專題01三角形中的倒角模型之雙角平分線模型近年來各地考試中常出現(xiàn)一些幾何倒角模型，該模型主要涉及高線、角平分線及角度的計(jì)算（內(nèi)角和定理、外角定理等）。熟悉這些模型可以快速得到角的關(guān)系，求出所需的角。本專題就三類雙角平分線模型進(jìn)行梳理及對應(yīng)試題分析，方便掌握。TOC\o"14"\h\z\u 1模型趣事 1真題現(xiàn)模型 1提煉模型 3模型拓展 4模型運(yùn)用 5模型1雙角平分線模型（雙內(nèi)角） 5模型2.雙角平分線模型（一內(nèi)角一外角） 9模型3.雙角平分線模型（雙外角） 12 17古希臘數(shù)學(xué)家畢達(dá)哥拉斯提出角平分線基本概念，歐幾里得《幾何原本》完善了單角平分線定理（平分角且對邊成比例），但未涉及雙角組合模型；直到2021世紀(jì)雙角平分線按位置關(guān)系提煉為三類標(biāo)準(zhǔn)模型。三類模型均通過角平分線性質(zhì)將復(fù)雜角度關(guān)系轉(zhuǎn)化為∠A的線性函數(shù)，體現(xiàn)“集中條件”的核心思想。該模型本質(zhì)是角平分線研究的現(xiàn)代結(jié)晶，通過教育實(shí)踐完成從理論到工具的轉(zhuǎn)化?？谠E化總結(jié)：“內(nèi)內(nèi)90°加一半，外外90°減一半，內(nèi)外直接取一半”。1）兩內(nèi)角平分線的夾角模型∴∠P=180°（∠PBC+∠PCB）=180°（∠ABC+∠ACB）=180°（180°∠A）=90°+∠A。圖1圖2圖32）一個(gè)內(nèi)角一個(gè)外角平分線的夾角模型條件：如圖1，在△ABC中，BP平分∠ABC，CP平分∠ACB的外角，兩條角平分線相交于點(diǎn)P；∴∠P=∠PCD∠PBC=（∠ACD∠ABC）=∠A。3）兩外角平分線的夾角模型∴∠O=180°（∠OBC+∠OCB）=180°（∠EBC+∠BCF）=180°（∠A+∠ACB+∠ABC+∠A）=180°（180°+∠A）=90°+∠A。4）凸多邊形雙內(nèi)角平分線的夾角模型1條件：如圖1，BP、CP平分∠ABC、∠DCB，兩條角平分線相交于點(diǎn)P；結(jié)論：2∠P=∠A+∠D。∴∠P=180°（∠PBC+∠PCB）=180°（∠ABC+∠DCB）=180°（360°∠A∠D）=（∠A+∠D）。即：2∠P=∠A+∠D。圖1圖2圖3圖45）凸多邊形雙內(nèi)角平分線的夾角模型2∴∠P=180°（∠PCD+∠PDC）=180°（∠BCD+∠CDE）=180°（540°∠A∠D∠E）=∠A+∠D+∠E90°。即：2∠P=∠A+∠D+∠E180°。6）一個(gè)內(nèi)角一個(gè)外角平分線的夾角模型（累計(jì)平分線）7）旁心模型旁心：三角形的一條內(nèi)角平分線與其他兩個(gè)角的外角平分線交于一點(diǎn)條件：如圖4，BD平分∠ABC，CD平分∠ACB的外角，兩條角平分線相交于點(diǎn)D；結(jié)論：AD平分∠CAD。證明：如圖4，過點(diǎn)D作DM⊥BA、DN⊥AC、DH⊥BC，∵BD平分∠ABC，CD平分∠ACB的外角，∴DH=DM，DH=DN，∴DM=DN，∴AD平分∠CAD。,模型1雙角平分線模型（雙內(nèi)角）【答案】/90度例3（2425八年級上·廣東韶關(guān)·期中）小亮學(xué)習(xí)了“多邊形及其內(nèi)角和”后，對幾何學(xué)習(xí)產(chǎn)生了濃厚的興趣，三角形的一個(gè)內(nèi)角與另兩個(gè)內(nèi)角的平分線所夾的鈍角之間有何種關(guān)系．【分析】本題考查三角形的內(nèi)角和定理，n等分線的定義．（3）同（2）思路即可求解；模型2.雙角平分線模型（一內(nèi)角一外角）【答案】【答案】①②③連接，如圖所示：故⑤是錯(cuò)誤的，故答案為：①②③．例4（2425·河北·八年級專題練習(xí)）問題情境：如圖1，點(diǎn)D是△ABC外的一點(diǎn)，點(diǎn)E在BC邊的延長線上，BD平分∠ABC，CD平分∠ACE．試探究∠D與∠A的數(shù)量關(guān)系．(1)特例探究：如圖2，若△ABC是等邊三角形，其余條件不變，則∠D＝；如圖3，若△ABC是等腰三角形，頂角∠A＝100°，其余條件不變，則∠D＝；這兩個(gè)圖中，與∠A度數(shù)的比是

