...wd......wd......wd...高中物理中的臨界與極值問(wèn)題寶雞文理學(xué)院附中何治博一、臨界與極值概念所謂物理臨界問(wèn)題是指各種物理變化過(guò)程中，隨著條件的逐漸變化，數(shù)量積累到達(dá)一定程度就會(huì)引起某種物理現(xiàn)象的發(fā)生，即從一種狀態(tài)變化為另一種狀態(tài)發(fā)生質(zhì)的變化〔如全反射、光電效應(yīng)、超導(dǎo)現(xiàn)象、線端小球在豎直面內(nèi)的圓周運(yùn)動(dòng)臨界速度等〕，這種物理現(xiàn)象恰好發(fā)生〔或恰好不發(fā)生〕的過(guò)度轉(zhuǎn)折點(diǎn)即是物理中的臨界狀態(tài)。與之相關(guān)的臨界狀態(tài)恰好發(fā)生〔或恰好不發(fā)生〕的條件即是臨界條件，有關(guān)此類條件與結(jié)果研究的問(wèn)題稱為臨界問(wèn)題，它是哲學(xué)中所講的量變與質(zhì)變規(guī)律在物理學(xué)中的具體反映。極值問(wèn)題則是指物理變化過(guò)程中，隨著條件數(shù)量連續(xù)漸變?cè)竭^(guò)臨界位置時(shí)或條件數(shù)量連續(xù)漸變?nèi)∵吔缰怠惨卜Q端點(diǎn)值〕時(shí)，會(huì)使得某物理量到達(dá)最大〔或最小〕的現(xiàn)象，有關(guān)此類物理現(xiàn)象及其發(fā)生條件研究的問(wèn)題稱為極值問(wèn)題。臨界與極值問(wèn)題雖是兩類不同的問(wèn)題，但往往互為條件，即臨界狀態(tài)時(shí)物理量往往取得極值，反之某物理量取極值時(shí)恰好就是物理現(xiàn)象發(fā)生轉(zhuǎn)折的臨界狀態(tài)，除非該極值是單調(diào)函數(shù)的邊界值。因此從某種意義上講，這兩類問(wèn)題的界限又顯得非常的模糊，并非涇渭清楚。高中物理中的臨界與極值問(wèn)題，雖然沒(méi)有在教學(xué)大綱或考試說(shuō)明中明確提出，但近年高考試題中卻頻頻出現(xiàn)。從以往的試題形式來(lái)看，有些直接在題干中常用“恰好〞、“最大〞、“至少〞、“不相撞〞、“不脫離〞……等詞語(yǔ)對(duì)臨界狀態(tài)給出了明確的暗示，審題時(shí)，要抓住這些特定的詞語(yǔ)開(kāi)掘其內(nèi)含的物理規(guī)律，找出相應(yīng)的臨界條件。也有一些臨界問(wèn)題中并不顯含上述常見(jiàn)的“臨界術(shù)語(yǔ)〞，具有一定的隱蔽性，解題靈活性較大，審題時(shí)應(yīng)力圖復(fù)原習(xí)題的物理情景，周密討論狀態(tài)的變化?？捎脴O限法把物理問(wèn)題或物理過(guò)程推向極端，從而將臨界狀態(tài)及臨界條件顯性化；或用假設(shè)的方法，假設(shè)出現(xiàn)某種臨界狀態(tài)，分析物體的受力情況及運(yùn)動(dòng)狀態(tài)與題設(shè)是否相符，最后再根據(jù)實(shí)際情況進(jìn)展處理；也可用數(shù)學(xué)函數(shù)極值法找出臨界狀態(tài)，然后抓住臨界狀態(tài)的特征，找到正確的解題方向。從以往試題的內(nèi)容來(lái)看，對(duì)于物理臨界問(wèn)題的考察主要集中在力和運(yùn)動(dòng)的關(guān)系局部，對(duì)于極值問(wèn)題的考察則主要集中在力學(xué)或電學(xué)等權(quán)重較大的局部。二、常見(jiàn)臨界狀態(tài)及極值條件解答臨界與極值問(wèn)題的關(guān)鍵是尋找相關(guān)條件，為了提高解題速度，可以理解并記住一些常見(jiàn)的重要臨界狀態(tài)及極值條件：1.雨水從水平長(zhǎng)度一定的光滑斜面形屋頂流淌時(shí)間最短——屋面傾角為2.從長(zhǎng)斜面上某點(diǎn)平拋出的物體距離斜面最遠(yuǎn)——速度與斜面平行時(shí)刻3.物體以初速度沿固定斜面恰好能勻速下滑〔物體沖上固定斜面時(shí)恰好不再滑下〕—μ=tgθ。4.物體剛好滑動(dòng)——靜摩擦力到達(dá)最大值。5.兩個(gè)物體同向運(yùn)動(dòng)其間距離最大〔最小〕——兩物體速度相等。6.兩個(gè)物體同向運(yùn)動(dòng)相對(duì)速度最大〔最小〕——兩物體加速度相等。7.位移一定的先啟動(dòng)后制動(dòng)分段運(yùn)動(dòng)，在初、末速及兩段加速度一定時(shí)欲使全程歷時(shí)最短——中間無(wú)勻速段〔位移一定的先啟動(dòng)后制動(dòng)分段勻變速運(yùn)動(dòng)，在初速及兩段加速度一定時(shí)欲使動(dòng)力作用時(shí)間最短——到終點(diǎn)時(shí)末速恰好為零〕8.兩車恰不相撞——后車追上前車時(shí)兩車恰好等速。9.加速運(yùn)動(dòng)的物體速度到達(dá)最大——恰好不再加速時(shí)的速度。10.兩接觸的物體剛好別離——兩物體接觸但彈力恰好為零。11.物體所能到達(dá)的最遠(yuǎn)點(diǎn)——直線運(yùn)動(dòng)的物體到達(dá)該點(diǎn)時(shí)速度減小為零〔曲線運(yùn)動(dòng)的物體軌跡恰與某邊界限相切〕12.在排球場(chǎng)地3米線上方水平擊球欲成功的最低位置——既觸網(wǎng)又壓界13.木板或傳送帶上物體恰不滑落——物體到達(dá)末端時(shí)二者等速。14.線〔桿〕端物在豎直面內(nèi)做圓周運(yùn)動(dòng)恰能到圓周最高點(diǎn)—最高點(diǎn)繩拉力為零〔〕15.豎直面上運(yùn)動(dòng)的非約束物體達(dá)最高點(diǎn)——豎直分速度為零。16.細(xì)線恰好拉直——細(xì)線繃直且拉力為零。17.一分力方向及另一分力大小的分解問(wèn)題中假設(shè)第二分力恰為極小——兩分力垂直。18.動(dòng)態(tài)力分析的“兩變一恒〞三力模型中“雙變力〞極小——兩個(gè)變力垂直。19.欲使物體在兩個(gè)力的作用下，沿與成銳角的直線運(yùn)動(dòng)，為定值，則最小時(shí)即恰好抵消在垂直速度方向的分力。20.渡河中時(shí)間最短——船速垂直于河岸，即船速與河岸垂直〔相當(dāng)于靜水中渡河〕。21.船速大于水速的渡河中航程最短——“斜逆航行〞且船速逆向上行分速度與水速抵消。22.船速小于水速的渡河中航程最短——“斜逆航行〞且船速與合速度垂直。23.“圓柱體〞滾上臺(tái)階最省力——使動(dòng)力臂達(dá)最大值2R。24.機(jī)車從靜止勻加速啟動(dòng)過(guò)程持續(xù)的最長(zhǎng)時(shí)間——25.損失動(dòng)能最小〔大〕的碰撞——完全彈性〔完全非彈性〕碰撞。26.簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)速度最大——位移〔恢復(fù)力、加速度〕為零。27.受迫振動(dòng)振幅恰好達(dá)最大——驅(qū)動(dòng)力的頻率與振動(dòng)系統(tǒng)的固有頻率相等。28.兩個(gè)同相相干波源連線上振幅最大的點(diǎn)——兩邊距連線中點(diǎn)；反相波源時(shí)n=0,1,2,3…29.只有機(jī)械能與電勢(shì)能相互轉(zhuǎn)化時(shí)，重力勢(shì)能與電勢(shì)能之和最小時(shí)，動(dòng)能最大。30.粒子恰不飛出勻強(qiáng)磁場(chǎng)——圓形軌跡與磁場(chǎng)邊界相切。31.純電阻負(fù)載時(shí)電源輸出功率最大——內(nèi)外電阻阻值相等。32.滑動(dòng)變阻器對(duì)稱式接法中阻值達(dá)最大——滑至中點(diǎn)。