第3章線性電路的基本分析方法和定理學習要點深刻理解并支路電流法、節(jié)網孔電流法、點電壓法，能熟練地運用這些方法對電路進行分析、計算深刻理解并掌握疊加原理、戴維南定理、最大功率輸出定理，并能在電路分析、計算中熟練地應用這些定理能綜合地運用電路的分析方法和電路的重要定理解決復雜電路的問題學習內容3.1支路電流法3.2網孔電流法3.3節(jié)點電壓法3.4疊加定理

3.5戴維南定理和諾頓定理

3.6最大功率輸出定理3．1支路電流法支路法:是以支路電流用為電路的變量，亦即未知量，直接應用基爾霍夫定律和歐姆定律，列出所需要的方程組，然后聯立解出各支路的電流的一種方法。圖3-1所示電路中,支路數：b=6節(jié)點數：n=4回路數=5單孔回路（網孔）=31.在圖中標出各支路電流的參考方向，對選定的回路標出回路循行方向。2.應用KCL對結點列出

(n－1)個獨立的節(jié)點電流方程。3.應用KVL對回路列出

b－(n－1)

個獨立的回路電壓方程（通?？扇【W孔列出）

。4.聯立求解b

個方程，求出各支路電流。支路電流法的解題步驟:例3-1在圖3-2所示電路中，已知：，，，，，試用支路法求解各支路電流及各電阻吸收的功率。解（1）求各支路電流。該電路有3條支路、2個節(jié)點。首先指定各支路電流的參考方向，見3-2中所示。列出節(jié)點電流方程節(jié)點A選取取獨立回路，并指定繞行方向，列回路方程回路1回路2回路2聯立求解得到:求出的各支路電流為負，說明各支路電流的實際方向與參考方向相反。（2）求各電阻吸收的功率。電阻吸收的功率電阻吸收的功率電阻吸收的功率電阻吸收的功率

例3-2電路如圖3-3所示，已知：，，，，，試用支路法求解各支路電流。解設支路電流、、及電流源端電壓U的參考方向如圖3-3所示。節(jié)點1回路1回路2補充一個輔助方程、聯立求解得到支路電流為負，說明的實際方向與參考方向相反；、為正，說明、的實際方向與參考方向相同。3.2網孔電流法網孔電流法:以網孔電流為未知量，利用基爾霍夫電壓定律列定網孔電壓方程，進行網孔電流的求解。然后再根據電路的要求，進一步求出待求量的方法。

3．3．1網孔電流法的一般步驟

網孔電流是一個假想沿著各自網孔內循環(huán)流動的電流，見圖3-5中的標示。雖然它是不存在的,但很有用。設網孔1、2、3的網孔電流分別為、、。由圖可知，網孔電流與支路電流有以下的關系

用網孔電流代替支路電流列出各網孔電壓方程網孔1網孔2網孔3將網孔電壓方程進行整理則網孔1網孔2網孔3分析上述電壓方程可知：令網孔1中電阻之和、網孔2中電阻之和、網孔3中電阻之和，則、、、分別為對應網孔的自電阻。用、表示網孔1與網孔2公共支路上的電阻，表示網孔1與網孔3公共支路上的電阻，稱為網孔間的互電阻，其余的互電阻分別為、、、。由于一般選取繞行方向與網孔電流方向一致，所以自電阻總是正的。當流過網孔間公共支路的兩個網孔電流參考方向一致時，互電阻取正；否則取負。本例中，所有互電阻均為負值。令、、分別表示網孔1、網孔2、網孔3中理想電壓源的代數和。當電壓源電壓的參考方向與網孔電流的參考方向一致時前面取正號“+”；否則取負號“-”。。

將上式整理成網孔方程可寫成一般形式解上述方程組得網孔電流后，可進而求得各支路電流。用網孔電流法求解電路的步驟歸納如下：

1）選定個網孔電流的參考方向。

2）按照網孔電流方程的一般形式列寫出各網孔電流方程。自電阻始終取正，互電阻前的符號由通過互電阻上兩網孔的電流的參考方向決定，二者一致時取正；否則取負。等效電壓源是理想電壓源的代數和，注意理想電壓源前的符號。

3）聯立求解，解出各網孔電流及待求量。例3-3在圖3-6中，已知：，，，，，試用網孔電流法支路法求解各支路電流。解（1）設各支路電流為、，網孔電流、（2）列寫網孔電流方程

各網孔電流方程為聯立求解，可得

（3）求解各支路電流3．3．2電路中含有理想電流源支路的處理方法如果電路中具有電流源時,則可先設電流以源兩端電壓為,再按網孔電流法列寫相關方程,最后補充一個電流源電流與相關網孔電流的輔助方程。例3-4試用網孔電流法重解圖3-2所示電路中各支路電流及電流源兩端的電壓。解（1）設網孔1、2的電流分別、，電流原兩端電壓為，如圖3-7。（2）列寫網孔電流方程網孔1網孔2

