汕頭大學(xué)數(shù)學(xué)建模期末考試題目及答案詳解某高校為優(yōu)化校園共享單車調(diào)度效率，緩解早高峰時(shí)段部分區(qū)域“車少難騎”與另一部分區(qū)域“車多占道”的矛盾，現(xiàn)需建立數(shù)學(xué)模型解決共享單車跨區(qū)域調(diào)度問(wèn)題。已知校園內(nèi)劃分為4個(gè)核心區(qū)域：A（東苑宿舍）、B（南苑宿舍）、C（教學(xué)主樓）、D（圖書館）。早高峰7:008:00時(shí)段，經(jīng)統(tǒng)計(jì)各區(qū)域共享單車供需情況如下：A區(qū)現(xiàn)有車輛120輛，早高峰騎行需求為80輛（即騎行離開A區(qū)的需求為80輛），但實(shí)際觀測(cè)到7:00時(shí)A區(qū)停放車輛120輛，騎行到達(dá)A區(qū)的車輛僅20輛（即A區(qū)最終盈余車輛數(shù)=現(xiàn)有車輛+到達(dá)車輛騎出需求=120+2080=60輛）；B區(qū)現(xiàn)有車輛90輛，騎出需求65輛，到達(dá)車輛15輛，盈余=90+1565=40輛；C區(qū)現(xiàn)有車輛40輛，騎出需求110輛（即C區(qū)需要額外補(bǔ)充車輛以滿足騎出需求），到達(dá)車輛25輛，缺口=110(40+25)=45輛；D區(qū)現(xiàn)有車輛35輛，騎出需求95輛，到達(dá)車輛10輛，缺口=95(35+10)=50輛。調(diào)度中心可調(diào)度的共享單車為A、B兩區(qū)的盈余車輛，需將A、B區(qū)盈余車輛調(diào)往C、D區(qū)以滿足缺口。調(diào)度成本由運(yùn)輸距離與車輛數(shù)決定，已知各區(qū)域間直線距離（單位：百米）為：A到C=8，A到D=12，B到C=5，B到D=9。每調(diào)度1輛車每百米產(chǎn)生0.5元成本（即調(diào)度成本=車輛數(shù)×距離×0.5）。要求：1.建立數(shù)學(xué)模型，確定A、B區(qū)分別向C、D區(qū)調(diào)度的車輛數(shù)，使總調(diào)度成本最?。?.若調(diào)度中心要求C區(qū)至少滿足40輛補(bǔ)充（即C區(qū)缺口至少滿足40輛），D區(qū)必須完全滿足50輛缺口，模型應(yīng)如何調(diào)整？計(jì)算調(diào)整后的最小成本；3.分析若A區(qū)盈余車輛因故障需減少10輛可用，對(duì)原問(wèn)題最優(yōu)解的影響。問(wèn)題1解答模型假設(shè)（1）調(diào)度過(guò)程瞬間完成，不考慮時(shí)間延遲對(duì)需求的影響；（2）車輛調(diào)度為整數(shù)且非負(fù)，不允許拆分車輛；（3）調(diào)度僅發(fā)生在A、B（供給區(qū)）與C、D（需求區(qū)）之間，無(wú)其他區(qū)域參與；（4）每輛車調(diào)度成本僅與運(yùn)輸距離相關(guān)，與車輛類型無(wú)關(guān)。符號(hào)說(shuō)明\(x_{ij}\)：從供給區(qū)\(i\)調(diào)往需求區(qū)\(j\)的車輛數(shù)（\(i=A,B\)；\(j=C,D\)）；\(S_i\)：供給區(qū)\(i\)的盈余車輛數(shù)（\(S_A=60\)，\(S_B=40\)）；\(D_j\)：需求區(qū)\(j\)的缺口車輛數(shù)（\(D_C=45\)，\(D_D=50\)）；\(c_{ij}\)：從\(i\)到\(j\)的單位調(diào)度成本（元/輛），\(c_{ij}=距離_{ij}\times0.5\)，計(jì)算得：\(c_{AC}=8×0.5=4\)，\(c_{AD}=12×0.5=6\)，\(c_{BC}=5×0.5=2.5\)，\(c_{BD}=9×0.5=4.5\)；\(Z\)：總調(diào)度成本（元）。模型建立目標(biāo)：最小化總調(diào)度成本\[\minZ=4x_{AC}+6x_{AD}+2.5x_{BC}+4.5x_{BD}\]約束條件：1.供給區(qū)調(diào)出量不超過(guò)盈余：\(x_{AC}+x_{AD}\leq60\)（A區(qū)總調(diào)出量≤60）\(x_{BC}+x_{BD}\leq40\)（B區(qū)總調(diào)出量≤40）2.