常用數(shù)學(xué)公式

一、函數(shù)、導(dǎo)數(shù)

1.函數(shù)的單調(diào)性

(1)設(shè)%1、%2€［a,以且V無2。那么

/(%1)一/(x2)<0<=>/(x)在［a,b］上是增函數(shù)：

/(xJ-ZUz)>00/(外在［a,句上是減函數(shù)。

(2)設(shè)函數(shù)y=f(x)在某個(gè)區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)，若/''(%)>0,則在該區(qū)間內(nèi)/?(%)為增函數(shù)；若

fM<o,則在該區(qū)間內(nèi)/(工)為減函數(shù)

2.函數(shù)的奇偶性(該函數(shù)的定義域關(guān)于原點(diǎn)對稱)

對于定義域內(nèi)任意的心都有/(一%)=f(x),則/(%)是偶函數(shù)：

對于定義境內(nèi)任意的羽都有/(-%)=―/(幻，則/(幻是奇函數(shù)。

奇函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱，偶函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對稱。

3.函數(shù)在點(diǎn)見處的導(dǎo)數(shù)的幾何意義

函數(shù)y=f(X)在點(diǎn)/處的導(dǎo)數(shù)/'(&)是曲線J=f(X)在PQojao))處的切線的斜率，相

f

應(yīng)的切線方程是y-/(%())=f(x0)(x-x0)o

4.幾種常見函數(shù)的導(dǎo)數(shù)

C'=0(C為常數(shù))；(ax)z=axlna;

(xn)f=;ixn-1(n6Q)；(e")'=ex;

(sinx)z=cosx：(cos%)7=-sinx：

(arcsinx)'=-(arccosx)z=-==:

(arctanx)'=-(arccotx)z=

(lnxy=l；(logaxV=^；

5.導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則

(〃±□)'=〃'±，；(uvy=u'v+uv,:u=/(x),v=^(u),i/=g'Q)u'

7.求函數(shù)y=f(x)的極值的方法：解方程f'(%)=Oo當(dāng)f'(&)=0時(shí)：

⑴如果在與附近的左側(cè)/'(%)>0,右側(cè)/'(&)<0,則/(%)是極大值;

(2)如果在與附近的左側(cè)尸(%。)V0,右側(cè)尸(%0)>0,則/(沏)是極小值:

8.凹凸函數(shù)：設(shè)/(%)在開區(qū)間1上存在二階導(dǎo)數(shù)：

(1)若對任意xwl,有尸(幻>0,則/(%)在I上為下凸函數(shù)；

(2)若對任意x61,有「(x)VO,則/(均在I上為上凸函數(shù)；

二、三角函數(shù)、三角變換、解三角形、向量

9.同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式

sin0

sin?0+coso20=1,tan0=------,tan6?cot0=1

cos6

10,正弦、余弦的誘導(dǎo)公式

(-l)zsina(k為偶數(shù))

(-l)^cosa僅為奇數(shù))

k

(—1)2cosa(Z為偶數(shù))

cos

_k+i為奇數(shù))

(—l)-^-sina(A

11.和角與差角公式

sin(a±P)=sinacos0±cosasin/?;

cos(a±p)=cosacos/?+sinasin/?；

,itana±tan/?

tan(a±p)=------------

1+tanatanp

asina4-bcosa=Va2+b2sin(a±(p)(輔助角(p所在象限由點(diǎn)(a,b)的象限決

定，tan0=-)

a

12.二倍角公式

sin2a=2sinacosa;

cos2a=cos2a-sin2a=2cos2a-1=1-2sin2a:

2tana

tan2a=-------------

1—tan'a

13.三角函數(shù)的周期

函數(shù)y=4sin(u)a+(p),x￡R及函數(shù)y=Acos(o)a+(p),x6R(A,o),(p為常數(shù)，且

A。0,3>0)的周期T=紅；函數(shù)y=4tan(toa+(p),%。/CTT+巳，kEZ(力，o),(p

32

為常數(shù)，且A"3>。)的周期Tn?

