第九章計數(shù)原理、概率、隨機變量及其分布第4課時事件的相互獨立性、條件概率與全概率公式[考試要求]

1．了解兩個事件相互獨立的含義．

2．理解隨機事件的獨立性和條件概率的關(guān)系，會利用全概率公式計算概率．鏈接教材·夯基固本1．事件的相互獨立性概念對任意兩個事件A與B，如果P(AB)＝________________成立，則稱事件A與事件B相互獨立，簡稱為獨立性質(zhì)P(A)·P(B)P(B)P(A)

P(A)·P(B|A)3．全概率公式一般地，設(shè)A1，A2，…，An是一組兩兩互斥的事件，A1∪A2∪…∪An＝Ω，且P(Ai)>0，i＝1，2，…，n，則對任意的事件B

Ω，有P(B)＝_________________，我們稱該公式為全概率公式．

2．*貝葉斯公式：設(shè)A1，A2，…，An是一組兩兩互斥的事件，A1∪A2∪…∪An＝Ω，且P(Ai)>0，i＝1，2，…，n，則對任意的事件B

Ω，P(B)>0，有P(Ai|B)

i＝1，2，…，n．3．P(AB)求法：(1)古典概型；(2)相互獨立：P(AB)＝P(A)P(B)；(3)概率的乘法公式P(AB)＝P(A)P(B|A)．一、易錯易混辨析(正確的打“√”，錯誤的打“×”)(1)相互獨立事件就是互斥事件． (

)(2)對于任意兩個事件，公式P(AB)＝P(A)P(B)都成立． (

)(3)P(B|A)表示在事件A發(fā)生的條件下，事件B發(fā)生的概率，P(AB)表示事件A，B同時發(fā)生的概率． (

)(4)若事件A，B相互獨立，則P(B|A)＝P(B)． (

)××√√√二、教材經(jīng)典衍生1．(多選)(人教A版必修第二冊P266復(fù)習(xí)參考題10T1改編)袋內(nèi)有3個白球和2個黑球，從中有放回地摸球，用A表示“第一次摸到白球”，如果“第二次摸到白球”記為B，其對立事件記為C，那么事件A與B，A與C的關(guān)系是(

)A．A與B相互獨立 B．A與C相互獨立C．A與C互斥

D．A與B互斥√AB

[由于摸球過程是有放回地，所以第一次摸球的結(jié)果對第二次摸球的結(jié)果沒有影響，故事件A與B，A與C均相互獨立，且A與B，A與C均有可能同時發(fā)生，說明A與B，A與C均不互斥．]

√

3．(人教A版必修第二冊P253練習(xí)T3改編)天氣預(yù)報：元旦假期甲地的降雨概率是0.2，乙地的降雨概率是0.3．假設(shè)在這段時間內(nèi)兩地是否降雨相互之間沒有影響，則這兩地中恰有一個地方降雨的概率為(

)A．0.2 B．0.3C．0.38 D．0.56√

考點一事件的相互獨立性[典例1]

(1)(2024·廣東湛江一模)在一次考試中有一道4個選項的雙選題，其中B和C是正確選項，A和D是錯誤選項，甲、乙兩名同學(xué)都完全不會這道題目，只能在4個選項中隨機選取兩個選項．設(shè)事件M＝

“甲、乙兩人所選選項恰有一個相同”，事件N＝

“甲、乙兩人所選選項完全不同”，事件X＝“甲、乙兩人所選選項完全相同”，事件Y＝

“甲、乙兩人均未選擇B選項”，則(

)典例精研·核心考點A．事件M與事件N相互獨立B．事件X與事件Y相互獨立C．事件M與事件Y相互獨立D．事件N與事件Y相互獨立√

名師點評1．兩個事件是否相互獨立的判斷(1)直接法：由事件本身的性質(zhì)直接判定兩個事件發(fā)生是否相互影響．(2)公式法：若P(AB)＝P(A)P(B)，則事件A，B為相互獨立事件．2．求相互獨立事件同時發(fā)生的概率的方法(1)首先判斷幾個事件的發(fā)生是否相互獨立．(2)求相互獨立事件同時發(fā)生的概率的方法主要有：①利用相互獨立事件的概率乘法公式直接求解．②正面計算較煩瑣或難以入手時，可從其對立事件入手計算．

