試卷第試卷第=PAGE1頁共=SECTIONPAGES36頁試卷第試卷第=PAGE2頁共=SECTIONPAGES36頁河南省2025年高考數(shù)學(xué)模擬試卷（三）一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求的。1．從分別標(biāo)有，，，，的個小球中，不放回的隨機選取兩個小球，記這兩個小球的編號分別為，若，則為實數(shù)的概率為(

)A． B． C． D．【答案】A【解析】選取小球，有種選法，若為實數(shù)，則有種情況：若為偶數(shù)，則為偶數(shù)，有種選法若為奇數(shù)，則為奇數(shù)，設(shè)，，在中任取一個數(shù)，在中任取一個數(shù)或者在中任取一個數(shù)，在中任取一個數(shù)，共種選法，故所求概率為．故選：．2．已知，，則(

)A． B．C． D．【答案】B【解析】由，得，，.故選：．3．設(shè)集合，，則(

)A． B．C． D．【答案】A【解析】由題得，，故選：．4．已知函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，且當(dāng)時，，則不等式的解集為(

)A． B．C． D．【答案】B【解析】解：因為，所以在上單調(diào)遞增，且．因為是定義在上的奇函數(shù)，所以在上單調(diào)遞增，且．由，可得或，解得或．即的解集為．故選：．5．已知數(shù)列是等差數(shù)列，記數(shù)列的前項和為，且，則（

）A．3 B． C．1 D．【答案】D【解析】由題設(shè)，可得，由.故選：D6．某科研團隊對某產(chǎn)品的一項新功能進行了次測試，將不合格、合格、良、優(yōu)的結(jié)果分別用，，，標(biāo)記，若次測試結(jié)果中有次不合格、次合格、次良、次優(yōu)，則對于標(biāo)記后的數(shù)據(jù)，下列結(jié)論錯誤的是(

)A．分位數(shù)為 B．極差為C．平均數(shù)為 D．方差為【答案】A【解析】解：將次測試結(jié)果標(biāo)記后得到數(shù)據(jù)，，，，，，，，對于，因為，所以這組數(shù)據(jù)的分位數(shù)為，故A錯誤；對于，這組數(shù)據(jù)的極差為，故B正確；對于，平均數(shù)為，故C正確；對于，方差為，故D正確．故選：．7．已知向量，若，則（

）A．-2 B．-1 C．1 D．2【答案】C【解析】由，得，而，所以.故選：C8．二面角的平面角的大小為，，為半平面內(nèi)的兩個點，為半平面內(nèi)一點，且，若直線與平面所成角為，為的中點，則線段長度的最大值是(

)A． B． C． D．【答案】A【解析】直線與平面所成的角為，且，點到平面的距離為定值，過點作平面于，連接，則，，又，點、在以為圓心，半徑為的圓與半平面的相交弧線上，因為二面角為，所以點在平面與平面的交線上，故該弧線是半個圓，故當(dāng)、在直線上時，可使長度最大，此時，在中，，，，故由余弦定理可得，所以，線段長度的最大值是．故選A．二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求。9．斜率為的直線與雙曲線的兩條漸近線交于，兩點，與雙曲線交于，兩點，是線段的中點，則下列說法正確的是(

)A．是雙曲線兩條漸近線所構(gòu)成的“”形圖象的方程B．也是線段的中點C．若過雙曲線的焦點，則直線的斜率是D．若過雙曲線的焦點，點的坐標(biāo)為，則【答案】A,B,D【解析】對于選項A：易知，所以或，即或，該直線方程恰好為雙曲線的兩條漸近線，故選項A正確；對于選項B：設(shè)直線的方程為，，，聯(lián)立，消去并整理得，若，漸近線方程為，此時與直線平行，不符合題意，由韋達定理得；聯(lián)立，消去并整理得，由韋達定理得，所以，共用同一個中點，故選項B正確；對于選項C：若直線過焦點，此時直線的方程為，由選項B知，所以，代入直線方程中，解得，此時；若直線過焦點，此時直線方程為，由選項B知，所以，代入直線方程中，解得，此時，故選項C錯誤；對于選項D：由選項C知，即，因為，，所以，故選項D正確．故選：．10．如圖，正方體的棱長為，點，，分別在棱，，上與端點不重合，過點作平面，垂足為，則下列說法正確的是(