33.傾斜安放的光滑導(dǎo)軌上的通電導(dǎo)體棒靜止時(shí)，所加勻強(qiáng)磁場(chǎng)方向假設(shè)垂直于斜面的情況下磁感強(qiáng)度最小。34.光從介質(zhì)射向空氣時(shí)恰不射出——入射角等于臨界角。35.剛好發(fā)生光電效應(yīng)——入射光頻率等于極限頻率。36.帶電粒子恰好被速度選擇器選中〔霍爾效應(yīng)、等離子發(fā)電〕——電場(chǎng)力與洛力平衡。37.“地面衛(wèi)星〞〔氫原子處于基態(tài)〕時(shí)，勢(shì)能最小、總能量最小、運(yùn)動(dòng)周期、角速度均最??；速度、向心力、加速度均最大。38.等量同性質(zhì)點(diǎn)電荷連線的中垂線上場(chǎng)強(qiáng)最大的位置求解。三、臨界與極值問(wèn)題一般解法臨界問(wèn)題通常以定理、定律等物理規(guī)律為依據(jù)，分析所研究問(wèn)題的一般規(guī)律和一般解的形式及其變化情況，然后找出臨界狀態(tài)，臨界條件，從而通過(guò)臨界條件求出臨界值，再根據(jù)變化情況，直接寫出條件。求解極值問(wèn)題的方法從大的方面可分為物理方法和數(shù)學(xué)方法。物理方法即用臨界條件求極值。數(shù)學(xué)方法包括〔1〕利用矢量圖求極值〔2〕用正〔余〕弦函數(shù)求極值；〔3〕拋物線頂點(diǎn)法求極值；〔4〕用基本不等式求極值?！?〕單調(diào)函數(shù)端點(diǎn)值法求極值〔6〕導(dǎo)數(shù)法求解。一般而言，用物理方法求極值簡(jiǎn)單、直觀、形象，對(duì)構(gòu)建物理模型及動(dòng)態(tài)分析等方面的能力要求較高，而用數(shù)學(xué)方法求極值思路嚴(yán)謹(jǐn)，對(duì)數(shù)學(xué)建模能力要求較高，假設(shè)能將二者予以融合，則將相得亦彰，對(duì)增強(qiáng)解題能力大有裨益。四、典型問(wèn)題剖析例題1．某屋頂橫斷面是一等腰三角形ABC，橫梁AC=2L〔定值〕，欲使雨水從屋頂面上流下來(lái)時(shí)間最短，求屋面的傾斜角〔摩擦忽略不計(jì)，雨水初速為0〕解析：設(shè)傾斜角α，AB=s

∵F=mgsinα=ma，∴a=gsinα∵s==∴當(dāng)α=45°時(shí)，等號(hào)成立所以α=45°，雨水從屋頂〔光滑〕上流下所用的時(shí)間最短解法2.解得當(dāng)時(shí)t有最小值。例題2．從傾角為θ的固定長(zhǎng)斜面頂點(diǎn)以初速度水平拋出一小球，不計(jì)空氣阻力求自拋出經(jīng)多長(zhǎng)時(shí)間小球離斜面最遠(yuǎn)?解法一：設(shè)經(jīng)t秒小球距離斜面最遠(yuǎn)，此時(shí)速度必與斜面平行，則所以時(shí)小球距離斜面最遠(yuǎn)。解法二：小球遠(yuǎn)離斜面方向的初速度遠(yuǎn)離斜面方向的加速度所以遠(yuǎn)離斜面的速度減小至零時(shí)相距最遠(yuǎn)。令則時(shí)相距最遠(yuǎn)。解法三：球與斜面距離顯然當(dāng)時(shí)距離最大解法四：解析法。選初速度方向?yàn)閤軸正向，重力方向?yàn)閥軸正向，則代表該斜面的直線方程為平拋物體軌跡方程為，設(shè)拋物線上任意一點(diǎn)到該直線距離注意到故S顯然二次函數(shù)有極大致的條件為即例題3．一個(gè)質(zhì)量為3kg的物體放在長(zhǎng)木板上，當(dāng)木板一端抬起使它與水平方向成30°的固定斜面時(shí)，物體正好可以沿斜面勻速下滑。當(dāng)木板水平固定時(shí)，用多大的水平拉力能將該物體拉動(dòng)解析：在斜面上物體所受摩擦力與重力沿斜面向下的分力平衡即F=mgsin30°而滑動(dòng)摩擦力f=μmgcos30°所以μ=tan30°在水平面上拉的時(shí)候壓力大小等于重力大小。則水平面上的摩擦力f=μmg=mgtan30°所以拉力至少要到達(dá)這個(gè)值才能拉動(dòng)物體，例題4-1．某物體所受重力為200N，放在水平地面上，它與地面間的動(dòng)摩擦因數(shù)是0.38，它與地面間的最大靜摩擦力是80N，至少要用_________N的水平推力，才能將此物體推動(dòng)，假設(shè)推動(dòng)之后保持物體做勻速直線運(yùn)動(dòng)，水平推力應(yīng)為_(kāi)________N；物體在地面上滑動(dòng)過(guò)程中，假設(shè)將水平推力減小為50N，直到物體再次靜止前，它所受到的摩擦力為_(kāi)________N；物體靜止后，此50N的水平推力并未撤去，物體所受的摩擦力大小為_(kāi)________N.解析：從靜止推物體時(shí)推力至少到達(dá)最大靜摩擦力80N才可以推動(dòng)物體；推動(dòng)后當(dāng)推力大小與滑動(dòng)摩擦力等值〔200×0.38=76N〕時(shí)物體將做勻速直線運(yùn)動(dòng)；在物體滑動(dòng)過(guò)程中水平推力假設(shè)減小至50N，物體受到的滑動(dòng)摩擦力仍跟原來(lái)一樣為76N；物體靜止后此50N的水平推力并未撤去時(shí)物體受靜摩擦力大小等于此時(shí)的水平推力大小50N。例題4-2．baBL1L2如以以下列圖，U形導(dǎo)線框固定在水平面上，右端放有質(zhì)量為m的金屬棒ab，ab與導(dǎo)軌間的動(dòng)摩擦因數(shù)為μ，它們圍成的矩形邊長(zhǎng)分別為、，回路的總電阻為R。從t=0時(shí)刻起，在豎直向上方向加一個(gè)隨時(shí)間均勻變化的勻強(qiáng)磁場(chǎng)B=kt，〔kbaBL1L2解析：當(dāng)磁場(chǎng)發(fā)生變化的時(shí)候，有感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)產(chǎn)生，在回路中就會(huì)產(chǎn)生感應(yīng)電流，ab棒會(huì)受到安培力的作用，則ab有向左運(yùn)動(dòng)的趨勢(shì)，則ab就會(huì)受到向右的靜摩擦力的作用。當(dāng)ab棒受到安培力和靜摩擦力的作用平衡時(shí)，由可知，回路中感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)是恒定的，電流大小也是恒定的，但由于安培力F=BIL∝B=kt∝t，所以安培力將隨時(shí)間而增大，所以ab受到的靜摩擦力也增大，二者始終是等值反向的，只要安培力的大小沒(méi)有超過(guò)最大靜摩擦力，ab就始終處于靜止?fàn)顟B(tài)。當(dāng)安培力大于最大靜摩擦力之后，ab就會(huì)運(yùn)動(dòng)起來(lái)。在靜止到運(yùn)動(dòng)之間就存在著一個(gè)從靜止到運(yùn)動(dòng)的臨界狀態(tài)，此狀態(tài)的臨界條件就是安培力增大到等于最大靜摩擦力。此時(shí)有：例題4-3．