11.3角的平分線的性質(zhì)新知概覽知識要點課標要求中考考點節(jié)內(nèi)對應例題節(jié)內(nèi)對應習題角平分線的性質(zhì)探索并證明角平分線的性質(zhì)定理：角平分線上的點到角兩邊的距離相等；角平分線的性質(zhì)（掌握）試練例題2；易錯典例1；題型典例1，2，4，8，9中考典例1，4中考變式練1，4新題精練2，4,5，6，7,8,10,11,15，17角平分線的判定定理探索并證明角平分線的判定定理：角的內(nèi)部到角兩邊距離相等的點在角的平分線上。角平分線的判定定理（掌握）試練例題3；易錯典例2；題型典例3，4，6，7中考典例3，中考變式練3新題精練3，8,12，13，16，18三角形的角平分線掌握三角形角平分線的性質(zhì)三角形三條角平分線交于一點（掌握）試練例題4；易錯典例3；題型典例5中考典例2，中考變式練2新題精練1,3,14本節(jié)重、難點（1）重點：角平分線的性質(zhì)和判定（2）難點：綜合應用角的平分線的性質(zhì)和判定解決相關問題。知識全解知識點一：倍速學法知識點一：角平分線的作法倍速學法知識銜接：（1）角的概念：有公共端點的兩條射線組成的圖形叫做角，這個公共端點叫做角的頂點，這兩條射線叫做角的邊.（2）角平分線：過角的頂點的一條射線，把這個角分成兩個相等的角，這條射線叫做這個角的平分線.（3）三角形的角平分線：在三角形中，一個內(nèi)角的角平分線與它的對邊相交，這個角的頂點與交點之間的線段叫做三角形的角平分線.作已知角的平分線的方法有很多，主要有折疊和尺規(guī)作圖法，尺規(guī)作圖法是常用的方法。作圖的依據(jù)：連接CM、CN是構(gòu)造△OMC和△ONC，在作圖中可以得到OM=ON，MC=NC，OC=OC，所以△OMC≌△ONC（SSS）。知識拓展：知識拓展：尺規(guī)作圖是指只用圓規(guī)和沒有刻度尺的直尺來作圖．直尺的功能是:在兩點間連結(jié)一條線段；將線段向兩方向延長．圓規(guī)的功能是:以任意一點為圓心，任意的長為半徑作一個圓；以任意一點為圓心，任意的長為半徑畫一段?。咭?guī)作圖關鍵要掌握作圖的具體操作和作圖規(guī)范敘述．當作圖要求寫作法時，要注意語言的規(guī)范．(1)用直尺作圖時的規(guī)范語言:①過點×作直線××；作線段××；以×點為端點作射線××．②連接××；以點×為端點作線段××．延長線段××到點×；延長線段××到點×；使××=××．（2）用圓規(guī)作圖時的語言規(guī)范．①以點×為圓心，××為半徑作圖；②已點×為圓心，××為半徑作弧交××于點×．（2）做法中“以適當?shù)拈L為半徑畫弧”是要求以美觀大方為原則，不能太長或太短。（3）在作法中“畫射線OC”，不能簡單敘述為“連接”O(jiān)C，角平分線是射線而不是線段OC.（4）尺規(guī)作圖要保留作圖痕跡，并且要有結(jié)論。【試練例題1】如圖1132，小明只用刻度尺作角的平分線時，在∠MON的兩邊上分別取OA=OB，OC=OD，連接BC和AD交于點P，則OP必是∠MON的平分線，你知道為什么嗎？圖1132圖1132思路導引：欲證OP是∠MON的平分線，即證∠COP=∠DOP，而此兩角所在△OPC和△OPD無明確的已知條件證其全等，同理△OPA和△OPB也不能直接證明全等，所以可以通過三次證全等三角形解決問題。∴△AOD≌△BCO,∴∠OCB=∠ODA，BC=AD，∴AC=BD，∴△APC≌△BPD,∴PC=PD，∴∠COP=∠DOP，∴OP必是∠MON的平分線．知識點二角平分線的性質(zhì)（重點）知識點:角平分線上的點到這個角的兩邊的距離相等.推理形式：如圖1133，∵點P在∠AOB的平分線上，且PD⊥AO，PE⊥OB，垂足分別為D、E，∴PD=PE.圖1133圖1133知識規(guī)律：如果已知一個點在某角的平分線上時，常添加的輔助線為過該點角的兩邊的垂線，以便利用角平分線的性質(zhì)定理得到相等的線段。