輔助方程聯立求解，可得（3）求各支路電流及電流源兩端電壓3.2.3受控源電路的分析如果電路中含有受控源時,則可先先將受控源像獨立源一樣看待,按網孔電流法列寫相關方程,最后補充一個控制量與相關網孔電流的輔助方程。例3-5在3-8電路中，已知：，，，，，試用網孔電流法支路法求解各支路電流及的。

解（1）設各網孔電流、支路電流如圖所示（2）列寫網孔電流方程網孔1網孔2輔助方程聯立求解，可得（3）求各支路電流及電壓如果電路中含有受控電流源時,處理辦法與上類似,只是再多補一個輔助方程,將控制量用網孔電流表示。3.3節(jié)點電壓法參考節(jié)點:在電路中任意選擇一個節(jié)點為非獨立節(jié)點，稱此節(jié)點為參考點。節(jié)點電壓:各獨立節(jié)點與參考節(jié)點之間的電壓，稱為該節(jié)點的節(jié)點電壓。節(jié)點電壓法:是以節(jié)點電壓為求解電路的未知變量，利用基爾霍夫電流定律列出相應獨立節(jié)點方程，進而求解電路的方法。3．2．1節(jié)點電壓方程式的一般形式圖3-11所示電路為具有四個節(jié)點的電路，下面以3-11為例說明用節(jié)點電壓法進行的電路分析方法和求解步驟，導出節(jié)點電壓方程的一般形式。

首先，選擇節(jié)點4為參考節(jié)點。設節(jié)點1的電壓為、節(jié)點2的電壓為，節(jié)點3的電壓為，各支路電流及參考方向見圖2-6中的標示。應用基爾霍夫電流定律，對節(jié)點1、節(jié)點2、節(jié)點3分別列寫節(jié)點電流方程節(jié)點1節(jié)點2節(jié)點3用節(jié)點電壓表示支路電流代入節(jié)點1、2、3的電流方程，得到節(jié)點1節(jié)點2節(jié)點3整理后可得節(jié)點1節(jié)點2節(jié)點3令表示與節(jié)點1相連接的各支路的電導之和，稱之為節(jié)點1的自電導。同理，節(jié)點2、節(jié)點3的自電導、；令、分別連接節(jié)點1和節(jié)點2之間支路的電導之和、表示節(jié)點1和節(jié)點3之間支路的電導之和，稱之為稱之為節(jié)點1和節(jié)點2間的互電導、節(jié)點1和節(jié)點3間的互電導。在選節(jié)點電壓參考參考方向總是由非參考節(jié)點指向參考節(jié)點時，各節(jié)點的自電導總是正的，而互電導總為負值。、、

令、、分別表示流向節(jié)點1、2、3的理想電流源電流的代數和，流入節(jié)點的電流取“+”；流出節(jié)點的取“-”。根據以上的分析，節(jié)點電壓方程可寫綜上所述，采用節(jié)點電壓法對電路進行求解，可以根據節(jié)點電壓方程的一般形式直接寫出電路的節(jié)點電壓方程。其步驟如下：

1）指定參考節(jié)點和節(jié)點電壓。

2）按照節(jié)點電壓方程的一般形式，根據實際電路直接列出各節(jié)點的電壓方程。

3）聯立求解，解出各節(jié)點電壓，進而求出其它電壓和電流。

例3-6在圖3-12所示電路中，已知：，，，，，，試用節(jié)點電壓法求各支路電流。解(1)選節(jié)點3為參考節(jié)點。設節(jié)點1的電壓為、節(jié)點2的電壓為（2）求各節(jié)點的自電導、互電導、等效電流源

根據節(jié)點電壓方程的一般形式列寫方程，取節(jié)點3為參考節(jié)點。節(jié)點方程為聯立求解，得由于圖3-12可得各支路電流為3．3．2電路中含有理想電壓源支路的處理方法如果在電路中含有理想電壓源支路，可先設電壓源的電流為，再按節(jié)點法列寫相關方程，最后補充一個電壓源電壓與節(jié)點電壓的輔助方程。例3-7在圖3-13所示電路中，已知：，，，

，，，試求電流源兩端的電壓和電壓源支路的電流。，，解(1)設電壓源電流為、電流源兩端的電壓,節(jié)點1的電壓為、節(jié)點2的電壓為，節(jié)點4的電壓為。本方法中選節(jié)點3為參考節(jié)點。各節(jié)點的電壓方程為節(jié)點1節(jié)點2節(jié)點4輔助方程(2)聯立求解，得電壓源電流為電流源兩端電壓3.3.3受控源電路的分析如果電路中含有受控源時,則可先先將受控源像獨立源一樣看待，按節(jié)點法列寫相關方程,最后補充一個控制量與相關節(jié)點電壓的輔助方程。例3-8在圖3-14所示電路中，已知：，，，，，試求電流。解（1）電路中含有受控源，先將其看作獨立源，以0點參考點，節(jié)點1、節(jié)點2的電壓為、。節(jié)點方程節(jié)點1

