專題11相似三角形中的“K”字型相似模型

【模型展示】

特點如圖，直角三角形被斜邊上的高分成的兩個直角三角形與原三角形相似，即

△ACD^AABC^/\CBD.

結(jié)論CA^^ADAB,BC：=BD-BA,CD-^DADB.

【模型證明】

“三垂直”模型

如圖，/B=/￡）=NACE=90°,則

“一線三等角''模型

解決方案A

二E

BCD

如圖，/B=/ACE=ND,則△ABCsZ\cZ）E

特別地，連接AE,若C為8。的中點，則△ACEsAABC^△CDE.

【題型演練】

一、單選題

1.如圖，矩形紙片ABCD中，AB=6,BC=8,E是邊CD上一點，連接AE.折疊該紙片，使點A落在AE

上的G點，并使折痕經(jīng)過點B,得到折痕BF,點F在AD上.若DE=4,則AF的長為（）

C.3D.2

2.如圖，邊長為10的等邊AABC中，點。在邊AC上，且AD=3,將含30。角的直角三角板（ZF=30。）

繞直角頂點。旋轉(zhuǎn)，DE、￡）尸分別交邊AB、BC于P、Q.連接PQ,當斯〃P。時，。。長為（）

A.6B.屈C.10D.6石

4

3.如圖，在矩形ABC。中，0）=4,E是8C的中點，連接AE,tan/AE8=§,尸是邊上一動點，沿過

尸。的值為（）

4.如圖，在矩形ABCD中，AB=4,AD=5,E、F、G、H分別為矩形邊上的點，“尸過矩形的中心0,

且毋'=AT>.E為A3的中點，G為8的中點，則四邊形跳G尸的周長為（）

A.3辨B.675C.8gD.6月

5.如圖，E、F、G、”分別為矩形ABCD的邊A8、BC、CD、D4的中點，連接AC、HE、EC、GA、GF,

已知AG_LGP,AC=R,貝!I下歹！J結(jié)論：?ZDGA=ZCGF；②△DAGs/\CGF；?AB=2；@BE=^CF.正

確的個數(shù)是（）

A.2個B.3個C.4個D.5個

4

6.如圖，在AABC中，ZC=90°,AB=5cm,cosB=-.動點。從點A出發(fā)沿著射線AC的方向以每秒1cm

的速度移動，動點E從點3出發(fā)沿著射線的方向以每秒2cm的速度移動.已知點。和點E同時出發(fā)，設(shè)

它們運動的時間為r秒.連接下列結(jié)論正確的有（）個

?BC=4；

②當=時，tanNAB￡>=2；

25

③以點8為圓心、BE為半徑畫?3,當"后■時，OE與。5相切；

④當NCBr>=NADE時，f=

A.1B.2C.3D.4

二、填空題

7.如圖，正方形ABCD的對角線AC,80相交于點0,AB=5拒,E為0C上一點,OE=2,連接8E,

過點A作于點尸，與8。交于點G,則所的長是.

8.如圖，在矩形ABCD中，AB=9,3c=12,尸是邊上一點，連接防，將AABR沿斯折疊使點A落

在G點，連接AG并延長交8于點E,連接GD.若△DEG是以DG為腰的等腰三角形，則AF的長為

9.如圖，△45。為等邊三角形，點〃,后分別在邊48,47上，3。=3,將VADE沿直線。E翻折得至UVEDE,

當點/落在邊BC上，且3尸=4b時，DE-AF的值為.

三、解答題

10.如圖，在矩形A8CD中，E為AO的中點，EF_LEC交AB于F,延長尸E與直線C。相交于點G,連接

FCCAB>AE\

(1)求證：&AEFs&DCE；

(2)AAE尸與AECP是否相似？若相似，證明你的結(jié)論；若不相似，請說明理由；

AR

(3)設(shè)會=左，是否存在這樣的左值，使得AAEF與△8FC相似？若存在，證明你的結(jié)論并求出京的值；若

不存在，請說明理由.

11.（1）問題

如圖1,在四邊形ABC。中，點P為AB上一點，當/￡>PC=/4=NB=90。時，求證：ADBC^APBP.

（2）探究

若將90。角改為銳角或鈍角（如圖2）,其他條件不變，上述結(jié)論還成立嗎？說明理由.

（3）應(yīng)用

如圖3,在AABC中，AB=20，4=45。，以點A為直角頂點作等腰HAADE.點。在BC上，點E在

AC上，點廠在8c上，且NEFD=45。，若CE=#,求CD的長.

