6/6曲邊梯形面積與定積分一、選擇題1．將和式的極限表示成定積分（） A． B． C． D．2．下列等于1的積分是（） A．B．C． D．3．= （） A．B． C． D．4．已知自由落體運動的速率，則落體運動從到所走的路程為（） A．B． C． D．5．曲線與坐標周圍成的面積（） A．4B．2 C．D．36．=（） A．B．2eC． D．7．求由圍成的曲邊梯形的面積時，若選擇ｘ為積分變量，則積分區(qū)間為（） A．［0，］ B．［0，2］ C．［1，2］ D．［0，1］8．由直線，及ｘ軸圍成平面圖形的面積為（） A． B． C． D．9．如果1N力能拉長彈簧1cm，為將彈簧拉長6cm，所耗費的功是（） A．0.18B．0.26C．0.12 D．0.2810．將邊長為1米的正方形薄片垂直放于比彼一時為的液體中，使其上距液面距離為2米，則該正方形薄片所受液壓力為（） A． B．C．D．二、填空題11．將和式表示為定積分．12．曲線，所圍成的圖形的面積可用定積分表示為．13．由及x軸圍成的介于0與2π之間的平面圖形的面積，利用定積分應表達為．14．按萬有引力定律，兩質點間的吸引力，ｋ為常數，為兩質點的質量，ｒ為兩點間距離，若兩質點起始距離為ａ，質點沿直線移動至離的距離為ｂ處，試求所作之功（ｂ＞a）．三、解答題15．（12分）計算下列定積分的值 （1）；（2）； （3）；（4）；16．（12分）求曲線與軸所圍成的圖形的面積．17．（12分）求由拋物線與過焦點的弦所圍成的圖形面積的最小值.18．（12分）一物體按規(guī)律x＝bt3作直線運動，式中x為時間t內通過的距離，媒質的阻力正比于速度的平方．試求物體由x＝0運動到x＝a時，阻力所作的功．19．（14分）設y=f（x）是二次函數,方程f（x）=0有兩個相等的實根，且f′（x）=2x+2.（1）求y=f（x）的表達式；（2）求y=f（x）的圖象與兩坐標軸所圍成圖形的面積.（2）若直線x=－t（0＜t＜1＝把y=f（x）的圖象與兩坐標軸所圍成圖形的面積二等分，求t的值.20．（14分）拋物線y=ax2＋bx在第一象限內與直線x＋y=4相切．此拋物線與x軸所圍成的圖形的面積記為S．求使S達到最大值的a、b值，并求Smax．

參考答案一、選擇題1．B；2．C；3．C；4．C；5．D；6．D；7．B；8．C；9．A；10．A；二、填空題11．；12．；13．；14．；三、解答題15．（1）（2）（3）（4）16．解：首先求出函數的零點：，，.又易判斷出在內，圖形在軸下方，在內，圖形在軸上方，所以所求面積為17．解：焦點坐標為，設弦AB、CD過焦點F，且．由圖得知：，故．所求面積為：．18．解：物體的速度．媒質阻力，其中k為比例常數，k>0．當x=0時，t=0；當x=a時，，又ds=vdt，故阻力所作的功為19．解：（1）設f（x）=ax2+bx+c，則f′（x）=2ax+b，又已知f′（x）=2x+2∴a=1，b=2.∴f（x）=x2+2x+c又方程f（x）=0有兩個相等實根，∴判別式Δ=4－4c=0，即c=1.故f（x）=x2+2x+1.（2）依題意，有所求面積=.（3）依題意，有，∴，－t3+t2－t+=t3－t2+t，2t3－6t2+6t－1=0，∴2（t－1）3=－1，于是t=1－.評述：本題考查導數和積分的基本概念.20．解依題設可知拋物線為凸形，它與x軸的交點的橫坐標分別為x1=0，x2=－b/a，所以(1)又直線x＋y=4與拋物線y=ax2＋bx相切，即它們有唯一的公共點，由方程組得ax2＋(b＋1)x－4=0，其判別式必須為0，即(b＋1)2＋16a=0．于是代入（1）式得：，；令S'(b)