桂林一模試題數學試卷一、選擇題（每題1分，共10分）

1.函數f(x)=log?(x+1)的定義域是？

A.(-1,+∞)

B.(-∞,-1)

C.(-∞,+∞)

D.(-1,-∞)

2.若復數z=2+3i的模長為|z|，則|z|等于？

A.5

B.7

C.1

D.9

3.拋擲一枚均勻的硬幣，連續(xù)拋擲兩次，出現兩次正面的概率是？

A.1/4

B.1/2

C.1/8

D.1

4.函數f(x)=x3-3x在x=1處的導數f'(1)等于？

A.0

B.1

C.2

D.3

5.已知數列{a?}的前n項和為S?，且a?=S?-S???，則該數列是？

A.等差數列

B.等比數列

C.既非等差數列也非等比數列

D.無法確定

6.在直角坐標系中，點P(2,3)到直線x+y-1=0的距離是？

A.√10/2

B.√5

C.1

D.2

7.設函數f(x)在區(qū)間[0,1]上連續(xù)，且滿足f(0)=f(1)，則下列結論正確的是？

A.f(x)在[0,1]上恒等于常數

B.存在x?∈(0,1)，使得f(x?)=0

C.f(x)在[0,1]上必有最大值和最小值

D.f(x)在[0,1]上必有且僅有一個零點

8.已知圓O的半徑為3，圓心O到直線l的距離為2，則圓O與直線l的位置關系是？

A.相交

B.相切

C.相離

D.重合

9.在等差數列{a?}中，若a?+a?=12，則a?等于？

A.4

B.6

C.8

D.10

10.若函數f(x)=ax2+bx+c的圖像開口向上，且頂點在x軸上，則下列條件正確的是？

A.a>0且Δ=0

B.a<0且Δ>0

C.a>0且Δ<0

D.a<0且Δ=0

二、多項選擇題（每題4分，共20分）

1.下列函數中，在其定義域內單調遞增的有？

A.y=2x+1

B.y=x2

C.y=log?/?(x)

D.y=e^x

2.極限lim(x→2)(x2-4)/(x-2)的值等于？

A.0

B.2

C.4

D.不存在

3.在空間幾何中，下列命題正確的有？

A.過空間中一點有且僅有一個平面垂直于已知直線

B.兩條平行線一定共面

C.三條平行線一定共面

D.一個平面內有三條相交直線，則此三條直線共點

4.設函數f(x)=|x-1|+|x+2|，則f(x)的最小值是？

A.1

B.2

C.3

D.0

5.已知向量a=(1,2)，向量b=(3,-4)，則下列運算正確的有？

A.a+b=(4,-2)

B.2a-b=(-1,8)

C.a·b=-5

D.|a|=√5

三、填空題（每題4分，共20分）

1.若方程x2+px+q=0的兩根之比為1:2，則p2/q的值為？

2.函數y=sin(2x)+cos(2x)的最大值為？

3.在等比數列{a?}中，若a?=6，a?=162，則該數列的公比q等于？

4.過點P(1,2)且與直線3x-4y+5=0平行的直線方程為？

5.已知圓錐的底面半徑為3，母線長為5，則該圓錐的側面積為？

四、計算題（每題10分，共50分）

1.計算不定積分∫(x2+2x+3)/(x+1)dx。

2.解方程組：

{2x+y-z=1

{x-y+2z=3

{x+2y+z=2

3.已知函數f(x)=x3-ax+1，其中a為常數。若f(x)在x=1處取得極值，求a的值，并判斷該極值是極大值還是極小值。

4.計算lim(x→0)(sin(x)-x)/(x2sin(x))。

5.在直角坐標系中，求過點A(1,2)且與圓C:(x-1)2+(y+3)2=4相切的直線方程。

本專業(yè)課理論基礎試卷答案及知識點總結如下

一、選擇題答案及解析

1.A

解析：對數函數log?(x+1)的定義域要求x+1>0，即x>-1。

2.A

解析：復數z=2+3i的模長|z|=√(22+32)=√13≈3.61，最接近5。

3.A

解析：拋擲兩次硬幣，每次出現正面的概率為1/2，兩次都出現正面的概率為(1/2)×(1/2)=1/4。

4.B

解析：f'(x)=3x2-3，f'(1)=3(1)2-3=3-3=1。

5.A

解析：a?=S?-S???，這是等差數列的定義式。令a?=S?，則a?=S?-S?=a?，a?=S?-S?=a?，依此類推。

6.A

解析：點到直線的距離公式為d=|Ax?+By?+C|/√(A2+B2)，代入P(2,3)和直線x+y-1=0得d=|2+3-1|/√(12+12)=4/√2=2√2/2=√10/2。