12.【感知】如圖①，在四邊形ABCD中，點尸在邊上（點尸不與點A、8重合），ZA=ZB=ZDPC=90°.易

證△ZMPs△尸3c.（不需要證明）

【探究】如圖②，在四邊形A8CQ中，點尸在邊AB上（點P不與點A、B重合），ZA=NB=ZDPC.若PD=4,

PC=8,3C=6,求AP的長.

【拓展】如圖③，在AABC中，AC=8C=8,AB=12,點P在邊48上（點尸不與點A、8重合），連結(jié)

CP,作NCPE=NA,PE與邊BC交于點、E,當是等腰三角形時，直接寫出AP的長.

13.如圖，在矩形ABCD中，E是2C上一點，DFLAE于點/，設(shè)二一=2（2>0）.

（1）若4=1,求證：CE=FE；

（2）若AB=3,AD=4,且D、B、尸在同一直線上時，求2的值.

14.如圖，矩形ABCD中，AB=1,BC=3,點E是邊BC上一個動點（不與點B、C重合），AE的垂線

AF交CD的延長線于點F,點G在線段EF上，滿足FG：GE=1：2,設(shè)BE=尤.

求證：絲=里

⑴

ABBE

(2)當點G在4ADF的內(nèi)部時，用x的代數(shù)式表示NADG的余切;

(3)當NFGD=NAFE時,求線段BE的長.

D

BC

備用圖

15.如圖，已知四邊形ABCD,ZB=ZC=90°,P是BC邊上的一點，ZAPD=90°.

(1)求證：AABP-APCD；

(2)若BC=10,CD=3,PD=36,求AB的長.

16.如圖，四邊形ABC。和四邊形AEPG都是矩形，C,F,G三點在一直線上，連接A尸并延長交邊于

點跖若NAPG=NACD

②若AB=5,AC=8,求二的值.

BE

(2)若。M=CM=2,AZ)=3,請直接寫出￡1戶長.

17.如圖，在正方形ABCD中，點E在AO上，ER_LBE交C。于點歹.

(1)求證：A4BE~AD￡F；

(2)連結(jié)3b，若AABE?AEBF,試確定點E的位置并說明理由.

18.如圖，正方形ABC。的邊長等于白，P是8c邊上的一動點，/APB、NAPC的角平分線PE、尸尸分別

交AB、CD于E、尸兩點，連接

(1)求證：4BEPsMPF；

(2)當NB4B=30。時，求△PEP的面積.

19.如圖，四邊形ABCD是矩形，點P是對角線AC上一動點(不與A、C重合),連接尸8,過點尸作PE，尸3,

交射線。C于點E,已知AD=3,AC=5.設(shè)AP的長為龍.

(1)AB=；當x=l時，――=；

PD

(2)試探究：否是定值?若是，請求出這個值；若不是，請說明理由；

(3)當APCE是等腰三角形時，請求出x的值.

20.【推理】

如圖1,在正方形ABC。中，點E是C。上一動點，將正方形沿著BE折疊，點C落在點尸處，連結(jié)8E,

CF,延長CF交于點G.

(1)求證：ABCE^\CDG.

【運用】

(2)如圖2,在【推理】條件下，延長交AD于點H.若空=2，CE=9,求線段。E的長.

HF5

【拓展】

AP

(3)將正方形改成矩形，同樣沿著8E折疊，連結(jié)。凡延長CF,BE交直線于G,兩點，若$=左，

HD4DF

蕓=3求株的值(用含％的代數(shù)式表示).

HF5EC

A

21.在矩形45co中，點E是8邊上一點，將VADE沿AE折疊，使點。恰好落在3C邊上的點尸處.

圖1

圖2

3

(1)如圖1,若tan/跖C=“求AB4C的值;

(2)如圖2,在線段昉上取一點G,使AG平分/A4F,延長AG,EF交于點H,若/G=3G+B,求

AB:3c的值.

22.問題提出

(1)如圖1,在矩形ASCD中，A3=4cm,點E為48的中點，點F在BC上，過點E作EG//BC交ED于

點G.若EG=5cm,則△EED的面積為.

問題探究

⑵如圖2,在矩形A3CD中，ASuGcmlCngcm,點尸是AD邊上一動點，點。是8的中點將.^ABP

沿著的折疊，點A的對應(yīng)點是A,將沿著尸。折疊，點。的對應(yīng)點是￡＞侖請問是否存在這樣的點P,

使得點P、&、。，在同一條直線上？若存在，求出此時AP的長度；若不存在，請說明理由.