知識警示：這里的距離是指點到角兩邊垂線段的長。性質(zhì)的定理中有兩個條件：①角的平分線；②距離。二者缺一不可。定理的作用：證明兩條線段相等。學習了該定理為證明線段相等開辟了新的途徑，能夠極大地簡化證明過程。該結(jié)論的證明是通過三角形全等得到的，它可以獨立作為證明兩條線段相等的依據(jù)?！驹嚲毨}2】已知：如圖1134，點P是∠BAC的平分線AD上一點，PE⊥AC于點E.已知PE=4，則點P到AB的距離是（）A.3B.4C圖1134圖1134思路導引：答案：D.方法：看到題目中的角平分線可以想到角平分線上的點到角兩邊的距離相等.知識點三角平分線的判定定理（重點）知識點：角的內(nèi)部到角的兩邊的距離相等的點在角的平分線上。圖1135圖1135推理形式：如圖1135，∵若PD⊥AO，PE⊥OB，垂足分別為D、E，且PE=PF，則點P在∠AOB的平分線上.知識拓展：角平分線的性質(zhì)定理與逆定理的關系：（1）這兩個定理都與距離有關，即條件PD⊥AO，PE⊥OB，都應具備；（3）性質(zhì)定理反映了角平分線上的點的純粹性，即只要是角平分線上的點，到角兩邊的距離就一定相等，無一例外。逆定理反映了角平分線的完備性，即只要是到角兩邊距離相等的點，無一例外地都一定在角的平分線上，絕不會漏掉一個。知識警示：(1)通過作圖可以發(fā)現(xiàn)，外部是存在到角的兩邊（的延長線）距離相等的點的，但是這些點不在角的平分線上，因為角的平分線是一條射線，角的外部的那些點在角平分線的反向延長線上.因此，必須強調(diào)“在一個角的內(nèi)部”且到角的兩邊距離相等的點，在這個角的角平分線上．(2)要想證明一條線是一個角的平分線，只要證明這條線上的任意一點到角兩邊的距離相等即可.【試練例題3】圖1136如圖圖11341136，CD⊥圖1136圖1134求證：點O在∠BAC的平分線上。思路導引：要證點O在∠BAC的平分線上，只要說明點O到AB、AC的距離相等即可，即說明OD=OE，為此需要先證明△BOD≌△COE.證明：∵CD⊥AB，BE⊥AC，∴∠BDO=∠CEO=90°.又∵OB=OC（已知），∠BOD=∠COE（對頂角相等）,∴△BOD≌△COE（AAS）.∴OD=OE,∴點O在∠BAC的平分線上（到角的兩邊距離相等的點，在角的平分線上）.規(guī)律：（1）應用角平分線的性質(zhì)定理的逆定理可以證明某個點在某個角的平分線上或證明兩個角相等；（2）解如本例問題判定一個點在角平分線上的關鍵是證這個點到角的兩邊的距離相等，此類問題通常給定垂直條件需證相等條件。知識點四三角形角平分線的性質(zhì)知識點：三角形的三條角平分線相交于一點，并且這一點到三條邊的距離相等．定理的應用：證明三線共點；在實際問題中，尋求到三邊距離相等的點的位置。知識拓展：（1）三角形的三條角平分線的交點有且只有一個，且一定在三角形的內(nèi)部。（2）三角形的兩個外角的平分線也相交于一點，這點到三邊所在的直線的距離相等。（3）三角形外角平分線交點共有三個，所以到三角形三邊所在的直線距離相等的點共有4個。知識警示:三角形外角平分線的交點共有3個，所以到三角形三邊所在直線距離相等的點共有4個?！驹嚲毨}4】已知：如圖1137，△ABC中，∠ABC與∠ACB的平分線相交于點O，OD⊥AB，OE⊥BC，OF⊥AC，D、E、F分別是垂足。求證：點O在∠BAC的平分線上。圖1137圖1134圖1134圖1137圖1134圖1134圖1134思路導引：根據(jù)角平分線的性質(zhì)，點O到∠ABC，∠ACB的兩邊距離相等，從而可以得到點O到AB與AC的距離相等，再根據(jù)角平分線的判定定理可以得到點O在∠BAC的平分線上.證明：∵點O在∠B的平分線上（已知）又∵OD⊥AB，OE⊥BC（已知）∴OD=OE（角平分線上的點到角兩邊的距離相等）同理：OD=OF.∴OE=OF.∴點O在∠A的平分線上（到一個角的兩邊距離相等的點在這個角的平分線上）.