專題32正方形與45度角模型

一、單選題

1.如圖，在正方形OABC中，點B的坐標(biāo)是（6,6）,點E、F分別在邊BC、BA上，0E=36.若/E0F=45°,

則F點的縱坐標(biāo)是（）

A.2B，gC.6D.下一1

2.如圖，已知正方形ABCD的邊長為12,BE=EC,將正方形邊CD沿DE折疊到DF,延長EF交AB于G,連

接DG,現(xiàn)在有如下4個結(jié)論:①AG+EC=GE；②/GDE=45。；③△BGE的周長是一個定值;④連結(jié)FC,ABFC

的面積等于?尸C.在以上4個結(jié)論中，正確的是（）

A.1B.2C.3D.4

3.如圖，在正方形ABCD中，AAEF的頂點E,產(chǎn)分別在8C,CD邊上,高AG與正方形的邊長相等,

連接3D分別交AE,AF于點N,下列說法：

①/E4尸=45°；

②連接MG,NG,則AMGN為直角三角形；

③AAMNS^ME；

④若BE=2,FD=3,則MN的長為|a.其中正確結(jié)論的個數(shù)是（）

C.2D.1

4.如圖，在正方形ABCD內(nèi)作NE4F=45。，AE交BC于點E,M交8于點尸，連接EF,過點A作

AHLEF,垂足為點“，將/繞點A順時針旋轉(zhuǎn)90。得到△ABG,若5石=4,0b=6,則以下結(jié)論:

@AADF=AAHF,②AH=EF,③絲=速，④S-CE"=24,正確的個數(shù)有(

)

AF3

A.1個B.2個C.3個D.4個

5.已知在正方形ABCD中，點E、F分別為邊BC與CD上的點，且ZE4F=45。，AE與AF分別交對角線BD

3

于點M、N.則下列結(jié)論：①BE+DF=EF；?^ABM^^NEM；@BM2+DN2=MN2;@AF^-AMIE

A.4個B.3個C.2個D.1個

6.如圖，在正方形/及力中，49=6,點后在邊切上，旦CD=3DE,將ZL4龐沿/￡對折至447區(qū)延長房交

BC于點G,連結(jié)4G,CF,下列結(jié)論：①八ABWAAFG；?BG=CG-,③SA4除18；④/血后45°,其中正確

A.①②③B.②③④C.③④①D.①②④

二、填空題

7.如圖，在正方形ABCD中，E、尸分別是邊BC、CD上的點，ZEAF=45°,△ECV的周長為6,則正

方形ABCD的邊長為.

8.如圖，正方形ABCD中，點E、F分別在邊BC、CD±,連接AE、EF、AF,且/EAF=45°,下列結(jié)論:

①△ABEgZkADF；

②/AEB=/AEF；

③正方形ABCD的周長=24CEF的周長；

@SAABE+SAADF=SACEF,其中正確的是.（只填與序號）

9.如圖，在邊長為6的正方形ABCD內(nèi)作NE4F=45。，AE交BC于點E,AF交CD于點、F,連接EF,

將AADF繞點A順時針旋轉(zhuǎn)90°得到AABG,若加=3,則BE的長為

10.正方形ABCD中，E為BC上的一點，F(xiàn)為CD上的一點，BE+DF=EF,則NEAF的度數(shù)是

11.如圖，在正方形力6切中，￡是隙邊上的一點，將正方形邊4?沿/￡折疊到/凡延長房交加'于G,

連接力G,則/用G=度.

12.如圖，已知正方形ABCD的邊長為3,E、尸分別是AB、8C邊上的點，且ZEDF=45。，將AZME繞

點。逆時針旋轉(zhuǎn)90。，得到ADCN.若AE=1,則所的長為.

13.如圖，在正方形ABCD中，點M、N為邊BC和CD上的動點（不含端點），04AN=45。，下列三個結(jié)

論：①當(dāng)MN=0MC時，貝UNB4M=22.5。；@2AAMN-ZMNC=90°；③△MNC的周長不變；④NAMN一

ZAMB=60°.其中正確結(jié)論的序號是.