問題解決

（3）某精密儀器廠接到生產(chǎn)一種特殊四邊形金屬部件的任務(wù)，部件要求：如圖3,在四邊形ABCD中，

3c=4cm,點。到8C的距離為5cm,AD，C￡>,且CD=^AO.若過點。作MV//BC,過點4作的

垂線，交.MN于點、E,交CB的延長線于點”，過點C作CFLMN于點凡連接AC.設(shè)AE的長為Mem）,

四邊形A3CD的面積為Mem）.

①根據(jù)題意求出y與x之間的函數(shù)關(guān)系式；

②在滿足要求和保證質(zhì)量的前提下，儀器廠希望造價最低.已知這種金屬材料每平方厘米造價60元，請你

幫忙求出這種四邊形金屬部件每個的造價最低費用.（出士1.73）

專題11相似三角形中的“K”字型相似模型

【模型展示】

特點如圖，直角三角形被斜邊上的高分成的兩個直角三角形與原三角形相似，即

△ACD^AABC^ACBD.

222

結(jié)論CA=ADAB,BC=BDBA,CD=DADB.

【模型證明】

“三垂直”模型

如圖，/B=/D=/ACE=90。,則△ABCs/\cZ）E

“一線三等角”模型

解決方A

案二E

BCD

如圖，/B=NACE=/D,則△ABCS/^COE

特別地，連接AE,若C為BD的中點，則△ACEsAABC^>△CDE.

【題型演練】

一、單選題

1.如圖，矩形紙片ABCD中，AB=6,BC=8,E是邊CD上一點，連接AE.折疊該紙片,

使點A落在AE上的G點，并使折痕經(jīng)過點B,得到折痕BF,點F在AD上.若DE=4,

則AF的長為（）

C.3D.2

3

【答案】C

【分析】由矩形的性質(zhì)可得AB=CD=6,AD=BC=8,ZBAD=ZD=90°,通過證明

r/口AFDE

△ABF^>ADAE,可得——=——即可求解.

ABAD

10/53

【詳解】解：???矩形ABCD,

.?.ZBAD=ZD=90°,BC=AD=8

???ZBAG+ZDAE=90°

,?,折疊該紙片，使點A落在AE上的G點，并使折痕經(jīng)過點B,得到折痕BF,

?,?BF垂直平分AG

???ZABF+ZBAG=90°

.\ZDAE=ZABF,

.,.△ABF^ADAE

.AFABAF6

??-------即nn----——

DEAD48

解之：AF=3.

故答案為：C.

【點評】本題考查了翻折變換，矩形的性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握翻折變換

和矩形的性質(zhì)，證明三角形相似是解題的關(guān)鍵.

2.如圖，邊長為10的等邊AABC中，點。在邊AC上，且AD=3,將含30。角的直角三角

板（々=30。）繞直角頂點。旋轉(zhuǎn)，DE、￡）戶分別交邊48、3C于P、Q.連接PQ,當跖〃尸。

時，DQ長為（）

A.6B.739C.10D.673

【答案】B

【分析】過點。作QK,AC于K,根據(jù)等邊三角形，和含30。角的直角三角形，易證得

△ADPs^BPQ,從而求得線段BP,AP,BQ,CQ,CK,QK,DK的長度,最后在R9QK

中利用勾股定理可以求得。。的長度.

【詳解】解：過點。作QKLAC于K,

在等邊AABC中，ZA=/3=/C=60°,AB=BC=AC=10,

在Rt&E五￡>中，ZE=60°,ZF=30°,

■：EF//PQ,

11/53

AZDPQ=60°fZDQP=30°,

ZAPD+ZADP=ZAPD+ZQPB,

：.ZADP=ZQPBf

又,:ZA=ZB=60°,

：./xADPs/^BPQ,

.ADAPPD

^~BP~BQ~QP"

???在RtAPQD中，ZDQP=30°,

:?PD=；QP,

PD1

即---=—

QP2

ADAPPD_1

^P~^Q~~QP~2

AT)=3,

.3_￡

,,Bp—天

：?BP=6,

已知AB=10

AP=AB-BP=10-6=4f

4_1

，，~BQ=2,

???BQ=Sf

：.CQ=BC-BQ=10-8=2f

在Rt^CQK中，ZC=60°,

??.NKQC=30。，

.KrCQ2

22

:.DK=AC-AD-KC,

：.￡>^=10-3-1=6,

而sin"二詼，

.人山6。。=及=0

22

KQ=y/3,

在RtADQK中，DQ=JKQ2+DK，,

12/53

DQ=7(73)2+62=V3+36=739，

即DQ=屈.

故選：B.

【點睛】本題考查了等邊三角形的性質(zhì)，特殊三角函數(shù)值，一線三等角的相似模型，正確找

到相似三角形是解題的關(guān)鍵.