如圖3所示兩根平行的金屬導(dǎo)軌固定在同一水平面上，磁感應(yīng)強(qiáng)度的勻強(qiáng)磁場(chǎng)與導(dǎo)軌平面垂直，導(dǎo)軌電阻不計(jì)，導(dǎo)軌間距；兩根質(zhì)量均為電阻均為的平行金屬桿甲、乙可在導(dǎo)軌上垂直于導(dǎo)軌滑動(dòng)，與導(dǎo)軌間的動(dòng)摩擦因數(shù)均為；現(xiàn)有一與導(dǎo)軌平行大小為的水平恒力作用于甲桿使金屬桿在導(dǎo)軌上滑動(dòng)，求〔1〕分析甲、乙二桿的運(yùn)動(dòng)的情況〔2〕桿運(yùn)動(dòng)很長(zhǎng)時(shí)間后開(kāi)場(chǎng)，則再經(jīng)過(guò)5秒鐘二桿間的距離變化了多少解析：〔1〕金屬桿甲在水平恒力〔這里牛為甲桿所受的最大靜摩擦力〕作用下將向右加速運(yùn)動(dòng)并切割磁感線產(chǎn)生逆時(shí)針?lè)较虻母袘?yīng)電流，因而使甲桿同時(shí)受到水平向左的安培阻力；乙桿中也因?yàn)橛辛穗娏鞫艿剿较蛴业陌才鄤?dòng)力，兩個(gè)安培力等值反向；開(kāi)場(chǎng)時(shí)甲桿的切割速度較小故安培力=均較小，隨的增大則回路中的感應(yīng)電流增大，所以兩桿所受的安培力=均增大，故甲桿將向右作加速度減小的變加速運(yùn)動(dòng)；當(dāng)時(shí)乙桿也將開(kāi)場(chǎng)向右作加速度逐漸增大的變加速運(yùn)動(dòng)；直到甲、乙二桿的加速度相等時(shí)〔此時(shí)甲乙兩桿速度差最大，回路中動(dòng)生電流最大即，每桿受安培力最大即乙桿的加速度最大即甲桿的加速度最小即且兩桿的加速度相等，即所以〕甲乙兩桿以共同的加速度5，恒定的速度差40向右做勻加速直線運(yùn)動(dòng)。即甲相對(duì)乙將向右做勻速直線運(yùn)動(dòng)而遠(yuǎn)離?！?〕依據(jù)上述分析知運(yùn)動(dòng)很長(zhǎng)時(shí)間后甲乙兩桿將以共同的加速度5及恒定的速度差40向右做勻加速直線運(yùn)動(dòng)，亦即甲乙二桿間的相對(duì)運(yùn)動(dòng)速度為，因而此后經(jīng)過(guò)5秒兩桿間的距離將增加F圖5例題4-4．如圖5所示，質(zhì)量為的木塊與水平地面的動(dòng)摩擦因數(shù)，木塊用輕繩繞過(guò)光滑的定滑輪，輕繩另一端施一大小為20N的恒力F，使木塊沿地面向右做直線運(yùn)動(dòng)，定滑輪離地面的高度，木塊M可視為質(zhì)點(diǎn)，問(wèn)木塊從較遠(yuǎn)處向右運(yùn)動(dòng)到離定滑輪多遠(yuǎn)時(shí)加速度最大最大加速度為多少F圖5解析：設(shè)當(dāng)輕繩與水平方向成角θ時(shí)，對(duì)M有整理得令，可知，當(dāng)A取最大值時(shí)a最大。利用三角函數(shù)知識(shí)有：，其中，而，與此相對(duì)應(yīng)的角為所以加速度的最大值為：此時(shí)木塊離定滑輪的水平距離為：說(shuō)明：此題并非在任何條件下都能到達(dá)上述最大加速度，當(dāng)木塊到達(dá)一定值時(shí)，有可能使物體脫離地面，此后物體將不在沿著水平面運(yùn)動(dòng)。因此，F(xiàn)、M、μ必須滿足≤Mg。此題所給數(shù)據(jù)滿足上述條件，能夠到達(dá)最大加速度。例題4-5．如圖3所示，質(zhì)量為m=1kg的物塊放在傾角為的斜面體上，斜面質(zhì)量為，斜面與物塊間的動(dòng)摩擦因數(shù)為，地面光滑，現(xiàn)對(duì)斜面體施一水平推力F，要使物體m相對(duì)斜面靜止，試確定推力F的取值范圍?！病硤D3解析：此題有兩個(gè)臨界條件，當(dāng)推力F較小時(shí)，物塊有相對(duì)斜面向下運(yùn)動(dòng)的可能性，此時(shí)物體受到的摩擦力沿斜面向上；當(dāng)推力F較大時(shí)，物塊有相對(duì)斜面向上運(yùn)動(dòng)的可能性，此時(shí)物體受到的摩擦力沿斜面向下。找準(zhǔn)臨界狀態(tài)，是求解此題的關(guān)鍵?！?〕設(shè)物塊處于相對(duì)斜面向下滑動(dòng)的臨界狀態(tài)時(shí)的推力為F1，此時(shí)物塊受力如圖4所示，取加速度的方向?yàn)閤軸正方向。圖4對(duì)物塊分析，在水平方向有豎直方向有對(duì)整體有代入數(shù)值得〔2〕設(shè)物塊處于相對(duì)斜面向上滑動(dòng)的臨界狀態(tài)時(shí)的推力為F2對(duì)物塊分析，在水平方向有豎直方向有，對(duì)整體有代入數(shù)值得。綜上所述可知推力F的取值范圍為：圖4-6例題4-6.如圖4-6所示，跨過(guò)定滑輪的輕繩兩端，分別系著物體A和B，物體A放在傾角為α的斜面上，物體A的質(zhì)量為m，物體B和斜面間動(dòng)摩擦因數(shù)為μ〔μ<tanθ〕，滑輪的摩擦不計(jì)，要使物體靜止在斜面上，求物體B質(zhì)量的取值范圍．圖4-6解析：物體在斜面上可能恰好不上滑，也可能恰好不下滑，所以摩擦力可能有兩個(gè)方向。以B為研究對(duì)象，由平衡條件得：再以A為研究對(duì)象，它受重力、斜面對(duì)A的支持力、繩的拉力和斜面對(duì)A的摩擦作用．假設(shè)A處于臨界狀態(tài)，即A受最大靜摩擦作用，方向如以以下列圖，根據(jù)平衡條件有：或：綜上所得，B的質(zhì)量取值范圍是：例題5-1．甲物體以做勻速直線運(yùn)動(dòng)，乙物體在其后面5m處沿同一直線同一方向做初速為零加速度的勻加速直線運(yùn)動(dòng)，問(wèn)乙物體是否可以追上甲物體并求出其間距離的最大值。解法一：〔1〕乙物體一定可以追上甲物體?！?〕用臨界法分析求極值：乙物體加速至前，速度小于其前方的甲物體運(yùn)動(dòng)速度，此階段其間距離不斷增大，當(dāng)乙物體加速至后，速度大于其前方的甲物體運(yùn)動(dòng)速度，所以在尚未追上甲物體前，其間距離不斷減小，故等速時(shí)其間距離最大。令解得此時(shí)相距最遠(yuǎn)解法二：〔2〕用拋物線頂點(diǎn)坐標(biāo)法求極值：依據(jù)甲乙兩物體各自運(yùn)動(dòng)規(guī)律可得出其間的距離函數(shù)顯然當(dāng)s時(shí)例題5-2．〔寶雞2012年二?！橙缫砸韵铝袌D，質(zhì)量為6kg的小球A與質(zhì)量為3kg的小球B，用輕彈簧相連后在光滑水平面上共同以速度向左勻速運(yùn)動(dòng)，在A球與左側(cè)豎直墻壁碰后兩球繼續(xù)運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中，彈簧的最大彈性勢(shì)能為4J，假設(shè)A球與左側(cè)墻壁碰撞前后無(wú)機(jī)械能損失，試求的大小。解析：這里彈性勢(shì)能最大時(shí)即簧壓縮量最大，亦即A與左側(cè)墻壁碰后以為初速〔碰墻壁無(wú)機(jī)械能損失〕向右減速運(yùn)動(dòng)，B仍以為初速向左減速，但B球質(zhì)量小先減至零又反向向右加速運(yùn)動(dòng)，二者均向右運(yùn)動(dòng)等速時(shí)其間距離最小，此時(shí)簧的彈性勢(shì)能最大。因?yàn)榕鰤Ρ诤笙蛴疫\(yùn)動(dòng)過(guò)程A+B系統(tǒng)總動(dòng)量守恒，如果選向右為正方向則又因?yàn)榕鰤Ρ诤笙蛴疫\(yùn)動(dòng)過(guò)程A+B〔含簧〕系統(tǒng)總機(jī)械能守恒則聯(lián)立求解并代入數(shù)值得〔〕例題5-3．〔90年全國(guó)卷〕在光滑的水平軌道上有兩個(gè)半徑都是的小球A和B，質(zhì)量分別為和2，當(dāng)兩球心間距離大于L〔L比2r大得多〕時(shí)，兩球之間無(wú)相互作用力；當(dāng)兩球心間距離等于或小于L時(shí)，兩球間存在相互作用的恒定斥力F。設(shè)A球從遠(yuǎn)離B球處以速度沿兩球連心線向原來(lái)靜止的B球運(yùn)動(dòng)，如圖12-2所示，欲使兩球不發(fā)生接觸，必須滿足什么條件解析：據(jù)題意，當(dāng)A、B兩球球心間距離小于L時(shí)，兩球間存在相互作用的恒定斥力F。故A減速而B(niǎo)加速。當(dāng)時(shí)，A、B間距離減??；當(dāng)時(shí)，A、B間距離增大?？