專題29反比例函數(shù)與幾何圖形的綜合問題內(nèi)容導航——預習三步曲第一步：學析教材學知識：教材精講精析、全方位預習練題型強知識：5大核心考點精準練第二步：記串知識識框架：思維導圖助力掌握知識框架、學習目標復核內(nèi)容掌握第三步：測過關測穩(wěn)提升：小試牛刀檢測預習效果、查漏補缺快速提升1.反比例函數(shù)性質(zhì)：掌握反比例函數(shù)y=kx(k≠0)的圖象特征、增減性、k的幾何意義，即過函數(shù)圖象上一點向坐標軸作垂線，所得矩形面積為k，三角形面積為12.幾何圖形性質(zhì)：包括三角形、四邊形等圖形的邊、角、周長、面積計算，全等、相似的判定與性質(zhì)，特殊圖形（如等腰三角形、平行四邊形等）的性質(zhì)和判定方法。3.綜合應用：將反比例函數(shù)與幾何圖形結合，通過坐標表示線段長度，利用幾何關系建立方程求解，或根據(jù)函數(shù)性質(zhì)分析幾何圖形的變化規(guī)律?！绢}型1反比例函數(shù)與三角形的綜合問題】(1)點的坐標為______，反比例函數(shù)解析式為______；【知識點】反比例函數(shù)與幾何綜合、一次函數(shù)與反比例函數(shù)的交點問題、等腰三角形的性質(zhì)和判定【詳解】（1）解：如圖，連接，（2）解：如圖，連接，【點睛】本題考查了等腰直角三角形的判定與性質(zhì)，一次函數(shù)與反比例函數(shù)交點問題，三角形的面積，解一元二次方程，綜合應用以上知識點是解題的關鍵．【變式訓練】(1)求k，m的值；(3)在x軸負半軸上確定一點E，使得以A、D、E三點為頂點的三角形是等腰三角形，請求出所有符合條件的點E的坐標．?【知識點】反比例函數(shù)與幾何綜合、已知兩點坐標求兩點距離、一次函數(shù)與反比例函數(shù)的交點問題、等腰三角形的定義【分析】本題主要考查了一次函數(shù)與反比例函數(shù)綜合，勾股定理，定義三角形的定義：（1）分別把點A的坐標代入兩函數(shù)解析式中利用待定系數(shù)法求解即可；（2）根據(jù)函數(shù)圖象找到反比例函數(shù)圖象在一次函數(shù)圖象上方時自變量的取值范圍即可；（3）解：∵點在反比例函數(shù)的圖象上，且橫坐標為3，∵直線是直線平移得到的當以A、D、E三點為頂點的三角形是等腰三角形時，分三種情況討論：(1)求雙曲線的解析式；【知識點】反比例函數(shù)與幾何綜合、相似三角形的判定與性質(zhì)綜合、求反比例函數(shù)解析式、一次函數(shù)與反比例函數(shù)的交點問題【分析】本題屬于反比例函數(shù)綜合題，主要相似三角形的性質(zhì)、待定系數(shù)法求函數(shù)解析式等知識點，熟練掌握待定系數(shù)法以及分類討論思想是解題的關鍵．(1)求反比例函數(shù)的表達式；【知識點】反比例函數(shù)與幾何綜合、求反比例函數(shù)解析式、相似三角形的判定與性質(zhì)綜合【分析】本題考查待定系數(shù)法求反比例解析式，相似三角形判定及性質(zhì)等．點在反比例函數(shù)圖像上，【題型2反比例函數(shù)與平行四邊形的綜合問題】(1)點C的坐標為___________，點A的縱坐標為___________；(2)求反比例函數(shù)的表達式．【分析】本題主要考查了坐標與圖形，平行四邊形的性質(zhì)，反比例函數(shù)與幾何綜合：∴點A的縱坐標為8，【變式訓練】(1)求反比例函數(shù)的表達式；(3)求圖中陰影部分的面積之和．(3)．【分析】本題考查了反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點，求反比例函數(shù)解析式，平行四邊形的性質(zhì)，掌握相關性質(zhì)是解題的關鍵．（1）用待定系數(shù)法可求反比例函數(shù)解析式；∴點到軸的距離為，(1)求和的值；本題考查了反比例函數(shù)解析式的確定，平行四邊形的判定和性質(zhì)，待定系數(shù)法求解析式，熟練掌握平行四邊形的判定和性質(zhì)，待定系數(shù)法求解析式是解題的關鍵．