√

是2

【教用·備選題】1．(2021·新高考Ⅰ卷)有6個相同的球，分別標有數(shù)字1，2，3，4，5，6，從中有放回地隨機取兩次，每次取1個球．甲表示事件“第一次取出的球的數(shù)字是1”，乙表示事件“第二次取出的球的數(shù)字是2”，丙表示事件“兩次取出的球的數(shù)字之和是8”，丁表示事件“兩次取出的球的數(shù)字之和是7”，則(

)A．甲與丙相互獨立 B．甲與丁相互獨立C．乙與丙相互獨立

D．丙與丁相互獨立√

2．11分制乒乓球比賽，每贏1球得1分，當某局打成10∶10平后，每球交換發(fā)球權(quán)，先多得2分的一方獲勝，該局比賽結(jié)束．已知甲、乙兩位同學(xué)進行11分制乒乓球比賽，雙方10∶10平后，甲先發(fā)球，假設(shè)甲發(fā)球時甲得分的概率為0.5，乙發(fā)球時甲得分的概率為0.4，各球的結(jié)果相互獨立．(1)求事件“兩人又打了2個球比賽結(jié)束”的概率；(2)求事件“兩人又打了4個球比賽結(jié)束且甲獲勝”的概率．

考點二條件概率[典例2]

(1)(2023·全國甲卷)某地的中學(xué)生中有60%的同學(xué)愛好滑冰，50%的同學(xué)愛好滑雪，70%的同學(xué)愛好滑冰或愛好滑雪．在該地的中學(xué)生中隨機調(diào)查一位同學(xué)，若該同學(xué)愛好滑雪，則該同學(xué)也愛好滑冰的概率為(

)A．0.8

B．0.6

C．0.5

D．0.4√

√√√

√(2)(2022·天津高考)現(xiàn)有52張撲克牌(去掉大小王)，每次取一張，取后不放回，則兩次都抽到A的概率為________；已知第一次抽到的是A，則第二次抽取A的概率為________．

考點三全概率公式的應(yīng)用[典例3]

(2024·山西大同模擬)假設(shè)有兩個密閉的盒子，第一個盒子里裝有3個白球2個紅球，第二個盒子里裝有2個白球4個紅球，這些小球除顏色外完全相同．(1)每次從第一個盒子里隨機取出一個球，取出的球不再放回，經(jīng)過兩次取球，求取出的兩球中有紅球的條件下，第二次取出的是紅球的概率；(2)若先從第一個盒子里隨機取出一個球放入第二個盒子中，搖勻后，再從第二個盒子里隨機取出一個球，求從第二個盒子里取出的球是紅球的概率．

名師點評

“化整為零”求多事件的全概率問題(1)如圖，P(B)＝

(2)已知事件B的發(fā)生有各種可能的情形Ai(i＝1，2，…，n)，事件B發(fā)生的可能性，就是各種可能情形Ai發(fā)生的可能性與已知在Ai發(fā)生的條件下事件B發(fā)生的可能性的乘積之和．[跟進訓(xùn)練]3．(1)(2024·河北保定一模)已知某羽毛球小組共有20名運動員，其中一級運動員4人，二級運動員6人，三級運動員10人．現(xiàn)在舉行一場羽毛球選拔賽，若一級、二級、三級運動員能夠晉級的概率分別為0.9，0.6，0.2，則這20名運動員中任選一名運動員能夠晉級的概率為(