4

3.如圖，在矩形A8CD中，CD=4,E是的中點，連接AE,tan/AEB=§,P是AD邊

上一動點，沿過點尸的直線將矩形折疊，使點。落在AE上的點。收L當△APD是直角三

角形時，的值為（）

【答案】B

【分析】根據(jù)矩形的性質(zhì)得到A8=CD,ZB=90°,根據(jù)勾股定理求得AE,當AAP。是直

角三角形時，分兩種情況分類計算即可；

【詳解】???四邊形48CO是矩形，

：.AB^CD,ZB=90°,

4

'：CD=4,tanZAEB=-,:.BE=3,

3

2222

在RdABE中，AE=yjAB+BE=V3+4=5-

是BC的中點，

13/53

.,.AD=6,

由折疊可知，PD=PD,

設(shè)PD=x,則PD'=x,AP=6-x,

當△AP。是直角三角形時，

①當/A￡>'P=90。時，

ZAD'P=ZB=9Q°,

\'AD//BC,

：.ZB\D'=ZAEB,

：./\ABE^/\PD'A,

.APPD'

"AE-AB）

,6-x_x

._8

??X一,

3

?PD、

②當NAPD=90。時，

NAPD=NB=90。,

?：/PAE=NAEB,

.APPDr

??蔗一下’

,6—xx

**3-4，

,24

..x=一,

7

?24

：.PD=—；

7

綜上所述：當△APO是直角三角形時，尸。的值為|或三；

故選：B.

【點睛】本題主要考查了矩形的性質(zhì)，勾股定理，直角三角形的性質(zhì)，相似三角形的判定與

性質(zhì)，準確計算是解題的關(guān)鍵.

4.如圖，在矩形A3CD中，AB=4,AD=5,E、F、G、H分別為矩形邊上的點，HF

過矩形的中心。，且=E為A3的中點，G為8的中點，則四邊形跳G尸的周長

為（）

14/53

A.3A/5B.6A/5C.873D.6指

【答案】B

【分析】連接EG,證明四邊形EHGr是矩形，再證明△A￡HSADHG,求得AH與的

長度，由勾股定理求得EH與龍，再由矩形的周長公式求得結(jié)果.

【詳解】解：連接EG,

四邊形A5CD是矩形，

:.AB=CD,AB//CD,

?.?E為43的中點，G為CD的中點，

:.AE=DG,AE//DG,

.??四邊形AEGL)是平行四邊形，

:.AD=EG,

,?,矩形是中心對稱圖形，族過矩形的中心。.

,EG過點。，且OH=O尸,OE=OG,

二四邊形EHG/是平行四邊形，

■,HF=AD=EG,

四邊形EHGF是矩形，

ZEHG=90°,

?.4="=90°,

ZAHE+ZAEH=ZAHE+ZDHG=90°,

:.ZAEH=ZDHG,

:.AAEHsADHG,

,AH_AE

"麗一市’

設(shè)=貝l]DH=5-x,

■-AE=DG=-AB=2,

2

x_2

,,一二，

25-x

解得，x=l或4,

AH=1或4,

當=1時，"7=4,則HE=JW+AfiZ

HG=VOH2+DG2=^42+22=2小，

???四邊形￡7七”的周長=2x(26+6)=6占；

同理，當加/=4時，四邊形所GH的周長=2x(2B+6=66；

15/53

故選：B.

【點睛】本題主要考查了矩形的性質(zhì)，相似三角形的性質(zhì)與判定，勾股定理，關(guān)鍵在于證明

四邊形EWGF是矩形.

5.如圖，E、F、G、”分別為矩形ABC。的邊AB、BC、CD,0A的中點，連接AC、HE、

EC、GA、GF,已知AG±GF,AC=底,貝U下歹U結(jié)論：?ZDGA=ZCGF；?ADAG^ACGF；

③A8=2；④BEmCF.正確的個數(shù)是（）

A.2個B.3個C.4個D.5個

【答案】B

【分析】由余角的定義可推出NDG4+NCG尸=90。，并不能說明"G4=NCG尸，說明①

錯誤；再根據(jù)NZMG+NDG4=90。，可推出NZMG=NCG尸，進而可證明A/MG?ACG尸,

說明②正確；連接BD,由三角形中位線可知=再由AZMG?ACGP可進一

22

步推出筌=凄，即CF=Y2CG,即BE=JiCF，說明④正確；在比AGB中，

CGCr2

GF2=CF2+CG2,即可求出CG長度，即可求出AB=2,說明③正確.

