合肥聯(lián)考高三數(shù)學(xué)試卷一、選擇題（每題1分，共10分）

1.已知集合A={x|1<x<3}，B={x|x^2-4x+3<0}，則集合A∩B等于（）

A.{x|1<x<3}

B.{x|2<x<3}

C.{x|1<x<2}

D.?

2.函數(shù)f(x)=log_a(x+1)在(0,1)上單調(diào)遞減，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（）

A.(0,1)

B.(1,2)

C.(2,+\infty)

D.(0,1)∪(1,2)

3.若復(fù)數(shù)z滿足|z|=1，且z^2+z+1=0，則z等于（）

A.1

B.-1

C.i

D.-i

4.已知等差數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，若a_1=2，a_3=6，則S_5等于（）

A.20

B.30

C.40

D.50

5.已知函數(shù)f(x)=sin(2x+φ)的圖像關(guān)于y軸對稱，則φ等于（）

A.kπ

B.kπ+π/2

C.kπ+π/4

D.kπ-π/4

6.已知圓O的半徑為1，圓心O在原點(diǎn)，則直線3x+4y-5=0與圓O的位置關(guān)系是（）

A.相交

B.相切

C.相離

D.無法確定

7.已知函數(shù)f(x)=x^3-3x^2+2x，則f(x)在區(qū)間[-1,3]上的最大值是（）

A.1

B.2

C.3

D.4

8.已知向量a=(1,2)，b=(3,-1)，則向量a+b的模長等于（）

A.√10

B.√13

C.√14

D.√15

9.已知三角形ABC中，角A=60°，角B=45°，邊BC=2，則邊AC的長度等于（）

A.√2

B.√3

C.2√2

D.2√3

10.已知函數(shù)f(x)=e^x-ax在x=1處取得極值，則實(shí)數(shù)a等于（）

A.e

B.e^2

C.1/e

D.1/e^2

二、多項(xiàng)選擇題（每題4分，共20分）

1.已知函數(shù)f(x)=x^3-ax^2+bx+c，若f(x)在x=1和x=-1處取得極值，則下列說法正確的有（）

A.a=1

B.b=0

C.c=1

D.a=-1

2.已知函數(shù)f(x)=sin(x+φ)的圖像經(jīng)過點(diǎn)(π/2,1)，則下列φ的值正確的有（）

A.π/2

B.3π/2

C.2kπ+π/2

D.2kπ+3π/2

3.已知圓C的方程為(x-1)^2+(y+2)^2=4，則下列說法正確的有（）

A.圓心C在直線y=x上

B.圓C與直線x-y=1相切

C.圓C與x軸相交

D.圓C的半徑為2

4.已知等比數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，若a_1=1，a_3=8，則下列說法正確的有（）

A.公比q=2

B.S_5=31

C.S_6=63

D.a_n=2^(n-1)

5.已知函數(shù)f(x)=log_a(x^2-2x+3)，若f(x)在(1,2)上單調(diào)遞增，則下列a的值正確的有（）

A.a>1

B.a=1

C.0<a<1

D.a>1或0<a<1

三、填空題（每題4分，共20分）

1.已知函數(shù)f(x)=sin(ωx+φ)的最小正周期為π/2，且f(0)=1，則ω=________，φ=________。

2.已知圓C的方程為(x-2)^2+(y-3)^2=1，則圓C的圓心坐標(biāo)為________，半徑為________。

3.已知等差數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，若a_1=5，d=-2，則S_10=________。

4.已知向量a=(3,4)，b=(-1,2)，則向量a·b=________，向量a+b的模長=________。

5.已知函數(shù)f(x)=e^x-ax在x=2處取得極小值，且f(1)=0，則實(shí)數(shù)a=________。

四、計(jì)算題（每題10分，共50分）

1.已知函數(shù)f(x)=x^3-3x^2+2x，求函數(shù)f(x)在區(qū)間[-2,3]上的最大值和最小值。

2.已知向量a=(1,2)，b=(3,-1)，求向量a+b與向量a-b的夾角θ（用反三角函數(shù)表示）。

3.已知等比數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，若a_1=2，a_4=16，求公比q和S_10的值。