)A．0.62 B．0.58C．0.46 D．0.42√(2)(2025·河北滄州模擬)中國是瓷器的故鄉(xiāng)，瓷器的發(fā)明是中華民族對世界文明的偉大貢獻，瓷器傳承著中國文化，有很高的欣賞和收藏價值．現(xiàn)有一批同規(guī)格的瓷器，由甲、乙、丙三家瓷廠生產(chǎn)，其中甲、乙、丙瓷廠分別生產(chǎn)300件、300件、400件，而且甲、乙、丙瓷廠的次品率依次為4%，3%，3%．現(xiàn)從這批瓷器中任取一件，若取到的是次品，則其來自甲廠的概率為________．(結(jié)果保留兩位小數(shù))0.36

則這20名運動員中任選一名運動員能夠晉級的概率為：P(D)＝P(A)P(D|A)＋P(B)P(D|B)＋P(C)P(D|C)＝0.2×0.9＋0.3×0.6＋0.5×0.2＝0.46．故選C．

【教用·備選題】某保險公司將其公司的被保險人分為三類：“謹慎的”“一般的”“冒失的”．統(tǒng)計資料表明，這三類人在一年內(nèi)發(fā)生事故的概率依次為0.05，0.15，0.30．若該保險公司的被保險人中“謹慎的”被保險人占20%，“一般的”被保險人占50%，“冒失的”被保險人占30%，則該保險公司的一個被保險人在一年內(nèi)發(fā)生事故的概率是(

)A．0.155 B．0.175C．0.016 D．0.096√B

[設(shè)事件B1表示“被保險人是‘謹慎的’”，事件B2表示“被保險人是‘一般的’”，事件B3表示“被保險人是‘冒失的’”，則P(B1)＝20%，P(B2)＝50%，P(B3)＝30%，設(shè)事件A表示“被保險人在一年內(nèi)發(fā)生事故”，則P(A|B1)＝0.05，P(A|B2)＝0.15，P(A|B3)＝0.30．由全概率公式，得P(A)＝

＝20%×0.05＋50%×0.15＋30%×0.30＝0.175．]題號13524687910111213√141516

課后作業(yè)(六十)事件的相互獨立性、條件概率與全概率公式題號13524687910111213141516

題號21345687910111213√1415162．在一段時間內(nèi)，若甲去參觀市博物館的概率為0.6，乙去參觀市博物館的概率為0.5，且甲、乙兩人各自行動，則在這段時間內(nèi)，甲、乙兩人至少有一個去參觀市博物館的概率是(

)A．0.3 B．0.32C．0.8 D．0.84題號21345687910111213141516C

[依題意，在這段時間內(nèi)，甲、乙都不去參觀市博物館的概率為P1＝(1－0.6)×(1－0.5)＝0.2，所以在這段時間內(nèi)，甲、乙兩人至少有一個去參觀市博物館的概率是P＝1－P1＝1－0.2＝0.8．故選C．]題號32456879101112131141516

√題號32456879101112131141516

題號42356879101112131√141516

題號42356879101112131141516

題號24536879101112131√1415165．若古典概型的樣本空間Ω＝{1，2，3，4}，事件A＝{1，2}，事件A，B相互獨立，則事件B可以是(

)A．{1，3} B．{1，2，3}C．{3，4} D．{2，3，4}題號24536879101112131141516

題號24536879101112131√141516

題號24536879101112131141516

題號24536879101112131141516

題號24537689101112131√141516

題號24537689101112131141516

題號24538679101112131√141516

題號24538679101112131141516

題號92453867101112131√141516

√題號92453867101112131141516

題號92453867101112131√141516

√√題號92453867101112131141516

題號92453867101112131141516

題號92453867101112131√141516

√題號92453867101112131141516

題號92453867101112131141516

題號92453867101112131141516

題號92453867101112131141516

題號92453867101112131141516

題號92453867101112131141516

題號9245386710111213114151613．(2024·天津高考)A，B，C，D，E五種活動，甲、乙都要選擇三個活動參加．甲選到A的概率為________；已知乙選了A活動，他再選擇B活動的概率為________．

題號92453867101112131141516

題號92453867101112131141516

題號9245386710111213114151614．(教材改編)甲、乙