考點(diǎn)06數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)與概率

＞知識(shí)歸納

知識(shí)點(diǎn)一：統(tǒng)計(jì)的基本要素

1.常用的統(tǒng)計(jì)調(diào)查方式：全面調(diào)查、抽樣調(diào)杳.

2.所要考察的對(duì)象的全體稱為總體.組成總體的每一個(gè)對(duì)象稱為個(gè)體.

3.從總體中抽取的一部分各體叫做總體的一個(gè)樣本，樣本中的個(gè)體的數(shù)目叫做樣本容量.

4.在抽取樣本的過(guò)程中，總體中的每個(gè)個(gè)體都以相等的機(jī)會(huì)被抽到，像這樣的抽樣方法叫做簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣.

知識(shí)點(diǎn)二：平均數(shù)，中位數(shù)，眾數(shù)

一I

1.平均數(shù):汨/2,…的平均數(shù)X=—（xI+12+…+.%）.

n

2.加權(quán)平均數(shù):如果〃個(gè)數(shù)據(jù)中R出現(xiàn)/次死出現(xiàn)及次,…，為?出現(xiàn)打次（這里力切+…土質(zhì)=“），

-1

則工=一（x（/i+工坊+…+為必）.

n

3.中位數(shù)：將一組數(shù)據(jù)按大小順序排列，處在最中間位置上的數(shù)據(jù)叫做這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)；如果數(shù)據(jù)的個(gè)

數(shù)為偶數(shù)，中位數(shù)就是處在中間位置上的兩個(gè)數(shù)據(jù)的平均數(shù).

4.眾數(shù)：在一組數(shù)據(jù)中，出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)據(jù)叫做這組數(shù)據(jù)的眾數(shù).

知識(shí)點(diǎn)三：月差

1-

1.方差：X1/2,…*的方差V=—[（X|-X）2+（X2-X）2+...+（&-X）2].

n

2.方差是衡量一組數(shù)據(jù)波動(dòng)大小的量，方差越小，數(shù)據(jù)的波動(dòng)越小;方差越大，數(shù)據(jù)的波動(dòng)越大.

知識(shí)點(diǎn)四：頻數(shù)、頻率

1.頻數(shù):在我們研究的對(duì)象中，每個(gè)對(duì)象出現(xiàn)的次數(shù)叫做頻數(shù).

2.頻率:每個(gè)對(duì)象出現(xiàn)的次數(shù)與總次數(shù)的比值叫做頻率.

3.繪制頻數(shù)分布直方圖的步驟：

①計(jì)算最大值與最小值的差；

②決定組距與組數(shù)；

③列頻數(shù)分布表；

④畫(huà)頻數(shù)分布直方圖.

知識(shí)點(diǎn)五：常見(jiàn)的統(tǒng)計(jì)圖

I.常見(jiàn)的統(tǒng)計(jì)圖有條形統(tǒng)計(jì)圖、扇形統(tǒng)計(jì)圖、折線統(tǒng)計(jì)圖.

條線統(tǒng)計(jì)圖能顯示每組中的具體數(shù)據(jù)；

扇形統(tǒng)計(jì)圖能顯示部分在總體中所占百分比；

折線統(tǒng)計(jì)圖能顯示數(shù)據(jù)的變化趨勢(shì).

2.扇形統(tǒng)計(jì)圖的制作步驟：

①根據(jù)有關(guān)數(shù)據(jù)先算出各部分在總體中所占的百分比（即部分?jǐn)?shù)據(jù)七總體數(shù)據(jù)），再算出各部分圓心用的度數(shù),

公式:各部分扇形圓心角的度數(shù);部分占總體的百分比X360;

②按比例，取適當(dāng)半徑畫(huà)一個(gè)圓；

③按扇形圓心角的度數(shù)用量角器在圓內(nèi)量出各個(gè)扇形的圓心角的度數(shù)；

④在各扇形內(nèi)寫(xiě)上相應(yīng)的名稱及百分比；

⑤寫(xiě)出統(tǒng)計(jì)圖的名稱、制作日期.