14.三角晶數(shù)的圖像變換：

(1)函數(shù)y=Asin(coa+(p),xeR即y=sinx橫坐標(biāo)伸長(0V3V1)或縮短(co>1)

到原來的工倍，再向左(生>0)或向右(9<0)平移性|個(gè)單位，最后縱坐標(biāo)伸長(A>

33(O10)1

1)或縮短(0VAV1)到原來的A倍。

(2)函數(shù)y=｛sin(a)a+叩)，％€區(qū)即、=$由％向左(3>0)或向右(<p<0)平移|(p|個(gè)

單位，再橫坐標(biāo)伸長(0V3<1)或縮短(3>1)到原來的2倍，再，最后縱坐標(biāo)

(0

伸長(A>1)或端短(0<A<1)到原來的A倍。

15.正弦定理

16.余弦定理

a2=b2+c2-2bccosA；b2=a2+c2-2accosB;c=a2+b2-2abcosC

17.三角形面積公式

S=ahsinC=besinA=；QCsinB

LLL

18.a與b的數(shù)量積（或內(nèi)積）

a-b=|a|-|b|cos0（6是向量a,b的夾角）

19.向量的坐標(biāo)運(yùn)算

⑴設(shè)A（%i，yi，Zi）,B（%2，y2，Z2）,則荏=布一罰=（X2一%1，%一力，zl-Z2）;

⑵設(shè)a（%i，yi，Zi）,b（%2，y2，Z2）,則a?b=勺％2++Z1Z2：

（3）設(shè)a（%,y,z）,J5'j|a|=y/x2+y24-z2?

20.兩向量的夾角公式

Xl*2+Viy2+ZiZ2

設(shè)a（%i，yi，Zi）,b（M，y2，Z2）,且則cos8=

bH0,22222+z2

|a|-|b|Vx1+y1+z17x2+y22

21.向量的平行與垂直

a//bob=\ao衛(wèi)=△=幺；

X2Z2

zz

a1b(aH0)=a?b=0=x)x2+y/z+i2=0

三、數(shù)列、集合與命題

22.數(shù)列的通項(xiàng)公式與前z:項(xiàng)的和的關(guān)系

an=久(數(shù)列｛冊｝的前幾項(xiàng)的和為Sn=+。2+…+Qn)

13rl-n>z

23.等差數(shù)列的通項(xiàng)公式和前幾項(xiàng)和公式

an=a1+(n-l)d;S”=竿*=呵+

24.等比數(shù)列的通項(xiàng)公式和前〃項(xiàng)和公式

naltq=1

a=%qnT；Sn=口i（lqn）_aifq

n,qH1

25.數(shù)列求和常見結(jié)論:

1+3+5H----F(2n-1)=n2;

l24-22+32++n2=-n(n+l)(2n4-1):

6

l3+23+33+?-?+n3=[1n(n+1)]。

26.有〃個(gè)元素的集合，含有2〃個(gè)子集，2'-1個(gè)其子集。

27.原命題：若p則q;否命題：若-ip則->q;命題的否定：若p則-iq。

28.全稱量詞即''所有"，“全部”，可寫作“V”；存在量詞又稱特稱量詞，寫作'勺"o

四、不等式

29.均值不等式

設(shè)a,bER+,^>yfab(當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)取號)

30.柯西不等式

(宙+談+…+W)(*+園+…+廝)>(a/i+a2b2+…+a"n)2,其中內(nèi),…，

即，如…，bnER\當(dāng)且僅當(dāng)詈=?=…二?時(shí)不等式取等號。

%b2bn

31.Jensen不等式

[/?)+/S)+/(c)]</(0十力十C)

32.三角不等式：||a|-|b||<|a±b|<|a|+|b|

33.指數(shù)不等式：afM>b(a>0,b>0)<=>/(%)Iga>lg/?

五、解析幾何與立體幾何

34.直線的五種方程

⑴點(diǎn)斜式：y-y0=k(.x-^o)(直線/過點(diǎn)(x(),%),且斜率為人)

(2)斜板式：y=kx+b(b為直線/在y軸上的微距)

(3)兩點(diǎn)式：'%*”1(直線/過點(diǎn)(%1，%)(％2，丫2)，且勺。％2，%。丫2)

y2-y\x2-xi

(4)極距式：-+-=0(a、b分別為直線的橫、縱載距，a,b*0)

ab

(5)一般式：Ax+By+C=0(其中A、B不同時(shí)為0)