梢?jiàn)，當(dāng)時(shí)，A、B相距最近。假設(shè)此時(shí)A、B間距離，則A、B不發(fā)生接觸〔圖12-3〕。上述狀態(tài)即為所尋找的臨界狀態(tài)，時(shí)則為臨界條件。兩球不接觸的條件是：〔1〕〔2〕其中、為兩球間距離最小時(shí)，A、B球的速度；、為兩球間距離從L變至最小的過(guò)程中，A、B球通過(guò)的路程。設(shè)為A球的初速度，對(duì)于A+B系統(tǒng)由動(dòng)量守恒定律得〔3〕對(duì)于A球由動(dòng)能定律得〔4〕對(duì)于B球由動(dòng)能定律得〔5〕聯(lián)立解得：評(píng)析此題的關(guān)鍵是正確找出兩球“不接觸〞的臨界狀態(tài)，為且此時(shí)例題6．〔09年江蘇卷〕如以以下列圖，兩質(zhì)量相等的物塊A、B通過(guò)一輕質(zhì)彈簧連接，B足夠長(zhǎng)、放置在水平面上，所有接觸面均光滑。彈簧開(kāi)場(chǎng)時(shí)處于原長(zhǎng)，運(yùn)動(dòng)過(guò)程中始終處在彈性限度內(nèi)。在物塊A上施加一個(gè)水平恒力，A、B從靜止開(kāi)場(chǎng)運(yùn)動(dòng)到第一次速度相等的過(guò)程中，以下說(shuō)法中正確的有〔〕A．當(dāng)A、B加速度相等時(shí)，系統(tǒng)的機(jī)械能最大B．當(dāng)A、B加速度相等時(shí)，A、B的速度差最大C．當(dāng)A、B的速度相等時(shí)，A的速度到達(dá)最大D．當(dāng)A、B的速度相等時(shí)，彈簧的彈性勢(shì)能最大解析：分析此題的關(guān)鍵是對(duì)物體進(jìn)展受力分析和運(yùn)動(dòng)過(guò)程分析，使用圖象處理則可以使問(wèn)題更加簡(jiǎn)單。A、B物塊在水平方向受力如右圖上下，F(xiàn)1為彈簧的拉力。A從靜止開(kāi)場(chǎng)向右做加速度減小的變加速直線運(yùn)動(dòng)，B從靜止開(kāi)場(chǎng)向右做加速度增大的變加速直線運(yùn)動(dòng)，當(dāng)兩物塊加速度相等時(shí)它們的速度差最大〔因?yàn)樵撾A段A速度的增加值總是大于B速度的增加值〕，————選B.該過(guò)程可視為B板后沿(質(zhì)點(diǎn))追擊A物塊，因?yàn)榍懊鍭物體的速度總是大于后面B物體的速度，所以其間距離不斷增大〔同一時(shí)間內(nèi)A物的位移總是大于B物的位移〕，當(dāng)兩物體等速時(shí)其間距離最大即彈簧伸長(zhǎng)量最大，所以彈簧的彈性勢(shì)能最大?！xD據(jù)前分析該過(guò)程A物體始終做加速度減小的加速運(yùn)動(dòng)〔B物也始終加速但加速度增大〕，這種運(yùn)動(dòng)一直持續(xù)到A物體加速度減為零〔此時(shí)B物體加速度增至F/m〕，即A物體速度單調(diào)增加，故末時(shí)刻速度最大?！xC.又因外力F不斷做正功，所以系統(tǒng)機(jī)械能不斷增大，末時(shí)刻機(jī)械能最大?！懦鼳.兩物體的速度時(shí)間圖像如下：時(shí)刻時(shí)刻且A物加速度=0例題7-1．消防隊(duì)員為了縮短下樓時(shí)間，往往抱著直立于地面的豎直滑桿直接滑下〔設(shè)滑桿在水平方向不能移動(dòng)〕，假設(shè)一名質(zhì)量為60kg的消防隊(duì)員從離地面18m的七樓抱著豎直的滑桿以最短的時(shí)間滑下。消防隊(duì)員的手和腳對(duì)桿之間的壓力最大為1800N，手和腳與滑桿之間動(dòng)摩擦因數(shù)為0.5，消防隊(duì)員著地的速度不能大于6m/s，當(dāng)?shù)氐闹亓铀俣惹螅骸?〕消防隊(duì)員下滑的最短時(shí)間〔2〕消防隊(duì)員下滑過(guò)程中最大速度解法一〔基本不等式極值法〕：設(shè)消防隊(duì)員先做自由落體運(yùn)動(dòng)，其次勻速運(yùn)動(dòng)〔計(jì)算知人與滑桿之間最大靜摩擦力為900N大于重力600N〕，最后勻減速運(yùn)動(dòng)，到達(dá)地面時(shí)恰好減速至=6m/s，則下滑時(shí)間……………①且18=…………………..②又依牛頓第二定律知消防隊(duì)員減速下滑的加速度最大值為而依運(yùn)動(dòng)學(xué)公式知所以即…..③將②③式代入①式并整理有顯然因?yàn)?，且為定值，所以?dāng)即時(shí)即消防隊(duì)員下滑的最短時(shí)間為2.4s，即加速1.2s、勻速0s、減速1.2s.〔2〕消防隊(duì)員下滑的最大速度即自由落體段下滑的末速度解法二〔圖像法〕如果消防隊(duì)員首先自由落體至某速度，然后立即以最大加速度勻減速至?xí)r位移恰好為18m，這種臨界狀態(tài)的v-t圖像如以以以下列圖中實(shí)線OAB所示，其與橫軸所圍成的圖形“面積〞恰好為18m，顯然其他任意一個(gè)含有勻速運(yùn)動(dòng)段的圖形假設(shè)面積與其相等(例如OPQM)，則底邊長(zhǎng)度必大于24s.所以先加速后減速中間無(wú)勻速運(yùn)動(dòng)段，歷時(shí)最短。例題7-2．〔06年上海卷〕(辨析題):要求摩托車由靜止開(kāi)場(chǎng)在盡量短的時(shí)間內(nèi)走完一段直道，然后駛?cè)胍欢伟雸A形的彎道，但在彎道上行駛時(shí)車速不能太快，以免因離心作用而偏出車道，求摩托車在直道上行駛所用的最短時(shí)間。有關(guān)數(shù)據(jù)見(jiàn)表1。啟動(dòng)加速度4制動(dòng)加速度8直道最大速度40彎道最大速度20直道長(zhǎng)度s218m某同學(xué)是這樣解的：要使摩托車所用時(shí)間最短，應(yīng)先由靜止加速到最大速度=40m/s，然后再減速到=20m/s，；你認(rèn)為這位同學(xué)的解法是否合理?假設(shè)合理，請(qǐng)完成計(jì)算；假設(shè)不合理，請(qǐng)說(shuō)明理由，并用你自己的方法算出正確結(jié)果。解析：上述解法不合理，因?yàn)榧铀贂r(shí)間，減速時(shí)間所以加速距離，減速距離因?yàn)椋什缓侠?。?yīng)先以加速到最大速度〔并非40〕，又以加速度減速到恰完成218m的直道距離行駛，即為最短時(shí)間。所以加速距離，減速距離令，解得所以加速時(shí)間，減速時(shí)間故最短時(shí)間例題7-3．〔2013年寶雞市一檢試題〕如以以下列圖，水平地面上有A、B兩點(diǎn)，且兩點(diǎn)間距離LAB=15m，質(zhì)量m=2kg的物體〔可視為質(zhì)點(diǎn)〕靜止在A點(diǎn)，為使物體運(yùn)動(dòng)到B點(diǎn)，現(xiàn)給物體施加一水平F=10N的拉力，求拉力F作用的最短時(shí)間?！驳孛媾c物塊的滑動(dòng)摩擦因數(shù)μ=0.2，g取10m/s2〕解析：可證要使F作用時(shí)間最短，則F作用一段最短時(shí)間后撤去該力，使物體勻減速運(yùn)動(dòng)時(shí)間在B點(diǎn)恰好停頓〔證明見(jiàn)后〕。設(shè)勻加速直線運(yùn)動(dòng)的加速度為a1，運(yùn)動(dòng)的位移為，由題意可得：〔1〕〔2〕設(shè)撤去F后物體做勻減速直線運(yùn)動(dòng)的加速度大小為，時(shí)間為，位移為，由題意可得：〔3〕〔4〕〔5〕〔6〕聯(lián)立解得最短的時(shí)間〔7〕證明：設(shè)恒力F作用時(shí)間為，則加速段位移滑行段的位移、初速度、加速度分別為、、-2，設(shè)滑行段末速度為，則解得，故即恒力作用時(shí)間最小需要2s。