第=page11頁(yè)，共=sectionpages11頁(yè)2024-2025學(xué)年山東省濟(jì)南市高二（下）期末數(shù)學(xué)試卷一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.已知函數(shù)f(x)=ex?x2A.e?2 B.e?1 C.e+1 D.e+22.用1，2，3，4這四個(gè)數(shù)能夠組成無(wú)重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)的個(gè)數(shù)為(

)A.9 B.12 C.16 D.243.對(duì)四組數(shù)據(jù)進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，獲得如圖散點(diǎn)圖，將四組數(shù)據(jù)對(duì)應(yīng)的相關(guān)系數(shù)進(jìn)行比較，則(

)

A.r1<r2<r3<r4.(x2+A.2 B.4 C.6 D.125.連續(xù)型隨機(jī)變量X～N(5,σ2)，若P(X≥7)=0.2，P(X≥8)=0.1，則P(2<X<7)=A.0.8 B.0.7 C.0.6 D.0.46.定義在R上的函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù)為f′(x)，若f′(x)>3，f(2)=6，則f(x)>3x的解集為(

)A.(?∞,0) B.(?∞,2) C.(0,+∞) D.(2,+∞)7.由若干根相同的木棍組成如圖所示的長(zhǎng)方體框架，一只螞蟻從點(diǎn)P出發(fā)，沿木棍爬行到點(diǎn)Q的最短路徑有(

)A.15種

B.30種

C.48種

D.60種8.甲同學(xué)參加綜合素質(zhì)測(cè)試，該測(cè)試共有6個(gè)項(xiàng)目.已知甲同學(xué)每個(gè)項(xiàng)目合格的概率均為p(0<p<1)，合格得3分，不合格扣2分，且各項(xiàng)目是否合格相互獨(dú)立.設(shè)6個(gè)項(xiàng)目測(cè)試完后甲的總得分為Y，期望為E(Y)，方差為D(Y)，當(dāng)E(Y)+D(Y)最大時(shí)，p=(

)A.15 B.14 C.35二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求。9.已知(1?x)n的展開(kāi)式中僅第4項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大，則(

)A.n=6 B.含x項(xiàng)的系數(shù)為15

C.各二項(xiàng)式系數(shù)和為64 D.各項(xiàng)系數(shù)和為6410.已知函數(shù)f(x)=(x+2)(x?1)2，則(

)A.f(x)的極大值為4 B.對(duì)?x∈R，f(x)+f(?x)=4

C.f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(?1,1) D.當(dāng)0<x<1時(shí)，0<f(2x?1)<411.A與B兩人玩游戲，A有標(biāo)號(hào)為1，2，3，…，n(n≥1)的n張卡片，B有標(biāo)號(hào)為1，2，3，…，n，n+1的n+1張卡片.規(guī)則如下：①雙方交替從對(duì)方手中抽取一張卡片，若抽到的卡片與自己手中的某張卡片數(shù)字相同，則將這兩張卡片丟棄；②A先從B手中抽??；③當(dāng)有一位玩家手中沒(méi)有卡片時(shí)，該玩家獲勝，游戲結(jié)束.記A有n張卡片，B有n+1張卡片時(shí)，A獲勝的概率為pn，則(

)A.若n=3，則B恰好在兩人共抽取4次后獲勝的概率為932

B.p1=12

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12.口袋中有大小、形狀均相同的3個(gè)紅球，2個(gè)白球，從中任取兩個(gè)球，則取到的兩個(gè)球顏色相同的概率為_(kāi)_____．13.兩個(gè)相關(guān)變量x，y的一組數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)如表：x23456y2.83.13.33.84.0根據(jù)上表可得經(jīng)驗(yàn)回歸方程y?=b?x+a?中的b?14.過(guò)點(diǎn)(0,a)可以作曲線y=xex的三條切線，則實(shí)數(shù)a四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟。15.(本小題13分)