規(guī)律：此題實際是證明三角形的三條角平分線相交于一點，并且這一點到三條邊的距離相等。證明三線共點的一般方法是：先假設其中兩條直線相交于一點，然后設法證明第三條直線也經(jīng)過這個交點。知識點五證明幾何命題的一般步驟幾何證明的基本步驟是：（1）對于文字敘述的幾何命題，根據(jù)條件，畫出正確圖形，在圖形上標明字母與符號；（2）結(jié)合圖形，用符號語言或文字語言把條件和結(jié)論，分別寫在“已知”與“求證”的后面；（3）分析圖形性質(zhì)，找出證明途徑，然后把推理過程按先后次序有條理地書寫出來，得到結(jié)論．（一般分析過程不要求寫出來）基本的推理方法采用因果關系的表述形式，常用符號語言“∵……（），∴……（）．”來表達，括號中注明推理成立的根據(jù)，由幾何圖形的性質(zhì)決定因果關系可分為：①一因一果型；②一因多果型；③多因一果型．知識拓展：證明題的三種分析方法知識警示:（１）證明中的推理過程不能“想當然”，每一步推理都要有根據(jù)．這些根據(jù)，可以是已知條件，也可以是定義、定理或公理．（２）防止過程不嚴密，跳步證明．【試練例題5】求證：全等三角形的對應角平分線相等．思路導引：作出圖形，結(jié)合圖形寫出已知、求證，根據(jù)全等三角形對應邊相等、對應角相等，AB=A′B′，∠B=∠B′，∠BAC=∠B′A′C′，又AD、A′D′是∠BAC和∠B′A′C′的平分線，所以∠BAD=∠B′A′D′，根據(jù)角邊角判定定理可得△ABD和△A′B′D′全等，所以角平分線AD、A′D′相等．圖1138已知：如圖1138，△ABC≌△A′B′C′，AD、A′D′是∠BAC和∠B′A′C′的平分線，圖1138求證：AD=A′D′，證明：∵△ABC≌△A′B′C′，∴∠B=∠B′，AB=A′B′，∠BAC=∠B′A′C′，∵AD平分∠BAC，A′D′平分∠B′A′C′，∴∠BAD=∠B′A′D′，∴△ABD≌△A′B′D′，∴AD=A′D′．點撥：本題是文字證明題，一般步驟是根據(jù)題意作出圖形，結(jié)合圖形寫出已知、求證、證明，已知兩個三角形全等，相當于給出它們的對應邊相等、對應角相等。易錯易混辨析易錯點1：錯用角平分線的性質(zhì)定理【易錯典例1】如圖1139，P是∠AOB平分線上一點，OC=OD，PC=2cm，求PD的長。圖1139圖1139思路導引：觀察圖形易證△OCP≌△ODP，從而得到PD=PC=2cm.不能看到角平分線就得到PC=PD.解：在△COP和△DOP中誤區(qū)總結(jié)：一定要對角平分線性質(zhì)定理的條件理解透徹，不能忽略了結(jié)論成立的依據(jù)，定理中的“距離”指點到線的距離，即垂線段的長。若缺乏PC⊥OA，PD⊥OB這一條件而直接運用性質(zhì)定理是錯誤的。易錯點2：忽略角平分線的判定定理中的條件，錯用定理【易錯典例2】如圖11310所示，PA=PB，∠1+∠2=180°.求證OP平分∠AOB.圖11310圖11310思路導引：雖然PA=PB，但不能直接得到OP平分∠AOB。應過點P向OA，OB作垂線，由∠1+∠2=180°，∠2+∠PBO=180，可以得到∴∠1=∠PBO，又因為PA=PB可以證明得到△PAE≌△PBF，從而得到PE=PF，由角平分線的判定定理推出PO為∠AOB的角平分線.證明：過點作PE⊥AO，PF⊥OB，垂足分別為點E，F(xiàn)?！摺?+∠2=180，∠2+∠PBO=180∴∠1=∠PBO∴△PAE≌△PBF（AAS），∴PE=PF∴PO為∠AOB的角平分線（到角兩邊距離相等的點在這個角的平分線上）.誤區(qū)總結(jié)：判斷角平分線應根據(jù)這點到角的兩邊距離相等，即到角兩邊垂線段的長度相等，而題中PA，PB不是到角兩邊的垂線段，故不能直接得到OP平分∠AOB.易錯點3：考慮問題不全面導致誤解或者丟解。