第二章2.1雙曲線及其標準方程基礎落實·必備知識一遍過重難探究·能力素養(yǎng)速提升學以致用·隨堂檢測促達標目錄索引

課程標準1.了解雙曲線的定義.2.掌握雙曲線的幾何圖形與標準方程.3.會求雙曲線的標準方程.基礎落實·必備知識一遍過知識點1

雙曲線的定義1.定義平面內(nèi)到兩個定點F1,F2的距離之

等于

(大于零且小于|F1F2|)的點的集合(或軌跡)叫作雙曲線.

這兩個定點F1,F2叫作雙曲線的焦點,兩個焦點間的距離叫作雙曲線的焦距.2.集合語言表達式雙曲線就是集合P={M|||MF1|-|MF2||=2a,0<2a<|F1F2|}.平面內(nèi)符合條件的點集差的絕對值常數(shù)名師點睛1.若將定義中差的絕對值中的絕對值符號去掉,則點M的軌跡為雙曲線的一支,具體是哪一支,取決于|MF1|與|MF2|的大小.(1)若|MF1|>|MF2|,則|MF1|-|MF2|>0,點M的軌跡是靠近定點F2的那一支;(2)若|MF1|<|MF2|,則|MF2|-|MF1|>0,點M的軌跡是靠近定點F1的那一支.2.雙曲線定義中的常數(shù)必須要大于0且小于|F1F2|.(1)若定義中的常數(shù)等于|F1F2|,此時動點軌跡是分別以F1和F2為端點的兩條方向相反的射線(包括端點).(2)若定義中的常數(shù)大于|F1F2|,此時動點軌跡不存在.(3)若定義中的常數(shù)為0,此時動點軌跡為線段F1F2的垂直平分線.思考辨析雙曲線定義中為什么不要漏了絕對值符號?提示

如果沒有絕對值符號,點的軌跡表示雙曲線的一支.自主診斷1.判斷正誤.(正確的畫√,錯誤的畫×)(1)平面內(nèi)到兩定點的距離之差等于常數(shù)(大于零且小于兩定點間距離)的點的軌跡是雙曲線.(

)(2)平面內(nèi)到點F1(0,4),F2(0,-4)的距離之差等于5的點的軌跡是雙曲線.(

)(3)平面內(nèi)到點F1(0,4),F2(0,-4)的距離之差的絕對值等于8的點的軌跡是雙曲線.(

)×××2.[人教A版教材習題]如圖,圓O的半徑為定長r,A是圓O外一個定點,P是圓O上任意一點.線段AP的垂直平分線l與直線OP相交于點Q,當點P在圓O上運動時,點Q的軌跡是什么?為什么?解

當點P在圓O上運動時,點Q的軌跡是雙曲線.連接OA,QA(圖略),由已知得|QP|=|QA|,所以||QA|-|QO||=||QP|-|QO||=r.又因為點A在圓外,所以|OA|>|OP|=r,所以點Q的軌跡是雙曲線.知識點2

雙曲線的標準方程

焦點的位置焦點在x軸上焦點在y軸上標準方程

(a>0,b>0)

(a>0,b>0)幾何圖形

焦點坐標

a,b,c的關系c2=

F1(-c,0),F2(c,0)F1(0,-c),F2(0,c)

a2+b2思考辨析根據(jù)雙曲線的標準方程如何判斷焦點的位置?提示

在雙曲線的標準方程中,若含x2項的系數(shù)為正,則焦點在x軸上;若含y2項的系數(shù)為正,那么焦點在y軸上.自主診斷1.判斷正誤.(正確的畫√,錯誤的畫×)√××××2.[人教B版教材習題]分別根據(jù)下列條件,求雙曲線的標準方程:(1)a=3,b=4,且焦點在x軸上;(2)焦點為F1(0,-6)和F2(0,6),且經(jīng)過點A(2,-5).3.[人教B版教材習題]已知雙曲線x2-y2=m與橢圓2x2+3y2=72有相同的焦點,求m的值.重難探究·能力素養(yǎng)速提升探究點一雙曲線的概念【例1】

設平面上的點到兩個定點F1(5,0),F2(-5,0)的距離之差的絕對值分別等于(1)6;(2)10;(3)12.滿足條件的曲線若存在,是什么樣的曲線?若不存在,請說明理由.解

(1)存在.∵|F1F2|=10,而6<10,∴滿足條件的曲線是雙曲線.(2)存在.∵|F1F2|=10,而10=10,∴滿足條件的是以F1,F2為端點的兩條射線.(3)不存在.∵|F1F2|=10,而12>10,∴滿足該條件的曲線不存在.規(guī)律方法

