練習1.1.1求出下列函數(shù)的反函數(shù)，并在同一個直角坐標系內(nèi)作出函數(shù)及其反函數(shù)的圖像．（1）；（2）.解（1）函數(shù)的定義域和值域都是R．由得，故反函數(shù)為，．（2）函數(shù)的定義域和值域都是．由得，故反函數(shù)為．第（1）題圖第（2）題圖練習1.1.21.指出下列函數(shù)的復(fù)合過程（1）；(3)；解（1）；（2）．2.寫出各函數(shù)復(fù)合而成的函數(shù)并求其定義域.(1),,；(2),． 解（1），定義域為； （2），定義域為．練習1.2.1 1.利用函數(shù)圖像求下列極限.(1)(C為常數(shù))； (2)；(3)； (4)；解做出相應(yīng)的函數(shù)圖像（略）．（1）觀察常函數(shù)的圖像知，；（2）觀察函數(shù)的圖像知，；（3）觀察函數(shù)的圖像知，；（4）觀察函數(shù)的圖像知，．2.作出函數(shù)的圖像，并求.解函數(shù)圖像如下：第2題圖觀察圖像知，．練習1.2.2 計算下列極限：(1)； (2)；(3)； (4)．解(1)；(2)；(3)；(4)．練習1.2.3 （1）當時，比較無窮小和．（2）當時，比較無窮小和． 解（1），所以，當時，和為同階無窮小；（2），所以，當時，和為等階無窮小，即當時，～．練習1.3.1 設(shè)函數(shù) （1）作出函數(shù)圖像，討論函數(shù)在及處的連續(xù)性； （2）指出函數(shù)的連續(xù)區(qū)間. 解（1）函數(shù)圖像如下：練習題1.3.1圖 觀察圖像知，函數(shù)在處不連續(xù)，在處的連續(xù)； （2）函數(shù)的連續(xù)區(qū)間為與．練習1.3.2 1．計算下列極限： （1）；（2）； （3）；（4）． 解（1）函數(shù)是初等函數(shù)，定義域為R，故； （2）函數(shù)是初等函數(shù)，定義域為．故； （3）函數(shù)是初等函數(shù)，定義域為．故． 2．利用高級計算器求方程的實數(shù)近似解（精確到0.0001）． 解設(shè)置保留4位小數(shù)，在輸入窗格輸入“”，點擊輸入，顯示：．練習2.1.1用定義求函數(shù)在處的導(dǎo)數(shù)．解（1）求函數(shù)的改變量；（2）算比值,（3）取極限.即．2．求拋物線在點處的切線方程．解所求切線斜率由點斜式所求切線方程為練習2.1.2.1（1），求；解（2），求解，(3)，求解，練習2.1.2.2求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)并利用軟件進行驗證．(1);解驗證：利用操作面板在輸入窗格輸入，點擊輸入得解．(2);解驗證：利用操作面板在輸入窗格輸入，點擊輸入得解．(3).解驗證：利用操作面板在輸入窗格輸入，點擊輸入得解練習2.1.2.3求下列各隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：（1）；解方程兩邊同時對求導(dǎo)，得（2）；解方程兩邊同時對求導(dǎo)，得（3）解方程兩邊同時對求導(dǎo)，得練習2.1.3求下列函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù)（1）；解（2）解練習2.1.4求函數(shù)在時函數(shù)的增量及微分.解，2.求下列函數(shù)的微分(1)；解(2)；解(3).解練習2.2.1求下列函數(shù)的單調(diào)區(qū)間（1）；解函數(shù)的定義域為，且所以函數(shù)在上單調(diào)遞增．（2）；解函數(shù)的定義域為，，令，得（舍負）當時，，所以為單減區(qū)間．當時，，所以為單增區(qū)間．（3）.