知識(shí)點(diǎn)六：事件、概率

1.事件的分類

生活中的事件分為確定事件和不確定事件，確定事件又分為必然事件和不可能事件.

2.概率

（1）表示一個(gè)事件發(fā)生的可能性大小的數(shù)叫做該事件的概率.

（2）概率的性質(zhì)

①必然事件發(fā)生的概率為I,即P（必然事件）=1;

②不可能事件發(fā)生的概率為0,即P（不可能事件）=0；

③如果A為不確定事件，那么0<P（A）<l;

④P（A）的范圍是gP（A閆.

3.概率的計(jì)算方法

（1）一步事件的概率:P=^（k表示關(guān)注結(jié)果的次數(shù)，〃表示所有可能出現(xiàn)結(jié)果的次數(shù)）.

n

（2）兩步事件的概率：

①計(jì)算簡(jiǎn)單事件發(fā)生的概率的方法有列舉法（包括列表格、畫(huà)樹(shù)狀圖）;

②通過(guò)大量的重復(fù)試驗(yàn)時(shí)，頻率可視為事件發(fā)生概率的估計(jì)值.

?答題指導(dǎo)

1.調(diào)查方式的選擇方法：

（1）適合采用全面調(diào)查的是：①調(diào)查結(jié)果要求非常準(zhǔn)確；②所要調(diào)查的個(gè)體數(shù)量較少調(diào)查難度相而不大;

③調(diào)查無(wú)破壞性；④考杳經(jīng)費(fèi)和時(shí)間都非常有限，全面調(diào)查受到限制

2.統(tǒng)計(jì)量的計(jì)算與應(yīng)用

（1）平均數(shù)的計(jì)算所涉及的一個(gè)重要的量是數(shù)據(jù)的個(gè)數(shù)，樣本容量與統(tǒng)計(jì)圖有關(guān)的計(jì)算，往往要用到方程

的思想

（2）應(yīng)用統(tǒng)計(jì)量分析問(wèn)題時(shí)要針對(duì)題目的要求合理選擇，考慮問(wèn)題要全面，不要顧此失彼，

3.列表法和樹(shù)形圖法適用的范圍

（1）在一次試驗(yàn)中，如果包括兩個(gè)步馬聚或兩個(gè)因索?，列表法和樹(shù)形圖法都可以用來(lái)分析事件發(fā)生的可能

性

（2）在一次試驗(yàn)中如果包括兩個(gè)以上或兩個(gè)以上因素，為了直觀地分析事件發(fā)生的可能性，一般采用樹(shù)狀

圖法

4.概率的應(yīng)用

（1）用概率知識(shí)判斷游戲的公平性。

概率相等，對(duì)對(duì)方公平，否則不公平，因此，判斷游學(xué)戲是否公平可以通過(guò)計(jì)算雙方獲勝的概率再比較大

小即可。

（2）設(shè)計(jì)方案估計(jì)群體數(shù)目的多少的步驟：

①在群體。〃個(gè)）中標(biāo)識(shí)部分個(gè)體數(shù)數(shù)目5個(gè)）

②把標(biāo)識(shí)的個(gè)體放回群體中，待充分混合后，再?gòu)闹须S機(jī)取出部分個(gè)體（可以多決重復(fù)這個(gè)過(guò)程，取其平均

數(shù)），計(jì)算出被標(biāo)識(shí)的個(gè)體占全部的比例為烏

b

③計(jì)算：加=皿

?易錯(cuò)歸類

易錯(cuò)點(diǎn)1:全面調(diào)直與抽樣調(diào)查的適用范圍易分不清楚.

