第25頁（共25頁）2025年暑期新初三數(shù)學(xué)人教新版尖子生專題復(fù)習(xí)《整式的乘法與因式分解》一．選擇題（共10小題）1．（2025春?云溪區(qū)期中）下列計算正確的是（）A．a(chǎn)2?a3＝a6 B．a(chǎn)3÷a＝a3 C．(-12a)3=-16a3 D2．（2025春?藍山縣期中）如圖：有A，B，C三類卡片，分別是邊長為a的正方形，長為a，寬為b的長方形，邊長為b的正方形，現(xiàn)有4張A卡片，6張B卡片，9張C卡片，取其中的若干張卡片拼成無縫隙不重疊的正方形或長方形，下列說法不正確的是（）A．可拼成邊長為a+3b的正方形 B．可拼成長、寬分別為2a+b，a+3b的長方形 C．可拼成長、寬分別為a+b，a+2b的長方形 D．可拼成面積為（2a+b）2的正方形3．（2025春?安國市期中）已知（x﹣2023）2+（x﹣2027）2＝38，則（x﹣2025）2的值是（）A．11 B．13 C．15 D．194．（2024秋?雁江區(qū)校級期末）從邊長為a的大正方形紙板正中央挖去一個邊長為b的小正方形后，將其裁成四個大小和形狀完全相同的四邊形（如圖1），然后拼成一個平行四邊形（如圖2），那么通過計算兩個圖形陰影部分的面積，可以驗證成立的等式為（）A．a(chǎn)2﹣b2＝（a﹣b）2 B．（a+b）2＝a2+2ab+b2 C．（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2 D．a(chǎn)2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）5．（2025春?寧國市期中）如圖，用A類、B類正方形卡片和C類長方形卡片各若干張，拼一個長為（a+4b）、寬為（a+3b）的大長方形，則需要C類卡片的張數(shù)為（）A．12 B．10 C．7 D．66．（2025?睢縣一模）如圖，在邊長為a的正方形正中間剪去一個邊長為b的小正方形（a＞b），把剩下的部分按照圖中的線段分割成四個等腰梯形，將四個等腰梯形拼成一個大平行四邊形．剪拼前后的兩個圖形可以驗證的乘法公式是（）A．（a+b）2＝a2+2ab+b2 B．（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2 C．a(chǎn)2﹣b2＝（a+b）（a﹣b） D．a(chǎn)2+b2＝（a+b）2﹣2ab7．（2025春?蕭山區(qū)期中）如圖，在甲、乙、丙三只袋中分別裝有球29個、29個、53個，先從甲袋中取出2x個球放入乙袋，再從乙袋中取出2y個球放入丙袋，最后從丙袋中取出（2x+2y）球放入甲袋，此時三只袋中球的個數(shù)相同，則2x+y的值等于（）A．512 B．128 C．64 D．328．（2025春?沙坪壩區(qū)校級期中）若關(guān)于x的二次三項式x2﹣（k﹣2）x+16是一個完全平方式，那么常數(shù)k的值是（）A．﹣6 B．6 C．10或﹣6 D．±69．（2025春?灤南縣期中）若（﹣xm）n＝xmn（m，n為正整數(shù)），下列判斷正確的是（）A．m一定為偶數(shù) B．n一定為偶數(shù) C．m，n一定都為奇數(shù) D．m，n一定都為偶數(shù)10．（2025春?沙坪壩區(qū)校級期中）關(guān)于x的多項式，A＝8x3﹣12x2+6x﹣1＝a（x﹣1）3+b（x﹣1）2+c（x﹣1）+d，B＝x2+ex+f（其中a，b，c，d，e，f均為常數(shù)），下列說法中正確的有（）①當(dāng)B能被（x﹣3）整除時，3e+f＝﹣9；②當(dāng)多項式A與B的乘積中不含x4項時，e=③a+b+c＝26．A．0個 B．1個 C．2個 D．3個二．填空題（共5小題）11．（2025春?潁上縣期中）已知甲、乙兩個長方形，它們的邊長如圖所示（m＞1），甲、乙的面積分別為S1，S2．（1）比較S1與S2的大小：S1S2（填“＞”“＜”或“＝”）；（2）若滿足條件|S1﹣S2|≤n＜2025的整數(shù)n有且只有3個，則整數(shù)m的值為．12．（2025春?瑞安市期中）已知關(guān)于x的多項式ax+b與3x2﹣x﹣2的乘積展開式中不含x的二次項，且一次項的系數(shù)為﹣7，則ab的值為．13．（2025春?