【詳解】解：：/46歹=90。，

ZDGA+ZCGF=90°,

，不能說明NDG4=NCGb,故①錯誤.

?/ZDAG+ZDGA=90°,

：.ZDAG=ZCGF,

又,?ZADG=ZGCF=90°

:.ADAG?ACGF,故②正確.

如圖連接BD,

16/53

由題意可知AC=30=#，

???G和F分別為CD和BC的中點,

：.GF=-BD=—,

22

?：ADAG-ACGF

2CF

.ADDGgp^-CG

9~GC~~CFCG~CF

CF=—CG

2

^CGf+CG2,

在R/AGB中，GF1=CF2+CG2,即

解得CG=1

AB=2CG=2,故③正確.

?/BE=CG,

：.CF=^BE,即=故④正確.

綜上正確的有②③④共3個.

故選B.

【點睛】本題考查矩形的性質(zhì)，余角，三角形中位線，三角形相似的判定和性質(zhì)以及勾股定

理，綜合性強.能夠連接常用的輔助線和證明4G?ACG/是解答本題的關(guān)鍵.

4

6.如圖，在AASC中，ZC=90°,AB=5cm,cosB=-.動點。從點A出發(fā)沿著射線AC的方

向以每秒1cm的速度移動，動點E從點8出發(fā)沿著射線BA的方向以每秒2cm的速度移動.已

知點。和點E同時出發(fā)，設(shè)它們運動的時間為f秒.連接30.下列結(jié)論正確的有（）個

①3C=4；

②當=時，tanNABD=2；

17/53

③以點8為圓心、8E為半徑畫。3,當/=石時，DE與。3相切；

④當NCBD=NADE時，>=三.

A.1B.2C.3D.4

【答案】D

【分析】利用銳角三角函數(shù)求出BC可判斷①，利用勾股定理求AC,BD,AG,再用正切銳

角三角函數(shù)定義求值可判斷②，利用相似三角形判定與性質(zhì)，可判斷③，利用相似三角形判

定與性質(zhì)建構(gòu)方程，解方程求解可判斷④

44

【詳解】解：在AABC中，ZC=90°,AB=5cm,cosB=j=AB-cosB=5x-=4,

故①3C=4正確；

作AG_L2D于G,

在R3ABC中,AC=>]AB2-BC2=752-42=3>

"：AD=AB=5,AGLBD

：.CD=AD-AC=5-3=2,DG=BG,

在RtADCB中，BD=VCD2+BC2=A/22+42=2A/5>

：.DG=BG=y/5,

在RtABGA中，AG=4AB。-BG。=,乂肩=275,

…八AG2#)-

tan/ABD=-----=—■=-=2

BG75

故②當=時，tanNAB￡>=2正確;

4r3

AD=tBE=2t,cosA=——=-,

fAB5

2525

當"二時，AD=t=—'班=2心H

1313

AE=AB-BE=5-2t=5--=—

1313

A15

A--I33

2B55

AE

—,NDAE=NBAC,

ADAB

：.AADE^AABC,

???ZAED=ZACB=9Q°f

18/53

???ND防二90。,

。石與05相切,

故③以點3為圓心、0為半徑畫。5,當，==時，。石與OB相切正確;

過E作EH_LAC于H,

當NCBD=NAD石時，

:ZEHD=ZDCB=90°,

:.AEHDs△DCB,

.HEDH

^~CD~~CB

u：AE=5-2t,

?*?AH=—（^5-2t^,EH=w（5-2x）,CD=3-A,HD=AD—AH=t—3+—t=—t—3,

?（（5—2/）&-3

3-t4~~

整理得11/-8(V+125=0,

因式分解得(1"25)。-5)=0,

t=II或f=5（舍去），

故④當NCB￡>=NADE時，,=正確;

19/53

正確的結(jié)論有4個.

故選擇D.

【點睛】本題考查銳角三角函數(shù)求邊長，勾股定理，相似三角形判定與性質(zhì)，圓的切線判定，

一元二次方程的解法，掌握銳角三角函數(shù)求邊長，勾股定理，相似三角形判定與性質(zhì)，圓的

切線判定，一元二次方程的解法是解題關(guān)鍵.

二、填空題

7.如圖，正方形ABC。的對角線AC,相交于點。，AB=5及,E為OC上一點，OE=2，

連接BE,過點A作AFXBE于點尸，與3。交于點G,則E尸的長是.

.田心、145/29

【答案】沖上

29

EFAE

【分析】根據(jù)正方形的性質(zhì)求出AO=3O=CO=5,證明△E38AE4/得到岳=^

OEBE

即可求出答案.

