則BM=BH-MH二處-m,

555

m_ND

MHND

團(tuán)----=----,即亍團(tuán)ND=y/5m,

OHOD

YMM與‘A‘B'C'。重疊部分的面積是Y加8的面積的!‘平行四邊形對(duì)角線平分平行四邊形的面積'

3^3x^?1?3X6

?二S即OM+S^ODN=ZSWCD，即(x-m)x+

----------=—X-----------，

42.35222

團(tuán)36-6占〃+30君機(jī)=90,即24晶=54,回加=券

^ND=s/5m=>/5x^-=-,^ON=^OD2+ND2=.32+f-"1=—.

204丫⑷4

【點(diǎn)睛】本題綜合考查了全等三角形的證明、勾股定理、特殊四邊形(平行四邊形、矩形、正方形)的性

質(zhì)、相似三角形，綜合性強(qiáng)，熟練掌握相關(guān)知識(shí)、結(jié)合圖象分析是解題的關(guān)鍵.

8.(2023遼寧九年級(jí)月考)“BC中，SBAC=90。，AB=AC,點(diǎn)D是8C的中點(diǎn)，把一個(gè)三角板的直角頂

點(diǎn)放在點(diǎn)。處，將三角板繞點(diǎn)。旋轉(zhuǎn)且使兩條直角邊分別交A8、AC于￡、F.

(1)如圖1,觀察旋轉(zhuǎn)過程，猜想線段人尸與8E的數(shù)量關(guān)系并證明你的結(jié)論；

(2)如圖2,若連接跖，試探索線段BE、EF、PC之間的數(shù)量關(guān)系，直接寫出你的結(jié)論(不需證明)；

(3)如圖3,若將"A3=AC,點(diǎn)。是BC的中點(diǎn)"改為："SB=30。，AOSBC于點(diǎn)D",其余條件不變，探索(1)

中結(jié)論是否成立？若不成立，請(qǐng)?zhí)剿麝P(guān)于AG2E的比值.

【答案】(1)證明見解析；(2)EF2=BE2+FC2;(3)(1)中結(jié)論不成立.

【詳解】解:(1)結(jié)論：AF=BE

證明：連接AD,

[3AB=AC,EIBAC=90°,點(diǎn)D是BC的中點(diǎn)

0AD=BD=DC=yBC,BADB=0ADC=9O°,00B=0C=01=02=45°003+EI5=9OO

003+04=9O0E05=040BD=AD00BDE00ADF0BE=AF

(2)根據(jù)(1)可得BE=AF所以ABBE=ACAF即AE=FC

=90°EF2=AF2+AE2EF2=BE2+FC2

(3)(1)中的結(jié)論BE=AF不成立

EHB=30°,ADI3BC于點(diǎn)D,EBAC=90°,003+05=90°,EB+01=9O°.

003+04=90