洪江市期中）如圖，兩個正方形的邊長分別為a，b（a＞b），若a+b＝10，ab＝6，則陰影部分的面積為．14．（2025春?興賓區(qū)期中）計算：(12)2024×215．（2025春?蒲城縣期中）公園里有一塊長為2xm，寬為xm的長方形花壇，現(xiàn)在要把花壇四周均向外擴展，擴展后的長方形花壇的長為（2x+2y）m，寬為（x+2y）m，則擴展后的長方形花壇的面積比擴展前的長方形花壇的面積增加了m2．三．解答題（共5小題）16．（2025春?覃塘區(qū)期中）綜合實踐題小明和小紅學(xué)習(xí)了用圖形面積研究整式乘法的方法后，分別進行了如下數(shù)學(xué)探究：材料準(zhǔn)備：準(zhǔn)備三根長度均為L的鐵絲．探究1：小明先將第一根鐵絲截成兩段（4a和4b），分別圍成邊長為a和b的正方形；再將第二根鐵絲均分（每段2a+2b），圍成兩個長為b、寬為a的長方形（如圖1：兩個正方形和兩個長方形示意圖）．探究2：小紅用第三根鐵絲直接圍成邊長為（a+b）的大正方形（如圖2：大正方形示意圖）．（1）用S1表示小明做的2個正方形和2個長方形的面積和，用S2表示小紅做的正方形的面積，則S1＝；S2＝．（2）通過圖形拼合（如圖3）猜想S1與S2的關(guān)系，并用含a、b的式子寫出數(shù)量關(guān)系；（3）應(yīng)用：根據(jù)（2）中的等量關(guān)系，試解決如下問題：①已知：a+b＝7，a2+b2＝19，求ab的值；②已知（2024﹣x）2+（x﹣2025）2＝7，求（2024﹣x）（x﹣2025）的值．17．（2025春?碭山縣期中）已知2m＝3，2n＝9，2p＝81．（1）求4m的值；（2）求4m+n﹣p的值；（3）字母m，n，p之間的數(shù)量關(guān)系為．18．（2025春?棗莊期中）如圖，某小區(qū)有一塊長為（2a+4b）m，寬為（2a﹣b）m的長方形地，角上有四個邊長為（a﹣b）m的小正方形空地，開發(fā)商計劃將陰影部分進行綠化．（1）用含有a，b的式子表示綠化的面積（結(jié)果寫成最簡形式）；（2）物業(yè)找來陽光綠化團隊完成此項綠化任務(wù)，已知該團隊每小時可綠化30m2，每小時收費30a元，則該物業(yè)應(yīng)該支付綠化團隊多少元（用含a，b的代數(shù)式表示）？19．（2025春?漢臺區(qū)校級期中）在計算（2x+a）（x+b）時，甲錯把b看成了6，得到的結(jié)果是2x2+8x﹣24，乙錯把a看成了﹣a，得到的結(jié)果是2x2+14x+20．（1）求a、b的值；（2）將a，b的值代入（2x+a）（x+b）并化簡，求出正確的結(jié)果．20．（2025春?漢中期中）如圖，某區(qū)有一塊長為（6a﹣2b）米，寬為（4a﹣2b）米的長方形廣場，規(guī)劃部門計劃在廣場內(nèi)部A、B兩個正方形區(qū)域修建涼亭，其余部分進行綠化，A、B兩個正方形區(qū)域的邊長均為a米．（1）用含有a，b的式子表示綠化的總面積；（結(jié)果化成最簡形式）（2）若a＝2，b＝1，綠化成本為100元/每平方米，則完成綠化工程共需要多少元？

2025年暑期新初三數(shù)學(xué)人教新版尖子生專題復(fù)習(xí)《整式的乘法與因式分解》參考答案與試題解析一．選擇題（共10小題）題號12345678910答案DBCDCCBCBD一．選擇題（共10小題）1．（2025春?云溪區(qū)期中）下列計算正確的是（）A．a(chǎn)2?a3＝a6 B．a(chǎn)3÷a＝a3 C．(-12a)3=-16a3 D【考點】同底數(shù)冪的除法；整式的加減；同底數(shù)冪的乘法；冪的乘方與積的乘方．【專題】整式；運算能力．【答案】D【分析】根據(jù)同底數(shù)冪的乘法、除法，積的乘方，去括號法則等知識點，逐項判斷即可解答．【解答】解：根據(jù)同底數(shù)冪的乘法、除法，積的乘方，去括號法則等知識點逐項分析判斷如下：A、a2?a3＝a5，故A選項錯誤；B、a3÷a＝a2，故B選項錯誤；C、(-12D、a﹣（b﹣a）＝a﹣b+a＝2a﹣b，故D選項正確；故選：D．【點評】本題考查了同底數(shù)冪的乘法、除法，積的乘方，去括號法則，熟練掌握以上知識點是解答本題的關(guān)鍵．2．（2025春?