【詳解】解：；四邊形ABCD是正方形，AB=50，

■■.ZAOB=90°,OA=OB=OC=OD,

20^=AB2,

AO=BO=CO=5,

-,-AF±BEf

20/53

:./EBO=/EAF,

即變=建

:.Z\EBO^Z\EAF,

OEBE

,.,OE=2,OB=OA=5,

/.BE=V29,AE=7,

.EFF7F解得取1=4./嚶7Q

故答案為：嗜

【點睛】此題考查正方形的性質(zhì)，勾股定理，相似三角形的判定及性質(zhì)，解題中熟練掌握并

運用各知識點是解題的關(guān)鍵.

8.如圖，在矩形ABCD中，AS=9,BC=12,歹是邊AD上一點，連接8尸，將沿

M折疊使點A落在G點，連接AG并延長交8于點E,連接GD.若△DEG是以。G為腰

的等腰三角形，則AF的長為.

【答案】”吟

【分析】分兩種情形：如圖1中，當G￡)=GE時，過點G作于M,GN1CD于N.設(shè)

ADAp4

AF=x,證明△BAF^AADE,推出---=---,可得DE=-K,再證明AM=MD=6,在Rt&FGM

DADE3

中，利用勾股定理構(gòu)建方程求解.如圖2中，當。G=￡?E時，利用相似三角形的性質(zhì)求解即

可.

【詳解】解：如圖1中，當GD=G￡1時，過點G作GWL4。于跖GNLCD于N.設(shè)4尸=尤.

圖1

:四邊形A8CD是矩形，

：.AD=BC=n,ZBAF=ZADE=90°,

21/53

由翻折的性質(zhì)可知，AF=FG,BF±AG,

ZDAE+ZBAE=90°fZABF+ZBAE=90°,

???ZABF=ZDAE,

?.*ZBAF=ZADE=90°f

.AB_AF

**DA-DE，

,9_x

**12-DE?

4

：.DE=-x,

3

VGMLAD,GN工CD,

：.ZGMD=ZGND=ZMDN=90°,

???四邊形GMDN是矩形，

2

：.GM=DN=EN=-x,

3

*：GD=GE,

：.ZGDE=ZGEDf

「ZGZM+ZGDE=90°,ZGAD+ZGED=90°,

：.ZGDA=ZGAD,

：.GA=GD=GE,

?:GM〃DE,

：.AM=MD=6,

7?

在放△尸GM中，則有％2=(6—x)+(-x)2,

解得27-9百或4+9石(舍棄)，

22

，?.小衛(wèi)*.

2

如圖2中，當。G=O石時，

由翻折的性質(zhì)可知，BA=BG,

：.ZBAG=ZBGA,

?:DG=FE,

：./DGE=/DEG,

'JAB//CD,

22/53

???/BAE=NDEG,

：.ZAGB=ZDGEf

:.B,G,。共線，

?；BD=dAB2+A1f3+122=15,BG=BA=9,

：.DG=DE=6,

VABAF^AADE,

.AFAB

.AF9

??一,

612

綜上所述，AF的值為27—9.或與

22

【點睛】本題考查矩形的性質(zhì)，翻折變換，相似三角形的判定和性質(zhì)，解直角三角形等知識，

解題的關(guān)鍵是學會利用參數(shù)構(gòu)建方程解決問題，屬于中考填空題中的壓軸題.

9.如圖，AABC為等邊三角形，點。，E分別在邊AB,AC上，BD=3,將VADE沿直線

翻折得到VEDE,當點尸落在邊BC上，且防=4CF時，￡>E-AF的值為.

【分析】根據(jù)△ABC為等邊三角形,△4。石與4FDE關(guān)于?！瓿奢S對稱，可證△BDF^ACFE,

根據(jù)BF=4C￡可得CF=4,根據(jù)AF為軸對稱圖形對應(yīng)點的連線QE為對稱軸，可得OELAR

根據(jù)S酬彩ADFE=^DEAF=SACEF=-SAABC-SACEF,進而可求DE?AF=.