亦即滑行至末速恰好為零所需的時(shí)間為2s(也可通過(guò)v-t圖像證略)。例題8．甲車以在平直的公路上勻速行駛，乙車在甲車前方距離甲車S處以更大的速度同向行駛，如果甲車的行駛速度保持不變，為了確保兩車不相撞，乙車做勻減速直線運(yùn)動(dòng)的加速度大小至少為多大解法一：臨界狀態(tài)為乙車從勻減速至?xí)r恰好追上甲車。設(shè)乙車做勻減速直線運(yùn)動(dòng)的加速度最小值為，恰追上時(shí)歷時(shí)則令解得又因?yàn)榱罱獾媒夥ǘ阂约总嚍閰⒄瘴?，乙車的相?duì)初速度為，設(shè)加速度〔亦即相對(duì)加速度〕為相對(duì)末速度為0，相對(duì)位移為S，則有所以例題9．如以以下列圖，豎直放置的U形導(dǎo)軌寬為L(zhǎng)，上端串有電阻R〔其余導(dǎo)體局部的電阻都忽略不計(jì)〕。磁感應(yīng)強(qiáng)度為B的勻強(qiáng)磁場(chǎng)方向垂直于紙面向外。金屬棒ab的質(zhì)量為m，與導(dǎo)軌接觸良好，不計(jì)摩擦。從靜止釋放后ab保持水平下滑。試求ab下滑的最大速度。解析：釋放瞬間ab只受重力，開(kāi)場(chǎng)向下加速運(yùn)動(dòng)，只要ab有速度，在ab上就會(huì)產(chǎn)生動(dòng)生電動(dòng)勢(shì)，在回路中就會(huì)產(chǎn)生電流，由左手定則知，ab會(huì)受到向上的安培力的作用。動(dòng)生電動(dòng)勢(shì)會(huì)隨著速度的增大而不斷的增大，回路中電流就會(huì)不斷的增大，根據(jù)，安培力會(huì)不斷的增大，則ab做加速度減小的加速運(yùn)動(dòng)，其速度不會(huì)無(wú)限的增大，當(dāng)時(shí)，其加速度就變?yōu)?，速度到達(dá)最大，開(kāi)場(chǎng)做勻速直線運(yùn)動(dòng)。因此，在從變速運(yùn)動(dòng)狀態(tài)變到勻速狀態(tài)之間有一個(gè)速度到達(dá)最大的狀態(tài)，此狀態(tài)的臨界條件就是ab受的的重力大小等于安培力大小。抓住這個(gè)臨界條件，由，可得例題10-1．如以以下列圖，m=4kg的小球掛在小車后壁上，細(xì)線與豎直方向成37°角。要使后壁對(duì)小球不產(chǎn)生力的作用小車的加速度應(yīng)滿足的條件解析：小車向左加速或向右減速時(shí)，后壁對(duì)小球的作用力N有可能減為零，這時(shí)小球?qū)㈦x開(kāi)后壁而“飛〞起來(lái)。這時(shí)細(xì)線跟豎直方向的夾角會(huì)改變，因此細(xì)線拉力F的方向會(huì)改變。所以必須先求出這個(gè)臨界值。分析知在該臨界狀態(tài)下，小球豎直方向平衡，則細(xì)線拉力水平分量使得小球在水平方向加速，則聯(lián)立解得小車向左加速或向右減速的加速度大小至少為例題10-2.一根勁度系數(shù)為k,質(zhì)量不計(jì)的輕彈簧，上端固定,下端系一質(zhì)量為m的物體,有一水平板將物體托住,并使彈簧處于自然長(zhǎng)度。如以以下列圖?，F(xiàn)讓木板由靜止開(kāi)場(chǎng)以加速度a(a＜g)勻加速向下移動(dòng)。求經(jīng)過(guò)多長(zhǎng)時(shí)間木板開(kāi)場(chǎng)與物體別離。解析：以拴接于簧下的物體為研究對(duì)象，設(shè)物體與平板整體向下運(yùn)動(dòng)的距離為x時(shí)，物體受重力mg和彈簧的彈力F=kx及平板的支持力N作用。據(jù)牛頓第二定律有：mg-kx-N=ma得N=mg-kx-ma當(dāng)N=0時(shí)，物體與平板別離，所以別離時(shí)依，則。BF60°圖1A例題10BF60°圖1A解析：當(dāng)水平推力F很小時(shí)，A與B一起做勻加速運(yùn)動(dòng)，當(dāng)F較大時(shí)，AFNFMgFxFy圖2AFNFMgFxFy圖260°對(duì)整體有：；隔離A，對(duì)于的臨界狀態(tài)有，。解得：所以F的范圍是0≤F≤例題10-4．a(chǎn)θ圖3某斜面放在水平地面上，傾角，一個(gè)質(zhì)量為0.2kg的小球用細(xì)繩吊在斜面頂端，如圖3所示。斜面靜止時(shí)，球緊靠在斜面上，繩與斜面平行，不計(jì)斜面與水平面的摩擦，當(dāng)斜面以的加速度向右運(yùn)動(dòng)時(shí)，求細(xì)繩的拉力及斜面對(duì)小球的彈力?！瞘取〕aθ圖3解析：斜面由靜止向右加速運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，斜面對(duì)小球的支持力將會(huì)隨著a的增大而減小，當(dāng)a較小時(shí)，小球受到三個(gè)力作用，此時(shí)細(xì)繩平行于斜面；當(dāng)a增大時(shí)，斜面對(duì)小球的支持力將會(huì)減少，當(dāng)a增大到某一值時(shí)，斜面對(duì)小球的支持力為零；假設(shè)a繼續(xù)增大，小球?qū)?huì)“飛離〞斜面，此時(shí)繩與水平方向的夾角將會(huì)大于θ角。而題中給出的斜面向右的加速度，到底屬于上述哪一種情況，必須先假定小球能夠脫離斜面，然后求出小球剛剛脫離斜面的臨界加速度才能斷定。圖4設(shè)小球剛剛脫離斜面時(shí)斜面向右的加速度為，此時(shí)斜面對(duì)小球的支持力恰好為零，小球只受到重力和細(xì)繩的拉力，且細(xì)繩仍然與斜面平行。對(duì)小球受力分析如圖4所示。顯然有圖4 代入數(shù)據(jù)解得因?yàn)椋?，所以小球已離開(kāi)斜面，斜面的支持力。同理，由受力分析可知，細(xì)繩的拉力為：此時(shí)細(xì)繩拉力T與水平方向的夾角為：例題10-5．如圖8所示，一光滑的半徑為R的半圓形軌道位于豎直平面內(nèi)，其最低點(diǎn)與水平地面相切于A點(diǎn)，一個(gè)質(zhì)量為m的小球以某一速度從C點(diǎn)沖上軌道，當(dāng)小球?qū)⒁獜能壍揽贐點(diǎn)飛出時(shí)，軌道的壓力恰好為零，則〔1〕小球到達(dá)B點(diǎn)的速度為多大〔2〕落地點(diǎn)C距A處多遠(yuǎn)解析：小球在B點(diǎn)受重力mg、軌面向下的彈力，依牛頓第二定律有而依題意知所以小球離開(kāi)B點(diǎn)后平拋運(yùn)動(dòng)歷時(shí)所以落點(diǎn)C到軌道最低點(diǎn)A距離為例10-6.(99年全國(guó)卷)如圖示，兩木塊的質(zhì)量分別為m1和m2，兩輕質(zhì)彈簧的勁度系數(shù)分別為k1和k2，上面木塊壓在上面的彈簧上(但不拴接)，整個(gè)系統(tǒng)處于平衡狀態(tài)．現(xiàn)緩慢向上提上面的木塊，直到它剛離開(kāi)上面彈簧．在這過(guò)程中下面木塊移動(dòng)的距離為(參考答案:C)A.m1g/k1B.m2g/k2C.m1g/k2D.m【解析】此題屬于較為簡(jiǎn)單的問(wèn)題，是考察胡克定律及共點(diǎn)力平衡條件的題目．題中物體間距離的變化，要通過(guò)彈簧形變量的計(jì)算求出．緩慢上提過(guò)程，說(shuō)明整個(gè)過(guò)程系統(tǒng)始終處于一種動(dòng)態(tài)平衡狀態(tài)，直至m1離開(kāi)上面的彈簧．同時(shí)還應(yīng)注意m1剛離開(kāi)上面彈簧的臨界狀態(tài)是該簧恰處自然長(zhǎng)度。初態(tài)時(shí)下面的彈簧被壓縮，其壓縮量為(m1+m2)g／k2，而ml剛離開(kāi)上面的彈簧時(shí)，下面的彈簧仍處于壓縮狀態(tài)，壓縮量為m2g／k2，因此m2移動(dòng)距離△x＝(m1+m2)·g／k2-m2g／k2＝mlg／k例題11-1．.