河池市2025年春季學(xué)期高一期末學(xué)業(yè)水平質(zhì)量檢測(cè)數(shù)學(xué)（本試卷滿分150分，考試時(shí)間120分鐘）一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.與是共軛復(fù)數(shù)，已知復(fù)數(shù)，則（）A. B. C. D.【答案】A解析：因?yàn)?，?故選：A.2.某校舉辦了一次環(huán)境保護(hù)知識(shí)競(jìng)賽，為了解學(xué)生的環(huán)境保護(hù)知識(shí)掌握程度，學(xué)校采用簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣從全校名學(xué)生中抽取了一個(gè)容量為的樣本，已知樣本的成績(jī)?nèi)糠植荚趨^(qū)間內(nèi)，根據(jù)調(diào)查結(jié)果繪制學(xué)生成績(jī)的頻率分布直方圖如圖所示，則頻率分布直方圖中（）A. B. C. D.【答案】B解析：在頻率分布直方圖可知，所有直方圖面積之和為，所以，解得.故選：B.3.下列向量的概念錯(cuò)誤的是（）A.長(zhǎng)度為0的向量是零向量，零向量的方向是任意的B.零向量和任何向量都是共線向量C.相等向量一定是共線向量，但共線向量不一定相等D.，，則【答案】D解析：對(duì)于A,零向量的長(zhǎng)度為0，且方向是任意的，故A正確，對(duì)于B，規(guī)定零向量與任意向量共線，故B正確，對(duì)于C，相等向量的模長(zhǎng)和方向都相同，故相等向量一定是共線向量，但共線向量是方向相同或者相反的兩個(gè)向量，模長(zhǎng)不一定相等，故共線向量不一定相等，C正確，對(duì)于D，當(dāng)為零向量時(shí)，此時(shí)不一定能得到，故D錯(cuò)誤，故選：D4.如圖，正方體中，異面直線與所成的角為（）A. B. C. D.【答案】C解析：連結(jié)，則，所以為異面直線與所成的角.在正方體中，因?yàn)闉檎切危?故選：C.5.如圖所示，已知在正方形中，、分別是邊、的中點(diǎn)，與交于點(diǎn).設(shè)，，下列選項(xiàng)錯(cuò)誤的是（）A. B. C. D.【答案】A解析：對(duì)于A選項(xiàng)，由平面向量加法的平行四邊形法則可得，A錯(cuò)；對(duì)于B選項(xiàng)，，B對(duì)；對(duì)于C選項(xiàng)，，C對(duì)；對(duì)于D選項(xiàng)，由題意可得，，所以，故，D對(duì).故選：A.6.已知樣本空間，事件，事件，則下列選項(xiàng)錯(cuò)誤的是（）A. B.C.事件與事件獨(dú)立 D.事件與事件互斥【答案】D解析：對(duì)于A,,故A正確，對(duì)于B,,故B正確，對(duì)于C,由于，則，故事件與事件獨(dú)立，C正確，對(duì)于D,事件與事件有公共的樣本點(diǎn)，故不互斥，D錯(cuò)誤，故選：D7.如圖，在直三棱柱中，，，，，點(diǎn)在棱上，求的最小值（）A. B. C. D.【答案】D解析：將平面、平面延展為同一個(gè)平面，如下圖所示：由圖可知，當(dāng)、、三點(diǎn)共線時(shí)，取最小值，且，，且，延展后，、、共線，且，，，由勾股定理可得.故最小值為.故選：D.8.某市圓形花圃，現(xiàn)要均分成塊，種植種不同花卉，工匠計(jì)劃將花圃按左圖方式分割.先將花圃均分成塊，在按照右圖將每個(gè)角花圃近似的均分成三塊（三部分面積近似均等），從弧的中點(diǎn)出發(fā)，左右對(duì)稱分割，已知右圖中，，，則的長(zhǎng)度最接近（）（，）A. B. C. D.【答案】B解析：因，設(shè)，，，，即，所以.