藍山縣期中）如圖：有A，B，C三類卡片，分別是邊長為a的正方形，長為a，寬為b的長方形，邊長為b的正方形，現(xiàn)有4張A卡片，6張B卡片，9張C卡片，取其中的若干張卡片拼成無縫隙不重疊的正方形或長方形，下列說法不正確的是（）A．可拼成邊長為a+3b的正方形 B．可拼成長、寬分別為2a+b，a+3b的長方形 C．可拼成長、寬分別為a+b，a+2b的長方形 D．可拼成面積為（2a+b）2的正方形【考點】完全平方式；完全平方公式的幾何背景．【專題】整式；應(yīng)用意識．【答案】B【分析】對于A，求出正方形得面積是a2+6ab+9b2，需要1張A卡片，6張B卡片，9張C卡片；對于B，求出長方形得面積是2a2+7ab+3b2，需要2張A卡片，7張B卡片，3張C卡片；對于C，求出長方形得面積是a2+3ab+2b2，需要1張A卡片，3張B卡片，2張C卡片；對于D，求出正方形得面積是4a2+4ab+b2，即需要4張A卡片，4張B卡片，1張C卡片，據(jù)此選擇．【解答】解：對于A，（a+3b）（a+3b）＝a2+6ab+9b2，即需要1張A卡片，6張B卡片，9張C卡片，故A正確；對于B，（2a+b）（a+3b）＝2a2+7ab+3b2，即需要2張A卡片，7張B卡片，3張C卡片，故B不正確；對于C，（a+b）（a+2b）＝a2+3ab+2b2，即需要1張A卡片，3張B卡片，2張C卡片，故C正確；對于D，（2a+b）2＝4a2+4ab+b2，即需要4張A卡片，4張B卡片，1張C卡片，故D正確．故選：B．【點評】本題考查了完全平方公式、完全平方公式的幾何背景，解決本題的關(guān)鍵是求出拼成的圖形的面積．3．（2025春?安國市期中）已知（x﹣2023）2+（x﹣2027）2＝38，則（x﹣2025）2的值是（）A．11 B．13 C．15 D．19【考點】完全平方公式．【專題】整式；運算能力．【答案】C【分析】根據(jù)題意，設(shè)t＝x﹣2025，則x＝t+2025，將原式中的兩個平方項轉(zhuǎn)化為關(guān)于t的表達式，展開化簡得出t2＝15，把x＝t+2025代入（x﹣2025）2進而得出答案．【解答】解：設(shè)t＝x﹣2025，則x＝t+2025，∴（x﹣2023）2＝（t+2025﹣2023）2＝（t+2）2，（x﹣2027）2＝（t+2025﹣2027）2＝（t﹣2）2，∵（x﹣2023）2+（x﹣2027）2＝38，∴（t+2）2+（t﹣2）2＝38，∴t2+4t+4+（t2﹣4t+4）＝38，∴t2+4t+4+t2﹣4t+4＝38，∴2t2+8＝38，解得：t2＝15，∴（x﹣2025）2＝（t+2025﹣2025）2＝t2＝15．故選：C．【點評】本題考查了完全平方公式，掌握完全平方公式的特征是解題的關(guān)鍵．4．（2024秋?雁江區(qū)校級期末）從邊長為a的大正方形紙板正中央挖去一個邊長為b的小正方形后，將其裁成四個大小和形狀完全相同的四邊形（如圖1），然后拼成一個平行四邊形（如圖2），那么通過計算兩個圖形陰影部分的面積，可以驗證成立的等式為（）A．a(chǎn)2﹣b2＝（a﹣b）2 B．（a+b）2＝a2+2ab+b2 C．（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2 D．a(chǎn)2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）【考點】平方差公式的幾何背景．【專題】整式；運算能力．【答案】D【分析】運用不同方法表示陰影部分面積即可得到結(jié)論．【解答】解：圖1中陰影部分的面積為：a2﹣b2，圖2中陰影部分的面積為：（a+b）（a﹣b），∵兩圖中陰影部分的面積相等，∴a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b），∴可以驗證成立的公式為a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b），故選：D．【點評】本題主要考查了平方差公式的幾何背景，運用不同方法表示陰影部分面積是解題的關(guān)鍵．5．（2025春?寧國市期中）如圖，用A類、B類正方形卡片和C類長方形卡片各若干張，拼一個長為（a+4b）、寬為（a+3b）的大長方形，則需要C類卡片的張數(shù)為（）A．