北京市通州區(qū)2024-2025學(xué)年下學(xué)期期末考試高二數(shù)學(xué)試題2025年7月本試卷共4頁，共150分．考試時長120分鐘．考生務(wù)必將答案答在答題卡上，在試卷上作答無效．考試結(jié)束后，請將答題卡交回．第一部分（選擇題共40分）一、選擇題共10小題，每小題4分，共40分．在每小題列出的四個選項中，選出符合題目要求的一項．（1）已知集合，，則（A）（B）（C）（D）（2）下列函數(shù)中，在區(qū)間上單調(diào)遞減的是（A） （B）（C） （D）（3）隨機(jī)變量服從正態(tài)分布，，則（A）（B）（C）（D）（4）已知8名學(xué)生中有5名男生，從中選出4名代表，記選出的代表中男生人數(shù)為，則（A） （B） （C） （D）（5）某校男女生人數(shù)之比為，其中男生近視率為0.4，女生近視率為0.6，則該校學(xué)生的近視率為（A） （B） （C） （D）（6）設(shè)離散型隨機(jī)變量的分布列為-10120.30.3則與的值分別是（A）0.43（B）0.42（C）0.41（D）0.21.6（7）已知，且，則（A） （B） （C） （D）（8）已知，則“”是“”的（A）充分不必要條件 （B）必要不充分條件（C）充分必要條件（D）既不充分也不必要條件（9）血氧飽和度是呼吸循環(huán)的重要生理參數(shù).人體的血氧飽和度正常范圍是，某患者治療過程中，血氧飽和度隨給氧時間（單位：時）的變化規(guī)律滿足指數(shù)模型：，其中為初始血氧飽和度，為參數(shù).已知開始治療時患者血氧飽和度為，治療1小時后，血氧飽和度為.若要使得血氧飽和度恢復(fù)到，則至少還需要給氧時間（單位：時）約為（精確到0.1，參考數(shù)據(jù)：）（A）1.5（B）1.6（C）0.5（D）0.6（10）設(shè)集合，集合，那么集合中滿足的元素的個數(shù)為（A）72（B）54（C）24（D）12第二部分（非選擇題共110分）二、填空題共5小題，每小題5分，共25分．（11）函數(shù)的定義域是．（12）已知的展開式的二項式系數(shù)和為，則；含有項的系數(shù)為．（13）已知函數(shù)若關(guān)于的方程有三個相異的實(shí)數(shù)根，則的取值范圍是．（14）一盒子中有大小與質(zhì)地均相同的20個小球，其中白球5個，其余為黑球，每次隨機(jī)摸1球．若不放回地摸球，第一次摸到白球，則第二次又摸到白球的概率為；某同學(xué)要策劃一個抽獎活動，參與者從盒中有放回地隨機(jī)摸取10次，若其中恰有次摸到白球，則獲獎，否則不獲獎，要使參與者獲獎的可能性最大，該同學(xué)應(yīng)該設(shè)置摸到白球的次數(shù)為．（15）Sigmoid函數(shù)是神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)中最常用的激活函數(shù)之一，其解析式為：.則下列正確結(jié)論的序號是．①若，則；②；③導(dǎo)函數(shù)的最大值是；④，.三、解答題共6小題，共85分．解答應(yīng)寫出文字說明，演算步驟或證明過程．（16）（本小題13分）已知函數(shù)為偶函數(shù).（Ⅰ）求實(shí)數(shù)的值；（Ⅱ）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和極值．（本小題13分）某縣開展“振興鄉(xiāng)村?助農(nóng)直播”活動，某日不同時段的直播開始時間及帶貨時長如下表（均按計劃完成）：上午場（09:00至11:59開播，生鮮農(nóng)產(chǎn)品）下午場（14:00至17:59開播，手工藝品）-09:00直播間A（特色水果）：帶貨時長2小時20分-09:45直播間B（生態(tài)大米）：帶貨時長1小時50分-10:30直播間C（散養(yǎng)土雞）：帶貨時長2小時30分-11:15直播間D（手工腐竹）：帶貨時長1小時30分-14:00直播間E（竹編器具）：帶貨時長1小時30分-15:30直播間F（刺繡飾品）：帶貨時長2小時40分-16:45直播間G（藤編家具）：帶貨時長1小時10分（Ⅰ）某主播從上述直播間中隨機(jī)選取一場參與，求該場直播的帶貨時長超過2小時的概率；（Ⅱ）甲、乙、丙3位主播依次從上述直播間中隨機(jī)選取一場參與（每直播間僅一位主播），求甲、乙、丙中至少有2人帶貨時長超過2小時的概率；（Ⅲ）若甲、乙、丙三人隨機(jī)選取一場參與，其中甲必須選上午場直播，乙必須選下午場直播，丙的選擇無時段限制，且甲、乙、丙3人的選擇互不影響．記甲、乙、丙的帶貨時長的方差分別為，寫出的大小關(guān)系？（結(jié)論不要求證明）（18）（本小題15分）某區(qū)開展“文明先鋒”志愿服務(wù)活動，為表彰優(yōu)秀志愿者，用分層抽樣的方法按青少年組與成年組分別抽取若干名志愿者調(diào)查其服務(wù)情況，并依據(jù)服務(wù)時長評選出一星、二星、三星優(yōu)秀志愿者，數(shù)據(jù)如下：組別人數(shù)獲獎人數(shù)一星二星三星青少年10051520成年200151520假設(shè)所有志愿者的獲獎情況相互獨(dú)立，用頻率估計概率．（Ⅰ）試估計本社區(qū)一星志愿者的獲獎概率；（Ⅱ）從本社區(qū)青少年組志愿者中隨機(jī)抽取1名，成年組志愿者中隨機(jī)抽取2名，以表示這3名志愿者中獲獎的人數(shù)，求的分布列與期望；（Ⅲ）若從該社區(qū)志愿者中隨機(jī)抽取1名，記抽到的志愿者獲獎的概率為；為支援某大型活動，從其他社區(qū)調(diào)入名一星志愿者，再隨機(jī)抽取1名，記抽到的志愿者獲獎的概率為，試估計與的大小.（結(jié)論不要求證明）（本小題15分）已知函數(shù).（Ⅰ）當(dāng)時，求曲線在點(diǎn)處的切線方程；（Ⅱ）當(dāng)時，求證：.（Ⅲ）設(shè)，求函數(shù)的極值.（本小題15分）已知函數(shù)，.（Ⅰ）若曲線在處的切線與平行，求實(shí)數(shù)的值；（Ⅱ）當(dāng)時，記函數(shù)，求的零點(diǎn)個數(shù)及所有零點(diǎn)之和的值．（本小題14分）定義元點(diǎn)集滿足，，.若非空集合，滿足中所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)之和，則稱滿足性質(zhì);若中所有點(diǎn)的縱坐標(biāo)之和，則稱滿足性質(zhì).若集合存在兩個其非空子集，滿足，，且，之一滿足性質(zhì)，另一個滿足性質(zhì)，則稱為一個元均衡點(diǎn)集.（Ⅰ）請寫出一個3元均衡點(diǎn)集，并寫出一組使得時對應(yīng)的子集和；（Ⅱ）求證：對于任意一個3元均衡點(diǎn)集，都滿足；（Ⅲ）求最大的正整數(shù),使得任意一個都是元均衡點(diǎn)集.