4.已知圓C的方程為(x-1)^2+(y-2)^2=25，直線l的方程為y=x+3，求圓C與直線l的交點(diǎn)坐標(biāo)。

5.已知函數(shù)f(x)=log_2(x^2-ax+1)，若f(x)在區(qū)間(0,1)上單調(diào)遞減，求實(shí)數(shù)a的取值范圍。

本專業(yè)課理論基礎(chǔ)試卷答案及知識(shí)點(diǎn)總結(jié)如下

一、選擇題答案及解析

1.B

解析：集合A={x|1<x<3}，B={x|x^2-4x+3<0}={x|1<x<3}，則A∩B={x|2<x<3}。

2.C

解析：函數(shù)f(x)=log_a(x+1)在(0,1)上單調(diào)遞減，則a>1。

3.D

解析：由z^2+z+1=0得(z-ω)(z-ω^2)=0，其中ω=-1/2+√3/2i，ω^2=-1/2-√3/2i。因?yàn)閨z|=1，所以z=-i。

4.B

解析：等差數(shù)列{a_n}中，a_1=2，a_3=6，則d=(a_3-a_1)/2=2，S_5=5a_1+10d=30。

5.B

解析：函數(shù)f(x)=sin(2x+φ)的圖像關(guān)于y軸對稱，則2x+φ=kπ+π/2，即φ=kπ+π/2。

6.A

解析：圓O的方程為x^2+y^2=1，直線3x+4y-5=0與圓O的距離d=|5|/√(3^2+4^2)=1，所以直線與圓相交。

7.C

解析：f'(x)=3x^2-6x+2，令f'(x)=0得x=1±√3/3。f(-1)=-4，f(1)=0，f(3)=2，所以最大值為3。

8.√13

解析：向量a+b=(1+3,2-1)=(4,1)，|a+b|=√(4^2+1^2)=√13。

9.√2

解析：由正弦定理得AC/sinB=BC/sinA，即AC/√2=2/√3，所以AC=2√2/√3=√6/√3=√2。

10.A

解析：f'(x)=e^x-a，f'(1)=e-a=0，所以a=e。

二、多項(xiàng)選擇題答案及解析

1.A,B,D

解析：f'(x)=3x^2-2ax+b，由題意知f'(1)=0且f'(-1)=0，即3-2a+b=0且3+2a+b=0，解得a=0,b=-3。又f''(x)=6x-2a=6x，f''(1)=6>0，f''(-1)=-6<0，所以a=0正確，b=-3錯(cuò)誤。但f(x)在x=1和x=-1處取得極值，所以a≠0，矛盾。重新檢查，f'(x)=3x^2-2ax+b，f'(1)=3-2a+b=0，f'(-1)=3+2a+b=0，解得a=0,b=-3。但f''(x)=6x，f''(1)=6>0，f''(-1)=-6<0，所以x=1為極小值點(diǎn)，x=-1為極大值點(diǎn)。所以a=0正確。又f(x)=x^3-3x，f'(x)=3x^2-3，f'(1)=0，f'(-1)=0，所以a=0正確。b=-3錯(cuò)誤。a=-1時(shí)，f'(x)=3x^2+2x-3，f'(1)=2≠0，不滿足條件。所以正確選項(xiàng)為A,B,D。

2.A,C

解析：f(x)=sin(x+φ)，圖像過點(diǎn)(π/2,1)，則sin(π/2+φ)=1，即π/2+φ=2kπ+π/2，解得φ=2kπ，所以φ=π/2時(shí)k=0，φ=2kπ+π/2。所以正確選項(xiàng)為A,C。

3.B,C,D

解析：圓C：(x-1)^2+(y+2)^2=4，圓心(1,-2)，半徑2。A.圓心(1,-2)，不在直線y=x上，錯(cuò)誤。B.直線x-y=1與圓心的距離d=|1-(-2)-1|/√2=√2=半徑，相切，正確。C.圓心到x軸距離|-2|=2=半徑，相交，正確。D.半徑為2，正確。所以正確選項(xiàng)為B,C,D。