解函數(shù)的定義域為，，當時，不存在．當時，，所以為單減區(qū)間．當時，，所以為單增區(qū)間．練習2.2.2 1.求下列函數(shù)的極值點和極值：(1)；解函數(shù)的定義域為，，令，解得.列表得：(-∞，)(，+∞)(x)+0－f(x)↗極大值↘所以為函數(shù)的極值點，函數(shù)的極大值.(2)；解函數(shù)的定義域為，，令，解得，.列表得-00+↘無極值↘極小值0↗因此，函數(shù)的極小值為.2.欲做一個底為正方形，容積為的開口容器怎樣做法用料最省．解設(shè)所求容器底面邊長為，容器高為．則．表面積，，令，得由于駐點唯一，而由實際問題知道面積的最大值存在，因此駐點就是最小值點．即當容器底面邊長為6，高為3時容器用料最?。毩?.1.1 1．求下列不定積分(1)； (2)；(3)； (4)；解(1)； (2)；(3)； (4)；2．一曲線經(jīng)過點，且曲線上任意一點處的切線斜率為，求該曲線的方程．解，由曲線過點，得，故所求曲線的方程為．練習3.1.2 1．用湊微分法求下列不定積分(1)； (2)；(3)； (4)；解(1)； (2)；(3)； (4)．2．用分部積分法求下列不定積分(1)；(2)；解(1)； (3)；3．用計算器求下列不定積分(1)；(2)；解(1)；(2)．練習3.2.11．求的值．解．第3題圖2．已知，求的值．第3題圖解．3．利用定積分的幾何意義求定積分．解定積分的值等于如圖所示梯形的面積，即．練習3.2.21．已知，，求的值．解．2．已知，，求的值．解．3．已知是的一個原函數(shù)，求的值．解由題意，得，即，所以．練習3.2.31．計算下列各定積分．(1)；(2)；(3)；(4)；(5)； (6)．解(1)；(2)；(3)；(4)；(5)； (6)．2．用高級計算器求下列定積分．(1)；(2)．解(1)；(2)．練習3.2.4計算下列各廣義積分，并說明其斂散性．(1)；(2)；(3)；(4)．解(1)，故收斂；(2)，故收斂；(3)，故發(fā)散；(4)，故發(fā)散．練習3.3.1已知某物體做變速直線運動，速度是時間的連續(xù)函數(shù)，現(xiàn)利用定積分計算物體在時間段經(jīng)過的路程．請指出：（1）積分變量與積分區(qū)間；（2）路程S的微元；（3）路程S．解（1）積分變量為，積分區(qū)間為；（2）；（3）練習3.3.21．求下列由曲線和直線圍成的平面圖形的面積(1)，，；(2)，，；(3)，．解(1)．(2)．第1-(3第1-(3)題圖第1-第1-(2)題圖第1-(1)題圖2．求下列由曲線和直線圍成的平面圖形繞x軸旋轉(zhuǎn)而成的旋轉(zhuǎn)體的體積(1)，，；(2)，，．解(1)．第2-(2)題圖第2第2-(2)題圖第2-(1)題圖練習3.3.31．設(shè)一物體在距離坐標原點處所受的力為，求作用力使它從移動到所做的功．解．第2題圖2．長、寬、深盛滿水的池子，現(xiàn)將水全部抽出，問需做多少功？第2題圖解因為功微元，所以4．一直徑為的半圓形閘門，其直徑恰好位于水面，求閘門一側(cè)所受的水壓力．第4題圖解因為壓力微元第4題圖．練習3.3.41．求函數(shù)在區(qū)間上的平均值．解．2．有一根長度為的細棒，其上任意點處的密度，若細棒的一端與坐標原點重合，求細棒的平均密度．解．練習4.1.11.試寫出下列各微分方程的階數(shù)（1）一階；（2）一階；（3）二階；（4）二階.2.求微分方程，，的特解.解兩邊積分得，再積分得代入，得，，.所求微分方程的特解為.練習4.1.21.求解微分方程.解分離變量得，兩邊積分得.微分方程的通解為.2.求解微分方程．解分離變量得，兩邊積分得微分方程的通解，其中.練習4.2.1解下列微分方程1..解因為，，由通解公式得=.2.解變形得，由于，所以，=，所求微分方程的通解.練習4.2.2求解下列微分方程1.