易錯(cuò)題1:下列調(diào)查：①了解某市中小學(xué)生的視力情況；②了解某市中學(xué)生課外閱讀的情況；③了解某

市百歲以上老人的健康情況；④了解某市老年人的生活條件情況.其中適合采用抽樣調(diào)查的

有.............................................................（）

A.①②B.???C.①②④D.②③④

錯(cuò)解：A

正解：C

分析：對(duì)常采用抽樣調(diào)查的一此情形判斷不清是造成本題錯(cuò)解的主要原因.常采用抽樣調(diào)查的情形有：

①受客觀條件限制，無(wú)法對(duì)所有個(gè)體進(jìn)行全面調(diào)查，如調(diào)查某市中小學(xué)生的視力情況；②調(diào)查具有破壞性,

不允許全面調(diào)查，如調(diào)查某批炮彈的殺傷半徑；總體容量較大，個(gè)體分布較廣，如某市青年在外創(chuàng)業(yè)的情

況.同時(shí)，還應(yīng)注意抽樣調(diào)查的一些要求：一是抽取的樣本要有代表性；二是抽取的樣本數(shù)目不能太少.

易錯(cuò)點(diǎn)2：X寸平均數(shù)、中位數(shù)與眾數(shù)的概念理解不透徹，計(jì)算易出錯(cuò).

易錯(cuò)題2：某中學(xué)隨機(jī)調(diào)查了15名學(xué)生，了解他們一周在校參加課外體育鍛煉的時(shí)間，列表如下：

鍛煉時(shí)間（小時(shí)）5678

人數(shù)3741

則這15名學(xué)生一周在校參加課外體育鍛煉時(shí)間的中位數(shù)和眾數(shù)分別是........（）

A.6.5,7B.7,7C.6.5,6D.6,6

錯(cuò)解：A

正解：D

分析：造成出錯(cuò)的原因是對(duì)中位數(shù)與眾數(shù)的概念理解不清.眾數(shù)是指出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)據(jù)而不是指次數(shù),

求中位數(shù)一定要把數(shù)據(jù)先按大小順序排列，再取正中間的一個(gè)數(shù)據(jù)或正中間兩個(gè)數(shù)據(jù)的平均數(shù)作為中位數(shù).

本題中，第四=8個(gè)數(shù)據(jù)即為中位數(shù)，T3V8V3+7,???第8個(gè)數(shù)據(jù)是6,即中位數(shù)為6；數(shù)據(jù)6出現(xiàn)的

2

次數(shù)是7,次數(shù)最多，，眾數(shù)是6.

易錯(cuò)點(diǎn)3：方差的概念及計(jì)算易出錯(cuò).

易錯(cuò)題3：甲、乙、丙三組各有7名成員，測(cè)得三組成員體重?cái)?shù)據(jù)的平均數(shù)都是58,方差分別為％=

35,5￡=24.5,襦=15.則數(shù)據(jù)波動(dòng)最小的一組是.

錯(cuò)解：甲

正解：丙

分析：對(duì)描述數(shù)據(jù)離散程度的特征數(shù)----方差理解出錯(cuò)，從而本題出現(xiàn)錯(cuò)解.一組數(shù)據(jù)的方差越大，這組

數(shù)據(jù)的波動(dòng)越大，方差越小，數(shù)據(jù)的波動(dòng)越小.本題中，??F5V24.5V35,故填丙.

易錯(cuò)題4：我校八年級(jí)（I）組織了一次英語(yǔ)風(fēng)采大賽，甲、乙兩隊(duì)各10人的比賽成績(jī)?nèi)缦卤恚?0分

制）：（單位：分）

甲789710109101010

乙10879810109109

（1）甲隊(duì)成績(jī)的眾數(shù)是分，乙隊(duì)成績(jī)的中位數(shù)是分.

（2）請(qǐng)從平均數(shù)和方差兩方面判斷，誰(shuí)的成績(jī)更好些.

錯(cuò)解：(1)10,9；

---1

(2)V^,=—(7x24-8+9x2+10x5)=9(分),

—1

X乙二行(7+8x2+9x3+10x4)=9(分)，

^=^[2X(7-9)2+(8-9)2+2X(9-9)2-!-5X(10-9)2]=1.4,

4=-^[(7-9)2+2X(8-9)2+3X(9-9)2+4X(10-9)2]=1.4,

,,玉i=X乙?5甲=『乙?

???從平均數(shù)和方差兩方面判斷，兩人的成績(jī)一樣好.

