2.2基本不等式【知識梳理】知識點一基本不等式eq\r(ab)≤eq\f(a＋b,2)(1)基本不等式成立的條件：a>0，b>0.(2)等號成立的條件：當(dāng)且僅當(dāng)a＝b時取等號．(3)其中eq\f(a＋b,2)叫做正數(shù)a，b的算術(shù)平均數(shù)，eq\r(ab)叫做正數(shù)a，b的幾何平均數(shù)．知識點二幾個重要的不等式(1)a2＋b2≥2ab(a，b∈R)．(2)eq\f(b,a)＋eq\f(a,b)≥2(a，b同號)．(3)ab≤eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a＋b,2)))2(a，b∈R)．(4)eq\f(a2＋b2,2)≥eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a＋b,2)))2(a，b∈R)．以上不等式等號成立的條件均為a＝b.知識點三用基本不等式求最值用基本不等式eq\r(ab)≤eq\f(a＋b,2)求最值應(yīng)注意：一正二定三相等.(1)a，b是正數(shù)；(2)①如果ab等于定值P，那么當(dāng)a＝b時，和a＋b有最小值2eq\r(P)；②如果a＋b等于定值S，那么當(dāng)a＝b時，積ab有最大值eq\f(1,4)S2.(3)討論等號成立的條件是否滿足．【基礎(chǔ)自測】1．若a，b∈R，且ab>0，則下列不等式中恒成立的是()A．a(chǎn)2＋b2>2ab B．a(chǎn)＋b≥2eq\r(ab)C．eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)>eq\f(2,\r(ab)) D．eq\f(b,a)＋eq\f(a,b)≥2【答案】D【詳解】∵a2＋b2－2ab＝(a－b)2≥0，∴A錯誤.對于B、C，當(dāng)a<0，b<0時，明顯錯誤.對于D，∵ab>0，∴eq\f(b,a)＋eq\f(a,b)≥2eq\r(\f(b,a)·\f(a,b))＝2，當(dāng)且僅當(dāng)a＝b時，“＝”成立.2．下列等式中最小值為4的是()A．y＝x＋eq\f(4,x) B．y＝2t＋eq\f(1,t)C．y＝4t＋eq\f(1,t)(t>0) D．y＝t＋eq\f(1,t)【答案】C【詳解】A中x＝－1時，y＝－5<4，B中t＝－1時，y＝－3<4，C中y＝4t＋eq\f(1,t)≥2eq\r(4t·\f(1,t))＝4，當(dāng)且僅當(dāng)t＝eq\f(1,2)時等號成立，D中t＝－1時，y＝－2<4.故選C.3．已知a>0，b>0，a＋b＝2，則y＝eq\f(1,a)＋eq\f(4,b)的最小值是()A．eq\f(7,2)B．4C．eq\f(9,2)D．5【答案】C【詳解】∵a＋b＝2，∴eq\f(a＋b,2)＝1.∴eq\f(1,a)＋eq\f(4,b)＝(eq\f(1,a)＋eq\f(4,b))(eq\f(a＋b,2))＝eq\f(5,2)＋(eq\f(2a,b)＋eq\f(b,2a))≥eq\f(5,2)＋2eq\r(\f(2a,b)·\f(b,2a))＝eq\f(9,2)(當(dāng)且僅當(dāng)eq\f(2a,b)＝eq\f(b,2a)，即b＝2a＝eq\f(4,3)時，“＝”成立)，故y＝eq\f(1,a)＋eq\f(4,b)的最小值為eq\f(9,2).4．已知0<x<eq\f(1,2)，則y＝x(1－2x)的最大值為________．【答案】eq\f(1,8)【詳解】y＝x(1－2x)＝eq\f(1,2)·2x·(1－2x)≤eq\f(1,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2x＋1－2x,2)))2＝eq\f(1,8)，當(dāng)且僅當(dāng)2x＝1－2x，即x＝eq\f(1,4)時取“＝”．5．在如圖所示的銳角三角形空地中，欲建一個面積最大的內(nèi)接矩形花園(陰影部分)，則其邊長x為________m．【答案】20【詳解】設(shè)矩形花園的寬為y，則eq\f(x,40)＝eq\f(40－y,40)，即y＝40－x，矩形花園的面積S＝x(40－x)≤eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x＋40－x,2)))2＝400，當(dāng)且僅當(dāng)x＝20時，取等號，即當(dāng)x＝20m時，面積最大．【例題詳解】一、利用基本不等式比較大小【答案】D【分析】根據(jù)基本不等式的性質(zhì)，結(jié)合作差比較法逐一判斷即可.故選：D【答案】ABD【分析】對A、B：利用作差法分析判斷；對C、D：根據(jù)基本不等式分析判斷.故選：ABD.【答案】C故選：C.二、利用基本不等式求最值【答案】（1）4；（2）4.【分析】利用基本不等式結(jié)合條件即得.【分析】(=1\*romani)，(=2\*romanii)，(=3\*romaniii)構(gòu)造基本不等式，利用基本不等式解決即可.(6)求解下列各題：【答案】（=1\*romani）；（=2\*romanii）8.故y的最大值為；故y的最小值為8.【答案】(1)；(2)（2）將看作一個整體，對函數(shù)分子進行湊配化簡，再利用基本不等式即可求得函數(shù)的最小值.【答案】(3)；(4)【答案】【答案】(6)；(7)【分析】（6）利用基本不等式求得的最大值．所以最大值為．三、用基本不等式證明不等式跟蹤訓(xùn)練3設(shè)a，b，c均為正數(shù)，且a+b+c=1，證明：（Ⅰ）ab+bc+ac；【答案】（Ⅰ）證明見解析；（II）證明見解析.由題設(shè)得，本題第（Ⅰ）（Ⅱ）兩問，都可以由均值不等式,相加即得到.在應(yīng)用均值不等式時,注意等號成立的條件:“一正二定三相等”.【考點定位】本小題主要考查不等式的證明,熟練基礎(chǔ)知識是解答好本類題目的關(guān)鍵.四、基本不等式在實際問題中的應(yīng)用例4(1)某工廠利用不超過64000元的預(yù)算資金擬建一長方體狀的倉庫，為節(jié)省成本，倉庫依墻角而建（即倉庫有兩個相鄰的側(cè)面為墻面，無需材料），由于要求該倉庫高度恒定，不靠墻的兩個側(cè)面按照其底邊的長度來計算造價，造價為每米1600元，倉庫頂部按面積計算造價，造價為每平方米600元．在預(yù)算允許的范圍內(nèi)，倉庫占地面積最大為（