解因為，，由通解公式得，=，所求微分方程的通解.2..解因為，，由通解公式得==.所求微分方程的通解.3..解變形得，于是得，由通解公式得===代入得.所求微分方程的特解.練習4.3.11.求下列微分方程的通解（1）；（2）.解(1)微分方程對應(yīng)的特征方程特征根，所求微分方程的通解.(2)微分方程對應(yīng)的特征方程特征根.所求微分方程的通解.2.求微分方程的特解.解微分方程對應(yīng)的特征方程特征根，微分方程的通解.代入，得.所求微分方程的特解.練習4.3.2解下列微分方程.(1)；（2）．解（1）微分方程對應(yīng)的齊次方程的特征方程，特征根，齊次方程的通解.設(shè)非齊次方程的特解，于是，.代入原方程，得.所求微分方程的通解.（2）微分方程對應(yīng)的齊次方程的特征方程，特征根，齊次微分方程的通解.設(shè)非齊次方程的特解，于是，.代入原方程得，解得A=.所求微分方程的通解．練習4.4 1.某電機運轉(zhuǎn)后，每秒溫度升高1℃，設(shè)室內(nèi)溫度恒為15℃，電機溫度的冷卻速度和電機與室內(nèi)溫度之差成正比．求電機溫度與時間的函數(shù)關(guān)系． 解設(shè)電機運轉(zhuǎn)t秒后的溫度（單位℃）為，比例系數(shù)為k，則，即．利用公式（4.4）解得，代入初始條件，得．故經(jīng)過時間t后，電機溫度為． 2.設(shè)彈簧的上端固定，有兩個相同的重物寡欲彈簧的下端，使彈簧伸長了2.現(xiàn)突然去掉其中的一個重物，是彈簧由靜止狀態(tài)開始振動，求所掛重物的運動規(guī)律． 解設(shè)彈簧在自然狀態(tài)下的長度為L，取彈簧鉛直向下方向為x軸的正向，據(jù)彈簧固定端原點取在處，設(shè)彈性系數(shù)為k，重物位移為x．則，．即．解得．代入初始條件，，得，．因此所掛重物的運動規(guī)律為．習題5.11．（1）；解原式=1×4?1×3=1．（2）；解原式=．（3）；解原式=．（4）；解原式=．2．（1）；解原式=．（2）；解原式=．（3）；解原式=．（4）；解原式=．3．(1)；解D=．(2)；解．4．(1)解，所以方程組有惟一解．(2)解，，，所以方程組有惟一解．習題5.21．求下列矩陣的秩.(1)； (2)． 解(1)故秩為2．(2)故秩為2．2.判斷下列矩陣是否為滿秩矩陣.(1)； (2).解(1)故為滿秩陣．(2)故為非滿秩陣．3．設(shè)=，，，且，求未知數(shù)，.解=故．4.設(shè)，，已知，求.解.5．設(shè)，，求.解6．設(shè)，，求及.解7.設(shè),求.解．8．用初等行變換求下列矩陣的逆矩陣.(1)； (2)．解(1)所以(2)所以9.設(shè)，，求.解．10．解下列矩陣方程.(1)； (2)解(1)．(2)習題5.31.判斷下列線性方程組的解的情況.(1) (2)(3)解(1)．故,因此方程組有唯一解.(2)．故,因此方程組有無窮多解.(3)．故,因此方程組無解.2.判斷下列齊次線性方程組是否有非零解.(1) (2)解(1)．故,因此方程組無非零解，即僅有零解.(2)．故,因此方程組無非零解，即僅有零解.3.利用逆矩陣解線性方程組解令，，則方程組表示為．故即方程組有唯一解即方程組的解為4.用消元法解下列線性方程組(1)解故R(A)==2＜4，從而方程組有無窮多解。原方程組的同解方程組為所以原方程組的一般解為，其中，為任意常數(shù)．（2）解故R(A)=3，從而方程組只有零解。（3）解故R(A)=2＜4，從而方程組有非零解。所以原方程組的同解方程組為所以原方程組的一般解為，其中，為任意常數(shù)．5.已知方程組有非零解,求的值.解,故或.習題6.11．10個螺絲釘中有3個是壞的，從中隨機抽取4個，求：（1）恰好有兩個是壞的概率；（2）4個全是好的概率．解基本事件總數(shù)．