12 B．10 C．7 D．6【考點】多項式乘多項式．【專題】整式；運算能力．【答案】C【分析】根據(jù)拼成長方形的面積得到所需圖形的個數(shù)即可求解．【解答】解：拼成長方形的面積（a+4b）（a+3b）＝a2+7ab+12b2，∴需要A類1個，B類12個，C類7個，故選：C．【點評】本題考查了整式的乘法運圖形面積的計算，掌握整式的混合運算法則是解題的關(guān)鍵．6．（2025?睢縣一模）如圖，在邊長為a的正方形正中間剪去一個邊長為b的小正方形（a＞b），把剩下的部分按照圖中的線段分割成四個等腰梯形，將四個等腰梯形拼成一個大平行四邊形．剪拼前后的兩個圖形可以驗證的乘法公式是（）A．（a+b）2＝a2+2ab+b2 B．（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2 C．a(chǎn)2﹣b2＝（a+b）（a﹣b） D．a(chǎn)2+b2＝（a+b）2﹣2ab【考點】平方差公式的幾何背景．【專題】整式；運算能力．【答案】C【分析】利用兩種方法表示出圖形的面積，即可得解．【解答】解：在邊長為a的正方形正中間剪去一個邊長為b的小正方形（a＞b），∴第一個圖形中剩余的面積為：a2﹣b2，由第一個圖形可知，大平行四邊形的高為：a﹣b，∴第二個圖形的大平行四邊形的面積為（a+b）（a﹣b），∴a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）；故選：C．【點評】本題考查平方差公式的幾何背景，利用兩種方法表示出圖形的面積是解答本題的關(guān)鍵．7．（2025春?蕭山區(qū)期中）如圖，在甲、乙、丙三只袋中分別裝有球29個、29個、53個，先從甲袋中取出2x個球放入乙袋，再從乙袋中取出2y個球放入丙袋，最后從丙袋中取出（2x+2y）球放入甲袋，此時三只袋中球的個數(shù)相同，則2x+y的值等于（）A．512 B．128 C．64 D．32【考點】同底數(shù)冪的乘法．【專題】整式；運算能力．【答案】B【分析】先表示出調(diào)整后三個袋子中的球的數(shù)量，再根據(jù)球的總數(shù)和三只袋中球的個數(shù)相同得到5+2y＝37，53﹣2x＝37，則2x＝32，2y＝16，再由2x+y＝2x?2y進行求解即可．【解答】解：調(diào)整后，甲袋中有29﹣2x+2x+2y＝（29+2y）個球，乙袋中有（29+2x﹣2y）個球，丙袋中有53+2y﹣2x﹣2y＝（53﹣2x）個球．∵一共有53+53+5＝111球，且調(diào)整后三只袋中球的個數(shù)相同，∴調(diào)整后每只袋中有111÷3＝37（個）球，∴29+2y＝37，53﹣2x＝37，∴2x＝16，2y＝8，∴2x+y＝2x?2y＝8×16＝128．故選：B．【點評】本題主要考查了同底數(shù)冪乘法的逆運算，掌握同底數(shù)冪的運算性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．8．（2025春?沙坪壩區(qū)校級期中）若關(guān)于x的二次三項式x2﹣（k﹣2）x+16是一個完全平方式，那么常數(shù)k的值是（）A．﹣6 B．6 C．10或﹣6 D．±6【考點】完全平方式．【專題】整式；運算能力．【答案】C【分析】利用完全平方式的特征解答即可．【解答】解：∵關(guān)于x的二次三項式x2﹣（k﹣2）x+16是一個完全平方式，∴[﹣（k﹣2）]2﹣4×1×16＝0，∴k﹣2＝±8，∴k＝10或﹣6．故選：C．【點評】本題主要考查了完全平方式的特征，熟練掌握完全平方式的特征是解題的關(guān)鍵．9．（2025春?灤南縣期中）若（﹣xm）n＝xmn（m，n為正整數(shù)），下列判斷正確的是（）A．m一定為偶數(shù) B．n一定為偶數(shù) C．m，n一定都為奇數(shù) D．m，n一定都為偶數(shù)【考點】冪的乘方與積的乘方．【專題】整式；運算能力．【答案】B【分析】根據(jù)積的乘方，冪的乘方運算法則計算即可．【解答】解：（﹣xm）n＝（﹣1）n?xmn，∵（﹣xm）n＝xmn，∴（﹣1）n＝1，∴n一定為偶數(shù)，故選：B．【點評】本題考查了積的乘方，冪的乘方運算，熟記運算法則是解題關(guān)鍵．10．（2025春?