從某校高一年級(jí)全體學(xué)生中隨機(jī)抽取120人，進(jìn)行文理選科傾向調(diào)查，得到如表列聯(lián)表：性別

傾向男生女生合計(jì)偏理科4090偏文科10合計(jì)60120(1)請(qǐng)完成上述2×2列聯(lián)表；

(2)從女生中隨機(jī)抽取一人，求該女生是偏文科生的概率；

(3)根據(jù)小概率值α=0.05的獨(dú)立性檢驗(yàn)，分析性別與選科傾向是否有關(guān)．

參考數(shù)據(jù)：α0.10.050.01x2.7063.8416.635χ2=16.(本小題15分)

已知函數(shù)f(x)=ex(x2?2ax+1)在x=1處取得極值．

(1)求實(shí)數(shù)a的值；

(2)若f(x)?k≤0在17.(本小題15分)

(1)證明：kCnk=nCn?1k?1，其中1≤k≤n，n≥2；

18.(本小題17分)

甲、乙、丙三位同學(xué)進(jìn)行猜拳游戲，規(guī)則如下：累計(jì)負(fù)兩局者被淘汰；隨機(jī)確定第一局的游戲者，另一人輪空；每局游戲的勝者與輪空者進(jìn)行下一局游戲，負(fù)者下一局輪空，直至有一人被淘汰；當(dāng)一人被淘汰后，剩余的兩人繼續(xù)比賽，直至其中一人被淘汰，另一人最終獲勝，游戲結(jié)束.設(shè)每局游戲雙方獲勝的概率都為12．

(1)求甲獲得第二局比賽勝利的概率；

(2)在甲獲得第二局比賽勝利的條件下，第一局是由甲、乙進(jìn)行游戲的概率；

(3)已知第一局是由甲、乙進(jìn)行游戲，記丙參加游戲的局?jǐn)?shù)為X，求隨機(jī)變量X的分布列和數(shù)學(xué)期望．19.(本小題17分)

已知函數(shù)f(x)=xalnx?x．

(1)當(dāng)a=1時(shí)，討論函數(shù)f(x)的單調(diào)性；

(2)當(dāng)x∈(1,+∞)時(shí)，不等式f(x)+1<0恒成立，求a的取值范圍；

(3)設(shè)n∈N?，證明：1答案解析1.【答案】A

【解析】解：因?yàn)楹瘮?shù)f(x)=ex?x2，

所以f′(x)=ex?2x，

所以Δx→0limf(1+Δx)?f(1)Δx2.【答案】D

【解析】解：用1，2，3，4這四個(gè)數(shù)能夠組成無(wú)重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)個(gè)數(shù)為A43=24個(gè)．

故選：D．

3.【答案】A

【解析】解：根據(jù)相關(guān)系數(shù)性質(zhì)，即相關(guān)系數(shù)的絕對(duì)值越接近于1，變量的相關(guān)性越強(qiáng)，

由圖可得后兩幅圖呈正相關(guān)，則0<r3<r4，

前兩幅圖呈負(fù)相關(guān)，則r1<r2<0，

則4.【答案】C

【解析】解：因?yàn)?x2+1x2+2)2=[(x+1x)5.【答案】B

【解析】解：已知連續(xù)型隨機(jī)變量X～N(5,σ2)，則對(duì)稱(chēng)軸為X=5，

若P(X≥7)=0.2，P(X≥8)=0.1，

則P(X≤2)=P(X≥8)=0.1，則P(X>2)=1?0.1=0.9，

則P(2<X<7)=P(X>2)?P(X≥7)=0.9?0.2=0.7．

故選：B．

6.【答案】D

【解析】解：令g(x)=f(x)?3x，

因?yàn)閒′(x)>3，

所以g′(x)=f′(x)?3>0，

所以g(x)在R上單調(diào)遞增，

因?yàn)閒(2)=6，所以g(2)=f(2)?6=0，

由f(x)>3x可得f(x)?3x>0，

即g(x)>0，

所以x>2．

故選：D．

令g(x)=f(x)?3x，先對(duì)g(x)求導(dǎo)，結(jié)合導(dǎo)數(shù)與單調(diào)性關(guān)系即可求解不等式．

本題主要考查了導(dǎo)數(shù)與單調(diào)性關(guān)系的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．7.【答案】D