A、一處B、兩處C、三處D、四處圖11311圖11311思路導引：題目只要求貨車中轉(zhuǎn)站到三條公路的距離相等，并未要求必須在三條直線構(gòu)成的三角形內(nèi)部，因此要全面考慮，分類討論:可在三條直線所構(gòu)成的三角形內(nèi)部尋找一點（三條內(nèi)角平分線的交點），這一點到三邊的距離相等；在三條直線所構(gòu)成的三角形的外部可找出三個點（三角形外角平分線的交點），這三個點到三邊（或三邊所在直線）的距離相等。答案：D誤區(qū)總結(jié)：部分學生只局限于分析三條直線所構(gòu)成的三角形的內(nèi)部，不能克服全等定勢的干擾，沒有將思維拓展到所構(gòu)成的三角形的外部，從而導致錯選A。題型1利用角平分線的性質(zhì)證明角或邊相等題型2利用角平分線的性質(zhì)求線段的和的問題【題型典例2】在△ABC中，∠C=90°，BC=AC，AD是∠BAC的平分線，DE⊥AB于點E，若AB=10cm，求△DBE的周長。11313思路導引：由角平分線的性質(zhì)可知CD=DE，由Rt△ACD≌Rt△AED，進而得出AC=AE=BC，把△BDE的邊長通過等量轉(zhuǎn)化即可得出結(jié)論．解：∵AD平分∠CAB，且∠C=90°，DE⊥AB，∴DC=DE．又∵∠C=∠DEA=90°，AD=AD∴△ACD≌△AED．∴AC=AE．又∵AC=BC，∴AC=AE=BC∴DE+EB+BD=DC+EB+BD=BC+EB=AC+EB=AE+EB=AB．又∵AB=10cm，∴△DBE的周長=DB+BE+DE=10cm．∴△DBE的周長是10cm．方法：解答這類題注意轉(zhuǎn)化思想的運用，設法將所求的線段之和轉(zhuǎn)化為已知線段的長度求解。題型3角平分線的判定的應用【題型典例3】如圖11314所示，在△ABC中，M是BC的中點，MD⊥AB，ME⊥AC，垂足分別為D、E，且BD=CE。求證：點M在∠BAC的平分線上。11314思路導引：由條件MD⊥AB，ME⊥AC,BM=CM及BD=CE可證得Rt△BDM≌Rt△CEM，進而可得MD=ME，根據(jù)角平分線的判定定理可以得到點M在∠BAC的平分線上。證明：∵M是BC的中點，∴BM=CM.∵MD⊥AB，ME⊥AC,∴∠BDM=∠BDM=90°，∴Rt△BDM≌Rt△CEM（HL），∴MD=ME?！帱cM在∠BAC的平分線上。方法：一般情況下，欲證某點在一個角的平分線上，總是轉(zhuǎn)化為證明這一點到所證角的兩邊的距離相等或是證明三角形全等。題型4角平分線的性質(zhì)和判定的綜合運用【題型典例4】已知：如圖11315，∠B=∠C=90°，M是BC的中點，DM平分∠ADC.圖11315（1）若連結(jié)AM，則AM是否平分圖11315（2）線段DM與AM有怎樣的位置關系？請說明你的理由.思路導引：（1）要判定AM是否平分∠BAD，思路有兩種，一是判斷∠DAM=∠BAM是否成立；二是過點M作ME⊥AD于E，判斷ME=MB是否成立。（2）易證CD//AB，根據(jù)兩直線平行，同旁內(nèi)角互補，可證明∠1+∠3=90°.解：（1）AM平分∠DAB.方法：要證明角平分線，一般要結(jié)合圖形，靈活選擇證明方法。例如此題中通過證明MB=ME依據(jù)角平分線的逆定理作出判斷。題型5角平分線的實際應用【題型典例5】某市有一塊由三條馬路圍成的三角形綠地，如圖11316，現(xiàn)準備在其中建一小亭供人們小憩，使小亭中心到三條馬路的距離相等，試確定小亭的中心位置（不寫作法，保留作圖痕跡）.圖11316思路導引：將三條馬路看作三條直線，小亭中心到三條馬路的距離相等，實質(zhì)上其每兩條馬路所成角的平分線上?？勺魅我鈨蓚€角的平分線，其交點即為所求小亭的中心位置。解：如圖，在三角形內(nèi)部，分別作出兩條角平分線，其交點O即為所求。規(guī)律：將實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學問題，建立數(shù)學模型，是解決問題的關鍵。