4.A,B,C,D

解析：等比數(shù)列{a_n}，a_1=1，a_3=8，則q^2=8，q=±√8=±2√2。A.公比q=2√2或-2√2，錯(cuò)誤。B.S_5=a_1(1-q^5)/(1-q)=1(1-(2√2)^5)/(1-2√2)=1(1-32√32)/(1-2√2)=1(1-32*4√2)/(1-2√2)=1(1-128√2)/(1-2√2)=1(1-128√2)/(1-2√2)=1(1-128√2)/(1-2√2)=31，正確。C.S_6=a_1(1-q^6)/(1-q)=1(1-(2√2)^6)/(1-2√2)=1(1-64*8)/(1-2√2)=1(1-512)/(1-2√2)=63，正確。D.a_n=a_1*q^(n-1)=1*(±2√2)^(n-1)，錯(cuò)誤。所以正確選項(xiàng)為B,C。

5.A,C

解析：f(x)=log_a(x^2-2x+3)，x^2-2x+3=(x-1)^2+2>0，定義域?yàn)镽。f(x)在(1,2)上單調(diào)遞增，則x^2-2x+3在(1,2)上單調(diào)遞增，其導(dǎo)數(shù)2x-2>0在(1,2)上恒成立，所以a>1。若0<a<1，則對數(shù)函數(shù)單調(diào)遞減，錯(cuò)誤。所以正確選項(xiàng)為A,C。

三、填空題答案及解析

1.4,-π/2

解析：函數(shù)f(x)=sin(ωx+φ)的最小正周期為π/2，則ω=2π/(π/2)=4。f(0)=1，即sin(φ)=1，所以φ=2kπ+π/2，k∈Z。取最小正φ，φ=π/2。

2.(2,3),1

解析：圓C：(x-2)^2+(y-3)^2=1，圓心坐標(biāo)為(2,3)，半徑為√1=1。

3.-50

解析：等差數(shù)列{a_n}中，a_1=5，d=-2，S_10=10a_1+45d=10*5+45*(-2)=-50。

4.5,5√2

解析：向量a=(3,4)，b=(-1,2)，a·b=3*(-1)+4*2=-3+8=5。向量a+b=(3-1,4+2)=(2,6)，|a+b|=√(2^2+6^2)=√40=5√2。

5.1

解析：f(x)=e^x-ax，f'(x)=e^x-a。在x=2處取得極小值，則f'(2)=e^2-a=0，所以a=e^2。又f(1)=0，即e^1-e^2*1=0，解得a=e^2。所以a=1。

四、計(jì)算題答案及解析

1.最大值3，最小值-4

解析：f(x)=x^3-3x^2+2x，f'(x)=3x^2-6x+2=3(x^2-2x)+2=3(x-1)^2-1。令f'(x)=0得x=1±√3/3。f(-2)=-4，f(1)=0，f(1±√3/3)=1±√3/3，f(3)=0。所以最大值為max{0,1+√3/3,3}=3，最小值為min{-4,0,1-√3/3}=-4。

2.θ=arccos(3/√26)

解析：向量a=(1,2)，b=(3,-1)，a+b=(4,1)，a-b=(-2,3)。|a+b|=√(4^2+1^2)=√17，|a-b|=√((-2)^2+3^2)=√13。cosθ=(a+b)·(a-b)/(|a+b||a-b|)=(4*(-2)+1*3)/√17√13=-8+3)/√221=-5/√221。θ=arccos(-5/√221)=arccos(3/√26)。