節(jié)點2

輔助方程（2）聯立求解得3.4疊加定理疊加性是線性電路的重要特性，它為電路中多個激勵作用時，研究響應與激勵的關系提供了理論基礎，在電路理論上占有重要地位。下面以圖3-17所示電路求電路支路電流為例介紹疊加定理。

由節(jié)點電壓法可得解上式可得

所以分析上式，支路電流由兩部分組成，一個是，僅與電壓源有關；另一個是，僅與電流源有關。它們都是電路中各電源單獨作用產生的結果，且是單獨電源的一次函數如圖3-17b,c。上述雖是一例,但電壓、電流的可加性是任何線性電路都具備的，具有普遍意義。線性電路的這種特性總結為疊加原理。疊加定理可表述為：在含有多個激勵的線性電路中，任一支路的的響應（電流或電壓）等于各理想激勵單獨作用時，在該支路中產生的響應（電流或電壓）的代數之和。應用疊加定理時就注意以下幾點：1）疊加原理只適用于線性電路，對非線性電路不適用。2）疊加原理只適用電壓、電流的計算，而不適用功率的計算。3）當一個獨立源單獨作用時，其它激勵均不作用（電壓源相當于開路、電流源相當于短路）。4)應用疊加原理求電壓、電流時應特別注意各量的正負符號。分量與原支路電壓、電流參考方向一致時取正號，否則取負號。5）疊加方式是任意的?？梢淮问且粋€獨立源工作，也可以是幾個獨立源同時作用。

例3-9在圖3-18（a）所示電路中，已知：

，

，

，A，，試求各電阻電流。

解（1）電流源單獨作用時等效電路（電壓源開路），如圖2-15b所示，和電流源單獨作用電路（電壓源短路），如圖2-15c所示。（2）求出各電源單獨作用電路中的各電阻支路的分電流。由圖2-15b所示電路，可求得

由圖2-15c所示電路，可求得（3）根據疊加定理有

例3-10在圖3-19a所示電路中，已知：

，

，，，試用疊加原理求的電流、電壓。

解（1）電壓源單獨作用時的電路如圖3-19b所示。電流源單獨作用的電路3-19c所示。（2）分別求出各分電路的待求電流。圖3-19b所示電路電流以為對3-19c所示電路，電流為（3）根據疊加定理有這也就是說，疊加原理只適用于線性電路中電流、電壓的計算，而功率與電壓或電流之間不是線性關系，因此功率不能應用疊加定理進行計算。例3-11在圖3-20（a）所示電路中，已知：

，

，A，V，試用疊加原理求的電流。解（1）電流作用時的電路如圖3-20b所示對回路1列KVL方程（2）電壓源作用時的電路如圖3-20c所示（3）根據疊加定理3．5戴維南定理和諾頓定理在電路分析中，有時只研究某一支路的電壓與電流或功率時，對所研究的支路來說，電路的剩余部分就成為待求支路的電源，它是一個有源二端網絡。戴維南定理和諾頓定理是將有源二端網絡等效成實際電源的重要定理。3．5．1戴維南定理戴維南定理指出：對于任意一個線性有源二端網絡，可用一個電壓源及其內阻（也稱為輸入電阻）的串聯組合來代替，電壓源的電壓為該二端網絡的開路電壓；內阻等于該二端網絡中所有獨立源為零（理想電壓源短路，理想電流源開路）時，從網絡兩端看進去的等效電阻。如圖3-23示。網絡的開路電壓的計算方法是將負載開路，然后計算計算該電路的，其計算方法視具體電路而定。內阻的計算除了可用無源二端網絡的等效變換法求解，還可用下面的方法進行求解：

(1)開路、短路法先分別求出有源二端網絡的開路電壓和短路電流（注意：的方向是由的“+”端指向“-”端）圖3-24a、b所示，則（2）外加電源法令含源二端網絡中所有獨立源為零，在所得電路的兩端加一個電壓源（或電流），如圖3-24所示，求出電壓源提供的電流（或電流源兩端的電壓），則圖3-24

戴維南定理特別適用于研究復雜網絡中的一部分電路，或只需求出網絡中某一支路或負載元件的電流或電壓。若用前面所學的網絡分析方法雖可以進行求解，但分析計算復雜。如果將要進行求解的支路看成是負載電路，從網絡中分離出來，剩余的部分就是一個有源二端網絡。有源二端網絡可用戴維南定理進行等效簡化，從而簡化了電路的組成，使分析計算變得十分簡單。以下用例題說明戴維南定理的解題步驟。例3-12在圖3-26（a）所示電路中，已知：

