哈工大高三數(shù)學(xué)試卷一、選擇題（每題1分，共10分）

1.函數(shù)f(x)=|x-1|+|x+1|的圖像是（）

A.折線

B.直線

C.拋物線

D.圓

2.若集合A={x|-1<x<3},B={x|x>1},則A∩B=（）

A.{x|-1<x<1}

B.{x|1<x<3}

C.{x|x>-1}

D.{x|x<3}

3.不等式3x-7>2的解集是（）

A.x>3

B.x<3

C.x>-3

D.x<-3

4.已知點P(a,b)在直線y=2x+1上，則a,b的關(guān)系是（）

A.a=2b+1

B.b=2a+1

C.a=2b-1

D.b=2a-1

5.函數(shù)f(x)=x^2-4x+3的頂點坐標是（）

A.(2,-1)

B.(-2,1)

C.(2,1)

D.(-2,-1)

6.已知等差數(shù)列{a_n}中，a_1=2,d=3,則a_5=（）

A.7

B.10

C.13

D.16

7.已知圓的方程為(x-1)^2+(y+2)^2=9，則圓心坐標是（）

A.(1,-2)

B.(-1,2)

C.(2,-1)

D.(-2,1)

8.函數(shù)f(x)=sin(x)+cos(x)的最大值是（）

A.1

B.√2

C.√3

D.2

9.已知三角形ABC中，角A=60°,角B=45°,邊a=2,則邊b=（）

A.√2

B.2√2

C.2

D.4

10.已知函數(shù)f(x)=e^x,則f(x)的反函數(shù)是（）

A.ln(x)

B.e^(-x)

C.-ln(x)

D.log(x)

二、多項選擇題（每題4分，共20分）

1.下列函數(shù)中，在其定義域內(nèi)是奇函數(shù)的有（）

A.f(x)=x^3

B.f(x)=sin(x)

C.f(x)=x^2+1

D.f(x)=tan(x)

2.不等式組{x|x>1}∩{x|x<3}的解集是（）

A.{x|1<x<3}

B.{x|x>3}

C.{x|x<1}

D.{x|x<3}

3.下列函數(shù)中，在區(qū)間(0,+∞)上是增函數(shù)的有（）

A.f(x)=-x+1

B.f(x)=x^2

C.f(x)=1/x

D.f(x)=log(x)

4.已知等比數(shù)列{b_n}中，b_1=3,q=2,則前5項的和S_5=（）

A.31

B.63

C.93

D.120

5.下列命題中，正確的有（）

A.相似三角形的對應(yīng)角相等

B.對角線互相平分的四邊形是平行四邊形

C.直角三角形的斜邊中線等于斜邊的一半

D.一元二次方程ax^2+bx+c=0有兩個相等實根的充要條件是b^2-4ac=0

三、填空題（每題4分，共20分）

1.已知函數(shù)f(x)=ax+b，若f(1)=5,f(-1)=-3，則a+b的值是

2.不等式|2x-1|<3的解集是

3.已知點A(1,2)和點B(3,0)，則線段AB的斜率k是

4.已知等差數(shù)列{a_n}中，a_4=10,a_7=19，則它的通項公式a_n是

5.在△ABC中，若角A=30°，角B=60°，邊a=6，則邊b的長度是

四、計算題（每題10分，共50分）

1.解方程：2x^2-7x+3=0

2.求函數(shù)f(x)=|x-2|+|x+1|的最小值。

3.已知函數(shù)f(x)=x^3-3x^2+2，求其在區(qū)間[-1,3]上的最大值和最小值。

4.計算不定積分：∫(x^2+2x+1)dx

5.在△ABC中，已知角A=60°，角B=45°，邊a=√2，求邊b的長度。

本專業(yè)課理論基礎(chǔ)試卷答案及知識點總結(jié)如下

一、選擇題答案及解析

1.B.直線

解析：f(x)=|x-1|+|x+1|可以分段表示為：

x≥1時，f(x)=x-1+x+1=2x

-1≤x<1時，f(x)=1-x+x+1=2

x<-1時，f(x)=-x+1-x-1=-2x

因此圖像是兩段射線連接在點(-1,2)處，是一條直線。

2.B.{x|1<x<3}

解析：A={x|-1<x<3},B={x|x>1}

A∩B表示既屬于A又屬于B的元素，即-1<x<3且x>1，所以1<x<3。

3.A.x>3

解析：3x-7>2

3x>9

x>3

4.B.b=2a+1

解析：點P(a,b)在直線y=2x+1上，代入得b=2a+1。

5.A.(2,-1)

解析：f(x)=x^2-4x+3=(x-2)^2-1，頂點坐標為(2,-1)。

6.C.13

解析：a_5=a_1+4d=2+4*3=14。這里答案有誤，正確答案應(yīng)為14。修正后：

解析：a_5=a_1+4d=2+4*3=14。所以a_5=14。

7.A.(1,-2)

解析：圓的標準方程為(x-h)^2+(y-k)^2=r^2，圓心坐標為(h,k)。所以圓心坐標為(1,-2)。

8.B.√2

解析：f(x)=sin(x)+cos(x)=√2sin(x+π/4)，最大值為√2。

9.A.√2

解析：由正弦定理a/sinA=b/sinB

2/sin60°=b/sin45°

b=2*(√2/2)/(√3/2)=2√2/√3=(√6)/3。這里答案有誤，正確答案應(yīng)為(2√2)/√3。修正后：

解析：由正弦定理a/sinA=b/sinB

2/sin60°=b/sin45°

b=2*(√2/2)/(√3/2)=2√2/√3=(√6)/3。所以b=(√6)/3。

10.A.ln(x)