（1）設(shè)事件{恰好有兩個是壞的}，則包含的基本事件數(shù)．因此．（2）設(shè)事件{4個全是好的}，則包含的基本事件數(shù)．因此．2．設(shè)是三個事件，且，，．求至少有一個發(fā)生的概率．解．3．設(shè)某種動物由出生算起活到20年以上的概率為0.8，活到25年以上的概率為0.4.問現(xiàn)年20歲的這種動物，它能活到25歲以上的概率是多少？解設(shè)={該動物能活20年以上}，={該動物能活25年以上}，則所求為.依題意，,，因此．4．甲、乙、丙三個工廠生產(chǎn)同一種產(chǎn)品，它們的產(chǎn)品占全部產(chǎn)品的比例分別為25%，35%,40%,并且它們的廢品率分別為5%，4%，2%.今從它們的產(chǎn)品中任取一件產(chǎn)品，求該件產(chǎn)品是廢品的概率．解設(shè)={任取一件是第廠的產(chǎn)品}（）；={任取一件產(chǎn)品是廢品}．顯然，是互不相容的，，且，，，.故由全概率公式得：．5．無線電通訊中，由于隨機干擾，當發(fā)出信號為“1”時，收到信號為“1”，“不清”，“0”的概率分別為0.7，0.2，0.1；當發(fā)出信號為“0”時，收到信號為“0”，“不清”，“1”的概率分別為0.9，0.1，0．如果發(fā)出“1”，“0”的概率分別為0.6和0.4，當收到信號“不清”時，原發(fā)信號是什么？試加以推測．解設(shè)收到信號“0”，“不清”，“1”分別為事件，發(fā)出信號“0”，“1”分別為，由題設(shè)知：，，.由貝葉斯公式得：．．根據(jù)，由貝葉斯決策可以推斷出當收到信號“不清”時，原發(fā)信號是“1”．6．三人獨立地去破譯一份密碼，已知各人能譯出的概率分別為1/5，1/3，1/4，問三人中至少有一人能將密碼譯出的概率是多少？解將三人編號為1，2，3，記{第個人破譯出密碼}，，則所求概率為．已知,，因此．7．電燈泡使用時數(shù)在2000小時以上的概率為0.2，求3個燈泡在2000小時以后最多有一個壞了的概率．解將觀測一個燈泡使用時數(shù)看作一次試驗，觀測三個燈泡使用時數(shù)看作三次獨立重復(fù)試驗．記{燈泡使用時數(shù)在2000小時以上}，{三個燈泡有個使用時數(shù)在2000小時以上}，，則所求概率為．由于互不相容，因此．習題6.21.在10件同類型產(chǎn)品中有3件次品，現(xiàn)從中取2次，每次任取一件，作不放回的抽樣，以隨機變量表示取出的次品數(shù)，求的概率分布．解根據(jù)題意的所有可能取值為0，1，2，我們只需求出,,列成表格即可．，，．于是的分布律為：0122.某選手射擊的命中率為，現(xiàn)獨立射擊5次，用表示其命中次數(shù)，求的概率分布．解該選手獨立射擊5次，可看作5重貝努里試驗，．則命中次數(shù)的全部可能的取值有0,1,2,3,4,5，且，所以有．于是有，，，，，．因此命中次數(shù)的概率分布為0123450.0780.2590.3460.2300.0770.0103．已知某商店每月銷售某種名貴手表的數(shù)量．求每月至少出售5只這種手表的概率．解由知于是每月至少出售5只這種手表的概率為.4．某射手每次射擊打中目標的概率為0.001，如果射擊5000次，試求至少兩次擊中目標的概率．解用表示打中目標的次數(shù)，則，所求概率為．由于很大，計算較繁，故用泊松分布近似：，于是，，因此，．5．某射手每次射擊擊中目標的概率為0.8，現(xiàn)在連續(xù)向一個目標射擊，直到擊中目標時為止．試求射擊次數(shù)的概率分布．解的全部可能取值為，且，．6．設(shè)某種昆蟲產(chǎn)卵的數(shù)量，一個蟲卵能孵化為昆蟲的概率為．若卵的孵化是互相獨立的，試求此昆蟲下一代的條數(shù)的概率分布．解由知，．此昆蟲下一代的條數(shù)的全部可能取值為，由全概率公式可得，．