14.如圖，正方形ABCD的邊長為1,點E在邊A3上運動(不與點A,B重合)，NDW=45。，點尸在

射線AM上，且AF=02E，b與AO相交于點G,連接EC、EF、EG.則下列結(jié)論：①NECF=45。；

②FE平分ZAFG；③BE+DG=EG；④△胡尸的面積的最大值是J；其中正確的結(jié)論是.

M

\G

15.正方形4%力中，￡為a1上的一點，尸為切上的一點，BE+DF=EF,求NE4尸的度數(shù).

16.如圖，AB=AMBC=DC,/(7=/，=//龐=/掰2=90°,點￡、尸分別在邊6C、CD上,/現(xiàn)尸=45°,

過點力作/。16=/用。，且點G在力的延長線上.

(1)△劭6與△川，全等嗎？為什么？

(2)若DF=2,龐=3,求廝的長.

17.(1)如圖①，在正方形ABCD中，E、F分別是8C、DC上的點，且ZE4F=45。，連接￡F,探究BE、

DF、班'之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；

(2)如圖②，在四邊形ABCD中，AB=AD,ZB+Z￡)=180°,E、/分別是BC、DC上的點，且

ZEAF=^ZBAD,止匕時（1）中的結(jié)論是否仍然成立？請說明理由.

18.如圖，正方形四切中，邊長為4,以"在48、ADh.

(1)若/加245°,則胤-ZiY腑(填“>”“<”或“=")；

(2)如圖1,若NNMC=NMCD,求△/碗的周長；

(3)如圖2,若隊兒在/反4?反向延長線上，在⑵的條件下，直接寫出如MN、9的數(shù)量關(guān)系一.

圖2

19.如圖，在四邊形紙片ABCD中，/B=/D=90°,點、E,尸分別在邊BC,CD±,將AB,49分別沿

AE,AF折疊，點B,D恰好都和點G重合，/用伊=45°.

（1）求證：四邊形4及小是正方形;

(2)若EC=FC=\,求AB的長度.

20.已知正方形4閱9中，ZMAN=45°,4￡4N繞點/順時針旋轉(zhuǎn)，它的兩邊分別交外、OC（或它們的

延長線）于點從N,當(dāng)繞點/旋轉(zhuǎn)到3M=￡W時（如圖D,則

（1）線段BM、4和腑之間的數(shù)量關(guān)系是；

⑵當(dāng)NM4N繞點/旋轉(zhuǎn)到時（如圖2）,線段肱ZW和g之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系；寫出猜想,

并加以證明；

（3）當(dāng)NM4N繞點/旋轉(zhuǎn)到（如圖3）的位置時，線段即9和磔之間又有怎樣的數(shù)量關(guān)系；請直接寫出

你的猜想.

21.如圖，在正方形A3CD中，ZEAF=45°,交BC、CD于E、F,交.BD于H、G.

備用圖

(1)求證：AD2=BGDH；

(2)求證：CE=>/2DG;

(3)求證：EF=-/2HG.

22.如圖，正方形ABCD中，NE4P=45。,/歸交8C于點尸交C。于點F，分別交于"、G,連接

EF.

(1)求證：AD'^BGDH-,

(/2、)求笠CF;的值；

LfLr

⑶若正方形的邊長為5,DG=0，求所的長.

23.如圖，正方形"切中，E、尸分別在邊加；CD上,且/必/=45°,連接窈這種模型屬于“半角模

型”中的一類，在解決“半角模型”問題時，旋轉(zhuǎn)是一種常用的分析思路.例如圖中△/卯與△放可以

看作繞點/旋轉(zhuǎn)90°的關(guān)系.這可以證明結(jié)論“第=龐+所”，請補充輔助線的作法，并寫出證明過程.

(1)延長)到點G,使灰=_,連接/G；

(2)證明：EF=BE+DF

24.正方形ABCD的邊長為6,E,F分別是AB,BC邊上的點，且NEDF=45°,將4DAE繞點D逆時針旋轉(zhuǎn)

90°,得到ADCM.