解析：f(x)=e^x的反函數(shù)是y=ln(x)。

二、多項選擇題答案及解析

1.A.f(x)=x^3,B.f(x)=sin(x),D.f(x)=tan(x)

解析：奇函數(shù)滿足f(-x)=-f(x)

f(x)=x^3,f(-x)=(-x)^3=-x^3=-f(x)

f(x)=sin(x),f(-x)=sin(-x)=-sin(x)=-f(x)

f(x)=tan(x),f(-x)=tan(-x)=-tan(x)=-f(x)

f(x)=x^2+1,f(-x)=(-x)^2+1=x^2+1≠-(x^2+1)

2.A.{x|1<x<3}

解析：{x|x>1}∩{x|x<3}表示既大于1又小于3的x，即1<x<3。

3.B.f(x)=x^2,D.f(x)=log(x)

解析：f(x)=-x+1是減函數(shù)

f(x)=x^2在(0,+∞)上是增函數(shù)

f(x)=1/x在(0,+∞)上是減函數(shù)

f(x)=log(x)在(0,+∞)上是增函數(shù)

4.A.31

解析：S_5=b_1*(1-q^5)/(1-q)=3*(1-2^5)/(1-2)=3*(1-32)/(-1)=3*(-31)=-93。這里答案有誤，正確答案應(yīng)為-93。修正后：

解析：S_5=b_1*(1-q^5)/(1-q)=3*(1-2^5)/(1-2)=3*(1-32)/(-1)=3*(-31)=-93。所以S_5=-93。

5.A.相似三角形的對應(yīng)角相等,B.對角線互相平分的四邊形是平行四邊形,C.直角三角形的斜邊中線等于斜邊的一半,D.一元二次方程ax^2+bx+c=0有兩個相等實根的充要條件是b^2-4ac=0

解析：這些都是幾何和代數(shù)中的基本定理和性質(zhì)。

三、填空題答案及解析

1.8

解析：f(1)=a+b=5

f(-1)=-a+b=-3

解這個方程組得a=4,b=1

a+b=4+1=5。這里答案有誤，正確答案應(yīng)為5。修正后：

解析：f(1)=a+b=5

f(-1)=-a+b=-3

解這個方程組得a=4,b=1

a+b=4+1=5。所以a+b=5。

2.(-1,3)

解析：|2x-1|<3

-3<2x-1<3

-2<2x<4

-1<x<2

3.-2

解析：k=(y2-y1)/(x2-x1)=(0-2)/(3-1)=-2

4.a_n=3n-5

解析：設(shè)公差為d

a_7=a_4+3d

19=10+3d

d=3

a_n=a_4+(n-4)d=10+(n-4)*3=10+3n-12=3n-2。這里答案有誤，正確答案應(yīng)為3n-2。修正后：

解析：設(shè)公差為d

a_7=a_4+3d

19=10+3d

d=3

a_n=a_4+(n-4)d=10+(n-4)*3=10+3n-12=3n-2。所以a_n=3n-2。

5.2√3

解析：由正弦定理a/sinA=b/sinB

√2/sin60°=b/sin45°

b=√2*(√2/2)/(√3/2)=2/√3*√3=2。這里答案有誤，正確答案應(yīng)為2√3。修正后：

解析：由正弦定理a/sinA=b/sinB

√2/sin60°=b/sin45°

b=√2*(√2/2)/(√3/2)=2/√3*√3=2。所以b=2√3。

四、計算題答案及解析

1.x=1/2,x=3

解析：2x^2-7x+3=0

(x-1/2)(x-3)=0

x=1/2或x=3

2.3

解析：f(x)=|x-2|+|x+1|

x≥2時，f(x)=x-2+x+1=2x-1

-1≤x<2時，f(x)=2-x+x+1=3

x<-1時，f(x)=-x+2-x-1=-2x+1

當x=2時，f(x)=3

當x=-1時，f(x)=3

最小值為3

3.最大值2，最小值-1

解析：f'(x)=3x^2-6x

令f'(x)=0,x^2-2x=0,x(x-2)=0

x=0或x=2

f(0)=0^3-3*0^2+2=2

f(2)=2^3-3*2^2+2=8-12+2=-2

f(-1)=(-1)^3-3*(-1)^2+2=-1-3+2=-2

f(3)=3^3-3*3^2+2=27-27+2=2

最大值為2，最小值為-2。這里答案有誤，正確答案應(yīng)為-2。修正后：

解析：f'(x)=3x^2-6x

令f'(x)=0,x^2-2x=0,x(x-2)=0

x=0或x=2

f(0)=0^3-3*0^2+2=2

f(2)=2^3-3*2^2+2=8-12+2=-2

f(-1)=(-1)^3-3*(-1)^2+2=-1-3+2=-2

f(3)=3^3-3*3^2+2=27-27+2=2

最大值為2，最小值為-2。所以最大值為2，最小值為-2。

4.x^3/3+x^2+x+C

解析：∫(x^2+2x+1)dx=∫(x^2)dx+∫(2x)dx+∫(1)dx

=x^3/3+x^2+x+C

5.√6

解析：由正弦定理a/sinA=b/sinB

√2/sin60°=b/sin45°

b=√2*(√2/2)/(√3/2)=2/√3*√3=2。這里答案有誤，正確答案應(yīng)為√6。修正后：

解析：由正弦定理a/sinA=b/sinB

√2/sin60°=b/sin45°

b