2025注冊環(huán)保工程師考試環(huán)境工程數(shù)學(xué)試題考試時(shí)間：______分鐘總分：______分姓名：______一、代數(shù)與方程要求：本部分主要考查代數(shù)運(yùn)算、一元一次方程、一元二次方程、不等式及不等式組、函數(shù)的基本概念和性質(zhì)等基本知識。1.計(jì)算下列代數(shù)式的值：（1）\(3a-2b+4c\)當(dāng)\(a=2,b=-1,c=3\)時(shí)；（2）\(\frac{5x^2-2x+1}{x-1}\)當(dāng)\(x=2\)時(shí)；（3）\(\sqrt{4-3\sqrt{2}}\)。2.解下列方程：（1）\(2x-3=5\)；（2）\(\frac{1}{x}+3=5\)；（3）\(2x^2-5x+2=0\)。3.解下列不等式及不等式組：（1）\(2x+3>7\)；（2）\(\frac{1}{x}-2<0\)；（3）\(x-1>0\)且\(x+3<5\)。4.判斷下列函數(shù)的單調(diào)性：（1）\(f(x)=2x^2-4x+1\)；（2）\(g(x)=\frac{1}{x}\)；（3）\(h(x)=-\frac{1}{x}\)。5.求下列函數(shù)的值域：（1）\(f(x)=x^2+2x+1\)；（2）\(g(x)=\frac{1}{x}\)；（3）\(h(x)=\sqrt{x^2-4x+3}\)。二、概率與統(tǒng)計(jì)要求：本部分主要考查概率論的基本概念、隨機(jī)變量及其分布、期望、方差、協(xié)方差等基本知識。6.從一副52張的撲克牌中隨機(jī)抽取一張牌，求抽到紅桃的概率。7.已知隨機(jī)變量\(X\)的概率分布如下：\(X\)|\(-1\)|\(0\)|\(1\)|----|----|----|----|\(P\)|\(0.2\)|\(0.5\)|\(0.3\)|求\(X\)的期望\(E(X)\)和方差\(D(X)\)。8.設(shè)隨機(jī)變量\(X\)和\(Y\)相互獨(dú)立，且\(X\)和\(Y\)的概率分布如下：\(X\)|\(-1\)|\(0\)|\(1\)|----|----|----|----|\(P\)|\(0.2\)|\(0.5\)|\(0.3\)|\(Y\)|\(-1\)|\(0\)|\(1\)|----|----|----|----|\(P\)|\(0.3\)|\(0.4\)|\(0.3\)|求\(X+Y\)的概率分布。9.設(shè)隨機(jī)變量\(X\)和\(Y\)的相關(guān)系數(shù)為\(\rho=0.8\)，求\(X-Y\)的方差\(D(X-Y)\)。10.已知隨機(jī)變量\(X\)和\(Y\)的協(xié)方差\(\text{Cov}(X,Y)=12\)，求\(X+Y\)的方差\(D(X+Y)\)。四、線性代數(shù)要求：本部分主要考查行列式、矩陣、向量組的基本概念和性質(zhì)，以及線性方程組的解法。11.計(jì)算下列行列式的值：（1）\(\begin{vmatrix}1&2&3\\4&5&6\\7&8&9\end{vmatrix}\)；（2）\(\begin{vmatrix}1&0&2\\3&1&4\\2&5&1\end{vmatrix}\)。12.求下列矩陣的逆矩陣：（1）\(\begin{bmatrix}1&2\\3&4\end{bmatrix}\)；（2）\(\begin{bmatrix}2&3&4\\5&6&7\\8&9&10\end{bmatrix}\)。13.判斷下列向量組是否線性相關(guān)：（1）\(\{\begin{bmatrix}1\\2\\3\end{bmatrix},\begin{bmatrix}4\\5\\6\end{bmatrix},\begin{bmatrix}7\\8\\9\end{bmatrix}\}\)；（2）\(\{\begin{bmatrix}1\\0\\2\end{bmatrix},\begin{bmatrix}3\\1\\4\end{bmatrix},\begin{bmatrix}2\\2\\1\end{bmatrix}\}\)。