【解析】解：由題意可知，從點(diǎn)P到點(diǎn)Q的最短路徑需要經(jīng)過(guò)3條水平的棱、1條豎直的棱和2條橫向的棱，

所以最短路徑有C63?C31?C28.【答案】C

【解析】解：依題意，合格項(xiàng)目的個(gè)數(shù)X滿足X～B(6,p)，

則E(X)=6p，D(X)=6p(1?p)，

由每個(gè)項(xiàng)目合格得3分，不合格扣2分，得甲的總得分Y=3X?2(6?X)=5X?12，

因此E(Y)=5E(X)?12=30p?12，D(Y)=25D(X)=150p(1?p)，

則E(Y)+D(Y)=?150p2+180p?12=?150(p?35)2+42,又0<p<1，

所以當(dāng)p=35時(shí)，9.【答案】AC

【解析】解：對(duì)于A，第4項(xiàng)系數(shù)最大，則該項(xiàng)為中間項(xiàng)，共7項(xiàng)，n=6，A正確；

對(duì)于B，含x的項(xiàng)為C61(?x)=?6，B錯(cuò)誤；

對(duì)于C，各二項(xiàng)式系數(shù)之和為26=64，C正確；

對(duì)于D，令x=1，可得各項(xiàng)系數(shù)之和為0，D錯(cuò)誤．

故選：AC．

10.【答案】ABD

【解析】解：f′(x)=(x?1)2+2(x+2)(x?1)=3(x?1)(x+1)，

當(dāng)x>1或x<?1時(shí)，f′(x)>0，當(dāng)?1<x<1時(shí)，f′(x)<0，

故f(x)在(?∞,?1)和(1,+∞)上單調(diào)遞增，在(?1,1)上單調(diào)遞減，

故x=?1時(shí)，函數(shù)取得極大值f(?1)=4，A正確，C錯(cuò)誤；

f(x)+f(?x)=(x+2)(x?1)2+(?x+2)(?x?1)2=x3?3x+2?x3+3x+2=4，B正確；

當(dāng)0<x<1時(shí)，?1<2x?1<1，此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞減，