需求區(qū)調(diào)入量滿足缺口：\(x_{AC}+x_{BC}=45\)（C區(qū)總調(diào)入量=45）\(x_{AD}+x_{BD}=50\)（D區(qū)總調(diào)入量=50）3.非負(fù)整數(shù)約束：\(x_{ij}\geq0\)且為整數(shù)（\(i=A,B\)；\(j=C,D\)）模型求解該模型為典型的運(yùn)輸問(wèn)題，供需平衡（總供給=60+40=100，總需求=45+50=95？此處發(fā)現(xiàn)供需不平衡，供給>需求，需修正約束條件。實(shí)際總供給為100，總需求為95，因此需求區(qū)約束應(yīng)為≤，但原題中C、D缺口為必須滿足的剛性需求，因此應(yīng)調(diào)整供給區(qū)約束為等式（即必須調(diào)出所有盈余？不，實(shí)際調(diào)度中供給區(qū)盈余是“可調(diào)度的最大量”，而需求區(qū)缺口是“必須滿足的最小量”。原題中C缺口45，D缺口50，總需求95≤總供給100，因此需求區(qū)約束應(yīng)為≥，但題目要求“滿足缺口”，即必須滿足，因此需求區(qū)約束為等式，供給區(qū)約束為≥（因?yàn)楣┙o區(qū)可以保留部分車輛不調(diào)度）。但原問(wèn)題描述中“需將A、B區(qū)盈余車輛調(diào)往C、D區(qū)以滿足缺口”，隱含供給區(qū)盈余是可調(diào)度資源，需盡可能調(diào)度以滿足需求，因此正確約束應(yīng)為：供給區(qū)調(diào)出量≤盈余（\(x_{AC}+x_{AD}\leq60\)，\(x_{BC}+x_{BD}\leq40\)）需求區(qū)調(diào)入量≥缺口（\(x_{AC}+x_{BC}\geq45\)，\(x_{AD}+x_{BD}\geq50\)）但題目要求“滿足缺口”，即必須完全滿足，因此需求區(qū)約束為等式（\(x_{AC}+x_{BC}=45\)，\(x_{AD}+x_{BD}=50\)），此時(shí)總需求95≤總供給100，供給區(qū)調(diào)出量可小于等于盈余，剩余車輛不調(diào)度。將模型轉(zhuǎn)化為線性規(guī)劃問(wèn)題（暫不考慮整數(shù)約束，求解后驗(yàn)證是否為整數(shù)）：引入變量后，用消元法簡(jiǎn)化。由需求約束得：\(x_{BC}=45x_{AC}\)\(x_{BD}=50x_{AD}\)代入供給區(qū)約束：\(x_{AC}+x_{AD}\leq60\)\((45x_{AC})+(50x_{AD})\leq40\)→\(95x_{AC}x_{AD}\leq40\)→\(x_{AC}+x_{AD}\geq55\)因此，\(55\leqx_{AC}+x_{AD}\leq60\)目標(biāo)函數(shù)代入后：\(Z=4x_{AC}+6x_{AD}+2.5(45x_{AC})+4.5(50x_{AD})\)=\(4x_{AC}+6x_{AD}+112.52.5x_{AC}+2254.5x_{AD}\)=\(1.5x_{AC}+1.5x_{AD}+337.5\)要最小化Z，需最小化\(x_{AC}+x_{AD}\)，因?yàn)橄禂?shù)為正。由約束\(x_{AC}+x_{AD}\geq55\)，因此最小值為55。此時(shí)，\(x_{AC}+x_{AD}=55\)，代入\(x_{BC}=45x_{AC}\)，\(x_{BD}=50x_{AD}=50(55x_{AC})=x_{AC}5\)供給區(qū)B的約束：\(x_{BC}+x_{BD}=(45x_{AC})+(x_{AC}5)=40\)，剛好等于B區(qū)盈余40，因此B區(qū)必須全部調(diào)出。同時(shí)，A區(qū)調(diào)出量\(x_{AC}+x_{AD}=55\leq60\)，滿足約束。現(xiàn)在需確定\(x_{AC}\)的取值范圍：\(x_{BC}=45x_{AC}\geq0\)→\(x_{AC}\leq45\)\(x_{BD}=x_{AC}5\geq0\)→\(x_{AC}\geq5\)因此\(5\leqx_{AC}\leq45\)，且\(x_{AD}=55x_{AC}\)目標(biāo)函數(shù)Z=1.5×55+337.5=82.5+337.5=420元此時(shí)，無(wú)論\(x_{AC}\)在545之間取何值，Z均為420元，說(shuō)明存在多重解。