2025年高考數(shù)學(xué)模擬試卷-立體幾何突破核心習(xí)題考試時間：______分鐘總分：______分姓名：______一、選擇題（本大題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。）1.已知空間四點(diǎn)A,B,C,D，且AB=AC=AD=BC=BD=CD=1，則下列說法正確的是（）A.四點(diǎn)共面B.四點(diǎn)不共面，且構(gòu)成一個正四面體C.四點(diǎn)不共面，且構(gòu)成一個矩形D.四點(diǎn)不共面，且構(gòu)成一個正方體2.在空間直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)P(a,b,c)到平面x+2y+3z=6的距離為（）A.|a+2b+3c-6|B.√(a2+b2+c2-6)C.√(a2+b2+c2+6)D.√(a2+4b2+9c2-36)3.已知空間兩個平面的法向量分別為n?=(1,2,3)和n?=(2,-1,1)，則這兩個平面的夾角余弦值為（）A.1/√14B.√14/14C.3/√14D.√14/24.在正方體ABCD-A?B?C?D?中，點(diǎn)E為棱A?B?的中點(diǎn)，點(diǎn)F為棱BC的中點(diǎn)，則直線EF與平面A?B?CD所成的角的正弦值為（）A.1/√5B.2/√5C.3/√5D.√5/25.已知空間直線l?和平面α，且l?與α的距離為d，若直線l?在平面α上的射影長度為|d|，則直線l?與平面α所成的角的度數(shù)為（）A.30°B.45°C.60°D.90°6.在三棱錐P-ABC中，PA=PB=PC=AB=AC=BC=1，則點(diǎn)P到平面ABC的距離為（）A.1/√3B.√2/3C.√3/3D.2/√37.已知空間四邊形ABCD中，AD=BC=1，∠BAD=∠BCD=60°，且AB⊥CD，則AC的長度為（）A.√2B.√3C.2D.√58.在正方體ABCD-A?B?C?D?中，點(diǎn)E為棱A?B?的中點(diǎn)，點(diǎn)F為棱CD的中點(diǎn)，則直線EF與直線B?C所成的角的余弦值為（）A.1/3B.2/3C.√2/3D.√3/39.已知空間兩個平面的法向量分別為n?=(1,0,1)和n?=(0,1,1)，則這兩個平面的夾角正切值為（）A.1B.√2C.√3D.210.在三棱柱ABC-A?B?C?中，底面ABC為等邊三角形，側(cè)棱AA?=2，且AB⊥AC，則點(diǎn)A?到平面BCC?B?的距離為（）A.1B.√2C.√3D.211.已知空間四邊形ABCD中，AD=BC=2，∠BAD=∠BCD=90°，且AB⊥CD，則BD的長度為（）A.2√2B.2√3C.4D.4√212.在正方體ABCD-A?B?C?D?中，點(diǎn)E為棱A?B?的中點(diǎn)，點(diǎn)F為棱CD的中點(diǎn)，則直線EF與直線A?D所成的角的正弦值為（）A.1/2B.√2/2C.√3/2D.√3/3二、填空題（本大題共4小題，每小題5分，共20分。請將答案填在答題卡相應(yīng)位置。）13.在空間直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)P(a,b,c)到直線l：x=1，y=2，z=3+t的距離為√6，則a2+b2+c2的值為______。14.已知空間兩個平面的法向量分別為n?=(1,2,3)和n?=(2,-1,1)，則這兩個平面的夾角正弦值為______。15.在三棱錐P-ABC中，PA=PB=PC=AB=AC=BC=2，則點(diǎn)P到平面ABC的距離為______。16.在正方體ABCD-A?B?C?D?中，點(diǎn)E為棱A?B?的中點(diǎn)，點(diǎn)F為棱CD的中點(diǎn)，則直線EF與直線B?C所成的角的余弦值為______。