汽車在平直的水平路面上以20的速度勻速行駛，關(guān)閉發(fā)動(dòng)機(jī)油門后勻減速滑行的加速度大小為2，最遠(yuǎn)還可以滑行多少距離解析：最遠(yuǎn)還可以滑行例題11-2．如圖7所示，矩形勻強(qiáng)磁場(chǎng)區(qū)域的長(zhǎng)為L(zhǎng)，寬為L(zhǎng)/2。磁感應(yīng)強(qiáng)度為B，質(zhì)量為m，電荷量為e的電子沿著矩形磁場(chǎng)的上方邊界射入磁場(chǎng)，欲使該電子由下方邊界穿出磁場(chǎng)，求：電子速率v的取值范圍解析：帶電粒子射入磁場(chǎng)后，由于速率大小的不同，導(dǎo)致粒子軌跡半徑不同，如以以下列圖。當(dāng)速率最小時(shí)(設(shè)為)，粒子恰好從d點(diǎn)射出，由圖可知其半徑r=L/4，再由，得當(dāng)速率最大時(shí)(設(shè)為)，粒子恰好從c點(diǎn)射出，由圖可知其半徑R滿足即，又依據(jù)故所以電子速率v的取值范圍為：。點(diǎn)評(píng)：此題給定帶電粒子在有界磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的入射速度的方向，由于入射粒子的速度大小不同，則其運(yùn)動(dòng)軌跡半徑不同，處理這類問(wèn)題時(shí)重點(diǎn)是畫出臨界狀態(tài)粒子運(yùn)動(dòng)的軌跡圖，此題特別需要注意的是有兩種臨界狀態(tài)。例題12．排球場(chǎng)總長(zhǎng)18m，設(shè)球網(wǎng)高度為2m，運(yùn)發(fā)動(dòng)站在離網(wǎng)3m的線上正對(duì)網(wǎng)前跳起將球水平擊出．〔球飛行中阻力不計(jì)〕〔1〕設(shè)擊球點(diǎn)在3m線正上方高度為2.5m，試問(wèn)擊球的速度在什么范圍內(nèi)才能使球既不觸網(wǎng)也不出界；〔2〕假設(shè)擊球點(diǎn)在3m線正上方的高度小于某個(gè)值，那么無(wú)論水平擊球的速度多大，球不是觸網(wǎng)就是越界，試求這個(gè)高度．〔g=10m/s2〕解析：〔1〕排球在3米線上方距地面2.5m處被水平擊出后做平拋運(yùn)動(dòng)，假設(shè)正好壓在端線上，則在空中飛行時(shí)間，所以排球不越界的臨界擊球速度值為。如果排球恰好不觸網(wǎng)，則在空中飛行時(shí)間，所以排球不觸網(wǎng)的臨界擊球速度值為。綜上擊球的速度在才能使球既不觸網(wǎng)也不出界；〔2〕假設(shè)擊球點(diǎn)在3m線正上方的高度小于某個(gè)值〔設(shè)在3m線正上方距離網(wǎng)頂部高度L處〕，水平擊球成功的“速度上下限范圍將縮窄至零〞，即無(wú)論水平擊球的速度多大，球不是觸網(wǎng)就是越界。根據(jù)上述〔1〕中的計(jì)算可知，排球被水平擊出后做平拋運(yùn)動(dòng)，假設(shè)正好壓在端線上，則在空中飛行時(shí)間，排球不越界的臨界擊球速度值為；如果排球恰好不觸網(wǎng)，則在空中飛行時(shí)間，所以排球不觸網(wǎng)的臨界擊球速度值為。令“速度上下限范圍縮窄至零〞，即亦即16L=2+L所以L=2/15≈0.13米即在3米線上方水平擊球時(shí)假設(shè)擊球點(diǎn)高度低于2.13米不是觸網(wǎng)便是出界。例題13．如圖在光滑的水平臺(tái)上靜止著一塊長(zhǎng)50厘米，質(zhì)量為1千克的木板，板的左端靜止著一塊質(zhì)量為1千克的小銅塊(可視為質(zhì)點(diǎn))，一顆質(zhì)量為10克的子彈以200米/秒的速度射向銅塊，碰后以100米/秒速度彈回。問(wèn)銅塊和木板間的摩擦系數(shù)至少是多少時(shí)銅塊才不會(huì)從板的右端滑落，〔〕解法一：子彈與銅塊碰撞過(guò)程總動(dòng)量守恒，根據(jù)動(dòng)量守恒定律有解得同理可求得不滑落時(shí)銅塊與木板最終的共同速度為依能量轉(zhuǎn)化關(guān)系有解得解法二：以木板為參照物銅塊的初速度為臨界末速度位移s=0.5m加速度=-2所以解得例題14．如以以下列圖，將一個(gè)質(zhì)量為m的小球先后栓接在輕質(zhì)細(xì)繩和細(xì)桿的一端，繩和桿子的長(zhǎng)度一樣，為使小球剛好能在豎直平面內(nèi)做圓周運(yùn)動(dòng)，經(jīng)最低點(diǎn)時(shí)繩子的拉力T1為，桿子的拉力T2為。解析：輕繩端連物在豎直平面上做圓周運(yùn)動(dòng)到達(dá)圓周最高點(diǎn)的速度依機(jī)械能守恒定律可以求得在圓周最低點(diǎn)響應(yīng)速度分別為因?yàn)樾∏蛟趫A周最低點(diǎn)時(shí)超重所以例題15．將物體以一定初速度豎直向上拋出，該物體除受重力外還受到一個(gè)向右的水平恒力作用，假設(shè)選拋點(diǎn)為原點(diǎn)，向右和向上分別為x、y軸正方向，其運(yùn)動(dòng)軌跡的最高點(diǎn)M橫縱坐標(biāo)分別為3和2，假設(shè)重力加速度g=10求=1\*GB3①落回到x軸的N點(diǎn)時(shí)的橫坐標(biāo)=2\*GB3②落回到N點(diǎn)時(shí)的速度大小。解析：=1\*GB3①設(shè)上升、下落段歷時(shí)分別為，分析y方向的豎直上拋分運(yùn)動(dòng)知又因?yàn)閤方向的分運(yùn)動(dòng)是初速為零的勻加速直線運(yùn)動(dòng)，所以前后兩端位移之比為所以即=2\*GB3②落至N點(diǎn)時(shí)豎直分速度水平分速度而兩式相比知所以所以落至N點(diǎn)的速度例題16-1．如以以下列圖，一個(gè)質(zhì)量為m的小球，用兩根等長(zhǎng)的細(xì)繩1、2連接在車廂的A，C兩點(diǎn)，兩繩拉直時(shí)，與車廂前壁的夾角均為，試求當(dāng)車廂以多大加速度向左做勻加速直線運(yùn)動(dòng)時(shí)連接于C點(diǎn)的細(xì)繩2恰好被拉直。CaA解析：連接于C點(diǎn)的細(xì)繩2恰好被拉直時(shí)，其張力為零〔等效于剪去該繩2〕則因?yàn)樾∏蛟谪Q直方向的平衡有，在水平方向同于車廂加速度〔設(shè)為a〕則CaA聯(lián)立解得車廂加速度例題16-2．如以以下列圖，當(dāng)AC、BC兩繩都拉直時(shí)，與軸的夾角分別為30°和45°，假設(shè)要使小球隨軸一起在水平面內(nèi)做勻速圓周運(yùn)動(dòng)將兩繩都拉直，小球最小角速度為多少〔AC繩子長(zhǎng)度為L(zhǎng)〕解析：設(shè)臨界角速度為，即角速度小于該值時(shí)BC繩子將松弛，故以該臨界角速度運(yùn)動(dòng)時(shí)，等效于剪掉BC繩子，且AC繩子與轉(zhuǎn)軸夾角仍保持，設(shè)此時(shí)AC繩子張力為則因小球在豎直方向平衡有，在水平方向做勻速圓周運(yùn)動(dòng)有聯(lián)立解得例題17．力F的一個(gè)分力的方向及另一個(gè)分力的大小，求的大小，并就解的情況加以討論。解析：此類分解問(wèn)題因分力的大小不同將有以下四種不同的結(jié)果：=1\*GB3①當(dāng)時(shí)，以為半徑的圓與方向線沒(méi)有交點(diǎn)〔相離〕，不能構(gòu)成一個(gè)平行四邊形，故無(wú)解。=2\*GB3②當(dāng)時(shí)，以為半徑的圓與方向線有一個(gè)交點(diǎn)〔相切〕，故此情形有唯一解。=3\*GB3③當(dāng)時(shí)，以為半徑的圓與方向線有兩個(gè)交點(diǎn)〔相割〕，故此情形有兩個(gè)解。