沙坪壩區(qū)校級期中）關(guān)于x的多項式，A＝8x3﹣12x2+6x﹣1＝a（x﹣1）3+b（x﹣1）2+c（x﹣1）+d，B＝x2+ex+f（其中a，b，c，d，e，f均為常數(shù)），下列說法中正確的有（）①當(dāng)B能被（x﹣3）整除時，3e+f＝﹣9；②當(dāng)多項式A與B的乘積中不含x4項時，e=③a+b+c＝26．A．0個 B．1個 C．2個 D．3個【考點】整式的除法；整式的加減；單項式乘多項式．【專題】整式；運算能力．【答案】D【分析】①若B能被（x﹣3）整除，則x＝3時，B＝0，即9+3e+f＝0，故3e+f＝﹣9，結(jié)論①正確；②求出多項式A與B的乘積中的x4項，使其系數(shù)為0，即可得出e的值，進而判斷結(jié)論②正確；③利用完全立方公式和完全平方公式將A進行化簡，從而可求出a，b，c的值．【解答】解：①當(dāng)B能被（x﹣3）整除時，若x＝3，則B＝0，即9+3e+f＝0，∴3e+f＝﹣9，故結(jié)論①正確；②∵A＝8x3﹣12x2+6x﹣1，B＝x2+ex+f，∴多項式A與B的乘積中x4項為：8x3?ex+（﹣12x2）?x2＝（8e﹣12）x4，當(dāng)多項式A與B的乘積中不含x4項時，8e﹣12＝0，即e=3故結(jié)論②正確；③a（x﹣1）3+b（x﹣1）2+c（x﹣1）+d＝a（x3﹣3x2+3x+1）+b（x2﹣2x+1）+cx﹣c+d＝ax3﹣（3a﹣b）x2+（3a﹣2b+c）x+a+b﹣c+d，∵A＝8x3﹣12x2+6x﹣1＝a（x﹣1）3+b（x﹣1）2+c（x﹣1）+d，∴a＝8，3a﹣b＝12，3a﹣2b+c＝6，∴a＝8，b＝12，c＝6，∴a+b+c＝26，故結(jié)論③正確，故選：D．【點評】本題考查了多項式的整除性質(zhì)、乘法以及恒等變形等相關(guān)知識，考查了學(xué)生對相關(guān)知識的掌握程度和綜合運用能力．二．填空題（共5小題）11．（2025春?潁上縣期中）已知甲、乙兩個長方形，它們的邊長如圖所示（m＞1），甲、乙的面積分別為S1，S2．（1）比較S1與S2的大?。篠1＜S2（填“＞”“＜”或“＝”）；（2）若滿足條件|S1﹣S2|≤n＜2025的整數(shù)n有且只有3個，則整數(shù)m的值為2023．【考點】多項式乘多項式．【專題】整式；運算能力．【答案】（1）＜；（2）2023．【分析】（1）根據(jù)題意得出S1=(m+2)(m（2）|S1﹣S2|＝|﹣m+1|＝m﹣1．由m﹣1≤n＜2025的整數(shù)n有且只有3個，知這3個整數(shù)解為2024，2023，2022，再根據(jù)2021＜m﹣1≤2022可得答案．【解答】解：（1）因為S1=(m所以S1因為m＞1，所以﹣m+1＜0，所以S1﹣S2＜0，所以S1＜S2；（2）由（1），得|S1﹣S2|＝|﹣m+1|＝m﹣1．因為m﹣1≤n＜2025的整數(shù)n有且只有3個，所以這3個整數(shù)解為2024，2023，2022，所以2021＜m﹣1≤2022，解得2022＜m≤2023．因為m為整數(shù)，所以m＝2023．【點評】本題主要考查多項式乘多項式，解題的關(guān)鍵是掌握多項式乘多項式法則及作差法比較大小的方法．12．（2025春?瑞安市期中）已知關(guān)于x的多項式ax+b與3x2﹣x﹣2的乘積展開式中不含x的二次項，且一次項的系數(shù)為﹣7，則ab的值為3．【考點】多項式乘多項式．【專題】整式；運算能力．【答案】3．【分析】根據(jù)題意，把（ax+b）?（3x2﹣x﹣2）展開后，其二次項的系數(shù)為0，一次項的系數(shù)為﹣7，求得a，b的值，得到結(jié)果．【解答】解：（ax+b）?（3x2﹣x﹣2）＝6ax3﹣ax2﹣2ax+3bx2﹣bx﹣2b＝6ax3+（3b﹣a）x2+（﹣2a﹣b）x﹣2b，∵展開式中不含x的二次項，且一次項的系數(shù)為﹣7，∴3b﹣a＝0，﹣2a﹣b＝﹣7，解得a＝3，b＝1，∴ab＝3．故答案為：3．【點評】本題考查了整式的運算，多項式乘多項式，熟練掌握相關(guān)運算法則是解題的關(guān)鍵．13．（2025春?洪江市期中）如圖，兩個正方形的邊長分別為a，b（a＞b），若a+b＝10，ab＝6，則陰影部分的面積為41．