三、解答題（本大題共6小題，共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。）17.（10分）如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，PA=AD=2，AB=1，E是PC的中點(diǎn)。求證：平面ABE⊥平面PCE。18.（12分）在長方體ABCD-A?B?C?D?中，AB=2，BC=1，AA?=3，點(diǎn)E在棱BB?上，且BE=2B?E。求點(diǎn)A?到平面CDE的距離。19.（12分）已知空間四邊形ABCD中，AD=BC=2，∠BAD=∠BCD=60°，且AB⊥CD。求AC的長度。20.（12分）在三棱錐P-ABC中，PA=PB=PC=AB=AC=BC=2，求點(diǎn)P到平面ABC的距離。21.（12分）在正方體ABCD-A?B?C?D?中，點(diǎn)E為棱A?B?的中點(diǎn)，點(diǎn)F為棱CD的中點(diǎn)，求直線EF與直線B?C所成的角的余弦值。22.（10分）已知空間兩個平面的法向量分別為n?=(1,2,3)和n?=(2,-1,1)，求這兩個平面的夾角余弦值。四、證明題（本大題共2小題，共20分。）23.（10分）在三棱柱ABC-A?B?C?中，底面ABC為等邊三角形，側(cè)棱AA?=2，且AB⊥AC。求證：平面A?BC⊥平面A?AC。24.（10分）在空間四邊形ABCD中，AD=BC=2，∠BAD=∠BCD=90°，且AB⊥CD。求證：AC⊥BD。本次試卷答案如下一、選擇題答案及解析1.B解析：根據(jù)題意，四點(diǎn)A,B,C,D之間的距離都相等，且為1，可以判斷這四點(diǎn)構(gòu)成一個正四面體。正四面體的特點(diǎn)是四個頂點(diǎn)都在同一個球面上，且任意兩點(diǎn)之間的距離都相等，符合題意。因此，四點(diǎn)不共面，且構(gòu)成一個正四面體。2.A解析：點(diǎn)P(a,b,c)到平面x+2y+3z=6的距離公式為d=|ax+by+cz+d|/√(a2+b2+c2)，其中d為平面方程中的常數(shù)項(xiàng)。將平面方程x+2y+3z=6代入，得到d=|a+2b+3c-6|/√(12+22+32)=|a+2b+3c-6|/√14。因此，正確答案為A。3.B解析：兩個平面的法向量分別為n?=(1,2,3)和n?=(2,-1,1)，它們的夾角余弦值為cosθ=(n?·n?)/(|n?|·|n?|)。計(jì)算內(nèi)積n?·n?=1×2+2×(-1)+3×1=2-2+3=3，計(jì)算模長|n?|=√(12+22+32)=√14，|n?|=√(22+(-1)2+12)=√6。因此，cosθ=3/(√14×√6)=3/√84=3/(2√21)=√21/14。因此，正確答案為B。4.A解析：在正方體ABCD-A?B?C?D?中，點(diǎn)E為棱A?B?的中點(diǎn)，點(diǎn)F為棱BC的中點(diǎn)。設(shè)正方體的邊長為a，則A?(0,0,a)，B?(a,0,a)，C(a,a,a)，D(0,a,a)，E(0,0,a)，F(xiàn)(a/2,a,a)。向量EF=(a/2,a,0)，平面A?B?CD的法向量為n=(0,1,0)。直線EF與平面A?B?CD所成的角的正弦值為sinθ=|EF·n|/(|EF|·|n|)。計(jì)算內(nèi)積EF·n=a/2×0+a×1+0×0=a，向量EF的模長|EF|=√((a/2)2+a2+02)=√(5a2/4)=a√5/2，向量n的模長|n|=√(02+12+02)=1。因此，sinθ=a/(a√5/2×1)=2/√5。因此，正確答案為A。5.B解析：直線l?與平面α的距離為d，直線l?在平面α上的射影長度為|d|，說明直線l?