35.兩條直線的平行和垂直

：

若，1:y=kxx+bv,i2y=k2x+b2

ll

⑴i//20kl=k2f-H%；

(2)L10=自,七=-1

36?點(diǎn)(々),yo)到直線/:Ax+By+C=0(的距離

\Ax+By+C\

d=----0/0—

37.角平分線所在直線的方程

tana==?二,其中的、七分別為角的邊所在直線的斜率，2a為原角的大小

1"VK'K11+/C火z

38.圓的三種方程

(1)圓的一般方程：x2+y2+Dx+Fy+F=0(D24-E2-4F>0)

⑵圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：(x—a)2+(y—b)2=r2

⑶圓的參數(shù)方得t鼠二;客

39.兩個(gè)圓的公共弦所在方程

222

(x+y2+Di%+Eiy+FJ-(x+y+D2x+E2y+F2)=0

40.直線與圓的位置關(guān)系

直線hAx+By+C=0與圓(％—Q)2+(y—b)2=產(chǎn)的位置關(guān)系有三種：

d>rq相離o△<0:d=ro相切o△=0:d<r=相交o△>0,弦長=2Jr?-d2；

其中d=嚕署

X/A2+R2

41.橢圓、雙曲線、拋物線的圖形、定義、標(biāo)準(zhǔn)方程、幾何性質(zhì)

橢圓：^7+77=l(a>b>O'),a2—c2=b2,離心率e=￡<l,準(zhǔn)線x=土匕，參數(shù)方

azbzac

程是匕:七柒，橢圓上的點(diǎn)與兩個(gè)定點(diǎn)&(&0)、尸2(—c，0)的距離之和等于常數(shù)

iy—1)sin0

(2a)。

雙曲線：-77=l(a>b>0),c2-a2=b2,離心率e=->1,準(zhǔn)線x=±—,漸近

ac

線方程是我橢圓上的點(diǎn)與兩個(gè)定點(diǎn)Fi(c,0)、蟲一GO)的距離之差等于常

數(shù)⑵)。

拋物線：y2=2px,焦點(diǎn)《,0),準(zhǔn)線x=—：,焦半徑|PF|=&+],過拋物線焦點(diǎn)的弦

長|AB|=/+x2+p,拋物線上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離等于它到準(zhǔn)線的距離。

42.雙曲線的方程與漸近線方程的關(guān)系

(1)若雙曲線方程為二一4=1=0-4=0<=>y=+-Xo

a，b2a2b2-a

(2)若漸近線方程為y=a；±看=0=雙曲線可設(shè)為圣一\二九

(3)若雙曲線與圣一、=1有公共漸近線，可設(shè)為會入(入>0,焦點(diǎn)又在軸上；AV

0,焦點(diǎn)y在軸上)

43.若斜率為上的直線與圓錐曲線相交于A(%i，yi)、B(%2，y2)兩點(diǎn)，則弦長公式為

22

AB=7(1+^)[(Xi+x2)-4x^2)=J(1+*)[(%+yzM—4%丫21(憶工°)

44.柱體、錐體、球體的側(cè)面積、表面積、體積計(jì)算公式

圓柱側(cè)面積=2n",表面積=2TT“+2nr2,體積=Sh(S是柱體的底面積，九是柱體的高)；

圓錐側(cè)面積=TT",表面積=TT"+TT",體積二^S/I(S是錐體的底面積，九是維體的高)；

3

球的半徑是R,則其體積V=±irR3,其表面積S=4TTR2

3

六、空間幾何

45.平面方程：

⑴點(diǎn)法式：A(x-x0)+B(y-y0)4-C(z-z0)=0,n=(4B,C)是平面的法向量

(2)一般式：Ax+By+Cz+D=0(48,。不全為0)