(1)直接寫出的值為_________；點的坐標為_________；(2)見解析(3)3【分析】本題考查反比例函數(shù)的圖象與性質(zhì)，用待定系數(shù)法確定反比例函數(shù)的解析式，平行四邊形的性質(zhì)，尺規(guī)作圖，三角形的面積公式．（2）作線段的垂直平分線交于點E，作直線，直線即為所求；（2）解：作線段的垂直平分線交于點E，作直線，直線即為所求，如圖所示：；∴點的縱坐標為2，【題型3反比例函數(shù)與矩形的綜合問題】(1)點的坐標是，點的坐標是．（用含的代數(shù)式表示）(2)【分析】本題考查了點的坐標與幾何圖形，矩形的性質(zhì)，三角形的中位線定理等；掌握矩形的性質(zhì)，求出點的坐標是解題的關鍵．點的縱坐標為，【變式訓練】【答案】(1)【分析】本題主要考查了反比例函數(shù)k值意義，矩形的性質(zhì)，待定系數(shù)求一次函數(shù)解析式等知識，解題的關鍵是：（1）利用k的幾何意義求解即可；故答案為：；【分析】本題主要考查反比例函數(shù)的綜合題，熟練掌握反比例函數(shù)的圖象和性質(zhì)，一次函數(shù)的性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)等知識是解題的關鍵．②根據(jù)三角形面積得出的值，根據(jù)點和點的坐標在直線上，列方程組求解的值，再根據(jù)①中式子，計算三角形面積即可；代入的值得，(1)求的值．(3)點為坐標平面上的一點，在反比例函數(shù)的圖象上是否存在一點，使得以、、、為頂點組成的平行四邊形面積為14？若存在，請求出點的坐標；若不存在，請說明理由．【答案】(1)12【分析】本題是反比例函數(shù)綜合題，考查了反比例函數(shù)的性質(zhì)，待定系數(shù)法求解析式，正方形的性質(zhì)，平行四邊形的性質(zhì)，中點坐標公式，利用分類討論思想解決問題是本題的關鍵．（1）先求出點坐標，代入解析式可求解；（2）分兩種情況討論，由正方形的性質(zhì)可求解；（3）由平行四邊形的面積為14，可求點坐標，再分為邊和對角線兩種情況討論，由平行四邊形的性質(zhì)和中點坐標公式可求解．當點在第一象限時，當點在第三象限，若為邊，以、、、為頂點組成的平行四邊形面積為14，以、、、為頂點組成的四邊形是平行四邊形，若為對角線，以、、、為頂點組成的四邊形是平行四邊形，【題型4反比例函數(shù)與菱形的綜合問題】(1)求k的值；【答案】(1)13(2)【分析】本題考查反比例函數(shù)的綜合，菱形的性質(zhì)，垂直平分線的定義，中點坐標公式，三角形的面積求法等知識，運用數(shù)形結合思想是解題的關鍵．（2）根據(jù)點的坐標求出點E的橫坐標，繼而求出點E的坐標，再利用割補法求面積即可．為的中點，在反比例函數(shù)上，E點橫坐標為，如圖，過A作⊥x軸于H，的垂直平分線交x軸于F，【變式訓練】(1)求的值及點的坐標；(2)判斷點是否為邊的中點，并說明理由．(2)點D不是邊的中點，理由見解析【分析】本題考查了反比例函數(shù)圖象上點的坐標特征，熟練掌握圖象上點的坐標滿足函數(shù)解析式是關鍵．（1）根據(jù)點坐標求出菱形邊長，根據(jù)平移性質(zhì)得到點坐標即可；（2）先求出線段的中點坐標，再代入反比例函數(shù)解析式驗證即可．點不是邊的中點(1)求的長及k的值；【答案】(1)5，22【分析】本題考查了反比例函數(shù)與幾何，平行四邊形的性質(zhì)等知識，解題的關鍵是：∵點D是的中點，【分析】本題考查了菱形的性質(zhì)，反比例函數(shù)圖形上點的坐標特點，坐標與圖形性質(zhì)和平移等知識點，能靈活運用知識點進行計算是解此題的關鍵．（1）根據(jù)菱形的性質(zhì)和D的坐標即可求出A的坐標，代入求出即可；（2）A和D可能落在反比例函數(shù)的圖象上，根據(jù)平移的性質(zhì)求解即可．【題型5反比例函數(shù)與正方形的綜合問題】(1)求m的值和一次函數(shù)的解析式．(2)求點C的坐標．【分析】本題考查的是反比例函數(shù)綜合運用，涉及到正方形的性質(zhì)、圖象的平移等，其中，確定點在上是解題的關鍵.