14.解下列線性方程組：（1）\(\begin{cases}2x+3y=8\\4x-y=2\end{cases}\)；（2）\(\begin{cases}x+2y+3z=6\\2x+y-z=4\\3x-2y+4z=10\end{cases}\)。15.求下列二次型對應(yīng)的矩陣：（1）\(z=x^2+4xy+4y^2\)；（2）\(z=2x^2-4xy+3y^2\)。五、復(fù)數(shù)要求：本部分主要考查復(fù)數(shù)的基本概念、復(fù)數(shù)的運(yùn)算、復(fù)數(shù)的幾何表示等基本知識。16.計(jì)算下列復(fù)數(shù)的模：（1）\(z=3+4i\)；（2）\(z=2-5i\)。17.求下列復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)：（1）\(z=1+2i\)；（2）\(z=-3-4i\)。18.計(jì)算下列復(fù)數(shù)的乘積：（1）\((1+i)(2-i)\)；（2）\((3+4i)(2-3i)\)。19.將下列復(fù)數(shù)表示為三角形式：（1）\(z=3+4i\)；（2）\(z=2-5i\)。20.計(jì)算下列復(fù)數(shù)的乘方：（1）\((1+i)^4\)；（2）\((2-3i)^3\)。六、微積分要求：本部分主要考查極限、導(dǎo)數(shù)、微分、不定積分、定積分等基本知識。21.計(jì)算下列極限：（1）\(\lim_{x\to0}\frac{\sinx}{x}\)；（2）\(\lim_{x\to\infty}\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{x^2}\right)\)。22.求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：（1）\(f(x)=x^3-3x+2\)；（2）\(g(x)=e^x\sinx\)。23.計(jì)算下列函數(shù)的微分：（1）\(f(x)=x^2\lnx\)；（2）\(g(x)=\frac{1}{x^2+1}\)。24.求下列不定積分：（1）\(\int(x^2-2x+1)\,dx\)；（2）\(\int\frac{1}{x^2-1}\,dx\)。25.計(jì)算下列定積分：（1）\(\int_0^1x^2\,dx\)；（2）\(\int_1^2\frac{1}{x}\,dx\)。本次試卷答案如下：一、代數(shù)與方程1.（1）\(3a-2b+4c=3\times2-2\times(-1)+4\times3=6+2+12=20\)；（2）\(\frac{5x^2-2x+1}{x-1}=\frac{5\times2^2-2\times2+1}{2-1}=\frac{20-4+1}{1}=17\)；（3）\(\sqrt{4-3\sqrt{2}}=\sqrt{2(2-\sqrt{2})}=\sqrt{2}\sqrt{2-\sqrt{2}}\)。2.（1）\(2x-3=5\)解得\(x=4\)；（2）\(\frac{1}{x}+3=5\)解得\(x=\frac{1}{2}\)；（3）\(2x^2-5x+2=0\)解得\(x=\frac{1}{2}\)或\(x=2\)。3.（1）\(2x+3>7\)解得\(x>2\)；（2）\(\frac{1}{x}-2<0\)解得\(x>0\)或\(x<-2\)；（3）\(x-1>0\)且\(x+3<5\)解得\(1<x<2\)。4.（1）\(f(x)=2x^2-4x+1\)在定義域內(nèi)單調(diào)遞增；（2）\(g(x)=\frac{1}{x}\)在定義域內(nèi)單調(diào)遞減；（3）\(h(x)=-\frac{1}{x}\)在定義域內(nèi)單調(diào)遞增。5.（1）\(f(x)=x^2+2x+1\)的值域?yàn)閈([1,+\infty)\)；（2）\(g(x)=\frac{1}{x}\)的值域?yàn)閈((-\infty,0)\cup(0,+\infty)\)；（3）\(h(x)=\sqrt{x^2-4x+3}\)的值域?yàn)閈([0,+\infty)\)。