正解：（1）10,9；

(2)?.』二*(7x2+8+9x2+10x5)=9(分)，

—1

x^=—(7+8x2+9x3+10x4)=9(分),

4=^[2X(7-9)2+(8-9)2+2X(9-9)2-|-5X(10-9)2]=1.4,

4=-^[(7-9)24-2X(8-9)2+3X(9-9)2+4X(10-9)2]=1,

??=-丫乙,二壇，

???從平均數(shù)和方差兩方面判斷，兩人的成績(jī)一樣好.

分析：本題錯(cuò)誤的原因是從乙的方差計(jì)算開(kāi)始出錯(cuò)，從而導(dǎo)致結(jié)果判斷不正確.一組數(shù)據(jù)的平均數(shù)計(jì)算

公式是嚏=x++++工,方差的計(jì)算公式是?=ir（^-A）2+（x,-x）2++（工一［）1.這類問(wèn)題通

nnL」

常先計(jì)算平均數(shù)，然后計(jì)算方差，再分別比較平均數(shù)和方差的大小，綜合判斷，得出結(jié)論.從計(jì)算平均數(shù)開(kāi)

始，每一步都要認(rèn)真仔細(xì)，否則接下來(lái)的步驟就跟著出錯(cuò)?.

易錯(cuò)點(diǎn)4:兩步及兩步以上詢單事件的概率求法；用樹(shù)狀圖或列表的方法表示各種等可能的情況.

易錯(cuò)題5：在-2,-I,1,2這四個(gè)數(shù)中，任選兩個(gè)數(shù)的積作為我的值，使反比例函數(shù)）二'的圖象在

x

第一、三象限的概率是.

錯(cuò)解：一

2

正解：!

3

分析：本題對(duì)概率的概念理解不透徹，誤以為正負(fù)各兩個(gè)數(shù)，概率就為,，從而出錯(cuò).其實(shí)，從四個(gè)數(shù)

2

中任選兩個(gè)，可列表如下:

-2-112

-2(-2,-1)(-2,1)(-2,2)

-1(-1,-2)(-1,1)(-1,2)

1<1,-2)(1,-1)(1,2)

2(2,-2)(2,-1)(2,1)

或畫(huà)樹(shù)狀圖如下:

第1個(gè)故

第2個(gè)融

結(jié)果(2,1)(2,1)(U)(k2H1,D(U)(1.2)(b-1)(U)ft2)(VO(2,1)

41

共有12個(gè)等可能情況，其中積為正的情況有4種，所以概率/>=—=-

123

易錯(cuò)點(diǎn)5：用概率判斷游戲是否公平；復(fù)雜事件的概率求法.

易錯(cuò)題6：如圖所示，可以自由轉(zhuǎn)動(dòng)的轉(zhuǎn)盤(pán)被3等分，指針落在每個(gè)扇形內(nèi)的機(jī)會(huì)均等.

（1）現(xiàn)隨機(jī)轉(zhuǎn)動(dòng)轉(zhuǎn)盤(pán)一次，停止后，指針指向I的概率為.

（2）甲、乙兩人利用這個(gè)轉(zhuǎn)盤(pán)做游戲，若采用下列規(guī)則：隨機(jī)轉(zhuǎn)動(dòng)轉(zhuǎn)盤(pán)兩次，停止后，指針各指向一

個(gè)數(shù)字，若第?次數(shù)字大于第二次數(shù)字，則甲勝；否則，乙勝.你認(rèn)為這個(gè)游呷嘴對(duì)飛^公平嗎？請(qǐng)用列

表或畫(huà)樹(shù)狀圖的方法說(shuō)明理由.（

錯(cuò)解：（1）1

3

（2）列表如下:

123

1(2,1)(3,1)

2(1,2)(3,2)

3(1,3)(2,3)

所有情況共6種，第一次數(shù)字大于第二次數(shù)字、第一次數(shù)字小于第二次數(shù)字各三種.

:.P（甲）31P（乙）=二3二1一，??1?1二=上，，該游戲公平.

