第六章3.2離散型隨機(jī)變量的方差基礎(chǔ)落實·必備知識一遍過重難探究·能力素養(yǎng)速提升學(xué)以致用·隨堂檢測促達(dá)標(biāo)目錄索引

課程標(biāo)準(zhǔn)1.通過具體實例理解離散型隨機(jī)變量的方差及標(biāo)準(zhǔn)差的概念和實際意義.2.會用方差解決一些實際問題.基礎(chǔ)落實·必備知識一遍過知識點

離散型隨機(jī)變量的方差、標(biāo)準(zhǔn)差注意兩個概念的區(qū)別與聯(lián)系1.定義若離散型隨機(jī)變量X的分布列如下表:Xx1x2…xi…xnPp1p2…pi…pn方差標(biāo)準(zhǔn)差2.意義隨機(jī)變量的方差DX和標(biāo)準(zhǔn)差σX都反映了隨機(jī)變量的取值偏離于均值的平均程度.方差(標(biāo)準(zhǔn)差)越小,則隨機(jī)變量偏離于均值的平均程度越小;反之,方差(標(biāo)準(zhǔn)差)越大,則隨機(jī)變量的取值越分散.名師點睛

特例方差意義a=0Db=0常數(shù)的方差等于0a=1D(X+b)=DX隨機(jī)變量與常數(shù)之和的方差與隨機(jī)變量的方差相同b=0D(aX)=a2DX常數(shù)與隨機(jī)變量的乘積的方差是隨機(jī)變量的方差的a2倍若X是隨機(jī)變量,Y=aX+b也是隨機(jī)變量,則DY=D(aX+b)=a2DX.思考辨析1.甲、乙兩個工人生產(chǎn)同一產(chǎn)品,在相同的條件下,他們生產(chǎn)100件產(chǎn)品中的不合格產(chǎn)品數(shù)分別用X,Y表示,X,Y的分布列如下:X0123P0.60.20.10.1Y0123P0.50.30.20如何比較甲、乙兩人的技術(shù)高低?提示

EX=0×0.6+1×0.2+2×0.1+3×0.1=0.7,EY=0×0.5+1×0.3+2×0.2+3×0=0.7,它們的均值相等,只根據(jù)均值無法區(qū)分甲、乙兩人的技術(shù)高低,可以根據(jù)樣本方差區(qū)分,方差刻畫了樣本數(shù)據(jù)的穩(wěn)定性.2.隨機(jī)變量ξ的期望與方差的關(guān)系是什么?你能給出證明嗎?自主診斷1.判斷正誤.(正確的畫√,錯誤的畫×)(1)離散型隨機(jī)變量的方差越大,隨機(jī)變量越穩(wěn)定.(

)(2)若a是常數(shù),則Da=0.(

)(3)離散型隨機(jī)變量的方差反映了隨機(jī)變量偏離于期望的平均程度.(

)(4)標(biāo)準(zhǔn)差與隨機(jī)變量本身有相同的單位,在實際問題中應(yīng)用廣泛.(

)×√√√2.設(shè)離散型隨機(jī)變量X的分布列為

X-101P

若Y=2X+2,則DY等于(

)D3.[人教A版教材習(xí)題]甲、乙兩個班級同學(xué)分別目測數(shù)學(xué)教科書的長度,其誤差X和Y(單位:cm)的分布列如下:甲班的目測誤差分布列

X-2-1012P0.10.20.40.20.1乙班的目測誤差分布列

Y-2-1012P0.050.150.60.150.05先直觀判斷X和Y的分布哪一個離散程度大,再分別計算X和Y的方差,驗證你的判斷.解

直觀判斷X的分布離散程度較大.由題意,得EX=EY=0,∴DX=(-2)2×0.1+(-1)2×0.2+0×0.4+12×0.2+22×0.1=1.2,DY=(-2)2×0.05+(-1)2×0.15+0×0.6+12×0.15+22×0.05=0.7,∴EX=EY且DX>DY,∴X的分布離散程度比Y大.重難探究·能力素養(yǎng)速提升探究點一求離散型隨機(jī)變量的方差【例1】

袋中有20個大小相同的球,其中記為0號的有10個,記上n號的有n個(n=1,2,3,4).現(xiàn)從袋中任取一球,ξ表示所取球的標(biāo)號,求ξ的分布列、均值和方差.變式探究在本例條件下,若η=aξ+b,Eη=1,Dη=11,試求a,b的值.解

由D(aξ+b)=a2Dξ=11,E(aξ+b)=aEξ+b=1,及Eξ=1.5,Dξ=2.75,得2.75a2=11,1.5a+b=1,解得a=2,b=-2或a=-2,b=4.規(guī)律方法