）．A．36平方米 B．48平方米C．64平方米 D．72平方米【答案】C故選：C【答案】故答案為：.(1)寫出關(guān)于的函數(shù)表達(dá)式；(2)求為多少時，有最小值，并求出的最小值．【分析】（1）根據(jù)為該單位安裝這種凈水設(shè)備費用與安裝設(shè)備后每年向自來水公司繳水費之和，即可建立函數(shù)模型．（2）根據(jù)已知條件，結(jié)合基本不等式的公式，即可求解．【課堂鞏固】A．P＞Q＞M B．M＞P＞QC．Q＞M＞P D．M＞Q＞P【答案】B【分析】結(jié)合基本不等式、差比較法確定正確選項.故選：B【答案】D故選：DA．最小值 B．最小值 C．最大值 D．最大值【答案】D【分析】根據(jù)基本不等式，首先取相反數(shù)，再嘗試取等號，可得答案.故選：D.A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)基本不等式計算求解.故選：A.【答案】C故選：C.【答案】ABD【分析】根據(jù)基本不等式及其性質(zhì)，結(jié)合“1”的妙用以及對勾函數(shù)的性質(zhì)，逐項進行分析判斷即可得解.故選：ABD【分析】先分離參數(shù)，再運用基本不等式可求解.【答案】9.【分析】根據(jù)條件，將函數(shù)進行常數(shù)分離，并配湊成均值不等式的形式，再利用均值不等式即可求解.【答案】10．已知a＞0，b＞0，a+b＝3．（2）證明：【答案】（1）；（2）證明見解析【點睛】本題考查條件等式求最值、基本不等式的應(yīng)用，屬于中檔題.【課時作業(yè)】1．下列不等式恒成立的是（

）【答案】D【分析】對于A、B、C：取特殊值否定結(jié)論；對于D：利用基本不等式直接證明.故A錯誤；故B錯誤；故C錯誤；故D正確.故選：D【答案】C【分析】由基本不等式的性質(zhì)進行逐一判斷即可.故選：CA．6 B．8 C．10 D．12【答案】B故選：B.A．2 B．4 C．5 D．6【答案】A【分析】由基本不等式求解即可故選：A．【答案】B故選：B．A．2 B．5 C． D．【答案】D【分析】直接由基本不等式求解即可.所以的最大值為.故選：D【答案】D故選：D．A．1 B． C． D．2【答案】B故選：B.【答案】AD【分析】應(yīng)用作差法判斷B、D，根據(jù)重要不等式判斷A，由不等式性質(zhì)判斷C.故選：AD【答案】ABC【分析】對條件進行變形，利用不等式的基本性質(zhì)對選項一一分析即可.故選：ABC．11．（多選）下列說法正確的有（

）C．若正數(shù)x、y滿足x+2y＝3xy，則2x+y的最小值為3【答案】BCD【分析】根據(jù)已知條件，結(jié)合不等式的性質(zhì)，以及基本不等式的公式，即可求解.對于B選項，當(dāng)x＞1時，x﹣1＞0，對于C選項，若正數(shù)x、y滿足x+2y＝3xy，當(dāng)且僅當(dāng)x＝y(tǒng)＝1時，等號成立，故C選項正確，，故選：BCD.【答案】CD【分析】結(jié)合基本不等式對選項進行分析，由此確定正確選項.即AB錯誤，D正確.故選：CD14．某公司一年需要購買某種原材料400噸，計劃每次購買噸，已知每次的運費為4萬元，一年總的庫存費用為萬元，為了使總運費與總庫存