故選：B.二、多選題：本大題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9.設(shè)、為不重合的兩平面，、為不重合的兩直線，則下列說法正確的是（）A，，則B.，，，，，則C，，則D.，，則【答案】BD解析：對(duì)于A選項(xiàng)，若，，則或，A錯(cuò)；對(duì)于B選項(xiàng)，若，，，，，則，B對(duì)；對(duì)于C選項(xiàng)，若，，則或，C錯(cuò)；對(duì)于D選項(xiàng)，若，，由線面垂直的性質(zhì)可得，D對(duì).故選：BD.10.已知復(fù)數(shù)，則下列說法正確的是（）A. B.對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在復(fù)平面的第三象限C.，則為實(shí)數(shù) D.，則為純虛數(shù)【答案】ACD解析：對(duì)于A,,故A正確，對(duì)于B，，則對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為，位于第二象限，故B錯(cuò)誤，對(duì)于C,為實(shí)數(shù)，故C正確，對(duì)于D,為純虛數(shù)，故D正確，故選：ACD11.在日常生活中，向量無處不在，如圖所示的情境，兩個(gè)人共提一個(gè)行李包.假設(shè)行李包所受重力為，作用在行李包上的兩個(gè)拉力分別為，，且，與的夾角為.給出以下結(jié)論，其中正確的是（）A.越大越費(fèi)力，越小越省力 B.當(dāng)時(shí)，C.當(dāng)時(shí)， D.當(dāng)時(shí)，【答案】AD解析：對(duì)于A，由為定值，所以，解得；由題意知時(shí)，單調(diào)遞減，且為定值，由符合函數(shù)的單調(diào)性可得單調(diào)遞增，即越大越費(fèi)力，越小越省力，故A正確；對(duì)于B，當(dāng)時(shí)，，故B錯(cuò)誤對(duì)于C，當(dāng)時(shí)，，所以，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，當(dāng)時(shí)，，所以，故D正確.故選：AD.三、填空題：本大題共3小題，每小題5分，共15分.12.已知向量，，若，則_____.【答案】解析：因?yàn)橄蛄?，，且，則，解得.故答案為：.13.是關(guān)于的方程的一個(gè)根，則實(shí)數(shù)__________.【答案】10解析：若一元二次方程存在虛數(shù)根，則該方程的兩個(gè)根為共軛復(fù)數(shù)，即為該方程的兩根，由韋達(dá)定理，.故答案為：10.14.正四面體的棱長(zhǎng)為8，為棱的中點(diǎn)，過點(diǎn)作正四面體外接球的截面，則截面面積的最小值為_____.【答案】解析：由正四面體的特征可知其外接球的球心在高所在的直線上，設(shè)球心為，則,,,設(shè)外接球的半徑為,則,代入的值可得,要使過點(diǎn)作正四面體外接球的截面中面積最小，則到球心的距離最大，即與截面垂直時(shí)，此時(shí)截面最小，則到球心的距離,故截面圓的半徑為,因此截面圓的面積為，故答案為：四、解答題：本大題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.已知的內(nèi)角、、的對(duì)邊分別為、、，.（1）求角；（2）若，的面積為，求的周長(zhǎng).【答案】（1）（2）（1）因?yàn)?，由正弦定理可得，故，由余弦定理得，因?yàn)?，?