所以f(1)<f(2x?1)<f(?1)11.【答案】AD

【解析】解：選項(xiàng)A：當(dāng)n=3時(shí)，B恰好在4次抽取后獲勝的情況需滿足，前4次抽取后B無(wú)卡片：

第1次(A抽B)：B有4張卡(1?4)，A抽中1?3的概率為34匹配，B卡數(shù)減1)，抽中4的概率為14(不匹配，B卡數(shù)減1)；

第2次(B抽A)：B抽中A的卡(1?3)必匹配(因B有1?4)，B卡數(shù)減1；

第3次(A抽B)：B剩余2張卡，A抽中匹配卡的概率為12(若B剩余卡含A的卡)或不匹配；

第4次(B抽A)：B需抽中最后一張匹配卡使卡數(shù)為0，綜合計(jì)算得概率為932，故A正確；

選項(xiàng)B：當(dāng)n=1時(shí)，A有[1]，B有[1,2]；A第一次抽中1的概率12(A勝)；

抽中2的概率12，此時(shí)A有[1,2]，B有[1]；B抽中1的概率12(B勝)；

抽中2的概率12，此時(shí)B有[1,2]，A有[1]，

后續(xù)循環(huán)中A獲勝概率為p1=12+12×12×p1，p1=23≠12，故B錯(cuò)誤；

選項(xiàng)C：假設(shè)pn遞推關(guān)系為pn=n2n+1pn?1+?，

但p3=47，而35p1+15=35×23+15=35≠47，故C12.【答案】25【解析】解：口袋中有大小、形狀均相同的3個(gè)紅球，2個(gè)白球，

從中任取兩個(gè)球的所有取法共有C52=10種，

則取到的兩個(gè)球顏色相同的情況有C22+C32=4種，

故概率13.【答案】4.33

【解析】解：根據(jù)題意，x?=2+3+4+5+65=4，y?=2.8+3.1+3.3+3.8+4.05=3.4，

又經(jīng)驗(yàn)回歸方程y?=b?x+a?中的b?為0.31，即y=0.31x+a，

將中心點(diǎn)代入，即3.4=0.31×4+a，則a=2.16，

則經(jīng)驗(yàn)回歸方程為14.【答案】(0,4【解析】解：因?yàn)閥=f(x)=xex，所以f′(x)=1?xex，

設(shè)過(guò)點(diǎn)(0,a)的切線切曲線f(x)=xex于點(diǎn)(t,tet)，

則切線方程為y?tet=1?tet(x?t)，又其過(guò)點(diǎn)(0,a)，

所以a?tet=1?tet(?t)，所以根據(jù)題意該方程有3解，

即a=t2et有3解，

所以y=a與y=g(t)=t2et有3個(gè)交點(diǎn)，

又g′(t)=t(2?t)et，

所以當(dāng)t∈(?∞,0)時(shí)，g′(t)<0，g(t)單調(diào)遞減；

當(dāng)t∈(0,2)時(shí)，g′(t)>0，g(t)單調(diào)遞增；

當(dāng)t∈(2,+∞)時(shí)，g′(t)<0，g(t)單調(diào)遞減；

所以g(t)的極小值為g(0)=0，極大值為g(2)=4e2，

且當(dāng)t→?∞時(shí)，g(t)→+∞15.【答案】列聯(lián)表見(jiàn)解析；

13；

認(rèn)為性別與選科傾向有關(guān)．【解析】(1)2×2列聯(lián)表如下：性別

傾向男生女生合計(jì)偏理科504090偏文科102030合計(jì)6060120(2)女生共60人，其中偏文科20人，概率為：P=2060=13；

(3)χ2=120×(50×20?40×10)2(50+40)(10+20)(50+10)(40+20)=120×600290×30×60×60≈4.44416.【答案】a=1．

[e2【解析】(1)f′(x)=ex(x2?2ax+1)+ex(2x?2a)=ex[x2?(2a?2)x+1?2a]=ex(x+1?2a)(x+1)，

因?yàn)閒(x)在x=1處取得極值，

所以f′(1)=0，得a=1．

(2)由(1)知f(x)=ex(x2?2x+1)=ex(x?1)2，

若f(x)?k≤0在(?∞,2]上恒成立，則f(x)≤k在(?∞,2]上恒成立，

所以只需k≥f(x)max，x∈(?∞,2]，

f′(x)=ex(x?1)2+ex?2(x?1)=ex(x2?1)，

令f′(x)=0，得x=±1，

所以在(?∞,?1)上，f′(x)>0，f(x)單調(diào)遞增，

在(?1,1)上，f′(x)<0，f(x)單調(diào)遞減，

在(1,2)上，f′(x)>017.【答案】證明過(guò)程見(jiàn)解析；

2n?1(n+2)【解析】(1)證明：左邊kCnk=k×n!k!(n?k)!=n!(k?1)!(n?k)!，右邊nCn?1k?1=n×(n?1)!(k?1)![(n?1)?(k?1)]!=n×(n?1)!(k?1)!(n?k)!=n!(k?1)!(n?k)!，

因此左邊等于右邊，

故kCnk=nCn?1k?1成立；

(2)設(shè)S=Cn0+2Cn1+3Cn2+?+(n+1)Cnn，

則S=k=0n(k+1)Cn18.【答案】13；

14；

分布列見(jiàn)詳解；23【解析】(1)根據(jù)題意，第一局中的游戲者可以為甲乙，甲丙，乙丙，對(duì)應(yīng)事件設(shè)為A1，A2，A3，

P(A1)=P(A2)=P(A3)=13，

設(shè)甲獲得第二局比賽勝利為事件B，若甲在第一局參加比賽則必須獲勝，且在第二局也獲勝，

若甲第一局未參加比賽，則只需在第二局獲勝即可，

所以P(B)=P(A1)×12×12+P(A2)×12×12+P(A3)×12=13，

甲獲得第二局比賽勝利的概率13；

(2)由題知P(A1B)=13X234P151E(X)=2×14+3×58+4×18=238．

(1)根據(jù)題意分情況列舉即可；

(2)結(jié)合(1)，再利用條件概率公式即可求解；

(3)由題知，對(duì)局?jǐn)?shù)最多5局，X的取值可以為2，3