626222

正解：（1）1

3

（2）根據(jù)規(guī)則，將所有可能情況列表如下：

123

1(L1)(2,1)(3,1)

2(1,2)(2,2)(3,2)

3(1,3)(2,3)(3,3)

或畫(huà)樹(shù)狀圖如下:

開(kāi)始

所有等可能情況共9種，第一次數(shù)字大于第二次數(shù)字的情況有3種，第一次數(shù)字不大于第

二次數(shù)字的情況有6種.

???。（甲）=2=_L,P（乙）=9=2,?.?！=2,???該游戲不公平.

939333

分析：本題錯(cuò)在第（2）小題中.對(duì)游戲規(guī)則的理解錯(cuò)誤,從而造成本小題錯(cuò)解.游戲是否公平的問(wèn)題實(shí)

際上是概率是否相等的問(wèn)題，所以準(zhǔn)確求出有關(guān)的概率是解決此類問(wèn)題的關(guān)鍵.

易錯(cuò)點(diǎn)6：從圖表中獲取信息；統(tǒng)計(jì)與概率的綜合應(yīng)用.

易錯(cuò)題7：為推廣陽(yáng)光體育“大課間”活動(dòng)，我市某中學(xué)決定在學(xué)生中開(kāi)設(shè)4：實(shí)心球，B：立定跳遠(yuǎn)，C：

跳繩，D：跑步四種活動(dòng)項(xiàng)目.為了了解學(xué)生對(duì)四種項(xiàng)目的喜歡情況，隨機(jī)抽取了部分學(xué)生進(jìn)行調(diào)查，并將

調(diào)臺(tái)結(jié)果繪制成如圖①、②的統(tǒng)計(jì)圖.請(qǐng)結(jié)合圖中的信息解答下列問(wèn)題：

（1）在這項(xiàng)調(diào)查中，共調(diào)查了多少名學(xué)生？

（2）請(qǐng)計(jì)算本次調(diào)查中喜歡“立定跳遠(yuǎn)”的學(xué)生人數(shù)和所占百分比，并將兩個(gè)統(tǒng)計(jì)圖補(bǔ)充完整；

（3）若調(diào)查到喜歡“跳繩”的5名學(xué)生中有3名男生，2名女生.現(xiàn)從這5名學(xué)生中任意抽取2名學(xué)生,

請(qǐng)用畫(huà)樹(shù)狀圖或列表的方法，求出剛好抽到同性別學(xué)生的概率.

錯(cuò)解：（1）60：（1—10%—20%—40%）=200（名）;

（2）本次調(diào)查中喜歡“立定跳遠(yuǎn)”的學(xué)生人數(shù)為:200-15-60-40=95（名），

95

所占百分比為：——xl（）0%=47.5%,

200

兩個(gè)統(tǒng)計(jì)圖補(bǔ)充如下：

（3）用人表示男生，8表示女生，列表如下:

A3Bi

4A2Bi

4AiAiAIA?AiA34&4&

4244A2A3人

A2A2A2BT2B?

44243A3

小4Bi4B2

BiBiAiBiA2BiA3BiBiBiB?

BiBiAsB2A2&A3BiBiBiBi

共有25種情況，其中同性別學(xué)生有13種情況，，剛好抽到同性別學(xué)生的概率P=—.

25

正解：（1）由題意，得15川0%=150（名）或6（H40%=150（名）或30?20%=150（名）.

答：在這項(xiàng)調(diào)查中，共調(diào)查了150名學(xué)生.

（2）本次調(diào)查中喜歡“立定跳遠(yuǎn)”的學(xué)生人數(shù)為：150—15—60—40=45（名），

45

所占百分比為：——xl00%=30%,

150

兩個(gè)統(tǒng)計(jì)圖補(bǔ)充如下：

圖②

（3）用A表示男生，8表示女生，列表如下:

IA2A3

ABiB2

一、

AiAiAzAiA，Ai小

AzA2Al42A3AiBxA?B?

4AyAiAyA.14BiA3&

辦4BIA2歷小BiB.

52Al82A282A3

B2BiB\

或回樹(shù)狀圖如下:

第1個(gè)學(xué)生，小

AA8