二、概率與統(tǒng)計(jì)6.從一副52張的撲克牌中抽到紅桃的概率為\(\frac{13}{52}=\frac{1}{4}\)。7.\(E(X)=(-1)\times0.2+0\times0.5+1\times0.3=0\)；\(D(X)=(-1-0)^2\times0.2+(0-0)^2\times0.5+(1-0)^2\times0.3=0.1\)。8.\(X+Y\)的概率分布如下：\(X+Y\)|\(-2\)|\(-1\)|\(0\)|\(1\)|\(2\)|----|----|----|----|----|----|\(P\)|\(0.06\)|\(0.16\)|\(0.2\)|\(0.16\)|\(0.06\)|9.\(D(X-Y)=D(X)+D(Y)-2\text{Cov}(X,Y)=0.1+0.16-2\times12=-23.8\)。10.\(D(X+Y)=D(X)+D(Y)+2\text{Cov}(X,Y)=0.1+0.16+2\times12=24.2\)。四、線性代數(shù)11.（1）\(\begin{vmatrix}1&2&3\\4&5&6\\7&8&9\end{vmatrix}=1\times(5\times9-6\times8)-2\times(4\times9-6\times7)+3\times(4\times8-5\times7)=0\)；（2）\(\begin{vmatrix}1&0&2\\3&1&4\\2&5&1\end{vmatrix}=1\times(1\times1-4\times5)-0\times(3\times1-4\times2)+2\times(3\times5-1\times2)=-23\)。12.（1）\(\begin{bmatrix}1&2\\3&4\end{bmatrix}\)的逆矩陣為\(\begin{bmatrix}4&-2\\-3&1\end{bmatrix}\)；（2）\(\begin{bmatrix}2&3&4\\5&6&7\\8&9&10\end{bmatrix}\)的逆矩陣為\(\begin{bmatrix}\frac{1}{2}&-\frac{3}{2}&\frac{4}{2}\\-\frac{5}{2}&\frac{1}{2}&-\frac{7}{2}\\\frac{8}{2}&-\frac{9}{2}&\frac{10}{2}\end{bmatrix}\)。13.（1）線性相關(guān)；（2）線性相關(guān)。14.（1）\(x=2,y=1\)；（2）\(x=1,y=1,z=1\)。15.（1）對應(yīng)的矩陣為\(\begin{bmatrix}1&0&0\\0&2&0\\0&0&1\end{bmatrix}\)；（2）對應(yīng)的矩陣為\(\begin{bmatrix}2&0&0\\0&-1&0\\0&0&3\end{bmatrix}\)。五、復(fù)數(shù)16.（1）\(|z|=\sqrt{3^2+4^2}=5\)；（2）\(|z|=\sqrt{2^2+5^2}=\sqrt{29}\)。17.（1）\(\overline{z}=1-2i\)；（2）\(\overline{z}=-3+4i\)。18.（1）\((1+i)(2-i)=2-i+2i-i^2=3+i\)；（2）\((3+4i)(2-3i)=6-9i+8i-12i^2=18-i\)。19.（1）\(z=3+4i=\sqrt{3^2+4^2}(\cos\theta+i\sin\theta)=5(\cos\theta+i\sin\theta)\)，其中\(zhòng)(\theta=\arctan\frac{4}{3}\)；（2）\(z=2-5i=\sqrt{2^2+5^2}(\cos\theta+i\sin\theta)=\sqrt{29}(\cos\theta+i\sin\theta)\)，其中\(zhòng)(\theta=\arctan\frac{-5}{2}\)。20.（1）\((1+i)^4=(1+i)^2\times(1+i)^2=2i\times2i