微積分基礎(chǔ)試題及答案

一、單項(xiàng)選擇題（每題2分，共20分）1.函數(shù)\(y=\sinx\)的導(dǎo)數(shù)是（）A.\(\cosx\)B.\(-\cosx\)C.\(\sinx\)D.\(-\sinx\)2.\(\lim\limits_{x\to0}\frac{\sinx}{x}\)的值為（）A.0B.1C.不存在D.\(\infty\)3.若\(y=x^3\)，則\(y^\prime\)在\(x=1\)處的值是（）A.1B.2C.3D.44.不定積分\(\intx^2dx\)等于（）A.\(\frac{1}{3}x^3+C\)B.\(\frac{1}{2}x^3+C\)C.\(x^3+C\)D.\(\frac{1}{3}x^2+C\)5.定積分\(\int_{0}^{1}2xdx\)的值為（）A.0B.1C.2D.36.函數(shù)\(y=e^x\)的原函數(shù)是（）A.\(e^x+C\)B.\(-e^x+C\)C.\(xe^x+C\)D.\(\frac{1}{x}e^x+C\)7.曲線\(y=x^2\)在點(diǎn)\((1,1)\)處的切線方程是（）A.\(y=2x-1\)B.\(y=x\)C.\(y=3x-2\)D.\(y=2x+1\)8.當(dāng)\(x\to0\)時，\(x^2\)是比\(x\)（）A.低階的無窮小B.高階的無窮小C.同階但不等價的無窮小D.等價無窮小9.若\(y=\lnx\)，則\(y^\prime\)等于（）A.\(\frac{1}{x}\)B.\(x\)C.\(-\frac{1}{x}\)D.\(\frac{1}{x^2}\)10.函數(shù)\(f(x)=x^3-3x\)的駐點(diǎn)是（）A.\(x=1\)B.\(x=-1\)C.\(x=\pm1\)D.\(x=0\)二、多項(xiàng)選擇題（每題2分，共20分）1.下列函數(shù)中，在定義域內(nèi)可導(dǎo)的有（）A.\(y=x^2\)B.\(y=\frac{1}{x}\)C.\(y=|x|\)D.\(y=\sinx\)2.以下哪些是求導(dǎo)的基本公式（）A.\((x^n)^\prime=nx^{n-1}\)B.\((\sinx)^\prime=\cosx\)C.\((\lnx)^\prime=\frac{1}{x}\)D.\((e^x)^\prime=e^x\)3.定積分的性質(zhì)包括（）A.\(\int_{a}^kf(x)dx=k\int_{a}^f(x)dx\)（\(k\)為常數(shù)）B.\(\int_{a}^[f(x)\pmg(x)]dx=\int_{a}^f(x)dx\pm\int_{a}^g(x)dx\)C.\(\int_{a}^f(x)dx=-\int_^{a}f(x)dx\)D.\(\int_{a}^{c}f(x)dx+\int_{c}^f(x)dx=\int_{a}^f(x)dx\)（\(a\ltc\ltb\)）4.下列函數(shù)中，是偶函數(shù)的有（）A.\(y=x^2\)B.\(y=\cosx\)C.\(y=\sinx\)D.\(y=x^3\)5.計算不定積分的方法有（）A.直接積分法B.換元積分法C.分部積分法D.因式分解法6.函數(shù)\(y=f(x)\)在點(diǎn)\(x_0\)處可導(dǎo)的充分必要條件是（）A.左導(dǎo)數(shù)存在B.右導(dǎo)數(shù)存在C.左導(dǎo)數(shù)等于右導(dǎo)數(shù)D.函數(shù)在該點(diǎn)連續(xù)7.下列極限存在的有（）A.\(\lim\limits_{x\to0}\frac{\sinx}{x}\)B.\(\lim\limits_{x\to\infty}\frac{1}{x}\)C.\(\lim\limits_{x\to0}\frac{1}{x}\)D.\(\lim\limits_{x\to\infty}x\)8.曲線\(y=f(x)\)的拐點(diǎn)可能出現(xiàn)在（）A.\(f^{\prime\prime}(x)=0\)的點(diǎn)B.\(f^{\prime\prime}(x)\)不存在的點(diǎn)C.\(f^\prime(x)=0\)的點(diǎn)D.函數(shù)的間斷點(diǎn)9.下列關(guān)于無窮小的說法正確的是（）A.無窮小是一個很小的數(shù)B.0是無窮小C.有限個無窮小的和是無窮小D.無窮小與有界函數(shù)的乘積是無窮小10.若\(F^\prime(x)=f(x)\)，則（）A.\(\intf(x)dx=F(x)+C\)B.\(\fraczl11t11{dx}\intf(x)dx=f(x)\)C.