第二章3.2拋物線的簡單幾何性質(zhì)基礎(chǔ)落實·必備知識一遍過重難探究·能力素養(yǎng)速提升學(xué)以致用·隨堂檢測促達標(biāo)目錄索引

課程標(biāo)準(zhǔn)1.了解拋物線的簡單幾何性質(zhì).2.能運用拋物線的幾何性質(zhì)解決相關(guān)問題.3.掌握直線與拋物線的位置關(guān)系,并會用方程思想解決此類問題.基礎(chǔ)落實·必備知識一遍過知識點

拋物線的簡單幾何性質(zhì)

標(biāo)準(zhǔn)方程y2=2px(p>0)y2=-2px(p>0)x2=2py(p>0)x2=-2py(p>0)圖象

范圍x≥0,y∈Rx≤0,y∈Ry≥0,x∈Ry≤0,x∈R對稱軸_________

_________

__________________

x軸

x軸

y軸

y軸

標(biāo)準(zhǔn)方程y2=2px(p>0)y2=-2px(p>0)x2=2py(p>0)x2=-2py(p>0)焦點_________

__________________

_________

頂點_________

準(zhǔn)線

_________

__________________

_________

離心率_________

開口方向向_____向_____向_____向_____原點(0,0)e=1右

左上下名師點睛1.拋物線沒有漸近線,在畫圖時不要把拋物線畫成雙曲線一支的形狀,因為雙曲線的開口越來越開闊,而拋物線的開口越來越扁平.2.拋物線的頂點只有一個,拋物線的焦點總在對稱軸上,拋物線的準(zhǔn)線始終與對稱軸垂直.思考辨析在同一坐標(biāo)系下試畫出拋物線y2=x,y2=2x和y2=3x的圖象,你能分析影響拋物線y2=2px(p>0)開口大小的量是什么嗎?提示

影響拋物線開口大小的量是參數(shù)p(p>0),p值越大,拋物線的開口越大,反之,開口越小.自主診斷1.[人教B版教材習(xí)題]已知拋物線y=4x2上的一點M的縱坐標(biāo)為1,求點M到焦點的距離.2.[人教B版教材習(xí)題]求拋物線y2=8x的焦點到直線x=0的距離.重難探究·能力素養(yǎng)速提升探究點一已知拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程,研究拋物線的幾何性質(zhì)【例1】

若拋物線y2=4x上一點P(x0,y0)到點(5,0)的距離最小,則點P的橫坐標(biāo)x0為(

)A.1 B.2 C.3

D.4C規(guī)律方法

把握三個要點確定拋物線的簡單幾何性質(zhì)(1)開口:由拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程看圖象開口方向,關(guān)鍵是看準(zhǔn)一次項是x還是y,一次項的系數(shù)是正還是負(fù).(2)關(guān)系:頂點位于焦點與準(zhǔn)線中間,準(zhǔn)線垂直于對稱軸.(3)定值:焦點到準(zhǔn)線的距離為p;過焦點垂直于對稱軸的弦(又稱為通徑)長為2p;離心率恒等于1.變式訓(xùn)練1已知拋物線y2=8x,求出該拋物線的頂點、焦點、準(zhǔn)線方程、對稱軸、變量x的范圍.解

拋物線y2=8x的頂點、焦點、準(zhǔn)線方程、對稱軸、變量x的范圍分別為(0,0),(2,0),x=-2,x軸,[0,+∞).探究點二拋物線的幾何性質(zhì)的應(yīng)用【例2】

(1)等腰直角三角形AOB內(nèi)接于拋物線y2=2px(p>0),O為拋物線的頂點,OA⊥OB,則△AOB的面積是(

)A.8p2 B.4p2 C.2p2 D.p2B解析

因為拋物線的對稱軸為x軸,內(nèi)接△AOB為等腰直角三角形,AB是斜邊,所以由拋物線的對稱性知,直線AB與拋物線的對稱軸垂直,從而直線OA與x軸的夾角為45°.(2)已知拋物線的頂點在坐標(biāo)原點,對稱軸為x軸,且與圓x2+y2=4相交于A,B兩點,|AB|=2,求拋物線方程.解

由已知,拋物線的焦點可能在x軸正半軸上,也可能在負(fù)半軸上.故可設(shè)拋物線方程為y2=ax(a≠0).設(shè)拋物線與圓x2+y2=4的交點A(x1,y1),B(x2,y2).∵拋物線y2=ax(a≠0)與圓x2+y2=4都關(guān)于x軸對稱,∴點A與點B也關(guān)于x軸∴所求拋物線方程是y2=3x或y2=-3x.規(guī)律方法

利用拋物線的性質(zhì)可以解決的問題

變式訓(xùn)練2(1)[人教B版教材例題]已知拋物線的對稱軸為x軸,頂點是坐標(biāo)原點且開口向左,又拋物線經(jīng)過點M(-4,2),求這個拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程.★(2)求頂點在原點,對稱軸是坐標(biāo)軸,焦點在直線x-2y+2=0上的拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程.

解

∵焦點在直線x-2y+2=0上,且拋物線的頂點在原點,對稱軸是坐標(biāo)軸,∴焦點的坐標(biāo)為A(0,1)或B(-2,0),若拋物線的焦點是A(0,1),則此拋物線方程為x2=4y.若拋物線的焦點是B(-2,0),則此拋物線方程為y2=-8x.故所求的拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2=4y或y2=-8x.探究點三拋物線的焦半徑公式【例3】

已知拋物線的頂點在原點,焦點在y軸上,拋物線上一點M(m,-3)到焦點的距離為5,求m的值、拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程和準(zhǔn)線方程.規(guī)律方法

1.設(shè)拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2=-2py(p>0),根據(jù)點M在拋物線上及條件|MF|=5,建立方程組求解.2.已知|MF|=5,可用焦半徑公式求解.變式訓(xùn)練3拋物線y2=2px(p>0)的焦點為F,O為坐標(biāo)原點,M為拋物線上一點,且|MF|=3|OF|,△MFO的面積為16,則拋物線的方程為(

)A.y2=6x

B.y2=8x C.y2=16x D.y2=20xC學(xué)以致用·隨堂檢測促達標(biāo)123451.若拋物線x=-my2的焦點到準(zhǔn)線的距離為2,則m=(

)D123452.(多選題)以y軸為對稱軸的拋物線的通徑(過焦點且與對稱軸垂直的弦)長為8,若拋物線的頂點在坐標(biāo)原點,則其方程為(

)A.y2=8x B.y2=-8xC.x2=8y

D.x2=-8yCD解析

設(shè)拋物線方程為x2=2py(p>0)或x2=-2py(p>0),由題意知2p=8,所以p=4.故拋物線方程為x2=8y或x2=-8y.123453.點P是拋物線y2=4x上一動點,則點P到點A(0,-1)的距離與點P到直線x=-1的距離之和的最小值是(

)D解析

過點P作PP'垂直于直線x=-1,垂足為P',設(shè)拋物線的焦點為F,則F(1,0).由y2=4x,可知x=-1是拋物線的準(zhǔn)線.由拋物線的定義知點P到該拋物線準(zhǔn)線的距離為|PP'|=|PF|,則點P到點A(0,-1)的距離與點P到該拋物線準(zhǔn)線的距離之和d=|PF|+|PA|≥|AF|=123454.拋物線y2=4x的弦AB⊥x軸,若|AB|=4,則焦點F到直線AB的距離為

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2123455.已知拋物線的頂