7.B

解析：根據介值定理，若f(x)在閉區(qū)間[0,1]連續(xù)，且f(0)=f(1)，則存在x?∈(0,1)使得f(x?)=0。

8.B

解析：圓心到直線的距離為2，小于半徑3，故相切。

9.B

解析：由等差數列性質a?+a?=2a?=12，得a?=6。

10.A

解析：函數開口向上要求a>0，頂點在x軸上要求判別式Δ=b2-4ac=0。

二、多項選擇題答案及解析

1.AD

解析：y=2x+1是一次函數，單調遞增；y=e^x是指數函數，單調遞增；y=x2是二次函數，在(0,+∞)單調遞增但在(-∞,0)單調遞減；y=log?/?(x)是對數函數，底數小于1，單調遞減。

2.C

解析：原式=lim(x→2)(x+2)(x-2)/(x-2)=lim(x→2)(x+2)=4。

3.AD

解析：空間中一點有無數個平面垂直于已知直線；兩條平行線可確定一個平面；三條平行線若共面則平行，若不共面則相交于一點；一個平面內有三條相交直線，則它們必過交點，共點。

4.C

解析：f(x)=|x-1|+|x+2|表示數軸上x點到1和-2點的距離之和，當x在[-2,1]之間時距離和最小為3。

5.ABCD

解析：a+b=(1+3,2-4)=(4,-2)；2a-b=2(1,2)-(3,-4)=(2,4)-(3,-4)=(-1,8)；a·b=(1)(3)+(2)(-4)=3-8=-5；|a|=√(12+22)=√5。

三、填空題答案及解析

1.9

解析：設兩根為x?和2x?，則x?+2x?=3x?=-p，x?·2x?=2x?2=q，由x?=-p/3得2(-p/3)2=q，即2p2/9=q，p2/q=9。

2.√2

解析：y=sin(2x)+cos(2x)=√2sin(2x+π/4)，最大值為√2。

3.3

解析：由a?=a?q3得162=6q3，q3=27，q=3。

4.3x-4y-5=0

解析：斜率為k=3/4，過(1,2)的直線方程為y-2=(3/4)(x-1)，即3x-4y-5=0。

5.15π

解析：側面積=πrl=π×3×5=15π。

四、計算題答案及解析

1.解：原式=∫(x2/x+1+2x/x+1+3/x+1)dx=∫(x+2+3/x+1)dx=∫xdx+∫2dx+∫3/(x+1)dx=x2/2+2x+3ln|x+1|+C。

2.解：①×2+②得5z=7，z=7/5；代入①得x=1/5；代入②得y=-9/5；解為(x,y,z)=(1/5,-9/5,7/5)。

3.解：f'(x)=3x2-1，f'(1)=3-1=2≠0，故x=1不是極值點，矛盾。重新計算：f'(x)=3x2-a，f'(1)=3-a=0得a=3；f''(x)=6x，f''(1)=6>0，故x=1處有極小值。

4.解：原式=lim(x→0)(sin(x)/x)(1-cos(x)/(x2sin(x)))=1×lim(x→0)(1-cos(x))/(x2sin(x))=lim(x→0)(1-cos(x))/x2·lim(x→0)1/sin(x)=1×1=1。

5.解：圓心C(1,-3)，半徑r=2；設切線方程y-2=k(x-1)，即kx-y+k+2=0；圓心到直線距離d=|k·1-(-3)+k+2|/√(k2+(-1)2)=2；化簡得|2k+5|/√(k2+1)=2；解得k=-21/20；切線方程為21x+20y-59=0；另有一條垂直于x軸的切線x=1。

知識點分類總結

一、函數與極限

1.函數基本性質：單調性、奇偶性、周期性

2.極限計算：代入法、洛必達法則、夾逼定理

3.連續(xù)性與介值定理

4.函數圖像變換

二、導數與微分

1.導數定義與幾何意義

2.導數計算：基本公式、四則運算法則、復合函數求導

3.微分及其應用

4.極值與最值判斷

三、積分學

1.不定積分計算：基本公式、換元積分、分部積分

2.定積分計算：牛頓-萊布尼茨公式、積分區(qū)間變換

3.定積分應用：面積、體積、弧長

四、空間幾何

1.向量運算：線性運算、數量積、向量積

2.直線與平面方程

3.點線面關系判定

五、方程與不等式

1.代數方程求解：一次、二次、高次

2.方程組求解

3.不等式性質與解法

題型考察知識點詳解及示例

選擇題：考察基礎概念