（1）由待定系數(shù)法即可求解；（2）過點作軸的平行線交過點和軸的平行線于點，交故點和軸的平行線于點，【變式訓練】(2)．本題考查了反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點問題，正方形的性質(zhì)，反比例函數(shù)的幾何意義，解題的關鍵是靈活運用所學知識解決問題．(1)求反比例函數(shù)的解析式；(2)求點的坐標；【分析】此題考查了反比例函數(shù)的圖象和性質(zhì)、正方形的性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)、勾股定理等知識，分類討論和數(shù)形結合是解題的關鍵．（3）分四種情況分別進行求解即可．∴E點的橫坐標為，（3）如圖，①求的值；②求m，n的值；【答案】(1)①的值為4；②m，的值為1，3；(3)【分析】（1）①將點的坐標代入反比例函數(shù)解析式即可得出結論；即的值為4；，的值為1，3；點是的中點，故答案為：．【點睛】本題主要考查反比例函數(shù)與幾何綜合問題，涉及待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，全等三角形的性質(zhì)與判定，等腰直角三角形的性質(zhì)等相關知識，用，表達出點，的坐標是解題關鍵．一、單選題A． B． C． D．【答案】D【知識點】因式分解法解一元二次方程、一次函數(shù)與反比例函數(shù)的交點問題、全等的性質(zhì)和ASA（AAS）綜合（ASA或者AAS）、等腰三角形的定義故答案為：．【點睛】本題考查了反比例函數(shù)與一次函數(shù)綜合，坐標與圖形，全等三角形的性質(zhì)與判定，等腰直角三角形的性質(zhì)，一次函數(shù)與幾何圖形，掌握知識點的應用是解題的關鍵．【答案】D【知識點】反比例函數(shù)與幾何綜合、利用平方根解方程、正比例函數(shù)的性質(zhì)、利用平行四邊形的性質(zhì)求解【分析】本題考查了反比例函數(shù)圖象上點的坐標特征、待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式、平行四邊形的性質(zhì)、三角形面積，熟練掌握平行四邊形的性質(zhì)是解題的關鍵．點B的縱坐標為，故選：D．A． B． C． D．2【答案】B【知識點】求反比例函數(shù)解析式、利用菱形的性質(zhì)證明、用勾股定理解三角形、坐標與圖形綜合與交于點，點為中點，故選：B．【點睛】本題考查菱形性質(zhì)，坐標與圖形，勾股定理，待定系數(shù)法求反比例函數(shù)解析式，解題的關鍵在于熟練掌握相關知識．【答案】C【知識點】公式法解一元二次方程、反比例函數(shù)與幾何綜合∵點在反比例函數(shù)的圖象上，故選C．A．S的值僅與a，b有關 B．S的值僅與c，k有關C．S的值僅與k有關 D．S的值與a，b，c，k都有關【答案】C【知識點】反比例函數(shù)與幾何綜合、根據(jù)矩形的性質(zhì)求線段長故選：C．二、填空題【知識點】根據(jù)圖形面積求比例系數(shù)（解析式）、利用菱形的性質(zhì)求面積【詳解】解：如圖：連接交于D，【知識點】求反比例函數(shù)解析式【分析】本題考查了反比例函數(shù)圖象上點的坐標特征、正方形的性質(zhì)，根據(jù)反比例函數(shù)圖象上點的坐標特征解答即可．∵點E在反比例函數(shù)圖象上，且點E的縱坐標為3，【答案】【知識點】反比例函數(shù)與幾何綜合、利用平行四邊形的性質(zhì)求解【分析】本題考查了反比例函數(shù)與幾何綜合，平行四邊形的性質(zhì)，反比例函數(shù)解析式等知識．熟練掌握反比例函數(shù)與幾何綜合，平行四邊形的性質(zhì)，反比例函數(shù)解析式是解題的關鍵．故答案為：．【答案】1或3【知識點】反比例函數(shù)與幾何綜合、坐標系中的平移、等腰三角形的性質(zhì)和判定故答案為：1或3．（1）（填“>”“<”或“=”）．