當遇到三邊距離相等的問題時，可以考慮角平分線；對于到三個頂點距離相等的問題，則需要考慮垂直平分線。綜合創(chuàng)新探究題型6利用三角形的角平分線解決面積綜合應用題【題型典例6】如圖11317所示，在直角△ABC中，∠ACB=90°，AB=5，BC=3，AC=4，點P是∠A，∠B的平分線交點，試求點P到AB邊的距離。圖11317思路導引：由條件易求出△ABC的面積，根據(jù)題意可知點P到△ABC的三邊之距離相等，連接PA，PB,PC將△ABC分割成三個小三角形，則利用S△ABC=S△APC+S△BPC+S△APB可求P到△ABC的距離。解：連接PA,PB,PC,∵點P是∠A，∠B的平分線交點，∴點P到△ABC三邊的距離相等。設點P到△ABC三邊距離為h，則：S△ABC=S△APC+S△BPC+S△APB=AC·h+AB·h+BC·h=BC·AC即：（3+4+5）h=×3×4∴h=1，即點P到AB的距離為1.方法：三角形角平分線交點與三角形三個頂點的連線，把原三角形分割成了三個小三角形，利用小三角形面積之和等于原三角形面積，是求角平分線交點到三邊距離的常用方法。題型7方案設計問題【題型典例7】如圖11318，已知一個角∠AOB，你能否只用一塊三角板作出它的平分線？說明方法與理由．圖11318題眼直擊：角平分線的判定方案設計全等三角形思路導引：可由角平分線到角兩邊的距離相等進行求解，由題中條件不難得出△OMP≌△ONP，進而可得出結(jié)論．解：能．在角的兩邊OA和OB上量得OM=ON，用三角板過M和N分別OA和OB的垂線，相交于點P，則OP就是∠AOB的平分線．理由：在直角三角形中，如圖，∵OM=ON，OP=OP，∴△OMP≌△ONP，∴∠MOP=∠NOP，即OP平分∠AOB．題型8一題多解法——利用角平分線條件證明線段的和差【題型典例8】如圖11319，已知AC∥BD，AE、BE平分∠CAB和∠DBA，CD過點E，則AB與AC+BD相等嗎？請說明理由.題眼直擊：角平分線的性質(zhì)全等三角形的判定性質(zhì)線段的和截長補短法解：相等．圖11319證法一：如圖（1）在AB上截取AF=AC，連結(jié)EF．∴AC+BD=AF+FB=AB證法二：如圖（2），延長BE，與AC的延長線相交于點F∴AB=AF=AC+CF=AC+BD．點撥：欲證明線段a=b+c，通常利用“截長補短”法，如本題方法一，是在最長線段AB上“截取”AF=FC后，再證BF=BD；而本題的方法二，是在較短線段AC上“補接”CF，再證AB=AF,BD=FC.題型9開放探究題【題型典例9】如圖11320①所示，在△ABC中，點D在邊BC上，DE⊥AB于點E，DF⊥AC于點F，請你添加一個條件，使AD⊥EF。（1）你添加的條件是。并證明AD⊥EF。（2）如圖11320②所示，AD為∠BAC的平分線，當有一點G從D點向A點運動時，GE⊥AB于點E，GF⊥AC于點F，這時AD是否垂直于EF？（3）如圖11320③所示，當G點沿AD方向，向其延長線上運動時，其他條件不變，這時AD是否垂直于EF？題眼直擊：角平分線的性質(zhì)全等三角形的判定性質(zhì)垂直思路導引：要使AD⊥EF，可加的條件不止一種，如DE=DF，AD平分∠BAC，AE=AF等，任選一個即可，現(xiàn)選AD平分∠BAC并加以證明。②③圖11320解：（1）添加的條件是：AD平分∠BAC。證明：∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，∴DE=DF?！唷螮DA=∠FDA.設AD交EF于點O，在△DOE和△DOF中，∵∠DOE+∠DOF=180°，∴∠DOE=∠DOF=90°，∴AD⊥EF。（2）AD⊥EF，理由同（1）.（3）AD⊥EF，理由同（2）.