\(\intF^\prime(x)dx=F(x)+C\)D.\(\intf^\prime(x)dx=f(x)+C\)三、判斷題（每題2分，共20分）1.函數(shù)\(y=\sqrt{x}\)在\(x=0\)處可導(dǎo)。（）2.\(\int_{a}^f(x)dx\)的值與積分變量用什么字母表示無關(guān)。（）3.若\(f(x)\)在區(qū)間\([a,b]\)上連續(xù)，則\(f(x)\)在\([a,b]\)上一定可積。（）4.函數(shù)\(y=x^3\)是單調(diào)遞增函數(shù)。（）5.無窮大量與無窮小量的乘積一定是無窮小量。（）6.導(dǎo)數(shù)為0的點(diǎn)一定是函數(shù)的極值點(diǎn)。（）7.\(\int\cosxdx=\sinx+C\)。（）8.函數(shù)\(y=|x|\)在\(x=0\)處連續(xù)但不可導(dǎo)。（）9.定積分的值一定是正數(shù)。（）10.若\(f(x)\)在\(x_0\)處可導(dǎo)，則\(f(x)\)在\(x_0\)處一定連續(xù)。（）四、簡答題（每題5分，共20分）1.簡述導(dǎo)數(shù)的幾何意義。答案：函數(shù)\(y=f(x)\)在點(diǎn)\(x_0\)處的導(dǎo)數(shù)\(f^\prime(x_0)\)，表示曲線\(y=f(x)\)在點(diǎn)\((x_0,f(x_0))\)處切線的斜率。2.不定積分與原函數(shù)有什么關(guān)系？答案：若\(F^\prime(x)=f(x)\)，則\(F(x)\)是\(f(x)\)的一個原函數(shù)，\(\intf(x)dx=F(x)+C\)（\(C\)為任意常數(shù)），不定積分是\(f(x)\)的所有原函數(shù)的集合。3.如何判斷函數(shù)的單調(diào)性？答案：設(shè)函數(shù)\(y=f(x)\)在區(qū)間\(I\)內(nèi)可導(dǎo)，若\(f^\prime(x)\gt0\)，則\(f(x)\)在\(I\)內(nèi)單調(diào)遞增；若\(f^\prime(x)\lt0\)，則\(f(x)\)在\(I\)內(nèi)單調(diào)遞減。4.簡述定積分的定義。答案：設(shè)函數(shù)\(f(x)\)在區(qū)間\([a,b]\)上有界，將\([a,b]\)分成\(n\)個小區(qū)間，取\(\xi_i\)屬于第\(i\)個小區(qū)間，作和式\(\sum_{i=1}^{n}f(\xi_i)\Deltax_i\)，當(dāng)\(n\to\infty\)，小區(qū)間長度最大值\(\lambda\to0\)時，若和式極限存在，該極限就是\(f(x)\)在\([a,b]\)上的定積分。五、討論題（每題5分，共20分）1.討論函數(shù)\(y=x^3-3x^2+2\)的極值情況。答案：先求導(dǎo)\(y^\prime=3x^2-6x=3x(x-2)\)，令\(y^\prime=0\)，得\(x=0\)和\(x=2\)。當(dāng)\(x\lt0\)，\(y^\prime\gt0\)；\(0\ltx\lt2\)，\(y^\prime\lt0\)；\(x\gt2\)，\(y^\prime\gt0\)。所以\(x=0\)是極大值點(diǎn)，極大值為\(2\)；\(x=2\)是極小值點(diǎn)，極小值為\(-2\)。2.討論定積分在實(shí)際生活中的應(yīng)用。答案：定積分在實(shí)際中應(yīng)用廣泛，如求平面圖形面積，通過確定積分區(qū)間和被積函數(shù)可算出曲線圍成圖形面積；在物理中可求變速直線運(yùn)動路程，用速度函數(shù)在時間區(qū)間上的定積分得到路程；還能求變力做功等。3.探討如何利用導(dǎo)數(shù)求曲線的切線方程。答案：先確定切點(diǎn)坐標(biāo)\((x_0,y_0)\)，再求出函數(shù)在該點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)\(f^\prime(x_0)\)，它就是切線斜率。然后根據(jù)點(diǎn)斜式方程\(y-y_0=f^\prime(x_0)(x-x_0)\)，就能得到曲線在該點(diǎn)的切線方程。4.分析無窮小量在極限運(yùn)算中的作用。答案：無窮小量在極限運(yùn)算中很關(guān)鍵，可利用無窮小量性質(zhì)簡化運(yùn)算。如有限個無窮小量和、差、積是無窮小量；無窮小量與有界函數(shù)乘積是無窮小量。等價無窮小在求極限時可進(jìn)行替換，使復(fù)雜極限計算變簡單。答案一、單項(xiàng)選擇題1.A