【答案】【知識點】反比例函數(shù)與幾何綜合、根據(jù)矩形的性質(zhì)求線段長、根據(jù)圖形面積求比例系數(shù)（解析式）【分析】本題主要考查了反比例函數(shù)的圖象性質(zhì)，一次函數(shù)的圖象性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，平行四邊形的判斷及性質(zhì)，幾何圖形的面積公式等知識點，利用代數(shù)式求出各點坐標是解題的關鍵．∵點，在反比例函數(shù)上故答案為：=，8三、解答題(1)求反比例函數(shù)的表達式．(2)已知線段的垂直平分線分別交，于點M，N．求的值．(2)【知識點】反比例函數(shù)與幾何綜合、相似三角形的判定與性質(zhì)綜合、用勾股定理解三角形、利用平行四邊形的性質(zhì)求解【分析】本題考查作圖基本作圖、待定系數(shù)法求反比例函數(shù)解析式、平行四邊形的性質(zhì)、線段垂直平分線的作法，相似三角形的判定和性質(zhì)，熟練掌握相關知識點是解答本題的關鍵．點為的中點，（2）如圖，連接，(1)若為邊的中點，求的值及點的坐標；(2)【知識點】反比例函數(shù)與幾何綜合、相似三角形的判定與性質(zhì)綜合【分析】本題考查了反比例函數(shù)圖象的性質(zhì)與矩形的性質(zhì)，解題關鍵是根據(jù)點的坐標求出反比例函數(shù)解析式，再利用反比例函數(shù)圖象的性質(zhì)求解；（1）先根據(jù)為邊的中點求出點D的坐標，再根據(jù)待定系數(shù)法求出解析式，求出點E坐標即可；(1)求的值和反比例函數(shù)的解析式．【知識點】反比例函數(shù)與幾何綜合、求一次函數(shù)解析式、用勾股定理解三角形、利用菱形的性質(zhì)求線段長【分析】本題考查一次函數(shù)和反比例函數(shù)的應用，掌握一次函數(shù)和反比例函數(shù)的圖象和性質(zhì)是解題的關鍵．（1）運用待定系數(shù)法即可解答；又∵點在雙曲線上，(2)求此反比例函數(shù)的解析式；【答案】(1)見解析(3)M點的坐標為：（0，）【知識點】反比例函數(shù)與幾何綜合、證明四邊形是菱形、求反比例函數(shù)解析式、已知兩點坐標求兩點距離【分析】此題主要考查平行四邊形的性質(zhì)，菱形的性質(zhì)與判定、待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式，注意掌握坐標與圖形的關系是關鍵．∵為點關于的對稱點，∴是經(jīng)過平移得到的，∵將B點先向右平移3個單位長度，再向上平移4個單位長度即可得到A點，∴將M先向右平移3個單位長度，再向上平移4個單位長度即可得到N點，∵M點在y軸正半軸，∴M點的橫坐標為0，∴即根據(jù)平移可知點的橫坐標為3，(1)求點B的坐標；(2)當點P是邊的中點時，求對應的反比例函數(shù)的表達式；(3)直接寫出圖中陰影部分的面積之和．(3)【知識點】反比例函數(shù)與幾何綜合、利用平行四邊形的性質(zhì)求解、求反比例函數(shù)解析式、求關于原點對稱的點的坐標【分析】本題考查了中心對稱圖形的性質(zhì)、待定系數(shù)法求反比例函數(shù)解析式，求得平行四邊形的頂點的坐標是解此題的關鍵．（1）根據(jù)中心對稱的性質(zhì)即可得出點的坐標；（3）由圖形可得陰影部分的面積為平行四邊形的面積的一半，求出平行四邊形的面積即可．(1)求反比例函數(shù)的解析式；(2)求直線的解析式；(3)．【知識點】反比例函數(shù)與幾何綜合、求一次函數(shù)解析式、求反比例函數(shù)解析式、根據(jù)正方形的性質(zhì)證明【分析】本題涉及正方形的性質(zhì)、反比例函數(shù)和一次函數(shù)的解析式求解以及三角形面積的計算，解題的關鍵是正確的求得反比例函數(shù)的解析式．（1）根據(jù)反比例函數(shù)圖象上點的坐標特征即可求得；；(1)求線段的長；(3)平面直角坐標系中是否存在一點N，使得O、D、E、N四點構成平行四邊形？若存在，請直接寫出N的坐標；若不存在，請說明理由．【知識點】反比例函數(shù)與幾何綜合、利用平行四邊形的性質(zhì)求解、