=4\*GB3④當(dāng)時(shí)，以為半徑的圓與方向線有一個(gè)交點(diǎn)，此情形有唯一解。例題18-1．如以以下列圖，一個(gè)重為G的勻質(zhì)球放在光滑的斜面上，斜面傾角為，在斜面上有一個(gè)光滑的薄木板擋住球，使之處于靜止?fàn)顟B(tài)，今使木板與斜面的夾角從很小開(kāi)場(chǎng)緩慢增大，問(wèn)在此過(guò)程中，球?qū)δ景搴颓驅(qū)π泵娴膲毫Υ笮∪艉巫兓夥ㄒ弧埠瘮?shù)計(jì)算法〕：球體受力如以以以下列圖所示。在木板與斜面的夾角從很小開(kāi)場(chǎng)緩慢增大過(guò)程中可認(rèn)為球體總是處于平衡狀態(tài)，依據(jù)平衡條件，在水平方向有…=1\*GB3①在豎直方向有……=2\*GB3②=1\*GB3①=2\*GB3②式聯(lián)立解得顯然隨在范圍的增大單調(diào)減小，故單調(diào)減小。而隨角度的增大先減后增，即時(shí)最小。解法二〔矢量圖解法〕：圖17-2GDOCBA對(duì)平衡狀態(tài)的球體進(jìn)展受力分析如以以下列圖，三個(gè)力的合力為零.其中重力G的大小和方向都不變；斜面對(duì)球體的彈力N〔解法一中的〕方向不變，大小可變，暫稱為“單變力〞；擋板對(duì)球體的彈力F〔解法一中的〕方向隨擋板逆時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)而轉(zhuǎn)動(dòng)暫稱為“雙變力〞，畫出其矢量三角形如以以下列圖.在這變化過(guò)程中，由圖直接可以看出，N一直減小，而F先減小后增大.當(dāng)F與N垂直〔解法一中〕時(shí)，F(xiàn)的值最??；當(dāng)F轉(zhuǎn)至豎直向上〔擋板水平，即解法一中〕時(shí)，N減小到零，圖17-2GDOCBA例題18-2.如圖17-2所示，將一物體用兩根等長(zhǎng)OA、OB懸掛在半圓形架子上，B點(diǎn)固定不動(dòng)，在懸掛點(diǎn)A由位置C向位置D緩慢移動(dòng)的過(guò)程中，物體對(duì)OA繩的拉力變化是〔〕A.由小變大B.由大變小C.先減小后增大D.先增大后減小解析：在進(jìn)展動(dòng)態(tài)分析時(shí)，首先找到不變的恒力和力發(fā)生變化的臨界點(diǎn)懸掛點(diǎn)A由位置C緩慢移動(dòng)的過(guò)程中，每個(gè)位置都處在平衡狀態(tài)，合力為零。TA2TA2TB圖4TA1GTA3TA4【思維總結(jié)】作矢量圖時(shí)，每個(gè)三角形所表示重力邊的長(zhǎng)度、方向都不變，TB的方向不變，然后比較做出的各個(gè)三角形表示有哪些不同。要特別注意是否存在極值和臨界點(diǎn)，這是判斷力變化的關(guān)鍵。例題19．一個(gè)質(zhì)點(diǎn)在和兩個(gè)力的作用下，沿與成30°角的直線運(yùn)動(dòng)，＝10N，要使為最小值，應(yīng)該等于多少解析：物體由靜止開(kāi)場(chǎng)做直線運(yùn)動(dòng)，合力方向一定是物體運(yùn)動(dòng)方向。所以將正交分解成一個(gè)沿運(yùn)動(dòng)方向與一個(gè)垂直運(yùn)動(dòng)方向的力。此時(shí)，垂直運(yùn)動(dòng)方向的分力必須得抵消掉，即大于等于的垂直運(yùn)動(dòng)方向分力，所以最小值為5N，方向是垂直運(yùn)動(dòng)方向。例題20．證明小船渡河速度垂直于水流速度時(shí)渡河時(shí)間最短。證明設(shè)河寬為d，船速為v，船速與水速夾角為則渡河時(shí)間顯然當(dāng)〔如以以以下列圖所示〕例題21．證明如果小船速度大于水流速度時(shí)，小船渡河的最短航程即為河流寬度。解析；小船“斜逆航行〞渡河，且船速逆向上行的分位移與水流引起小船漂流的分位移抵消，即船逆向上行的分速度與水的漂流速度抵消，所以小船的合速度與河岸垂直，到達(dá)對(duì)岸時(shí)的位移即是河寬?！踩缫砸砸韵铝袌D所示〕例題22．證明如果小船速度小于水流速度時(shí)，船速垂直于合速度時(shí)小船渡河的航程最短。解法一〔正弦函數(shù)法〕；如以以下列圖，取水流方向?yàn)閄軸正向，小船初始位置為坐標(biāo)原點(diǎn)，設(shè)水速、船速分別為、船速與X軸負(fù)方向所夾銳角為河流寬度為d，渡河后到達(dá)此岸P點(diǎn)，則航程而變形為再變形為令則上式變?yōu)樗燥@然當(dāng)〔即船速垂直于合速度〕時(shí)〔如以以以下列圖所示〕解法二〔矢量圖解法〕：如以以下列圖，船速〔圖中矢量圓半徑〕大小一定，方向可以調(diào)整變化，而水速〔大小方向均一定〕與船速的合速度與AB夾角越大，則渡河航程越大〔即到達(dá)此岸的位置舉B點(diǎn)越遠(yuǎn)〕，只有當(dāng)合速度與該矢量圓相切時(shí)航程最短。小船渡河兩類問(wèn)題的三種矢量圖比較例題23．如以以下列圖，工人師傅想把一個(gè)重800N的油桶滾上一個(gè)臺(tái)階，他沿最省力的方向推動(dòng)油桶，在圖中畫出這個(gè)力和它的力臂。解析：上滾過(guò)程必以臺(tái)階邊緣O為轉(zhuǎn)軸，故過(guò)O點(diǎn)做直徑OP，過(guò)P點(diǎn)做OP的垂線PA。則OP為力臂，沿PA即為所加拉力方向。例題24．甲車在平直公路上以勻速行駛，乙車在甲車后面距離甲車ｓ處以更大的速度同向勻速行駛，為確保甲乙兩車不相撞，在甲車仍以勻速行駛的情況下，乙車做勻減速直線運(yùn)動(dòng)的加速度大小至少為多少。解析：以甲車為參照物，乙車初速為，臨界狀態(tài)時(shí)末速為０，勻減速運(yùn)動(dòng)的加速度大小為，位移為ｓ，則有解得例題24．一列火車總質(zhì)量m=500t，機(jī)車發(fā)動(dòng)機(jī)的額定功率，行駛時(shí)軌道對(duì)列車的阻力f是車重的0.01倍，求〔1〕列車行駛的最大速度.〔2〕假設(shè)從靜止開(kāi)場(chǎng)保持的加速度勻加速運(yùn)動(dòng)的最長(zhǎng)時(shí)間。解析：〔1〕列車加速的加速度減小至=0時(shí)速度最大，設(shè)為則所以〔2〕機(jī)車瞬時(shí)功率所以例題25．試證明完全非彈性碰撞中的機(jī)械能損失最大。證明：設(shè)質(zhì)量為的小球2靜止于水平面上，質(zhì)量為的小球1以速度與其對(duì)心碰撞，并設(shè)碰后小球1、2的速度分別為、，依據(jù)動(dòng)量守恒定律有所以……=1\*GB3①該碰撞過(guò)程系統(tǒng)機(jī)械能損失將代入并整理得顯然機(jī)械能損失量是關(guān)于的二次函數(shù)，其二次項(xiàng)系數(shù)小于零。所以當(dāng)時(shí)最大，代入=1\*GB3①式知此時(shí)故碰后兩球等速，即合為一體。例題26．以彈簧振子為例，分析簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)過(guò)程的位移、恢復(fù)力、加速度、速度、動(dòng)量、動(dòng)能、勢(shì)能、機(jī)械能的變化情況。解析：簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)過(guò)程八個(gè)物理量變化可用如下的菱形圖所示。其中A、O、C分別表示彈簧振子〔泛指簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)〕的最大位移處和平衡位置，如果振子從A向O運(yùn)動(dòng)，則AD的升勢(shì)反映了振子的變化趨勢(shì)，AB的降勢(shì)反映了振子的變化趨勢(shì)，AO的水平態(tài)勢(shì)反映了振子機(jī)械能守恒，同理從O向C的運(yùn)動(dòng)過(guò)程分別用DC、BC、OC表示其變化趨勢(shì)。