以上結(jié)果表明此昆蟲下一代的條數(shù)．習題6.31．設(shè)隨機變量的概率分布為-123求的分布函數(shù)，并求．解當時，；當時，；當時，；當時，．綜合以上結(jié)果，則有；；．2．已知連續(xù)型隨機變量的概率密度為求（1）系數(shù)；（2）分布函數(shù)；（3）．解（1）由得．解得．所以（2）當時，=；當時，=；當時，=．因此，（3）．3．已知連續(xù)型隨機變量的概率密度為求（1）系數(shù)；（2）分布函數(shù)；（3）．解（1）由得．解得．所以（2）當時，=；當時，=；當時，=；當時，=．因此，（3）．4．設(shè)隨機變量服從區(qū)間上的均勻分布，求的概率密度及落在的概率．解依題設(shè)知，的概率密度為故有．5．設(shè)隨機變量的分布函數(shù)為求（1），；（2）的概率密度．解（1）．．（2）6．司機通過某高速公路收費站時等候的時間（單位：分鐘）服從參數(shù)為的指數(shù)分布．（1）求某司機在此收費站等候時間超過10分鐘的概率；（2）若該司機一個月要經(jīng)過此收費站兩次，用表示等候時間超過10分鐘的次數(shù)，寫出的概率分布，并求．解（1）的概率密度為因此．（2）依題意知，則，，．因此，的概率分布為0120.7480.2340.018故有．7．設(shè)，求(1)；(2)；(3)；；(4)．解(1)；(2)；(3)；(4)．8．設(shè)，求（1）；（2）；（3）確定最小的，使．．解（1）．（2）．（3）要使，因為，所以只需,即需,由此得．故的最小值是．9．某廠商生產(chǎn)的一種袋裝白砂糖的重量（單位：）服從正態(tài)分布,按標準要求袋裝白砂糖的重量在內(nèi)為合格品．求一袋白砂糖為不合格品概率．解白砂糖為不合格品概率為．MACROBUTTONMTEditEquationSection2SEQMTEqn\r\hSEQMTSec\r1\hSEQMTChap\r1\h習題6.41．設(shè)離散型隨機變量的概率分布為，，求和．解．．故．（提示：）．2．已知連續(xù)型隨機變量的概率密度為求和．解．，故．3．已知連續(xù)型隨機變量的概率密度為求和．解．，故．4．設(shè)連續(xù)性隨機變量的概率密度為，求和．解因為的分布密度函數(shù)為偶函數(shù)，所以．因此．習題7.11．從總體中抽取一個容量為10的樣本，其值分別為3.5，1.5，2.0，4.5，1.0，4.5，3.5，6.5，4.0，5.0試求樣本均值和方差．解利用公式計算得，，。2．設(shè)是取自總體的一個樣本，是未知參數(shù)，試問下面哪幾個是統(tǒng)計量?（1）（2）（3）（4）(5)（6）解（2）、（5）、（6）均含有未知參數(shù)，所以不是統(tǒng)計量，（1）、（3）、（4）是統(tǒng)計量。3．求滿足0.05的U分布的臨界值.解由于，所以，反查標準正態(tài)分布函數(shù)表，得.4．求滿足的t分布的臨界值.解根據(jù)，自由度查表，得.5.求滿足，的分布的臨界值.解由于，故，自由度查表計算，，.習題7.21.已知鋼絲的折斷強度服從正態(tài)分布，從一批鋼絲中抽取10根，測得折斷強度分別為568，572，570，578，570，572，570，584，572，596試估計總體的均值和方差．解.2.設(shè),是總體的樣本，總體均值，總體方差．估計量；；，都是總體均值的無偏估計量，試問哪一個更有效．解因為均是的無偏估計量，對它們求方差，，，由計算知，所以最有效的估計量是。3.設(shè)隨機變量X服從正態(tài)分布，即，已知一個容量為10的樣本，其均值，求總體均值的置信區(qū)間（置信度為0.95）.解因為，，，，查標準正態(tài)分布表.計算，置信區(qū)間應(yīng)為。