但需滿足整數(shù)約束，且實(shí)際調(diào)度中車輛數(shù)為整數(shù)，因此所有滿足\(5\leqx_{AC}\leq45\)的整數(shù)解均為最優(yōu)解。例如：當(dāng)\(x_{AC}=5\)，則\(x_{AD}=50\)，\(x_{BC}=40\)，\(x_{BD}=0\)（B區(qū)調(diào)40輛到C，A區(qū)調(diào)5輛到C、50輛到D）當(dāng)\(x_{AC}=45\)，則\(x_{AD}=10\)，\(x_{BC}=0\)，\(x_{BD}=40\)（B區(qū)調(diào)40輛到D，A區(qū)調(diào)45輛到C、10輛到D）驗(yàn)證成本：以第一組解為例，成本=4×5+6×50+2.5×40+4.5×0=20+300+100=420元；第二組解成本=4×45+6×10+2.5×0+4.5×40=180+60+180=420元，符合計(jì)算。問(wèn)題2解答調(diào)整約束：C區(qū)至少滿足40輛（即\(x_{AC}+x_{BC}\geq40\)），D區(qū)必須完全滿足50輛（\(x_{AD}+x_{BD}=50\)）?？傂枨笞?yōu)橹辽?0+50=90輛，總供給仍為100輛。模型調(diào)整目標(biāo)函數(shù)不變：\[\minZ=4x_{AC}+6x_{AD}+2.5x_{BC}+4.5x_{BD}\]約束條件：1.供給區(qū)調(diào)出量≤盈余：\(x_{AC}+x_{AD}\leq60\)，\(x_{BC}+x_{BD}\leq40\)2.需求區(qū)約束：\(x_{AC}+x_{BC}\geq40\)，\(x_{AD}+x_{BD}=50\)3.非負(fù)整數(shù)約束：\(x_{ij}\geq0\)且為整數(shù)模型求解由D區(qū)約束得\(x_{BD}=50x_{AD}\)，代入B區(qū)供給約束：\(x_{BC}+(50x_{AD})\leq40\)→\(x_{BC}\leqx_{AD}10\)由C區(qū)約束：\(x_{AC}+x_{BC}\geq40\)，結(jié)合A區(qū)供給約束\(x_{AC}=60x_{AD}s\)（\(s\geq0\)為A區(qū)未調(diào)出的車輛數(shù)），但更簡(jiǎn)單的方式是用變量替換。將\(x_{BC}\)表示為\(x_{BC}=t\)（\(t\geq0\)），則C區(qū)約束為\(t\geq40x_{AC}\)，B區(qū)供給約束為\(t+(50x_{AD})\leq40\)→\(t\leqx_{AD}10\)目標(biāo)函數(shù)代入\(x_{BD}=50x_{AD}\)，得：\(Z=4x_{AC}+6x_{AD}+2.5t+4.5(50x_{AD})\)=\(4x_{AC}+1.5x_{AD}+2.5t+225\)為最小化Z，需最小化\(4x_{AC}+1.5x_{AD}+2.5t\)。由于B到C的單位成本（2.5元）低于A到C（4元）和B到D（4.5元），應(yīng)優(yōu)先讓B區(qū)調(diào)往C區(qū)。假設(shè)B區(qū)盡可能多調(diào)往C區(qū)，即\(t\)最大。由B區(qū)供給約束，\(t\leqx_{AD}10\)，同時(shí)D區(qū)需要\(x_{AD}+(50x_{AD})=50\)（恒成立）。為使\(t\)最大，令\(x_{AD}\)盡可能?。ㄒ?yàn)閈(t\leqx_{AD}10\)，\(x_{AD}\)越小，\(t\)上限越低），但\(x_{AD}\geq10\)（否則\(t\leq負(fù)數(shù)\)，矛盾）。