【考點】完全平方公式的幾何背景．【專題】應(yīng)用題；轉(zhuǎn)化思想；整體思想；運算能力．【答案】41【分析】把陰影部分的面積轉(zhuǎn)化成兩個正方形的面積之和減去△ABD的面積再減去△BEF的面積，形成關(guān)于a，b的代數(shù)式，再逆用完全平方公式把代數(shù)式轉(zhuǎn)化成a+b與ab的形式，然后代入求值．【解答】解：S陰影＝S大正方形+S小正方形﹣S△ABD﹣S△BEF＝a2+b2-12a2-12b（=12a2+12=12（a2+b2+2ab）=12（a+b）2∵a+b＝10，ab＝6；∴原式=12×10=12×＝41故答案為：41．【點評】該題考查了不規(guī)則圖形面積的求法與完全平方公式的逆用，解題的關(guān)鍵是把不規(guī)則圖形面積轉(zhuǎn)化為規(guī)則圖形的面積減去規(guī)則圖形的面積．14．（2025春?興賓區(qū)期中）計算：(12)2024×2【考點】冪的乘方與積的乘方．【專題】實數(shù)；運算能力．【答案】2．【分析】根據(jù)冪的乘方與積的乘方、同底數(shù)冪的乘法運算法則計算即可．【解答】解：原式＝（12）2024×22024×＝（12×2）2024＝2．故答案為：2．【點評】本題考查冪的乘方與積的乘方，掌握冪的乘方與積的乘方、同底數(shù)冪的乘法運算法則是解題的關(guān)鍵．15．（2025春?蒲城縣期中）公園里有一塊長為2xm，寬為xm的長方形花壇，現(xiàn)在要把花壇四周均向外擴展，擴展后的長方形花壇的長為（2x+2y）m，寬為（x+2y）m，則擴展后的長方形花壇的面積比擴展前的長方形花壇的面積增加了（6xy+4y2）m2．【考點】多項式乘多項式．【專題】整式；運算能力．【答案】（6xy+4y2）．【分析】根據(jù)長方形面積計算公式分別求出擴展前后圖形的面積，二者相減即可得到答案．【解答】解：根據(jù)長方形面積計算公式可得：（2x+2y）（x+2y）﹣2x?x＝（6xy+4y2）m2，∴擴展后的長方形花壇的面積比擴展前的長方形花壇的面積增加了（6xy+4y2）m2，故答案為：（6xy+4y2）．【點評】本題主要考查了多項式乘法在幾何圖形中的應(yīng)用，熟練掌握該知識點是關(guān)鍵．三．解答題（共5小題）16．（2025春?覃塘區(qū)期中）綜合實踐題小明和小紅學(xué)習(xí)了用圖形面積研究整式乘法的方法后，分別進行了如下數(shù)學(xué)探究：材料準(zhǔn)備：準(zhǔn)備三根長度均為L的鐵絲．探究1：小明先將第一根鐵絲截成兩段（4a和4b），分別圍成邊長為a和b的正方形；再將第二根鐵絲均分（每段2a+2b），圍成兩個長為b、寬為a的長方形（如圖1：兩個正方形和兩個長方形示意圖）．探究2：小紅用第三根鐵絲直接圍成邊長為（a+b）的大正方形（如圖2：大正方形示意圖）．（1）用S1表示小明做的2個正方形和2個長方形的面積和，用S2表示小紅做的正方形的面積，則S1＝a2+b2+2ab；S2＝（a+b）2．（2）通過圖形拼合（如圖3）猜想S1與S2的關(guān)系，并用含a、b的式子寫出數(shù)量關(guān)系；（3）應(yīng)用：根據(jù)（2）中的等量關(guān)系，試解決如下問題：①已知：a+b＝7，a2+b2＝19，求ab的值；②已知（2024﹣x）2+（x﹣2025）2＝7，求（2024﹣x）（x﹣2025）的值．【考點】完全平方式；多項式乘多項式；完全平方公式的幾何背景．【專題】整式；運算能力．【答案】（1）a2+b2+2ab，（a+b）2；（2）S1＝S2，a2+b2+2ab，（a+b）2；（3）①15；②﹣3．【分析】（1）根據(jù)圖形，求出S1＝a2+b2+2ab，S2＝（a+b）2；（2）結(jié)合圖形，因為S1＝a2+b2+2ab，S2＝（a+b）2，可得S1＝S2，即（a+b）2＝a2+b2+2ab；（3）①因為a+b＝7，a2+b2＝19，所以ab＝[（a+b）2﹣（a2+b2）]÷2，代入數(shù)據(jù)計算即可；②（2024﹣x）2+（x﹣2025）2＝7，設(shè)2024﹣x＝a，x﹣2025＝b，則a2+b2＝7，a+b＝﹣1，（2024﹣x）（x﹣2025）＝ab＝[（a+b）2﹣（a2+b2）]÷2，代入計算即可．