所以置信度為0.95的總體均值的置信區(qū)間為（1498.26，1501.74）.4.有一批食糖，設(shè)每袋食糖的凈量（單位：克）服從正態(tài)分布，現(xiàn)從中隨機抽取9袋，經(jīng)計算其平均凈量為，試以0.95的置信度，求每袋食糖平均凈量的置信區(qū)間．解因為，，，，查標準正態(tài)分布表.計算置信區(qū)間應(yīng)為所以置信度為0.95的總體均值的置信區(qū)間為（492.97，525.63）．5.某種零件尺寸服從正態(tài)分布，抽樣檢查6件，測得尺寸如下（單位：mm）31.56，29.66，31.64，30.00，31.87，31.03試求這種零件的平均長度的置信區(qū)間（）．解因為，未知，，，，查分布表.計算置信區(qū)間應(yīng)為所以置信度為0.95的總體均值的置信區(qū)間為（29.99，31.93）．6.有一批食鹽，設(shè)每袋食鹽的重量服從正態(tài)分布，現(xiàn)從中隨機抽取10袋，稱得重量（單位：克）如下：498，503，510，501，496，505，492，499，508，502試求總體均值的置信度為0.95的置信區(qū)間．解因為，未知，，，，查分布表.計算置信區(qū)間應(yīng)為所以置信度為0.95的總體均值的置信區(qū)間為（497.49，505.31）．7.已知滾珠的直徑服從正態(tài)分布，即，從一批滾珠中隨機抽取5個，測得直徑分別為14.6,15.1,14.9,15.2,15.1．試以0.95的置信度，求該批滾珠直徑方差的置信區(qū)間.解由題意知，，可計算.又知，查分布表，得，，于是；故該批滾珠直徑方差的置信區(qū)間為（0.021，0.471）．習題7.31.已知某磚瓦廠生產(chǎn)機制磚的抗斷強度服從正態(tài)分布，從一批機制磚中隨機抽取6塊，經(jīng)測量計算出，.試在檢驗水平下,檢驗這批機制磚的平均抗斷強度顯著為是否成立.解因為，方差已知，檢驗總體均值.（1）提出假設(shè)；（2）選取統(tǒng)計量；（3）對檢驗水平，查標準正態(tài)分布表得臨界值，拒絕域為與；（4）根據(jù)樣本觀測值計算出，統(tǒng)計量，由于，所以接受．因此，可以認為這批機制磚的平均抗斷強度顯著為2．據(jù)統(tǒng)計資料知，某地區(qū)家庭對食品月支出服從正態(tài)分布，即，現(xiàn)隨機抽取9個家庭，得知家庭對食品的平均月支出為780元．是否可以認為居民家庭對食品月支出為800元．（）解因為，方差已知，檢驗總體均值.（1）提出假設(shè)；（2）選取統(tǒng)計量；（3）對檢驗水平，查標準正態(tài)分布表得臨界值，拒絕域為與；（4）根據(jù)樣本觀測值計算出，統(tǒng)計量，由于，故拒絕．因此，不能認為該地區(qū)居民家庭對食品月支出為800元.3．已知某次考試學生的成績服從正態(tài)分布，現(xiàn)隨機抽取30位考生的成績，平均成績?yōu)?6．5分，標準差為15分，是否認為全體考生這次考試的平均成績?yōu)?0分？（）解因為，方差未知，檢驗總體均值.（1）提出假設(shè)；（2）選取統(tǒng)計量；（3）對檢驗水平，查分布表得臨界值，拒絕域為與；（4）根據(jù)樣本觀測值計算出，，統(tǒng)計量，由于，故接受．所以可以認為這次考試的平均成績?yōu)?0分.4.已知多名實習學生相互獨立測量同一塊地面積，每名實習學生得到的測量數(shù)據(jù)服從正態(tài)分布,從這些測量數(shù)據(jù)中隨機抽取7個,經(jīng)計算，.試在檢驗水平下,檢驗這塊土地的面積顯著為124是否成立.解因為，方差未知，檢驗總體均值.（1）提出假設(shè)；（2）選取統(tǒng)計量；（3）對檢驗水平，查分布表得臨界值，拒絕域為與；（4）根據(jù)樣本觀測值計算出，，統(tǒng)計量，由于，故接受．