雙曲線是到兩個定點F1,F2的距離之差的絕對值等于常數(shù)(大于零且小于|F1F2|)的點的集合(或軌跡),要注意條件“常數(shù)(大于零且小于|F1F2|)”.變式訓練1已知A(0,-5),B(0,5),|PA|-|PB|=2a,當a=3或5時,P點的軌跡為(

)A.雙曲線或一條直線B.雙曲線或兩條直線C.雙曲線一支或一條直線D.雙曲線一支或一條射線D解析

當a=3時,2a=6,此時|AB|=10,∴點P的軌跡為雙曲線的一支(靠近點B).當a=5時,2a=10,此時|AB|=10,∴點P的軌跡為射線,且是以B為端點的一條射線.探究點二求雙曲線的標準方程【例2】

根據(jù)下列條件,求雙曲線的標準方程:規(guī)律方法

1.求雙曲線標準方程的兩個關注點

2.雙曲線標準方程的兩種求法(1)定義法:根據(jù)雙曲線的定義得到相應的a,b,c,再寫出雙曲線的標準方程.(2)待定系數(shù)法:先設出雙曲線的標準方程

(a,b均為正數(shù)),然后根據(jù)條件求出待定的系數(shù),代入方程即可.[注意]若焦點的位置不明確,應注意分類討論,也可以設雙曲線方程為mx2+ny2=1的形式,注意標明條件mn<0.變式訓練2求符合下列條件的雙曲線的標準方程:(1)兩個焦點的坐標分別是(-5,0),(5,0),雙曲線上的點與兩焦點的距離之差的絕對值等于8;探究點三雙曲線中的焦點三角形【例3】

若F1,F2是雙曲線

的兩個焦點.(1)若雙曲線上一點M到它的一個焦點的距離等于16,求點M到另一個焦點的距離;(2)如圖,若P是雙曲線左支上的點,且|PF1|·|PF2|=32,試求△F1PF2的面積.(1)由雙曲線的定義得||MF1|-|MF2||=2a=6,又雙曲線上一點M到它的一個焦點的距離等于16,假設點M到另一個焦點的距離等于x,則|16-x|=6,解得x=10或x=22.故點M到另一個焦點的距離為10或22.(2)將|PF2|-|PF1|=2a=6兩邊平方得|PF1|2+|PF2|2-2|PF1|·|PF2|=36,則|PF1|2+|PF2|2=36+2|PF1|·|PF2|=36+2×32=100.在△F1PF2中,由余弦定理得變式探究將本例(2)中的條件“|PF1|·|PF2|=32”改為“∠F1PF2=60°”,求△F1PF2的面積.由雙曲線的定義和余弦定理得|PF2|-|PF1|=6,|F1F2|2=|PF1|2+|PF2|2-2|PF1|·|PF2|cos

60°,所以102=(|PF1|-|PF2|)2+|PF1|·|PF2|,所以|PF1|·|PF2|=64,規(guī)律方法

求雙曲線中焦點三角形面積的方法(1)(方法一)①根據(jù)雙曲線的定義求出||PF1|-|PF2||=2a;②利用余弦定理表示出|PF1|,|PF2|,|F1F2|之間滿足的關系式;③通過配方,利用整體的思想求出|PF1|·|PF2|的值;變式訓練3設P為雙曲線x2-=1上的一點,F1,F2是該雙曲線的兩個焦點,若|PF1|∶|PF2|=3∶2,則△PF1F2的面積為

.

12解析

由已知得2a=2,又由雙曲線的定義得|PF1|-|PF2|=2,因為|PF1|∶|PF2|=3∶2,所以|PF1|=6,|PF2|=4.探究點四利用定義確定與雙曲線有關的軌跡方程規(guī)律方法

1.求解與雙曲線有關的點的軌跡問題,常見的方法有兩種:(1)列出等量關系,化簡得到方程;(2)尋找?guī)缀侮P系,由雙曲線的定義,得出對應的方程.2.求解雙曲線的軌跡問題時要特別注意:(1)雙曲線的焦點所在的坐標軸;(2)檢驗所求的軌跡對應的是雙曲線的一支還是兩支.變式訓練4[人教B版教材習題]相距1400m的A,B兩個觀察站都聽到了一聲巨響,且在A處聽到的時間比在B處聽到的時間早4s.已知當時的聲速是340m/s,發(fā)出巨響的點與A,B都在水平面上,求發(fā)出巨響的點所在曲線的方程.學以致用·隨堂檢測促達標123451.[2024河北石家莊月考]若方程

表示雙曲線,則m的取值范圍是(

)A.m<2或m>6 B.2<m<6C.m<-6或m>-2 D.-6<m<-2B解析

由題意知(m-2)(m-6)<0,解得2<m<6.故選B.12345A123453.已知雙曲線(a>0,b>0),F1,F2為其兩個焦點,若過焦