與平面α垂直。直線與平面垂直時，它們所成的角的度數(shù)為45°。因此，正確答案為B。6.C解析：在三棱錐P-ABC中，PA=PB=PC=AB=AC=BC=1，說明P為外接球心，且△ABC為等邊三角形。點(diǎn)P到平面ABC的距離即為外接球心到平面ABC的距離。設(shè)△ABC的外接圓半徑為R，則R=a/(2sinA)=1/(2sin60°)=1/(√3)=√3/3。點(diǎn)P到平面ABC的距離為√(PA2-R2)=√(12-(√3/3)2)=√(1-1/3)=√(2/3)=√6/3=√3/3。因此，正確答案為C。7.A解析：在空間四邊形ABCD中，AD=BC=1，∠BAD=∠BCD=60°，且AB⊥CD?？梢詷?gòu)造輔助線，過點(diǎn)A作AE⊥CD于E，過點(diǎn)B作BF⊥CD于F，連接AE和BF。由于AB⊥CD，AE和BF都在平面ABCD內(nèi)，且垂直于CD。在直角三角形ABE中，∠BAD=60°，AB=1，AE=ABsin60°=√3/2。在直角三角形BCF中，∠BCD=60°，BC=1，BF=BCsin60°=√3/2。由于AE和BF都在平面ABCD內(nèi)，且垂直于CD，可以判斷四邊形AEBF為矩形。因此，AC的長度為√(AE2+EF2)=√((√3/2)2+(√3/2)2)=√(3/4+3/4)=√(6/4)=√6/2=√2。因此，正確答案為A。8.D解析：在正方體ABCD-A?B?C?D?中，點(diǎn)E為棱A?B?的中點(diǎn)，點(diǎn)F為棱CD的中點(diǎn)。設(shè)正方體的邊長為a，則A?(0,0,a)，B?(a,0,a)，C(a,a,a)，D(0,a,a)，E(a/2,0,a)，F(xiàn)(0,a,a)。向量EF=(a/2,0,0)，向量B?C=(0,a,0)。直線EF與直線B?C所成的角的余弦值為cosθ=(EF·B?C)/(|EF|·|B?C|)。計(jì)算內(nèi)積EF·B?C=a/2×0+0×a+0×0=0，向量EF的模長|EF|=√((a/2)2+02+02)=a/2，向量B?C的模長|B?C|=√(02+a2+02)=a。因此，cosθ=0/(a/2×a)=0/(a2/2)=0。因此，正確答案為D。9.B解析：空間兩個平面的法向量分別為n?=(1,0,1)和n?=(0,1,1)，它們的夾角正切值為tanθ=|n?×n?|/(n?·n?)。計(jì)算向量積n?×n?=(1,0,1)×(0,1,1)=(1×1-0×1,1×0-1×1,1×1-0×0)=(1,-1,1)，計(jì)算模長|n?×n?|=√(12+(-1)2+12)=√3，計(jì)算內(nèi)積n?·n?=1×0+0×1+1×1=1。因此，tanθ=√3/1=√3。因此，正確答案為B。10.A解析：在三棱柱ABC-A?B?C?中，底面ABC為等邊三角形，側(cè)棱AA?=2，且AB⊥AC。設(shè)AB=AC=a，則BC=a。由于AB⊥AC，可以構(gòu)造高AH，垂足為H，連接A?H。在直角三角形ABH中，∠BAC=60°，AB=a，AH=ABsin60°=a√3/2。在直角三角形AA?H中，AA?=2，AH=a√3/2，點(diǎn)A?到平面BCC?B?的距離即為A?H的長度。根據(jù)勾股定理，A?H=√(AA?2-AH2)=√(22-(a√3/2)2)=√(4-3a2/4)=√(16-3a2)/2。由于底面ABC為等邊三角形，可以設(shè)a=1，則A?H=√(16-3)/2=√(13/2)=√13/√2=√26/2=1。因此，正確答案為A。11.C解析：在空間四邊形ABCD中，AD=BC=2，∠BAD=∠BCD=90°，且AB⊥CD?？梢詷?gòu)造輔助線，過點(diǎn)A作AE⊥CD于E，過點(diǎn)B作BF⊥CD于F，連接AE和BF。由于AB⊥CD，AE和BF都在平面ABCD內(nèi)，且垂直于CD。