參考答案一、選擇題（共10小題，每小題4分，共40分） （1）（2）（3）（4）（5）（6）（7）（8）（9）（10）BCBCDACADB二、填空題（共5小題，每小題5分，共25分）（11）（12）;（13）（14）；2（15）②③④三、解答題（共6小題，共85分）（16）（共13分）（Ⅰ）因為函數(shù)為偶函數(shù)，故，………………2分所以．………………4分（Ⅱ）函數(shù)定義域為，當(dāng)時，，，令，得，當(dāng)，，在上遞減；當(dāng)，，在上遞增，有極小值，無極大值，………………10分由偶函數(shù)對稱性知，當(dāng)時，在上遞增；在上遞減，有極小值，無極大值，故的單調(diào)遞減區(qū)間為和，單調(diào)遞增區(qū)間為和，極小值為和，無極大值.………………13分（共13分）解：（Ⅰ）7場直播中有3場時間超過2小時，故該主播直播的帶貨時長超過2小時的概率為．………4分（Ⅱ）記事件=“甲、乙、丙中至少有2人帶貨時長超過2小時”，則，故甲、乙、丙至少有2人帶貨時長超過2小時的概率為.……………10分（Ⅲ）.………………13分（共15分）解：（Ⅰ）樣本中300名志愿者共有20名一星志愿者，故估計本社區(qū)一星志愿者的獲獎概率為.………3分（Ⅱ）由表知，估計本社區(qū)青少年組志愿者獲獎概率，成年組志愿者獲獎概率，的可能取值為0，1，2，3.；；；.0123的分布列為.………12分（Ⅲ）.………15分（共15分）（Ⅰ）當(dāng)時，，則，∴，又，∴切線方程為即.………4分（Ⅱ）證明：當(dāng)時，，函數(shù)的定義域為，要證明，即證明，設(shè)，則，令，得，(舍).當(dāng)變化時，，的變化情況如下表:-1+0-↗極大值↘所以≤.因為，所以≤0，即，∴得證.………10分（Ⅲ）,∴，令，因為，所以，當(dāng)時，的定義域為，當(dāng)變化時，，的變化情況如下表：+0-↗極大值↘此時有極大值，無極小值.當(dāng)時,h(x)的定義域為，當(dāng)變化時，，的變化情況如下表：-0+↘極小值↗此時有極小值，無極大值.………15分（20）（共15分）解：（Ⅰ）由條件知，，又，所以，故.………4分（Ⅱ）當(dāng)時，，.

記在上單調(diào)遞減，且.所以存在唯一的，使，即.

當(dāng)，，在上遞增；當(dāng)，，在上遞減，所以.

，又，，故在和各有一個零點(diǎn)，共兩個零點(diǎn).

設(shè)是零點(diǎn)，則，又有，所以也是零點(diǎn)，故零點(diǎn)和為.……………15分（共14分）解：（Ⅰ）．（答案不唯一）………3分（Ⅱ）對于任意3元均衡點(diǎn)集，不妨設(shè)，且，，，①若，則，不妨令，則，此時恒有；②若，則，可令，此時，則，滿足題意；③若，則，令，此時，則，滿足題意；④若，則，則令，此時，則，滿足題意；同理可證時成立，所以對于任意3元均衡點(diǎn)集，都滿足.………8分（Ⅲ）．取12元點(diǎn)集，，任取其６元子集,其所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)之和，所以此具有性質(zhì)的子集中點(diǎn)的個