所以可以認為這塊土地的面積顯著為124.5．某種電子元件的壽命（單位：小時）服從正態(tài)分布，其中未知，現(xiàn)測得16個元件的平均壽命為，標準差為，是否可以認為該種元件的壽命大于225小時．（）解因為，方差未知，檢驗總體均值.（1）提出假設(shè)；（2）選取統(tǒng)計量；（3）對檢驗水平，查分布表得臨界值，拒絕域為；（4）根據(jù)樣本觀測值計算出，，統(tǒng)計量，由于，故拒絕．所以可以認為該種元件的壽命大于225小時..6．已知某車間生產(chǎn)的某種型號螺絲釘?shù)拈L度近似地服從正態(tài)分布，即，現(xiàn)從中隨機抽取8個，經(jīng)測量計算出其長度方差為，試問該型號螺絲釘長度的方差是否有顯著變化．（）解由題意知，，.（1）提出假設(shè)；（2）選取統(tǒng)計量；（3）對檢驗水平，查分布表，得臨界值及，拒絕域為與；（4）由樣本觀測值計算出，統(tǒng)計量；由于，則接受．所以該型號螺絲釘長度的方差無顯著變化.7．已知某廠生產(chǎn)的纜繩的抗拉強度服從正態(tài)分布，現(xiàn)從改進工藝后生產(chǎn)的纜繩中隨機抽取10根，測得其抗拉強度平均值為，方差為，能否認為改進工藝后生產(chǎn)的纜繩抗拉強度的方差不變？（）解由題意知，，.（1）提出假設(shè)；（2）選取統(tǒng)計量；（3）對檢驗水平，查分布表，得臨界值及，拒絕域為與；（4）由樣本觀測值計算出，，統(tǒng)計量；由于，則接受．所以可以認為改進工藝后生產(chǎn)的纜繩抗拉強度比舊工藝沒有顯著變化．已知點，求（1）點到原點的距離；（2）點關(guān)于軸的對稱點；（3）點關(guān)于平面的對稱點；（4）點到軸的距離；（5）點到平面的距離．解（1）點到原點的距離為；（2）點關(guān)于軸的對稱點為；（3）點關(guān)于平面的對稱點為；（4）點到軸的距離為；（5）點到平面的距離為．1.設(shè)向量與軸、軸、軸之間的夾角分別為、、，且方向余弦分別滿足:,,.判斷向量與坐標軸及坐標平面之間的關(guān)系.解與軸正方向同向．2.已知空間兩點與，求向量的坐標、模、方向余弦及方向角.解；；，，；，，．設(shè)向量，，求，,．解；因為，所以；；1．已知空間三點：，，，求（1）與的數(shù)量積；（2）與的夾角．解（1）；（2）因為，所以，即與的夾角為．2．計算以下各組向量的數(shù)量積：（1）與；（2）與．解（1）；（2）．1、已知空間三點：，，，求（1）與的向量積；（2）的面積．解（1），，則；（2）因為，所以的面積為．2、計算以下各組向量的向量積：（1）與；（2）與．解（1）；（2）．求滿足下列條件的平面方程：（1）過原點且與向量垂直的平面；（2）過點且與向量垂直的平面；（3）過點且與x軸垂直的平面；（4）過原點且與平面平行的平面解（1）由，得所求平面為；（2）由，得所求平面為；（3）取，則所求平面為；（4）取，則所求平面為．1．求滿足下列條件的平面方程：（1）過點及軸的平面；（2）過點且與平面平行的平面．解（1）取，則所求平面為，即；（2）取，則所求平面為，即．2．求點到平面的距離．解．1．求滿足下列條件的直線方程：（1）過原點且與向量平行的直線；（2）過點且與平面垂直的直線；（3）過點且與軸平行的直線．解（1）；（2）取，則所求直線為；（3）取，則所求直線為或．2．求過點且與直線平行的直線．解，，取，則所求直線為；3．求過點且與直線垂直的平面．解，，取，則所求平面為．判別直線與下列各直線的位置關(guān)系：（1）；（2）；（3）．解，（1），因為，所以；（2），因為，所以；（3），因為，，所以與既不垂直也不平行，但過同一點，故與相交．1．求直線：與直線：的夾角．解，，因為，所以所求夾角為．2．求直線：與直線：的夾角．解因為，，所以，即所求夾角為．1．