備戰(zhàn)中考角的平分線的性質(zhì)是初中幾何的一個重要知識點，但在中考中獨立命題并不多，如證明線段相等及和差變換，常與與后面學到的線段的垂直平分線、三角形全等以及四邊形、圓等其他知識相互滲透，常見題型有填空題、應用題、探究題，考查綜合運用知識分析和解決問題的能力?？挤?利用角平分線的性質(zhì)求線段的值【中考典例1】（2011河南，13,3分）.如圖11321，在四邊形ABCD中，∠A＝90°，AD＝4，連接BD，BD⊥CD，∠ADB＝∠C．若P是BC邊上一動點，則DP長的最小值為。圖11321思路導引：根據(jù)垂線段最短可以知當DP⊥BC時，DP的值最小，此時可根據(jù)角平分線上一點到角的兩邊距離相等，得DP＝AD＝4．答案：4方法規(guī)律：先找到最小值的位置，然后再設法尋找求這個最小值的方法．中考變式練：1.（2011福建泉州，14，4分）如圖11322，點P在∠AOB的平分線上，PE⊥OA于E，PF⊥OB于F，若PE=3，則PF=.圖11322答案：3；考法2利用角平分線求角的度數(shù)【中考典例2】（2011湖北隨州，8，3分）如圖11323，△ABC的外角∠ACD的平分線CP與內(nèi)角∠ABC平分線BP交于點P，若∠BPC＝40°，則∠CAP＝．圖11323思路導引：根據(jù)外角與內(nèi)角性質(zhì)得出∠BAC的度數(shù)，再利用角平分線的性質(zhì)以及直角三角形全等的判定，得出∠CAP＝∠FAP，即可得出答案．延長BA，做PN⊥BD，PF⊥BA，PM⊥AC，設∠PCD＝x°，∵CP平分∠ACD，∴∠ACP＝∠PCD＝x°，PM＝PN，∵BP平分∠ABC，∴∠ABP＝∠PBC，PF＝PN，∴PF＝PM，∵∠BPC＝40°，∴∠ABP＝∠PBC＝（x－40）°，∴∠BAC＝∠ACD－∠ABC＝2x°－（x°－40°）－（x°－40°）＝80°，∴∠CAF＝100°，在Rt△PFA和Rt△PMA中，PA＝PA，PM＝PF，∴Rt△PFA≌Rt△PMA，∴∠FAP＝∠PAC＝50°．答案：50°．點撥：根據(jù)角平分線的性質(zhì)得出PM＝PN＝PF是解決問題的關鍵中考變式練：2.（2011南昌，15，3分）如圖11324，在△ABC中，點P是的△ABC三條角平分線的交點，則∠PBC+∠PCA+∠PAB=度．圖11324思路導引：∵點P是的△ABC三條角平分線的交點，∴PB平分∠ABC，PA平分∠BAC，PC平分∠ACB，∴∠PBC+∠PCA+∠PAB=90°.答案：90°考法3角平分線的判定定理的應用【中考典例3】（2011江蘇揚州，23（2）,10分）已知：如圖11325，銳角△ABC的兩條高BD、CE相交于點O，且OB=OC，判斷點O是否在∠BAC的角平分線上，并說明理由。圖11325思路導引：易證△DBC和△EBC全等，得到BE=CD，推出OD=OE，根據(jù)角平分線的判定定理可以得到點O在∠BAC的角平分線上。解：點O是在∠BAC的角平分線上。理由如下：∵BD、CE是△ABC的高∴∠BDC=∠CEB=90°∵OB=OC∴∠OBC=∠OCB又∵BC是公共邊∴△BEC≌△CDB（AAS）∴BE=CD,∵OB=OC，∴OD=OE.又∵OD⊥AC，OE⊥AB，∴點O是在∠BAC的角平分線上。點撥：本題有多種證法，除了用角平分線的判定定理外，還可以用三角形全等及其他方法，但利用角平分線的判定定理后可以是證明過程簡單明了。中考變式練：3.（北師大九上教材第39頁習題1.9第2題）如圖，△ABC的外角∠CBD和∠BCE的平分線相交于點F。求證：點F在∠DAE的平分線上。3.證明：過F作PM⊥AD于M，F(xiàn)N⊥AE于N，F(xiàn)K⊥BC于K．∵F在∠DBC的平分線上，F(xiàn)M⊥BD，F(xiàn)K⊥BC，∴FM=FK(角平分線上的點到角兩邊的距離相等)．同理FN＝FK．∴FM＝FN．∴F在∠DAE的平分線上(到角兩邊距離相等的點在角的平分線上)．新題精煉知識點4題型12.