另一種方法是使用線性規(guī)劃松弛（不考慮整數(shù)），設(shè)\(x_{AC},x_{AD},t\)為實(shí)數(shù)，求解：最小化\(4x_{AC}+1.5x_{AD}+2.5t\)約束：\(x_{AC}+x_{AD}\leq60\)（A區(qū)）\(t+(50x_{AD})\leq40\)→\(t\leqx_{AD}10\)（B區(qū)）\(x_{AC}+t\geq40\)（C區(qū)）\(x_{AC},x_{AD},t\geq0\)由\(t\leqx_{AD}10\)，代入C區(qū)約束得\(x_{AC}+x_{AD}10\geq40\)→\(x_{AC}+x_{AD}\geq50\)目標(biāo)函數(shù)可表示為\(4x_{AC}+1.5x_{AD}+2.5(x_{AD}10s)\)（\(s\geq0\)為松弛變量），但更直接的是用邊界條件。當(dāng)\(t=x_{AD}10\)（B區(qū)供給約束緊），C區(qū)約束變?yōu)閈(x_{AC}+x_{AD}10\geq40\)→\(x_{AC}+x_{AD}\geq50\)，而A區(qū)約束\(x_{AC}+x_{AD}\leq60\)。目標(biāo)函數(shù)代入\(t=x_{AD}10\)，得：\(Z=4x_{AC}+1.5x_{AD}+2.5(x_{AD}10)+225\)=\(4x_{AC}+4x_{AD}+200\)要最小化\(4x_{AC}+4x_{AD}\)，即最小化\(x_{AC}+x_{AD}\)，其最小值為50（由C區(qū)約束）。此時(shí)\(x_{AC}+x_{AD}=50\)，則\(x_{AC}=50x_{AD}\)，代入\(t=x_{AD}10\)，C區(qū)約束\((50x_{AD})+(x_{AD}10)=40\)，剛好滿足。目標(biāo)函數(shù)值為\(4×50+200=400\)元。驗(yàn)證變量取值：\(x_{AD}\)可取任意值使\(x_{AC}=50x_{AD}\geq0\)（即\(x_{AD}\leq50\)），且\(t=x_{AD}10\geq0\)（即\(x_{AD}\geq10\)）。取\(x_{AD}=10\)，則\(x_{AC}=40\)，\(t=0\)（B區(qū)調(diào)往C區(qū)0輛，調(diào)往D區(qū)5010=40輛，剛好滿足B區(qū)盈余40輛），此時(shí)：\(x_{AC}=40\)（A→C），\(x_{AD}=10\)（A→D），\(x_{BC}=0\)（B→C），\(x_{BD}=40\)（B→D）成本=4×40+6×10+2.5×0+4.5×40=160+60+180=400元若取\(x_{AD}=20\)，則\(x_{AC}=30\)，\(t=10\)（B→C=10，B→D=30），成本=4×30+6×20+2.5×10+4.5×30=120+120+25+135=400元，同樣成立。由于題目要求D區(qū)必須完全滿足，且C區(qū)至少40輛，此時(shí)最小成本為400元（整數(shù)解存在，如上述\(x_{AD}=10\)的情況）。問(wèn)題3解答A區(qū)盈余車輛減少10輛，即可調(diào)度車輛從60輛變?yōu)?0輛（\(S_A'=50\)）。原問(wèn)題1中總供給變?yōu)?0+40=90輛，總需求仍為95輛，此時(shí)供給<需求，無(wú)法完全滿足所有缺口，需調(diào)整模型為最小化未滿足缺口的懲罰成本（假設(shè)題目隱含必須盡可能滿足，因此約束變?yōu)樾枨髤^(qū)調(diào)入量≤缺口，目標(biāo)為最大化滿足量或最小化未滿足量，但原題可能假設(shè)必須調(diào)整調(diào)度方案以適應(yīng)供給減少）。原問(wèn)題1的約束中，供給區(qū)A的調(diào)出量約束變?yōu)閈(x_{AC}+x_{AD}\leq50\)，總供給90<需求95，因此需求區(qū)無(wú)法完全滿足，需重新建模為：目標(biāo)：最小化總調(diào)度成本（同時(shí)盡可能滿足需求）約束：\(x_{AC}+x_{AD}\leq50\)（A區(qū)新約束）\(x_{BC}+x_{BD}\leq40\)（B區(qū)不變）\(x_{AC}+x_{BC}\leq45\)（C區(qū)最多滿足45）\(x_{AD}+x_{BD}\leq50\)（D區(qū)最多滿足50）\(x_{ij}\geq0\)且為整數(shù)為最小化成本，應(yīng)優(yōu)先滿足單位成本最低的需求。B→C的單位成本2.5元最低，其次是