在直角三角形ABE中，∠BAD=90°，AB=2，AE=AB=2。在直角三角形BCF中，∠BCD=90°，BC=2，BF=BC=2。由于AE和BF都在平面ABCD內(nèi)，且垂直于CD，可以判斷四邊形AEBF為矩形。因此，BD的長度為√(AE2+EF2)=√(22+22)=√(4+4)=√8=2√2。因此，正確答案為C。12.C解析：在正方體ABCD-A?B?C?D?中，點(diǎn)E為棱A?B?的中點(diǎn)，點(diǎn)F為棱CD的中點(diǎn)。設(shè)正方體的邊長為a，則A?(0,0,a)，B?(a,0,a)，C(a,a,a)，D(0,a,a)，E(a/2,0,a)，F(xiàn)(0,a,a)。向量EF=(a/2,0,0)，向量A?D=(0,a,-a)。直線EF與直線A?D所成的角的正弦值為sinθ=|EF×A?D|/(|EF|·|A?D|)。計(jì)算向量積EF×A?D=(a/2,0,0)×(0,a,-a)=(0×(-a)-0×a,0×0-0×(-a),a/2×a-0×0)=(0,0,a2/2)，計(jì)算模長|EF×A?D|=√(02+02+(a2/2)2)=a2/√4=a2/2，向量EF的模長|EF|=√((a/2)2+02+02)=a/2，向量A?D的模長|A?D|=√(02+a2+(-a)2)=√(2a2)=a√2。因此，sinθ=(a2/2)/(a/2×a√2)=(a2/2)/(a2√2/2)=1/√2=√2/2。因此，正確答案為C。二、填空題答案及解析13.10解析：點(diǎn)P(a,b,c)到直線l：x=1，y=2，z=3+t的距離為√6，可以表示為|a-1|2+|b-2|2+|c-(3+t)|2=6。由于直線l上的點(diǎn)可以表示為(1,2,3+t)，因此|c-(3+t)|2=|c-3-t|2=(c-3-t)2=(c-3)2+2t(c-3)+t2。由于|a-1|2+|b-2|2+(c-3-t)2=6，展開得到(a-1)2+(b-2)2+(c-3)2+2t(c-3)+t2=6。由于t為任意實(shí)數(shù)，可以忽略t2和2t(c-3)項(xiàng)，得到(a-1)2+(b-2)2+(c-3)2=6。因此，a2+b2+c2=10。14.√21/14解析：空間兩個平面的法向量分別為n?=(1,2,3)和n?=(2,-1,1)，它們的夾角余弦值為cosθ=(n?·n?)/(|n?|·|n?|)。計(jì)算內(nèi)積n?·n?=1×2+2×(-1)+3×1=2-2+3=3，計(jì)算模長|n?|=√(12+22+32)=√14，|n?|=√(22+(-1)2+12)=√6。因此，cosθ=3/(√14×√6)=3/√84=3/(2√21)=√21/14。15.√3/3解析：在三棱錐P-ABC中，PA=PB=PC=AB=AC=BC=2，可以判斷P為外接球心，且△ABC為等邊三角形。點(diǎn)P到平面ABC的距離即為外接球心到平面ABC的距離。設(shè)△ABC的外接圓半徑為R，則R=a/(2sinA)=2/(2sin60°)=2/(√3/2)=4/√3=2√3/3。點(diǎn)P到平面ABC的距離為√(PA2-R2)=√(22-(2√3/3)2)=√(4-12/9)=√(4-4/3)=√(12/3-4/3)=√(8/3)=2√2/√3=2√6/3=√6/3。因此，正確答案為√6/3。16.√3/3解析：在正方體ABCD-A?B?C?D?中，點(diǎn)E為棱A?B?的中點(diǎn)，點(diǎn)F為棱CD的中點(diǎn)。設(shè)正方體的邊長為a，則A?(0,0,a)，B?(a,0,a)，C(a,a,a)，D(0,a,a)，E(a/2,0,a)，F(xiàn)(0,a,a)。向量EF=(a/2,0,0)，向量B?C=(0,a,0)。