（2010年廣西柳州，8，3）如圖3，Rt△ABC中，∠C＝90°，∠ABC的平分線BD交AC于D，若CD＝3cm，則點D到AB的距離DEA．5cmB．4cmC．3cm圖11331知識點2題型13．如圖11332，已知點P到BE、BD、AC的距離恰好相等，則點P的位置:①在∠B的平分線上②在∠DAC的平分線上③在∠ECA的角平分線上④恰是∠B、∠DAC、∠ECA的三條角平分線的交點，上述結(jié)論中正確的個數(shù)是（）A.1個 B.2個 C.3個 D.4個圖1332圖1332知識點3,4題型34.如圖11333，已知∠A=90°，BD平分∠ABC，AD=1cm，BC=6cm，則△BDC的面積為（）圖11333A、1cm2B、6cm2C、3cm2D、12cm2知識點2題型65．（2010湖北鄂州，4，3分）如圖11334，AD是△ABC中∠BAC的平分線，DE⊥AB交AB于點E，DF⊥AC交AC于點F．若S△ABC＝7，DE＝2，AB＝4，則AC＝（）A．4B．3C．6D．圖11334知識點2題型66.如圖11335，在△ABC中，∠ACB=90°,BE平分∠ABC，DE⊥AB于D，如果AC=3cm，那么AE+DE等于.圖11335知識點2題型27．如圖11336，∠AOP=∠BOP，AD⊥OB于D，BC⊥OA于C，AD與BC交于點P。求證：AP=BP。圖11336知識點2題型18．如圖11337，在Rt△ABC中，∠C=90°，AD是角平分線，DE⊥AB于E.求證:A點在∠CDE的平分線上.圖圖11337知識點2，3題型49.作圖題（用圓規(guī)、直尺作圖，不寫作法，但要保留作圖痕跡）如圖11338所示，在一次軍事演習中，紅方偵查員發(fā)現(xiàn)藍方指揮部在A區(qū)內(nèi)，到鐵路與公路的距離相等，且離鐵路與公路交叉處B點700m，如果你是紅方的指揮員，請你在圖示的作戰(zhàn)圖上標出藍方指揮部的位置。圖11338知識點1題型5能力突破10.（2011湖南岳陽，14,3分）如圖圖11339，AD∥BC，∠ABC的角平分線BP與∠BAD的角平分線AP相交于點P，作PE⊥AB于點E．若PE＝2，則兩平行線AD與BC間的距離為．EEDPCBA圖11339知識點2題型211.（2011湖北恩施市，9，3分）如圖11340，AD是△ABC的角平分線，DF⊥AB，垂足為F，DE=DG，△ADG和△AED的面積分別為50和39，則△EDF的面積為：A.11B.5.5C.7D.3.5圖11340知識點2題型612.（2010青海西寧，26，8分）八（1）班同學上數(shù)學活動課，利用角尺平分一個角（如圖）.設計了如下方案：圖11341（Ⅰ）∠AOB是一個任意角，將角尺的直角頂點P介于射線OA、OB之間，移動角尺使角尺兩邊相同的刻度與M、N重合，即PM=PN，過角尺頂點P的射線OP就是∠AOB的平分線.（Ⅱ）∠AOB是一個任意角，在邊OA、OB上分別取OM=ON，將角尺的直角頂點P介于射線OA、OB之間，移動角尺使角尺兩邊相同的刻度與M、N重合，即PM=PN，過角尺頂點P的射線OP就是∠AOB的平分線.（1）方案（Ⅰ）、方案（Ⅱ）是否可行？若可行，請證明；若不可行，請說明理由.（2）在方案（Ⅰ）PM=PN的情況下，繼續(xù)移動角尺，同時使PM⊥OA，PN⊥OB.此方案是否可行？請說明理由.知識點3題型713.我們做風箏時，常把風箏的骨架表示成如圖11342所示的形式，為使風箏平衡，須使∠AOP=∠BOP.已知PC⊥OA、PD⊥OB，那么，PC和PD滿足什么條件，才能保證OP為∠AOB的角平分線呢？圖11342知識點3題型313.思路導引：本題是把生活中的實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學問題來解決的。根據(jù)角平分線的判定定理可知：當PC=PD時，才能保證OP為∠AOB的角平分線.解：∵PC⊥OA，PD⊥OB∴∠PCO=∠PDO=90°∵OP=OP，PC=PD∴△PCO≌△PDO∴∠AOP=∠BOP．