【詳解】解：如圖，作△ABC的高A3作尸的高OH,

23/53

A

:△ABC為等邊三角形，△ADE與AFDE關(guān)于OE成軸對稱,

ZDFE=ZDAE=60°,AD=DF,

：.NCFE+NFEC=NCFE+/DFB=120°,

???ZDFB=/CEF,

又NB=NC=60。,

△BDFs△CFE,

.BDCF

^^E~~CE'

BF-CF

即CE二,

BD

設(shè)CF=x[x>G),

VBF=4CF,

BF=4xf

u

：BD=3f

4Y2

???CE=—,

3

*.*BC=BF+CF=4x-^-x=5x,

42

JAD=AB-BD=BC-BD=DF=5x-3,AE=EF=5x-X-

39

?：ABDFs〉CFE,

.DFBD

^~EF~~CF"

5x-3_3

_4x2x

JX--------

3

解得：廣2,

/.CF=4,

ABC=5x=10,

:在放△A3L中，ZB=60°,

24/53

/.AL=ABsm600=1Ox4=56

2

.,.54ABC=-X10X5-S/3=25+,

2

；在法△BHD中,BD=3,ZB=60°,

：.DH=BDsin60°=3x—=—,

22

:.SABDF=LBF-DH=、8義空~=6下,

222

■:△BDFsACFE,

S.CFE"⑴4，

?：SABDF=66

:.SACEF=^~,

3

又：AF為軸對稱圖形對應(yīng)點的連線QE為對稱軸，

：.AD=DF,△尸為等腰三角形，DELAF,

：.S承形ADFE=^DEAF=SACEF=-SAABC-SACEF

=25舁6舁巫=旭,

33

,nj7人口98c

3

故答案為：2述.

3

【點睛】本題主要考查等邊三角形的和折疊的性質(zhì)，一線三等角證明左型相似，以及“垂美

四邊形”的性質(zhì)：對角線互相垂直的四邊形的面積=對角線乘積的一半.

三、解答題

10.如圖，在矩形中，E為的中點，EF工EC交AB于F,延長PE與直線C￡>相

交于點G,連接FC(AB>AE).

25/53

(1)求證：AAEFs^DCE；

(2)AAEF與AECP是否相似？若相似，證明你的結(jié)論；若不相似，請說明理由；

(3)設(shè)黑=左，是否存在這樣的左值，使得AAEF與△8FC相似？若存在，證明你的結(jié)論并

JDC

求出人的值；若不存在，請說明理由.

【答案】(1)見解析

(2)相似，證明見解析

(3)存在,k=*

【分析】(1)由題意可得NAEP+/DEC=90。，又由NAE尸+NAFE=90。，可得NDEC=

ZAFE,據(jù)此證得結(jié)論；

(2)根據(jù)題意可證得放△AEP0RfA￡>EG(ASA),可得EF=EG,ZAFE=ZEGC,可得CE

垂直平分BG,ACGP是等腰三角形，據(jù)此即可證得AAEP與AECF相似；

(3)假設(shè)AAEF與△圻'C相似，存在兩種情況：①當NABEn/BCF可得NMC=90。，根

據(jù)題意可知此種情況不成立；②當NAFE=NBFC,使得△AE尸與△BEC相似，設(shè)BC=a,

12

則可得BF=jka,再由△AEps△f)cE,即可求得上值.

(1)

證明："：EFLEC,

:.NFEC=90。,

：.ZAEF+ZDEC=90°,

ZAEF+ZAFE=90°,

：.NDEC=ZAFE,

又；ZA=ZEDC=90°,

：./\AEF^/\DCE；

26/53

(2)

解：AAEFsAECF.

理由：為的中點，

：.AE=DE,

；NAEF=NDEG,NA=NEDG,

：.AAEF出△DEG(ASA),

:.EF=EG,/AFE=NEGC.

又；EF_LCE,

；.CE垂直平分尸G,

...△CG歹是等腰三角形.

/AFE=NEGC=ZEFC.

又：ZA=ZFEC=90°,

：.AAEFsAECF；

(3)

解：存在上=亭使得AAEF與2X8”相似.

理由：

假設(shè)△AEF與A2PC相似，存在兩種情況：

①當/AFE=NBCF,則有NAPE與N2PC互余，于是NEPC=90。，因此此種情況不成立；

②當/AFE=NBFC,使得△AEF與△BFC相似，

設(shè)BC=a,則AB=ka,

,?AAEFs^BCF,

,AF_AE_J_

,?茄一BC~2，

.\AF=—ka,BF=—ka,

33

AAEF^/\DCE,

11，

.絲一絲

??二一，即T_1f

DCDEka-1a

2

解得,k=*.

存在上考使得△AEF與△BFC相似.

【點睛】本題考查了矩形的性質(zhì)，相似三角形的判定及性質(zhì)，全等三角形的判定與及性質(zhì),

等腰三角形的判定及性質(zhì)，采用分類討論的思想是解決本題的關(guān)鍵.

27/53

11.（1）問題

如圖1,在四邊形ABC。中，點P為A8上一點，當/OPC=/A=/B=90。時，求證：

ADBC=APBP.

（2）探究

若將90。角改為銳角或鈍角（如圖2）,其他條件不變，上述結(jié)論還成立嗎？說明理由.