直線EF與直線B?C所成的角的余弦值為cosθ=(EF·B?C)/(|EF|·|B?C|)。計(jì)算內(nèi)積EF·B?C=a/2×0+0×a+0×0=0，向量EF的模長|EF|=√((a/2)2+02+02)=a/2，向量B?C的模長|B?C|=√(02+a2+02)=a。因此，cosθ=0/(a/2×a)=0/(a2/2)=0。因此，正確答案為0。三、解答題答案及解析17.證明：在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，PA=AD=2，E是PC的中點(diǎn)。由于PA⊥平面ABCD，可以判斷PA⊥AB，PA⊥AD，PA⊥BC，PA⊥CD。過點(diǎn)E作EF⊥AB于F，連接PF。由于E是PC的中點(diǎn)，PF=PC/2。在直角三角形PFA中，∠PFA=90°，PF=PC/2，AF=AB/2。因此，∠PFA=∠PCB，且∠PAB=∠PBA，可以判斷△PFA≌△PCB。因此，PE⊥AB。由于PE⊥AB，且PE⊥PC，可以判斷PE⊥平面PAB。因此，平面ABE⊥平面PCE。18.解：在長方體ABCD-A?B?C?D?中，AB=2，BC=1，AA?=3，點(diǎn)E在棱BB?上，且BE=2B?E。設(shè)B?(2,1,3)，則E(2,1,2)。向量CE=(2-1,1-0,2-3)=(1,1,-1)，向量DE=(2-0,1-0,2-3)=(2,1,-1)。平面CDE的法向量為n=CE×DE=(1,1,-1)×(2,1,-1)=(1×(-1)-1×1,1×2-(-1)×2,1×1-1×2)=(-2,4,-1)。點(diǎn)A?(0,0,3)到平面CDE的距離為d=|n·A?C|/|n|。計(jì)算內(nèi)積n·A?C=(-2,4,-1)·(0-1,0-0,3-3)=(-2,4,-1)·(-1,0,0)=2。向量n的模長|n|=√((-2)2+42+(-1)2)=√(4+16+1)=√21。因此，d=2/√21=2√21/21。因此，點(diǎn)A?到平面CDE的距離為2√21/21。19.解：在空間四邊形ABCD中，AD=BC=2，∠BAD=∠BCD=60°，且AB⊥CD?？梢詷?gòu)造輔助線，過點(diǎn)A作AE⊥CD于E，過點(diǎn)B作BF⊥CD于F，連接AE和BF。由于AB⊥CD，AE和BF都在平面ABCD內(nèi)，且垂直于CD。在直角三角形ABE中，∠BAD=60°，AB=2，AE=ABsin60°=√3。在直角三角形BCF中，∠BCD=60°，BC=2，BF=BCsin60°=√3。由于AE和BF都在平面ABCD內(nèi)，且垂直于CD，可以判斷四邊形AEBF為矩形。因此，AC的長度為√(AE2+EF2)=√(√32+√32)=√(3+3)=√6。因此，AC的長度為√6。20.解：在三棱錐P-ABC中，PA=PB=PC=AB=AC=BC=2，可以判斷P為外接球心，且△ABC為等邊三角形。點(diǎn)P到平面ABC的距離即為外接球心到平面ABC的距離。設(shè)△ABC的外接圓半徑為R，則R=a/(2sinA)=2/(2sin60°)=2/(√3/2)=4/√3=2√3/3。點(diǎn)P到平面ABC的距離為√(PA2-R2)=√(22-(2√3/3)2)=√(4-12/9)=√(4-4/3)=√(12/3-4/3)=√(8/3)=2√2/√3=2√6/3=√6/3。因此，點(diǎn)P到平面ABC的距離為√6/3。21.解：在正方體ABCD-A?B?C?D?中，點(diǎn)E為棱A?B?的中點(diǎn)，點(diǎn)F為棱CD的中點(diǎn)。設(shè)正方體的邊長為a，則A?(0,0,a)，B?(a,0,a)，C(a,a,a)，D(0,a,a)，E(a/2,0,a)，F(xiàn)(0,a,a)。向量EF=(a/2,0,0)，向量B?C=(0,a,0)。直線EF與直線B?C所成的角的