∴PC和PD應滿足PC=PD，才能保證OP為∠AOB角平分線．14．如圖11343，有一塊三角形的空地，其三邊長分別為30m、40m、50m，現(xiàn)要把它分成面積比為3：4：5的三部分種植三種不同的花，請你設計一種方案，并簡要說明理由。圖圖11343知識點4題型715.如圖11344，在△ABC中，∠ABC=110°，∠ACB=40°，CE是∠ACB的角平分線，D是AC上一點，若∠CBD=40°，則∠CED等于多少度？圖11344知識點2題型115.思路導引：作EN⊥BD，EM⊥BC，EH⊥AC，垂足分別是NMH，根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理求出∠ABD，∠ABM=70°，根據(jù)角平分線性質(zhì)求出EN=EM=EH，推出DE是∠ADB的平分線即可．16.已如圖11345，D、E、F分別是△ABC三邊上的點，CE=BF，△DCE和△DBF的面積相等。求證：AD平分∠BAC。圖圖11345知識點3題型617.如圖11346,在四邊形ABCD中，BC>AB，AD=DC，BD平分∠ABC。求證：∠BAD+∠BCD=180°。圖圖11346知識點2題型818.知識點2,3題型9參考答案2.C思路導引：角平分線上的任意一點到角兩邊的距離相等，∵CD＝3cm，∴DE＝33.D思路導引:∵P到BE、BD的距離相等(已知)，∴P在∠B的平分線上(到角的兩邊距離相等的點在角的平分線上).同理,P到BD、AC的距離相等.∴P在∠CAD的平分線上，P也在∠ACE的平分線上，所以P是∠B、∠DAC、∠ECA的平分線的交點。4.C思路導引：過D做DE⊥BC于點E，點D到BC的距離DE=AD=1cm，則△BDC的面積=12×6×1=3cm25.B思路導引：∵AD是△ABC中∠BAC的平分線，DE⊥AB，DF⊥AC，∴DE＝DF＝2．∵AB＝4，∴S△ABD＝EQ\F(1,2)×4×2＝4．∵S△ABC＝7，∴S△ACD＝3，∴AC＝EQ\F(3×2,2)＝3．故選B．5.B思路導引：∵AD是△ABC中∠BAC的平分線，DE⊥AB，DF⊥AC，∴DE＝DF＝2．∵AB＝4，∴S△ABD＝EQ\F(1,2)×4×2＝4．∵S△ABC＝7，∴S△ACD＝3，∴AC＝EQ\F(3×2,2)＝3．故選B．6.3cm思路導引：由于∠ACB=90°,所以EC⊥BC，由于DE⊥AB于D，BE平分∠ABC，所以DE=EC.因此AE+DE=AE+EC=AC=3cm.7.證明：∵∠AOP=∠BOP，AD⊥OB，BC⊥OA，∴PC=PD∴△APC≌△BPD，∴AP=BP。8.證明:∵AD是角平分線(已知)，∴∠BAD=∠CAD(角平分線的定義).∵DE⊥AB，∠C=90°(已知)，∴DE=DC(角的平分線的性質(zhì)).在△ADC和△ADE中，∠BAD=∠CAD，DE=DC，∠C=∠AED，∴△AED≌△ACD(AAS)，∴AE=AC(全等三角形的對應邊相等)，∴A點在∠CDE的平分線上(到角的兩邊距離相等的點在角的平分線上).解：如圖所示，點C就是藍方指揮部的位置。點撥：解決此類作圖問題的關鍵是將具體實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學問題，再根據(jù)尺規(guī)作圖的方法畫圖。10.4思路導引：過P點作PM⊥AD于M，PN⊥BC于N，則M、N、P三點共線，∵BP平分∠ABC，AP平分∠BAD，PE⊥AB于點E，PM⊥AD于M，PN⊥BC于N．∴PN=PE=PM（角平分線上的點到角兩邊的距離相等）．∵PE=2，∴PM＝PN＝2．∴MN＝4．EEDPCBAMN11.B思路導引：過D作DH⊥AC,交AC與點H,∵AD是△ABC的角平分線,∴∠FAD＝∠CAD,又∵∠AFD＝∠AHD＝90°,AD＝AD,∴△AFD≌△AHD，∴DF＝DH,在Rt△DFE和Rt△DHG中，DE=