【解答】解：（1）S1＝a2+b2+2ab，S2＝（a+b）2；故答案為：a2+b2+2ab，（a+b）2；（2）S1＝S2，（a+b）2＝a2+b2+2ab；（3）①因為a+b＝7，a2+b2＝19，所以ab＝[（a+b）2﹣（a2+b2）]÷2＝[72﹣19]÷2＝30÷2＝15；②（2024﹣x）2+（x﹣2025）2＝7，設(shè)2024﹣x＝a，x﹣2025＝b，則a2+b2＝7，a+b＝﹣1，（2024﹣x）（x﹣2025）＝ab＝[（a+b）2﹣（a2+b2）]÷2＝[1﹣7]÷2＝﹣3．【點評】本題考查了完全平方式、多項式乘多項式、完全平方公式的幾何背景，熟練運用完全平方公式是解決本題的關(guān)鍵．17．（2025春?碭山縣期中）已知2m＝3，2n＝9，2p＝81．（1）求4m的值；（2）求4m+n﹣p的值；（3）字母m，n，p之間的數(shù)量關(guān)系為p＝2m+n．【考點】同底數(shù)冪的除法；同底數(shù)冪的乘法；冪的乘方與積的乘方．【專題】整式；運算能力．【答案】（1）9；（2）19（3）p＝2m+n．【分析】（1）根據(jù)冪的乘方進行計算即可；（2）將原式化為（2m）2?（2n）2÷（2p）2代入計算即可；（3）根據(jù)冪的乘方得到22m+n＝2p即可．【解答】解：（1）∵2m＝3，∴4m＝（22）m＝（2m）2＝32＝9；（2）∵2m＝3，2n＝9，2p＝81，∴4m+n﹣p＝4m?4n÷4p＝（2m）2?（2n）2÷（2p）2＝32×92÷812=9×9×9=1（3）∵32×9＝81，即（2m）2?2n＝2p，∴22m+n＝2p，∴2m+n＝p，即字母m，n，p之間的數(shù)量關(guān)系為p＝2m+n，故答案為：p＝2m+n．【點評】本題考查冪的乘方與積的乘方，掌握冪的乘方與積的乘方D的計算方法是正確解答的關(guān)鍵．18．（2025春?棗莊期中）如圖，某小區(qū)有一塊長為（2a+4b）m，寬為（2a﹣b）m的長方形地，角上有四個邊長為（a﹣b）m的小正方形空地，開發(fā)商計劃將陰影部分進行綠化．（1）用含有a，b的式子表示綠化的面積（結(jié)果寫成最簡形式）；（2）物業(yè)找來陽光綠化團隊完成此項綠化任務(wù)，已知該團隊每小時可綠化30m2，每小時收費30a元，則該物業(yè)應(yīng)該支付綠化團隊多少元（用含a，b的代數(shù)式表示）？【考點】完全平方公式的幾何背景；多項式乘多項式．【專題】整式；運算能力．【答案】（1）（14ab﹣8b2）m2；（2）（14a2b﹣8ab2）元．【分析】（1）根據(jù)綠化面積等于長方形的面積減去四個小正方形的面積，可得：（2a﹣b）（2a+4b）﹣4（a﹣b）2，根據(jù)多項式乘多項式的法則和完全平方公式展開，再合并同類項即可；（2）根據(jù)該團隊每小時可綠化30m2，每小時收費30a元，可得：（14ab﹣8b2）÷30×30a，然后再根據(jù)單項式乘多項式的法則進行運算即可．【解答】解：（1）由條件可知綠化的面積為：（2a﹣b）（2a+4b）﹣4（a﹣b）2＝4a2+8ab﹣2ab﹣4b2﹣4（a2﹣2ab+b2）＝（14ab﹣8b2）m2，∴綠化的面積是（14ab﹣8b2）m2；（2）（14ab﹣8b2）÷30×30a＝（14a2b﹣8ab2）元．∴該物業(yè)應(yīng)該支付綠化團隊（14a2b﹣8ab2）元．【點評】本題主要考查了整式的混合運算，解決本題的關(guān)鍵是根據(jù)整式的混合運算法則進行計算即可．19．（2025春?漢臺區(qū)校級期中）在計算（2x+a）（x+b）時，甲錯把b看成了6，得到的結(jié)果是2x2+8x﹣24，乙錯把a看成了﹣a，得到的結(jié)果是2x2+14x+20．（1）求a、b的值；（2）將a，b的值代入（2x+a）（x+b）并化簡，求出正確的結(jié)果．【考點】多項式乘多項式．【專題】整式；運算能力．【答案】（1）a＝﹣4，b＝5；（2）2x2+6x﹣20．【分析】（1）根據(jù)條件求出代數(shù)式的值，對比結(jié)果，分別求出a，b的值；（2）將（1）的a，b的值代入代數(shù)式求解即可．