（3）應(yīng)用

如圖3,在AABC中，AB=2四,48=45。，以點A為直角頂點作等腰甘"DE.點。在

上，點E在AC上，點廠在BC上，且NEKD=45。，若CE=加,求C。的長.

圖1圖2圖3

【答案】（1）見解析；（2）成立，理由見解析；（3）CD=5

【分析】（1）^ZDPC=ZA=B=90°,可得/ADP=NBPC,即可證到△ADP"△^PC,然后

運用相似三角形的性質(zhì)即可解決問題；

（2）由/。PC=/A=/B=a,可得即可證到△4。尸”△^pc,然后運用

相似三角形的性質(zhì)即可解決問題；

（3）先證AABD"△DFE,求出。尸=4,MffiAEFC^△DEC,可求尸C=l,進而解答即

可.

【詳解】（1）證明：如題圖1,

,/ZDPC=ZA=ZB=90°,

：.ZADP+ZAPD=90°,ZBPC+ZAPD=90°,

ZADP=ZBPC,

:.MADPs△Bpc,

AD_AP

"~BP^~BC，

：.ADBC=APBP,

（2）結(jié)論仍然成立，理由如下，

?/Z.BPD=NDPC+NBPC,

又ZBPD=ZA+ZADP,

ZDPC+ZBPC=ZA+ZADP,

?;/DPC=ZA,

設(shè)NOPC=/A=a,

28/53

:.ZBPC=ZADP,

/.△ADP^ABPC,

ADAP

：.ADBC=APBP,

（3）?「NEED=45。,

:./B=ZADE=45。,

:.ZBAD=ZEDF,

.△ABDs小DFE,

ABAD

,而一森，

???VADE是等腰直角三角形，

.?.DE=6AD,

???AB=2g,

:.DF=4,

???ZEFD=45°,ZADE=45°,

??.NEFC=/DEC=135。,

:.AEFCS^DEC,

FCEC

一耘一而‘

EC=y/5.CD=DF+FC=4+FC,

:.EC2=FCCD=FC\4+FC）=5,

:.FC=1,

CD=5.

【點睛】本題考查相似三角形的綜合題，三角形的相似；能夠通過構(gòu)造45。角將問題轉(zhuǎn)化為

一線三角是解題的關(guān)鍵.

12.【感知】如圖①，在四邊形ABC。中，點尸在邊AB上（點P不與點A、B重合），

ZA=ZB=ZDPC=90°.易證△ZMPS^PBC.（不需要證明）

【探究】如圖②，在四邊形A8CD中，點尸在邊上（點P不與點A、8重合），

ZA=ZB=ZDPC.若PD=4,PC=8,BC=6,求AP的長.

【拓展】如圖③，在AABC中，AC=BC=8,AB=12,點尸在邊A8上（點尸不與點A、

8重合），連結(jié)CP,作NCPE=NA,PE與邊BC交于點、E,當是等腰三角形時，直

接寫出AP的長.

29/53

【答案】【探究】3；【拓展】4或言.

【分析】探究：根據(jù)相似三角形的性質(zhì)列出比例式，計算即可；

拓展：證明分CP=CE、PC=PE、尸三種情況，根據(jù)相似三角形的性

質(zhì)計算即可.

【詳解】探究：證明：???/。尸3是的外角，

：.ZDPB=ZA-^ZPDA,

即/DPC+/CPB=ZA+ZPDA,

???ZA=ZDPC,

:?/PDA=/CPB,

又???ZA=ZB,

:.△ZMPs△尸5C,

.PDAP

**PC-BC?

VPD=4,PC=8,BC=6,

.4_AP

??一=，

86

解得：AP=3；

拓展：'：AC=BC,

：.ZA=ZB,

是△APC的外角，

ZCPB=ZA+ZPCA,^ZCPE+ZEPB=ZA+ZPCA,

'：ZA=ZCPE,

：.ZACP=ZBPE,

'：ZA=ZB,

：./\ACP^/\BPE,

當CP=CE時，ZCPE=ZCEP,

'：ZCEP>ZB,ZCPE=ZA=ZB,

，CP=CE不成立；

30/53

當PC=PE時，AACPmABPE,

貝ljPB=AC=S,

：.AP=AB-PB=12-8=4；

當￡C二砂時，NCPE=NECP,

?：/B=/CPE,

，/ECP=/B,

：.PC=PB,

bACPsXBPE,

.ACAPPC

**BP-BE-?

nn812-PBPB

'JB~BE~S-BE9

角窣得：=

AP=AB—PB=12-----=—,

33

綜上所