（3）參數(shù)式：已知平面n上一點(diǎn)MQo,%,Zo）以及平行于平面的兩不共線向量內(nèi)二

x

x=XJi+X2t2+o

（%,-1）和1=（又2，/22）,則有y=Y1t1+Y2t2+y0

z=Zi0+Z2t2+z0

46.兩平面間的關(guān)系：

（1）ri]//電=%="=幺裝"；（法向量共線但兩平面不重合）

A2B2C2D2

（2）n1i.1=2M2+B1B2+C?=0

⑶l與電的夾角（e<^）：cos"魯陰=|A…磬+cgi

2川也|即壽爐而

47.直線方程：

...*匚八（AX+By+CjZ+=0

（1）一般式（交面式）：,Toxnn

+。

（A2X+B2y+C2z2=0

x=x0+tl

（2）參數(shù)式：y=y0^-tm

z=z0tn

（3）對稱式（標(biāo)準(zhǔn)式）：二￡==也=土為

Imn

48.直線與平面的關(guān)系：

(1)///n<=>A/+Bm+Cn=0且Ax。+ByQ+Cz0+0H0;

(2)/1n?-=-=-

Imn

|A1+8m+Cn|

⑶1與n的夾角（8<裂：sin0=

VA2+Bz+Cz-y/l2+m2+n2

49.曲面方程:

(1)單葉雙曲面：4+4-4=1(Q,瓦c>0)

azc,

(2)雙葉雙曲面：4-77—=-1(a,b,c>0)

a2b2c2

（3）橢圓拋物面：放+亍=2z（p,q>0）,當(dāng)口=qE寸，曲面為旋轉(zhuǎn)拋物面

(4)雙曲拋物面：-———=2z(p,q>0)

pq

七、概率統(tǒng)計(jì)

50.平均數(shù)、方差、標(biāo)準(zhǔn)差、期望的計(jì)算

平均數(shù)：元=/+.+一知

222

方差：S?=；[01-x)+(x2-X)+???+(xn-X)]

222

標(biāo)準(zhǔn)差：s=[(%1-x)+(x2-x)+???+(xn-x)]

期望

51.回歸線方程

2之1(陽一￡)(%-？)_￡之1々”一九旬

y=a+bx,其中ba=y—bx

￡匕(修-元)2￡%xt2-nx2

_____n(ac-bd)2_____

52.獨(dú)立性檢驗(yàn):K2=

(a+fe)(c+d)(c+a)(fe+d)

53.排列數(shù)、組合數(shù)

排列數(shù)公式：4卜=71s-1)…(九-m+1)=(，：)!，其中力；1=汨，力51=1；

組合數(shù)公式：制=器=缶，其中M=廢=1

54.二項(xiàng)式定理：

(1)(Q+匕尸=C^anb°+Cia^b1+???+C^an-rbr+…+QaQbn

nrr

(2)第r+1項(xiàng)：Tr+1=C^a-b(0<r<n,r6Z)

(3)系數(shù)和：以+盤+…+制=2'以+或+鬃+???二盤+%+。言+..?=2nT

(4)當(dāng)Q的絕對值與1相比很小且n不大時(shí)，有(1+Q)n土1+71Q,(1—a)n?1—Tia

55.相對獨(dú)立事件同時(shí)發(fā)生的概率P(4?B)=P(A)-P(B)

56.正態(tài)分布記為彳?N(〃”2),其中期望以=口，方差Df=o2,曲線關(guān)于直線％=口對稱并在

x=u時(shí)取最大值。

57.離散型隨機(jī)變量的期望與方差的性質(zhì)：

(1)期望反映了離散型隨機(jī)變量取值的平均水平；方差與標(biāo)準(zhǔn)差反映了離散型隨機(jī)變量

取值的穩(wěn)定與波動、集中與離散的程度。

(2)=%iPi+x2P2+,??+xnpn:E(C)=C(C為常數(shù))

222

(3)D?=-E5)P1+(x2-E5)p2+-+(xn-EQpn;D(C)=0(C為常數(shù))

(4)設(shè)n=嫉+b,則E(n)=aE《+b,D(n)=a2D5,D(T])=E?2-(EQ2

⑸若《?B(n,p),則氏=〃p,D5=np(l—p);若&服從幾何分布,且P(f=k)=g(/c,p),

具忸吟口=詈。

八、復(fù)數(shù)