（2）由三角形的面積公式得，可得，由余弦定理得，解得，故的周長(zhǎng)為.16.2025年NBA選秀大會(huì)，我國選手楊瀚森將參加選秀，為備戰(zhàn)選秀，運(yùn)動(dòng)員參加了聯(lián)合試訓(xùn)，其中甲、乙兩位運(yùn)動(dòng)員開展了隊(duì)內(nèi)三分投籃對(duì)抗賽.在對(duì)抗賽中兩人每輪投籃10次，共進(jìn)行10輪，每輪命中的成績(jī)（個(gè)數(shù)）如下：甲476549107810乙7586797678（1）求甲運(yùn)動(dòng)員的樣本數(shù)據(jù)第75百分位數(shù)；（2）分別計(jì)算這兩位運(yùn)動(dòng)員10輪投籃成績(jī)的平均數(shù)和方差；（3）根據(jù)第二問結(jié)果回答下列問題：甲、乙兩位運(yùn)動(dòng)員誰的發(fā)揮更穩(wěn)定，為什么？【答案】（1）9（2）甲的平均數(shù)為7，方差為4.6，乙的平均數(shù)為7，方差為1.2（3）乙發(fā)揮的更加穩(wěn)定，理由見解析（1）甲運(yùn)動(dòng)員的成績(jī)從小到大排列為，，故甲運(yùn)動(dòng)員的樣本數(shù)據(jù)第75百分位數(shù)為9，（2）甲的平均數(shù)為，方差為乙的平均數(shù)為方差為（3）由（2）知：，故乙發(fā)揮的更加穩(wěn)定.17.一個(gè)不透明的袋中裝有除了顏色外大小、質(zhì)地均一致的4個(gè)小球，其中3個(gè)紅球，1個(gè)白球，設(shè)計(jì)了兩個(gè)摸球游戲，其規(guī)則如下表所示：游戲1游戲2摸球方式不放回依次摸2球有放回依次摸2球獲勝規(guī)則若摸出2個(gè)紅球，則甲獲勝，否則乙獲勝（1）寫出游戲1與游戲2的樣本空間，并分別求出在游戲1與游戲2中甲獲勝的概率；（2）甲與乙兩人玩游戲1，約定每局勝利的人得2分，否則得0分，先得到4分的人獲得比賽勝利，則游戲結(jié)束.每局游戲結(jié)果互不影響，求甲獲得比賽勝利的概率.【答案】（1），，（2）（1）記三個(gè)紅球?yàn)樘?hào)，記白球?yàn)樘?hào)，用表示兩次摸球的情況，記游戲1與游戲2的樣本空間分別為，記“在游戲1中甲獲勝”，記“在游戲2中甲獲勝”，，（2）記“甲獲得第局游戲勝利”，，記“甲獲得比賽勝利”由（1），18.如圖，已知三棱錐中，平面平面，平面，為的中點(diǎn)，為等邊三角形，為中點(diǎn)，.（1）證明：平面；（2）求直線與平面所成角大?。唬?）求二面角的正切值.【答案】（1）證明見解析（2）（3）（1）因?yàn)闉榈冗吶切?，為的中點(diǎn)，所以，因?yàn)槠矫?，平面，所以，因?yàn)?，、平面，故平?（2）取線段的中點(diǎn)，連接，如下圖所示：因?yàn)椤⒎謩e為、的中點(diǎn)，所以，因?yàn)槠矫?，所以平面，故直線與平面所成角為，因?yàn)槠矫嫫矫?，平面平面，平面平面，所以，因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，故為的中點(diǎn)，又因?yàn)闉榈冗吶切?，故，因此，直線與平面所成角為.（3）連接，分別取、的中點(diǎn)、，連接、、，如下圖所示：因?yàn)?、分別為、的中點(diǎn)，所以，，同理可得，，因?yàn)槠矫?，所以平面，因?yàn)?、平面，所以，，又∵平?平面，∴，因?yàn)?，、平面，所以平面，因?yàn)槠矫?，所以，故二面角的平面角為，且，因此，二面角的正切值?19.已知為坐標(biāo)原點(diǎn)，對(duì)于函數(shù)，稱向量為函數(shù)的相伴特征向量，同時(shí)稱函數(shù)為向量的相伴函數(shù).（1）記向量的相伴函數(shù)為，若當(dāng)且時(shí)，求的值；（2）設(shè)，試求函數(shù)的相伴特征向量，并求出與同向的單