)A．可能為直角三角形B．若為的外接圓的圓心，則三棱錐為正三棱錐C．若，則四面體的棱與面所成角的正弦值的集合是D．【答案】B,C,D【解析】設(shè)，，，，，，因此，，，根據(jù)余弦定理得，因此為銳角，同理其它兩角也是銳角，所以選項A錯誤；對于選項B，由于為三角形的外心，因此，再根據(jù)平面，結(jié)合勾股定理易知，又因為三個側(cè)面都是直角三角形，易證全等，因此，因此三棱錐為正三棱錐，所以選項B正確；對于選項C，如果棱在面內(nèi)，那么棱與面所成交為，正弦值為；如果棱不在面內(nèi)，考察側(cè)棱與底面所成的角，以為例，設(shè)，那么，那么三角形的面積為，根據(jù)等體積，三棱錐的體積，因此，因此，所以以為頂點，三角形為底面的三棱錐的側(cè)棱與底面所成角的正弦值為，以或或為頂點的三棱錐的側(cè)棱與底面所成角，以點為例，由于平面，因此與平面所成角為，正弦值為，根據(jù)線面角的定義可知：為與平面所成角，易知，正弦值為，因此四面體的棱與面所成角的正弦值的集合是．故C正確；若，，，，又，即，所以，則，即，所以，即，D正確．故選：．對于，結(jié)合余弦定理判斷即可；對于，由外心得到，再結(jié)合勾股定理說明，進而可判斷；對于，分類討論以為定點，為定點的情況即可判斷；對于，設(shè)，，，，利用等體積法，結(jié)合正余弦定理、三角形面積公式、錐體體積公式化簡即可判斷．本題考查立體幾何，屬于難題．11．已知函數(shù)與的圖象如圖所示，則函數(shù)(

)A．在區(qū)間上是減函數(shù) B．在區(qū)間上是減函數(shù)C．在區(qū)間上是增函數(shù) D．在區(qū)間上是減函數(shù)【答案】B,C【解析】由題意得．由圖象可得：當(dāng)時，，，故函數(shù)在上單調(diào)遞增；當(dāng)時，，，故函數(shù)在上單調(diào)遞減；當(dāng)時，，，故函數(shù)在上單調(diào)遞增；當(dāng)時，，，故函數(shù)在上單調(diào)遞減；所以、C正確．故選BC．三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12．在的展開式中，常數(shù)項為______．【答案】【解析】解：的通項公式為，令得，所以常數(shù)項為．故答案為：．利用二項式定理的通項公式求解即可．本題考查的知識點：二項式的展開式，組合數(shù)，主要考查學(xué)生的運算能力，屬于中檔題．13．若直線為曲線的一條切線，則的最小值為