58.復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算：

a+bi(a4-bi)(c-di)(ac+bd)+(be-ad)i

c+di(c4-di)(c-di)c24-d2

59.復(fù)數(shù)z=a+bi的模：|z|=|a+bi\=Va2+b2

60.復(fù)數(shù)之間不能進(jìn)行大小比較

61.設(shè)一元三次方程a/+bx?+ex+d=0(a。0)的三個(gè)根分別是31，%2，%3，則有：

⑴x1+x2+x3=xrx2+x2x3+xrx3=xrx2x3=--

C人A,p、\33ac-b227a2d-9abc+2b3

⑵令A(yù)=O+Q)，其中p=^^，q=

當(dāng)A>0時(shí)，方程有一個(gè)實(shí)根，一對共靶復(fù)根：

當(dāng)△二()時(shí)，方程有三個(gè)實(shí)根，其中有一個(gè)二重根；

當(dāng)△<()時(shí)，方程有三個(gè)不等實(shí)根。

九、極限與級數(shù)

62.柯西收數(shù)準(zhǔn)則：數(shù)列｛a,J收斂的充分必要條件是：對于任意￡>0,存在整數(shù)N>0,使

得當(dāng)n,m>N時(shí)，有|即一。"11<￡。

63.極限的定義：lim/(r)=A：對于任意￡>0,存在正數(shù)5,當(dāng)0V|丫一々JV6時(shí)，有

X-*XQ

\fM-A\<￡。

64.當(dāng)0時(shí)，有6“一1一無一5皿%~111(1+%),1-cosx,6有l(wèi)im"~=lim川口+，)=

2x-*0xx-*0x

1,=linj(l+x)2=e

65.函數(shù)極限的計(jì)算：

(1)lim［/(%)『=［Hm/(')/(nG/V+)其中各函數(shù)極限均存在

x-*x0Lx-?x0

(2)洛必達(dá)法則：若函數(shù)和滿足下列條件：

①lim/(x)=lima(x)=a,其中a=0或a=8；

x-*ax-*a

②在點(diǎn)a的某去心鄰域內(nèi)兩者均可導(dǎo)，且g'COHO;

則有l(wèi)im=limj^

x-?ag(x)x-?ag'(x)

66.拉格朗日中值定理：如果函數(shù)/(￡)滿足在閉區(qū)間［a,b］上連續(xù)；在開區(qū)間(a,b)內(nèi)可導(dǎo)；那

么在開區(qū)間(a,b)內(nèi)至少有一點(diǎn)￡(a<￡<b)使等式/(b)-/(a)=f'(￡)(b-a)成立。

67.正項(xiàng)級數(shù)效散性判斷：

(1)比較判別法：大收致推出小收斂，小發(fā)放推出大發(fā)散

(2)比值與根值判別法：

(<1,級數(shù)￡9收效

若lim"=pj>l,級數(shù)發(fā)散，且1加%=+8；

n-*oounInr8

I=1,此判別法失效

(<1,級數(shù)X工1%收數(shù)

若Iim51；=p1：>l,級數(shù)￡二1即發(fā)散，且limj=+8：

nT8VIZIT8

I=1,此判別法失效

(3)與p級數(shù)比較：設(shè)￡之血=￡已13>0，當(dāng)P>1時(shí)收斂，當(dāng)PW1時(shí)發(fā)散。

68.交錯(cuò)級數(shù)的致散性(萊布尼茨判別法):設(shè)交錯(cuò)級數(shù)E工i(-l)nT〃n滿足〃RN〃n+1，n>

N>1；lim<%=0，則2N1(-l)"T〃n收斂，且其和0<Sn^l(-l)n_1Wn<%,余

nT8

項(xiàng)Hil<〃n+l。

69.簌級數(shù)收斂半徑及收斂域：

設(shè)一級數(shù)￡二0%(%-&尸,則有

1,0<1<4-00

01=+8；

(4-00,I=0

(2)判斷an(x一總產(chǎn)在％-x0=土R處的斂散性；

(3)若該級數(shù)在％-％0=R處收斂，則其收斂域?yàn)?-R+Xo，R+Xo］：若該級數(shù)在％—%=

-R處收斂，則其收斂域?yàn)椋?R+&,R+%o)；若該級數(shù)在無一&二±R處都收斂，則

其收斂域?yàn)椋邸猂+&,R+x0］］o

十、矩陣、線性空間與線性變換

70.矩陣的轉(zhuǎn)置：

(1)對于九階實(shí)矩陣4,若滿足=E或人丁力=E(為單位矩陣)，則矩陣4稱為正交矩

陣,其中川為4的轉(zhuǎn)置；

(2)若71階方陣A滿足*=A