；(2)猜想證明：如圖1，△ABC為一般三角形，在（1）中獲得的∠D與∠A的關(guān)系是否還成立？若成立，利用圖1證明你的結(jié)論；若不成立，說明理由．【答案】(1)30°；50°；1:2(2)成立，見解析模型3.雙角平分線模型（雙外角）【答案】/52度【答案】①②③④【答案】/52度例4（2324七年級下·福建泉州·期末）小明完成了下面的探究過程，請你也探究一下，看看你的結(jié)論是否跟他一樣．例5（2425八年級上·河南漯河·階段練習(xí)）他閱讀下面的材料，并解決問題A． B． C． D．【答案】CA． B． C． D．【答案】AA．1 B．2 C．3 D．多于3【答案】C連接，如圖所示：【答案】BA． B． C． D．【答案】A【答案】【點(diǎn)睛】本題考查角平分線的性質(zhì)與判定，掌握角平分線的交點(diǎn)到三角形三邊的距離相等是解題的關(guān)鍵．【答案】61°【詳解】解：∵∠B+∠BAC+∠BCA=180°，∠B=58°，∴∠BAC+∠BCA=180°﹣∠B=180°﹣58°=122°，∵∠BAC+∠DAC=180°，∠BCA+∠ACF=180°，∴∠DAC+∠ACF=360°﹣（∠BAC+∠BCA）=360°﹣122°=238°，∵AE平分∠DAC，CE平分∠ACF，∴∠EAC=∠DAC，∠ECA=∠ACF，∴∠EAC+∠ECA=（∠DAC+∠ACF）=119°，∵∠EAC+∠ECA+∠AEC=180°，∴∠AEC=180°﹣（∠EAC+∠ECA）=180°﹣119°=61°，故答案為：61°．

【答案】【答案】(1)(2)13．（2425八年級上·湖北黃石·期中）圖形從特殊到一般探究一：三角形的一個(gè)內(nèi)角與另兩個(gè)內(nèi)角的平分線所夾的鈍角之間有何種關(guān)系．（2）與的數(shù)量關(guān)系為_____，并說明理由．16．（2425八年級上·河南許昌·期中）探究與發(fā)現(xiàn)：（1）如圖（1），在△ADC中，DP、CP分別平分∠ADC和∠ACD．（2）如圖（2），在四邊形ABCD中，DP、CP分別平分∠ADC和∠BCD，試探究∠P與∠A+∠B的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．（3）如圖（3），在六邊形ABCDEF中，DP、CP分別平分∠EDC和∠BCD，請直接寫出∠P與∠A+∠B+∠E+∠F的數(shù)量關(guān)系：．【答案】（1）①125°②∠P＝90°＋α；（2）∠P＝（∠A＋∠B）（3）∠P＝（∠A＋∠B＋∠E＋∠F）?180°【詳解】解：（1）①∵DP、CP分別平分∠ADC和∠ACD，∴∠CDP＝∠ADC，∠DCP＝∠ACD∵∠A＋∠ADC＋∠ACD＝180°∴∠ADC＋∠ACD＝180°?∠A∵∠P＋∠PDC＋∠PCD＝180°∴∠P＝180°?（∠PDC＋∠PCD）＝180°?（∠ADC＋∠ACD）∴∠P＝180°?（180°?∠A）＝90°＋∠A=90°＋×70°=125°故答案為：125°；②∵DP、CP分別平分∠ADC和∠ACD，∴∠CDP＝∠ADC，∠DCP＝∠ACD∵∠A＋∠ADC＋∠ACD＝180°∴∠ADC＋∠ACD＝180°?∠A∵∠P＋∠PDC＋∠PCD＝180°∴∠P＝180°?（∠PDC＋∠PCD）＝180°?（∠ADC＋∠ACD）∴∠P＝180°?（180°?∠A）＝90°＋∠A=90°＋α故答案為：∠P＝90°＋α；（2）∠P＝（∠A＋∠B）理由如下：∵DP、CP分別平分∠ADC和∠BCD，∴∠CDP＝∠ADC，∠DCP＝∠BCD∵∠A＋∠B＋∠BCD＋∠ADC＝360°∴∠BCD＋∠ADC＝360°?（∠A＋∠B）∵∠P＋∠PDC＋∠PCD＝180°∴∠P＝180°?（∠PDC＋∠PCD）＝180°?（∠ADC＋∠BCD）∴∠P＝180°?[360°?（∠A＋∠B）]＝（∠A＋∠B）（3）∵DP、CP分別平分∠EDC和∠BCD∴∠PDC＝∠EDC，∠PCD＝∠BCD∵∠A＋∠B＋∠E＋∠F＋∠BCD＋∠EDC＝720°∴∠BCD＋∠EDC＝720°?（∠A＋∠B＋∠E＋∠F）∵∠P＋∠PDC＋∠PCD＝180°∴∠P＝180°?（∠PDC＋∠PCD）＝180°?（∠EDC＋∠BCD）∴∠P＝180°?[720°?（∠A＋∠B＋∠E＋∠F）]∴∠P＝（∠A＋∠B＋∠E＋∠F）?180°故答案為：∠P＝（∠A＋∠B＋∠E＋∠F）?180°．17．（2425八年級上·重慶璧山·階段練習(xí)）認(rèn)