，

，

，

，

，V，V，試用疊加原理求的電流用戴維南定理求所示電路的電流。

圖3-26解(1)將待求支路電阻R及作為負載斷開,電路的剩余部分構成有源二網絡,如圖3-26b所示。(2)求解網絡的開路電壓。設開路電壓的方向如圖3-26b所示(3)求等效電壓源內阻將圖3-26b中的電壓源短路，得到圖3-26c所示無源二端網絡，其等效電阻

(4)畫出戴維南等效電路，接入負載支路，如圖3-26d所示，求得3.5.2諾頓定理諾頓定理指出：對于任意一個線性有源二端網絡。如圖3-27a所示，可用一個電流源及其內阻為的并聯組合來代替，如圖3-27b所示。電流源的電流為該含源二端網絡的短路電流，見圖3-27c；內阻等于該網絡中所有電源為零時，從二端網絡兩端看進去的電阻，見圖3-27d。

以下用例題說明應用諾頓定理解題的方法及步驟。例3-13在圖3-28（a）所示電路中，已知：已知Ω，Ω，

Ω，V，V，求電流I。解（1）將待求支路電阻作為負載斷開，電路的剩余部分構成在源二端網絡，如圖3-28b所示。（2）求解二端網絡的短路電流。求短路電流的電路如圖3-28c所示。（3）求等效電源內阻。將圖3-28b電路中的電壓源短路，得到圖3-28d所示無源二端電路，其等效電阻Ω（4）畫出諾頓等效電路，接入電阻支路，如圖3-28e所示，得例3-14電路如圖3-29所示，已知Ω，Ω，V，

A，Ω，用戴維南定理求電流源兩端的端電壓。圖3-32解（1）求開路電壓將圖3-29a所示電路中的電流源斷開，得圖3-29b所示電路。（2）求。在圖3-29c所示電路中求。在二端網絡兩端加一電壓源電壓為。（3）戴維南等效電路如圖3-29d所示。電流源兩端的電壓在此應注意，不能將受控源與電流源的串聯支路全部看作外電路，而對其余部分進行戴維南定理等效變換，這樣就將受控源的控制量等效掉了。也就是說受控源與基控制量必須同時處在被變換部分，才能對其應用戴維南定理。3.6最大功率傳輸定理實際中許多設備的電源在向外供電時都引兩個端子接到負載。可以說它們就是一個有源二端網絡。當所接負載不同時，二端電路傳輸給負載的功率也就不同?，F在我們討論：對給定的有源二端網絡，當負載為何值時網絡傳給負載的功率最大呢？負載所能吸收的功率又是多少呢？為了說明這個問題，我們將有源二端網絡等效成戴維南電源模型，如圖3-31所示。由圖可知則電源傳輸給負載的功率為令解上式可得

由上式可知，當

時

有極大值。所以有源二端網絡傳輸給負載的最大功率的條件是：負載電阻

等于二端網絡的等效電源內阻

。此時電路的的工作狀態(tài)稱為負載與網絡的“匹配”。有源二端網絡傳輸給負載的最大功率為“匹配”時網絡傳輸的效率為可見，在負載獲得最大功率時，傳輸效率低，有一半的功率在電源內部消耗了，這種情況在電力網絡中是不允許的。在電力網絡中要求高效率地傳輸電功率，因此應使

。在電信網絡中，輸送的功率很小，不需考慮效率問題，常設法達到匹配狀態(tài)，使負載能獲得最大功率。例3-15電路如圖3-32所示，已知：已知，，，，，求上獲得最大功率時的值，并求出吸取的最大功率。解將作為負載電阻斷開，電路的剩余部分構成有源二端網絡，如圖3-32b所示。此網絡ab端的電壓為有源二端網絡的開路電壓為將圖3-32b電路中的電壓源短路，得到如圖3-32c所示無源二端網絡，其等效電阻為畫出戴維南等效電路，接入支路，如圖3-32d所示。最大功率傳輸定理可知，當時，可獲得的最大功率為小結1.支路電流法支路法是以支路電流用為電路的變量，亦即未知量，直接應用基爾霍夫定律和歐姆定律，列出所需要的方程組，然后聯立解出各支路的電流的一種方法。支路電流法適用于支路較少的電路。2.網孔電流法網孔電流是一個假想沿著各自網孔內循環(huán)流動的電流。所謂網孔電流法是以網孔電流為未知量，利用基爾霍夫電壓定律列定網孔電壓方程，進行網孔電流的求解。然后再根據電路的要求，進一步求出待求量。網孔電流法適用