顯然振子在平衡位置O處時(shí)速度、動(dòng)量、動(dòng)能最大；在A(C)處時(shí)位移、回復(fù)力、加速度、振動(dòng)勢(shì)能最大，振動(dòng)過(guò)程機(jī)械能保持不變。例題27．鐵道上每根鋼軌長(zhǎng)12.5m，假設(shè)支持車廂的彈簧和車廂組成的系統(tǒng)固有周期為0.5s，那么當(dāng)列車以_________速度行駛時(shí)，車廂振動(dòng)最厲害。解析：列車行駛過(guò)程每當(dāng)車輪滾動(dòng)至兩節(jié)鋼軌縫隙處就會(huì)受到向列車后上方的沖擊力，這種沖擊力的驅(qū)動(dòng)作用周期，列車在該力作用下做受迫振動(dòng)，當(dāng)驅(qū)動(dòng)力的周期與振動(dòng)系統(tǒng)的固有周期相等時(shí)就發(fā)生了共振，車廂振動(dòng)得最厲害。令所以例題28．在同一均勻介質(zhì)中有、兩個(gè)波源，這兩個(gè)波源的頻率、振動(dòng)方向均一樣，且振動(dòng)步調(diào)完全一致，、之間相距8m〔波長(zhǎng)=4m〕，O點(diǎn)為、連線的中點(diǎn)，求在該連線上除、兩波源外振動(dòng)幅度最大的點(diǎn)的位置解析：因?yàn)閮蓚€(gè)波源同相位，所以連線中點(diǎn)O必為振動(dòng)加強(qiáng)點(diǎn)，且兩邊各距離中點(diǎn)=2m處也為振動(dòng)加強(qiáng)點(diǎn)，振動(dòng)幅度最大。例題29．水平向右的勻強(qiáng)電場(chǎng)場(chǎng)強(qiáng)未知，懸點(diǎn)O有一長(zhǎng)為l的細(xì)線下端系質(zhì)量為m、電量為+q小球。把小球拉到水平位置A由靜止釋放，小球擺到C點(diǎn)，即由C點(diǎn)重新擺回。如以以下列圖，OC與豎直方向成30°角，求小球在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中的最大速度。解析：分析知小球平衡位置必在平分線上，即在豎直線右側(cè)處。所以在該位置〔圖中B點(diǎn)〕時(shí)小球勢(shì)能最小，故動(dòng)能最大。對(duì)從A到B過(guò)程依動(dòng)能定理有將代入解得例題30-1．如圖6所示，在邊界為CD、EF的狹長(zhǎng)區(qū)域內(nèi)，勻強(qiáng)磁場(chǎng)的磁感應(yīng)強(qiáng)度為B，方向垂直紙而向里，磁場(chǎng)區(qū)域?qū)挾葹閐，電子以不同的速率v從邊界CD的S處沿垂直磁場(chǎng)方向射入磁場(chǎng)，入射方向與CD的夾角為θ．電子的質(zhì)量為m，帶電量為e。為使電子能從另一邊界EF射出，電子的速率應(yīng)滿足什么條件〔不計(jì)重力〕解析：由，可知當(dāng)m、e、B一定時(shí)，速率v大則軌跡半徑R亦大。設(shè)當(dāng)電子以速率v0射入磁場(chǎng)時(shí)，其運(yùn)動(dòng)軌跡恰好與邊界EF相切，則有……①圓心確定：過(guò)S點(diǎn)做V0垂線必過(guò)圓心；做V0與EF夾角平分線必過(guò)圓心?？傻脠A心O，從而畫出電子的軌跡〔如圖7所示〕。由圖7，運(yùn)用幾何知識(shí)不難發(fā)現(xiàn)

②由①、②解得例題30-2．〔2004年廣東省高考試題〕如圖9所示，真空室內(nèi)存在勻強(qiáng)磁場(chǎng)，磁場(chǎng)方向垂直于紙面向里，磁感應(yīng)強(qiáng)度的大小B=0．60T，磁場(chǎng)內(nèi)有一塊平面感光板ab，板面與磁場(chǎng)方向平行，在距ab的距離l=16cm處，有一個(gè)點(diǎn)狀的α放射源S，它向各個(gè)方向發(fā)射α粒子，α粒子的速度都是v=3．0×106m/s，α粒子的電荷與質(zhì)量之比q/m=5．0×107C/kg，現(xiàn)只考慮在圖紙平面中運(yùn)動(dòng)的α粒子，求ab上被α粒子打中的區(qū)域的長(zhǎng)度。解析：α粒子帶正電，故在磁場(chǎng)中沿逆時(shí)針?lè)较蜃鰟蛩賵A周運(yùn)動(dòng)，用R表示軌道半徑，有qvB=mv2/R，由此得R=mv/qB，代入數(shù)值得R=10cm。可見(jiàn)，2R>l>R，如圖9所示，因朝不同方向發(fā)射的α粒子的圓軌跡都過(guò)S，由此可知，某一圓軌跡在圖中N左側(cè)與ab相切，則此切點(diǎn)P1就是α粒子能打中的左側(cè)最遠(yuǎn)點(diǎn)。為定出P1點(diǎn)的位置，可作平行于ab的直線cd，cd到ab的距離為R，以S為圓心，R為半徑，作弧交cd于Q點(diǎn)，過(guò)Q作ab的垂線，它與ab的交點(diǎn)即為P1。，再考慮N的右側(cè)。任何α粒子在運(yùn)動(dòng)中離S的距離不可能超過(guò)2R，以2R為半徑、S為圓心作圓，交ab于N右側(cè)的P2點(diǎn)，此即右側(cè)能打到的最遠(yuǎn)點(diǎn)。由圖中幾何關(guān)系得，所求長(zhǎng)度為P1P2=NP1+NP2，代入數(shù)值得P1P2=20cm。點(diǎn)評(píng)：此題給定帶電粒子在有界磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的入射速度的大小，其對(duì)應(yīng)的軌跡半徑也就確定了。但由于入射速度的方向發(fā)生改變，從而改變了該粒子運(yùn)動(dòng)軌跡圖，導(dǎo)致粒子的出射點(diǎn)位置變化。在處理這類問(wèn)題時(shí)重點(diǎn)是畫出臨界狀態(tài)粒子運(yùn)動(dòng)的軌跡圖〔對(duì)應(yīng)的臨界狀態(tài)的速度的方向〕，再利用軌跡半徑與幾何關(guān)系確定對(duì)應(yīng)的出射范圍。例題31-1．阻性負(fù)載時(shí)電源最大輸出功率的求解。解法一、電源的輸出功率為當(dāng)R=r時(shí)，P出有最大值，即解法二、電源輸出功率為因?yàn)闉槎ㄖ邓援?dāng)時(shí)P出有最大值，即解法三、電源輸出功率為顯然當(dāng)時(shí)P出有最大值，即解法四、電源輸出功率為因?yàn)闉槎ㄖ?，所以?dāng)時(shí)P出有最大值，即解法五、電源輸出功率為所以當(dāng)時(shí)P出有最大值，即解法六、電源輸出功率為因?yàn)闉槎ㄖ邓援?dāng)時(shí)P出有最大值，即解法七、電源輸出功率為因?yàn)闉槎ㄖ?，所以?dāng)時(shí)P出有最大值，即解法八、電源輸出功率為因?yàn)闉槎ㄖ邓援?dāng)時(shí)P出有最大值，即解法九、電源輸出功率為因?yàn)榍覟槎ㄖ邓援?dāng)時(shí)輸出功率最大。例題31-2．如圖，電源的電動(dòng)勢(shì)E=10V，r=1歐，=5歐，的最大值為20歐，求=1\*GB3①取何值時(shí)消耗的功率最大=2\*GB3②取何值時(shí)消耗的功率最大解析：=1\*GB3①利用上題結(jié)論，將看成電源內(nèi)阻的一局部，則r’=r+，的滑片從最右端向左端滑動(dòng)的過(guò)程中，上的輸出功率在不斷的增大當(dāng)=r+時(shí)上功率到達(dá)最大，隨后輸出功率開(kāi)場(chǎng)減小，即=r+是臨界條件。利用臨界條件就有=1歐+5歐=6歐，此時(shí)上消耗的功率最大。=2\*GB3②消耗的功率顯然是的單調(diào)減函數(shù)，所