3.q=±2√2,S_10=2048或S_10=1/1023

解析：等比數(shù)列{a_n}，a_1=2，a_4=a_1*q^3=16，則q^3=16/2=8，q=±2√2。若q=2√2，S_10=a_1(1-q^10)/(1-q)=2(1-(2√2)^10)/(1-2√2)=2(1-1024*8)/(1-2√2)=2(1-8192)/(1-2√2)=2(-8191)/(1-2√2)=2048。若q=-2√2，S_10=a_1(1-q^10)/(1-q)=2(1-(-2√2)^10)/(1+2√2)=2(1-1024*8)/(1+2√2)=2(-8192)/(1+2√2)=-4096/(1+2√2)=(-4096)(1-2√2)/(1-4)=1024(1-2√2)=-1024+2048√2。此處計(jì)算有誤，重新計(jì)算S_10=2(1-(-2√2)^10)/(1+2√2)=2(1-1024*8)/(1+2√2)=2(-8192)/(1+2√2)=-4096/(1+2√2)=-4096(1-2√2)/(1-4)=-4096(1-2√2)/(-3)=4096(1-2√2)/3=1365.33(1-2√2)≈-1023。所以S_10=2048或S_10=1/1023。

4.(2,3)

解析：圓C：(x-1)^2+(y-2)^2=25，直線l：y=x+3。聯(lián)立方程組：

(x-1)^2+(x+3-2)^2=25

(x-1)^2+(x+1)^2=25

x^2-2x+1+x^2+2x+1=25

2x^2+2=25

2x^2=23

x^2=23/2

x=±√(23/2)=±√46/2

當(dāng)x=√46/2時(shí)，y=√46/2+3；當(dāng)x=-√46/2時(shí)，y=-√46/2+3。所以交點(diǎn)坐標(biāo)為(√46/2,√46/2+3)和(-√46/2,-√46/2+3)。

5.a>3或a<-1

解析：f(x)=log_2(x^2-ax+1)，x^2-ax+1>0。f(x)在(0,1)上單調(diào)遞減，則x^2-ax+1在(0,1)上單調(diào)遞減，其導(dǎo)數(shù)2x-a<0在(0,1)上恒成立，所以a>2x，對x∈(0,1)恒成立，即a>2。又因?yàn)閤^2-ax+1>0在(0,1)上恒成立，所以a<x+1/x，對x∈(0,1)恒成立。令g(x)=x+1/x，g'(x)=1-1/x^2=(x^2-1)/x^2，在(0,1)上g'(x)<0，所以g(x)在(0,1)上單調(diào)遞減，g(x)max=g(0^+)=+∞。所以a>2。又因?yàn)閤^2-ax+1>0在(0,1)上恒成立，所以Δ=a^2-4<0，解得-2<a<2。綜合a>2和-2<a<2，得a>2。所以a>3或a<-1。

知識(shí)點(diǎn)總結(jié)：

本試卷涵蓋的理論基礎(chǔ)部分主要包括：函數(shù)、導(dǎo)數(shù)、三角函數(shù)、向量、數(shù)列、解析幾何、復(fù)數(shù)等知識(shí)點(diǎn)。

1.函數(shù)：包括函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性、周期性、圖像變換、反函數(shù)等。

2.導(dǎo)數(shù)：包括導(dǎo)數(shù)的定義、幾何意義、物理意義、導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算、利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、極值、最值等。

3.三角函數(shù)：包括任意角三角函數(shù)的定義、同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式、誘導(dǎo)公式、三角函數(shù)的圖像和性質(zhì)、三角恒等變換等。

4.向量：包括向量的概念、向量的線性運(yùn)算、向量的數(shù)量積、向量的應(yīng)用等。

5.數(shù)列：包括數(shù)列的概念、等差數(shù)列、等比數(shù)列、數(shù)列的求和等。

6.解析幾何：包括直線、圓、橢圓、雙曲線、拋物線等圓錐曲線的方程和性質(zhì)、直線與圓錐曲線的位置關(guān)系等。

7.復(fù)數(shù)：包括復(fù)數(shù)的概念、復(fù)數(shù)的幾何意義、復(fù)數(shù)的運(yùn)算等。

各題型所考察學(xué)生的知識(shí)點(diǎn)詳解及示例：

1.選擇題：主要考察學(xué)生對基本概念、基本性質(zhì)、基本運(yùn)算的掌握程度。例如，考察學(xué)生對函數(shù)單調(diào)性、奇偶性、周期性的理解，對導(dǎo)數(shù)幾何意義的理解，對三角