．【答案】【解析】設(shè)切點坐標(biāo)為因為直線是曲線的切線，則在切點處有又因為切點在曲線上，所以由聯(lián)立求解，可得，即．把代入得，兩邊取自然對數(shù)可得，即，那么，所以，設(shè)，則，令，即，因為，所以，解得，當(dāng)時，，則，所以在上單調(diào)遞減；當(dāng)時，，則，所以在上單調(diào)遞增，所以在處取得極小值，也是最小值，，即的最小值為．14．已知指數(shù)函數(shù)且，且，則______．【答案】【解析】解：指數(shù)函數(shù)且，且，，則．故答案為：．利用指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)求解．本題考查指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)等基礎(chǔ)知識，考查運算求解能力，是基礎(chǔ)題．四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。15．本小題分已知橢圓的離心率為，以橢圓的四個頂點為頂點的四邊形面積為．求橢圓的方程；已知點，過點且斜率為的直線與橢圓相交于不同兩點、，直線、分別與直線交于點、，當(dāng)時，求斜率的取值范圍．【解析】由橢圓的離心率為，且橢圓的四個頂點為頂點的四邊形面積為，可得，解得，橢圓．設(shè)直線，聯(lián)立方程組，整理得，則且，可得，所以，設(shè)，則則直線的方程為，與直線交于點，直線的方程為，與直線交于點，當(dāng)時，且，則，將，代入可得，所以，解得，所以斜率的取值范圍為．16．本小題分已知拋物線：的焦點為，準(zhǔn)線為，雙曲線的左焦點為．求的方程和雙曲線的漸近線方程；設(shè)為拋物線和雙曲線的一個公共點，求證：直線與拋物線相切；設(shè)為上的動點，且直線與雙曲線的左、右兩支分別交于，兩點，直線與拋物線交于不同的兩點，，判斷是否為定值，若是，請求出該定值；若不是，請說明理由．?【解析】因為準(zhǔn)線為，準(zhǔn)線的方程為，又雙曲線，則，，即，雙曲線的漸近線方程為．證明：聯(lián)立方程組，消去得：，解得舍負，由對稱性，不妨取，又由，求得直線的方程為，聯(lián)立方程組，消去得：，因為，所以直線與拋物線相切．因為，，得準(zhǔn)線為線段的中垂線，則直線與直線的傾斜角互補，即，設(shè)：，：，由條件知，聯(lián)立方程組，消去得：，則，聯(lián)立方程組，消去得：，則，所以，故為定值．17．本小題分個人相互傳球，傳球規(guī)則如下：若球由甲手中傳出，則甲傳給乙否則，傳球者等可能地將球傳給另外的個人中的任何一個第一次傳球由甲手中傳出，第次傳球后，球在甲手中的概率記為，球在乙手中的概率記為．求，，，求比較與的大小，并說明理由．【解析】，，，．由題意知，若第次球在甲手中，則第次不在甲手中，第次球不在甲手中的概率是，此時傳球者傳給甲的概率是，即，，，而，，是以為首項，為公比的等比數(shù)列，；由題意知，第次球到乙手里分兩種情況，一是第次球在甲手中，甲傳給乙；二是第次球不在甲、乙手中，概率為，此時傳給乙的概率是，時可取，.18．本小題分已知函數(shù)．Ⅰ討論的單調(diào)性；Ⅱ當(dāng)時，求證：．【解析】由的定義域為，，若，則，在內(nèi)單調(diào)遞增，若，當(dāng)時，在內(nèi)單調(diào)遞減，當(dāng)時，，在內(nèi)單調(diào)遞增．綜上，當(dāng)時，在上單調(diào)遞增，當(dāng)時，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增．證明：當(dāng)時，由，得，設(shè)，則，設(shè)，則，則，即在內(nèi)單調(diào)遞增，，，存在，使得，即，即，，當(dāng)時，，在內(nèi)單調(diào)遞減，當(dāng)時，，在內(nèi)單調(diào)遞增，，當(dāng)，即時，，上式取不到等號，時，．19．本小題17分定義“切糕”函數(shù)：在區(qū)間I上的連續(xù)函數(shù)同時滿足①圖像上任一點P處的切線l：，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立恒成立；②，且恒成立.則稱為區(qū)間I上的“切糕”函數(shù).求證：為區(qū)間上的“切糕”函數(shù)；數(shù)列滿足，是的前n項和.若函數(shù)為區(qū)間上的“切糕”函數(shù)，求證：，當(dāng)且僅當(dāng)…時等號成立.【解析】證明：設(shè)為上任意一點，則，所以切線方程為，即，設(shè)，則，令，則，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以在上恒成立，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，滿足條件①；又因為的導(dǎo)函數(shù)為，設(shè)，則恒成立，滿足條件②；綜上所述，為區(qū)間上的“切糕“函數(shù)；證明：先求證對，，，定義在上的“切糕“函數(shù)恒滿足：，不妨設(shè)，構(gòu)造函數(shù)，，則，因為為上的“切糕“函數(shù)，所以且恒成立，即在上單調(diào)遞減，又，，所以，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，又因為在上單調(diào)遞減，所以，即恒成立，則在上單調(diào)遞增．所以