【解答】解：（1）（2x+a）（x+6）＝2x2+12x+ax+6a＝2x2+（12+a）x+6a，∵計算（2x+a）（x+b）時，甲錯把b看成了6，得到的結(jié)果是2x2+8x﹣24，∴6a＝﹣24，∴a＝﹣4，（2x+4）（x+b）＝2x2+2bx+4x+4b＝2x2+（2b+4）x+4b，由條件可知4b＝20，∴b＝5．（2）（2x﹣4）（x+5）＝2x2+10x﹣4x﹣20＝2x2+6x﹣20．【點評】本題考查了整式的乘法運算，正確的計算是解題的關(guān)鍵．20．（2025春?漢中期中）如圖，某區(qū)有一塊長為（6a﹣2b）米，寬為（4a﹣2b）米的長方形廣場，規(guī)劃部門計劃在廣場內(nèi)部A、B兩個正方形區(qū)域修建涼亭，其余部分進行綠化，A、B兩個正方形區(qū)域的邊長均為a米．（1）用含有a，b的式子表示綠化的總面積；（結(jié)果化成最簡形式）（2）若a＝2，b＝1，綠化成本為100元/每平方米，則完成綠化工程共需要多少元？【考點】多項式乘多項式．【專題】整式；運算能力．【答案】（1）（22a2﹣20ab+4b2）平方米；（2）5200元．【分析】（1）根據(jù)題意，列代數(shù)式表示出綠化的總面積，再由整式的乘法運算及整式加減運算法則求解即可得到答案；（2）由（1）知綠化的總面積為22a2﹣20ab+4b2，將a＝2，b＝1代入求解，再乘以綠化成本即可得到答案．【解答】解：（1）由題意可知（6a﹣2b）（4a﹣2b）﹣a2﹣a2＝24a2﹣12ab﹣8ab+4b2﹣2a2＝（22a2﹣20ab+4b2）平方米；（2）由（1）知綠化的總面積為（22a2﹣20ab+4b2）平方米，當(dāng)a＝2，b＝1時，22a2﹣20ab+4b2＝22×22﹣20×2×1+4×12＝52，∵綠化成本為100元/每平方米，∴完成綠化工程共需要52×100＝5200（元）．【點評】本題考查整式混合運算解應(yīng)用題，涉及整式乘法運算、整式加減運算及代數(shù)式求值等知識，讀懂題意，數(shù)形結(jié)合是解決問題的關(guān)鍵．

考點卡片1．整式的加減（1）幾個整式相加減，通常用括號把每一個整式括起來，再用加減號連接；然后去括號、合并同類項．（2）整式的加減實質(zhì)上就是合并同類項．（3）整式加減的應(yīng)用：①認真審題，弄清已知和未知的關(guān)系；②根據(jù)題意列出算式；③計算結(jié)果，根據(jù)結(jié)果解答實際問題．【規(guī)律方法】整式的加減步驟及注意問題1．整式的加減的實質(zhì)就是去括號、合并同類項．一般步驟是：先去括號，然后合并同類項．2．去括號時，要注意兩個方面：一是括號外的數(shù)字因數(shù)要乘括號內(nèi)的每一項；二是當(dāng)括號外是“﹣”時，去括號后括號內(nèi)的各項都要改變符號．2．同底數(shù)冪的乘法（1）同底數(shù)冪的乘法法則：同底數(shù)冪相乘，底數(shù)不變，指數(shù)相加．a(chǎn)m?an＝am+n（m，n是正整數(shù)）（2）推廣：am?an?ap＝am+n+p（m，n，p都是正整數(shù)）在應(yīng)用同底數(shù)冪的乘法法則時，應(yīng)注意：①底數(shù)必須相同，如23與25，（a2b2）3與（a2b2）4，（x﹣y）2與（x﹣y）3等；②a可以是單項式，也可以是多項式；③按照運算性質(zhì)，只有相乘時才是底數(shù)不變，指數(shù)相加．（3）概括整合：同底數(shù)冪的乘法，是學(xué)習(xí)整式乘除運算的基礎(chǔ)，是學(xué)好整式運算的關(guān)鍵．在運用時要抓住“同底數(shù)”這一關(guān)鍵點，同時注意，有的底數(shù)可能并不相同，這時可以適當(dāng)變形為同底數(shù)冪．3．冪的乘方與積的乘方（1）冪的乘方法則：底數(shù)不變，指數(shù)相乘．（am）n＝amn（m，n是正整數(shù)）注意：①冪的乘方的底數(shù)指的是冪的底數(shù)；②性質(zhì)中“指數(shù)相乘”指的是冪的指數(shù)與乘方的指數(shù)相乘，這里注意與同底數(shù)冪的乘法中“指數(shù)相加”的區(qū)別．（2）積的乘方法則：把每一個因式分別乘方，再把所得的冪相乘．（ab）n＝anbn（n是正整數(shù)）注意：①因式是三個或三個以上積的乘方，法則仍適用；②運用時數(shù)字因數(shù)的乘方應(yīng)根據(jù)乘方的