(1)求證：EF=CF+AE；

(2)當(dāng)AE=2時，求EF的長.

25.分層探究

(1)問題提出：如圖1,點￡、尸別在正方形/皿的邊8C、CD上,/應(yīng)0=45°,連接跖求證：EF=

BE+DF,解題思路：把△/龐繞點/逆時針旋轉(zhuǎn)度至△/%,可使與重合.由NFDG=ADG+/4DC

=180°,則知尺D、G三點共線，從而可證△/R52(),從而得即=郎+所,閱讀以上內(nèi)容并

填空.

(2)類比引申：如圖2,四邊形/閱9中，AB=AD,/BAD=90°,點E、尸分別在邊6C、CD上,NEAF=

45°.探究：若NB、都不是直角，當(dāng)NB、滿足什么數(shù)量關(guān)系時，刖有EF=BE+DF1

(3)聯(lián)想拓展：如圖3,在△/回中，/胡490°,48=AC,點、D、￡均在邊6。上，并且N的6=45°.猜

想初、CE、龐的數(shù)量關(guān)系，并給出理由.

26.如圖，已知正方形ABCD的邊長為3,E、F分別是邊BC、CD上的點，ZEAF=45°

(1)求證：BE+DF=EF

(2)當(dāng)BE=1時，求EF的長

27.如圖所示，正方形A3CO中，點區(qū)F分別為BC,切上一點，點〃為斯上一點，D,〃關(guān)于直線力尸對

稱.連結(jié)加并延長交/￡的延長線于"求證：ZAND=45°.

28.如圖，點M,N分別在正方形ABCD的邊BC,CO上，NM4N=45。，點E在CB的延長線上，連接

AEtBE—DN.

(1)求證：AE=AN-,

(2)若。0=3,0V=4,求EM的長.

29.已知正方形4?5中，/例445°,/肱W繞點/順時針旋轉(zhuǎn)，它的兩邊分別交必，比■（或它們的延

長線）于點弘N,AHLMN千懸H.

圖①圖②圖③

（1）如圖①，當(dāng)/MW繞點/旋轉(zhuǎn)到》〃￥時，請你直接寫出可與的數(shù)量關(guān)系：；

（2）如圖②，當(dāng)NMW繞點/旋轉(zhuǎn)到時，（1）中發(fā)現(xiàn)的■與46的數(shù)量關(guān)系還成立嗎？如果不成

立請寫出理由，如果成立請證明；

（3）如圖③，已知/物—45°,AH1MN千點、H,且朋心=2,47=6,求明的長.（可利用（2）得到的結(jié)

論）

30.已知正方形/口必，點￡,尸分別是邊Z8,歐上的動點.

圖1圖2

(1)如圖1,點、E,尸分別是邊46,切上的中點，證明龍=坐

(2)如圖2,若正方形力功力的邊長為1,△座F的周長為2.

①試證明/應(yīng)/=45°；

②請你進一步探究圖形的其它重要性質(zhì)，并將如下4B,C,，四個結(jié)論中，正確的代號直接填寫在橫線

上(不必寫出推理過程)：.

A.△阪一定是等腰三角形.

B.EF=AE+CF.

C.△阪中，跖邊上的高為定值.

D.△龍廣的面積存在最小值.

31.已知正方形ABCD,ZMAN=45°,NM4N繞點/順時針旋轉(zhuǎn)，它的兩邊分別交CB、DC千點、M、N,

于點H.

圖①

(1)如圖①，當(dāng)3河=9時,可以通過證明,得到AH與A3的數(shù)量關(guān)系，這個數(shù)量關(guān)系

是

(2)如圖②，當(dāng)BMwDN時,(1)中發(fā)現(xiàn)的A"與的數(shù)量關(guān)系還成立嗎？說明理由;

(3)如圖③，已知AAMN中,ZMAN=45°,AHLMN于點、H,MH=3,NH=1,求A”的長.

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