1.求離散型隨機(jī)變量X的方差的步驟

2.對于變量間存在關(guān)系的方差,在求解過程中應(yīng)注意方差性質(zhì)的應(yīng)用,如D(aξ+b)=a2Dξ,這樣處理既避免了求隨機(jī)變量η=aξ+b的分布列,又避免了繁雜的計算,簡化了計算過程.變式訓(xùn)練1甲、乙兩人進(jìn)行定點投籃游戲,投籃者若投中,則繼續(xù)投籃,否則由對方投籃,第一次由甲投籃;已知每次投籃甲、乙命中的概率分別為在前3次投籃中,乙投籃的次數(shù)為ξ,求ξ的分布列、均值和方差.探究點二方差的實際應(yīng)用【例2】

甲、乙兩名工人加工同一種零件,兩人每天加工的零件數(shù)相等,所得次品數(shù)分別為ξ,η,ξ和η的分布列如下:試對這兩名工人的技術(shù)水平進(jìn)行比較.規(guī)律方法

均值僅體現(xiàn)了隨機(jī)變量取值的平均大小,而方差則說明了隨機(jī)變量取值的穩(wěn)定程度.因此,我們可以利用均值和方差的意義分析、解決實際問題.當(dāng)我們希望實際的平均水平比較理想時,不但要比較它們的均值,還應(yīng)看它們相對于均值的偏離程度;如果我們希望隨機(jī)變量比較穩(wěn)定時,應(yīng)先考慮方差,再考慮均值是否接近.變式訓(xùn)練2袋中有大小相同的四個球,編號分別為1,2,3,4,每次從袋中任取一個球,記下其編號.若所取球的編號為偶數(shù),則把該球編號改為3后放回袋中繼續(xù)取球;若所取球的編號為奇數(shù),則停止取球.(1)求“第二次取球后才停止取球”的概率;(2)若第一次取到球的編號為偶數(shù),記第二次和第一次取球的編號之和為X,求X的分布列和方差.(2)若第一次取到編號為2的球,則第二次取球時袋中有編號為1,3,3,4的四個球;若第一次取到編號為4的球,則第二次取球時袋中有編號為1,2,3,3的四個球.所以X的可能取值為3,5,6,7,所以X的分布列為

學(xué)以致用·隨堂檢測促達(dá)標(biāo)123451.隨機(jī)變量X的方差,反映其取值的(

)A.平均水平 B.分布規(guī)律C.波動大小 D.最大值和最小值C123452.已知X的分布列為

X-101P0.50.30.2則DX等于(

)A.0.7 B.0.61

C.-0.3 D.0B123453.已知隨機(jī)變量X的分布列為

X135P0.40.10.5D123454.已知隨機(jī)變量X的分布列為

X01234P0.20.20.30.20.1則DX=

,D(2X-1)=

.

1.56

6.24解析

EX=0×0.2+1×0.2+2×0.3+3×0.2+4×0.1=1.8,所以DX=(0-1.8)2×0.2+(1-1.8)2×0.2+(2-1.8)2×0.3+(3-1.8)2×0.2+(4-1.8)2×0.1=1.56,由方差的性質(zhì),得D(2X-1)=4DX=4×1.56=6.24.123455.為選拔奧運(yùn)會射擊選手,對甲、乙兩名射手進(jìn)行選拔測試.已知甲、乙兩名射手在一次射擊中的得分為兩個相互獨(dú)立的隨機(jī)變量ξ,η,甲、乙兩名射手在每次射擊中擊中的環(huán)數(shù)均大于6環(huán),且甲射中10,9,8,7環(huán)的概率分別為0.5,3a,a,0.1,乙射中10,9,8環(huán)的概率分別為0.3,0.3,0.2.(1)求ξ,η的分布列;(2)求ξ,η的均值與方差,并以此比較甲、乙的射擊技術(shù).12345解

(1)依據(jù)題意知,0.5+3a+a+0.1=1,解得a=0.1.∵乙射中10,9,8環(huán)的概率分別為0.3,0.3,0.2,∴乙射中7環(huán)的概率為1-(0.3+0.3+0.2)=0.2.∴ξ,η的分布列分別為ξ10987P0.50.30.10.1η10987P0.30.30.20.212345(2)結(jié)合(1)中ξ,η的分布列,可得Eξ=10×0.5+9×0.3+8×0.1+7×0.1=9.2,Eη=10×0.3+9×0.3+8×0.2+7×0.2=8.7,Dξ=(10-9.2)2×0.5+(9-9.2)2×0.3+(8-9.2)2×0.1