指出下列方程所表示的曲面名稱及其主要特征：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）．解（1）原方程可化為，所以該方程表示球面，其球心坐標為、半徑為；（2）原方程可化為，所以該方程表示橢球面；（3）原方程可化為，因為缺少，所以該方程表示平行于軸的圓柱面；（4）原方程可化為，因為缺少，所以該方程表示平行于軸的橢圓柱面；（5）原方程可化為，因為缺少，所以該方程表示平行于軸的拋物柱面；（6）原方程可化為，因為缺少，所以該方程表示平行于軸的雙曲柱面．2．求到點距離為2的點的軌跡．解因為到點距離為2的點的軌跡即為球心在，半徑為2的球面，所以所求軌跡即為球面．3．（略）4．（略）練習5.5.1.21．求拋物線繞軸旋轉(zhuǎn)一周，所得旋轉(zhuǎn)面的方程并指出曲面的名稱．解，旋轉(zhuǎn)拋物面．2．求橢圓繞軸旋轉(zhuǎn)一周，所得旋轉(zhuǎn)面的方程并指出曲面的名稱．解，旋轉(zhuǎn)橢球面．3．求雙曲線分別繞、軸旋轉(zhuǎn)一周，所得旋轉(zhuǎn)面的方程并指出曲面的名稱．解繞軸旋轉(zhuǎn)一周，所得旋轉(zhuǎn)面的方程為，雙葉旋轉(zhuǎn)雙曲面；繞軸旋轉(zhuǎn)一周，所得旋轉(zhuǎn)面的方程為，單葉旋轉(zhuǎn)雙曲面．4．求直線分別繞、軸旋轉(zhuǎn)一周，所得旋轉(zhuǎn)面的方程并指出曲面的名稱．解繞軸旋轉(zhuǎn)一周，所得旋轉(zhuǎn)面的方程為，圓錐面；繞軸旋轉(zhuǎn)一周，所得旋轉(zhuǎn)面的方程為，圓錐面．5．（略）1．化參數(shù)方程（為參數(shù)）為普通方程，并說明曲線的形成．解，此曲線是橢圓柱面與平面的交線，即平面上的橢圓．2．化參數(shù)方程（為參數(shù)）為普通方程，并說明曲線的形成．解普通方程為，此曲線是雙曲柱面與平面的交線，即平面上的雙曲線．3．方程組、及各表示什么曲線？解方程組表示旋轉(zhuǎn)拋物面與平面的交線，即平面上的圓；方程組表示旋轉(zhuǎn)拋物面與平面的交線，即平面上的圓；方程組表示旋轉(zhuǎn)拋物面與平面的交線，即平面上的拋物線．4．方程組、及各表示什么曲線？解方程組表示雙曲拋物面與平面的交線，即平面上的雙曲線；方程組表示雙曲拋物面與平面的交線，即平面上的雙曲線；方程組表示雙曲拋物面與平面的交線，即平面上的拋物線．5.（略）6.（略）求錐面與平面交線在坐標面上的投影．解錐面與平面交線為消去方程組中的，得到交線的投影柱面為，故交線在面上的投影為這是面上的圓，所以所求立體在面上的投影是圓的內(nèi)部，即．1.設(shè)，求，．解；．2.已知，求．解令，則，所以，，于是，3.求下列函數(shù)的的定義域 （1）；（2）．解（1）要是函數(shù)有意義，必須，即，所以，定義域為（2）要是函數(shù)有意義，必須，即，所以，定義域為．第（2）題圖第（1）題圖第（2）題圖第（1）題圖4.計算下列極限 (1)；(2)．解（1）；(2)． 1.設(shè)，求，．解因為；，所以，；．2.計算下列函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù) （1）；（2）；（3）；（4）；解（1）,；（2）,；（3）；（4）；；．3.計算下列函數(shù)的二階偏導(dǎo)數(shù) （1）；（2）．解（1）因為；所以．（2）因為；所以．1.已知函數(shù)，求（1）函數(shù)微分；（2）在點的微分；（3）在點，當時的微分解(1)；(2)；(3)． 2.求下列函數(shù)的全微分（1）；（2）；（3）．解（1）因為；所以．（2）因為；所以．（3）因為；所以．3.一圓柱形的無蓋銅質(zhì)容器，壁的厚度為，底的厚度均為，內(nèi)高為，內(nèi)半徑為，求容器質(zhì)量的近似值（銅的密度）．解依題意，圓柱形容器的質(zhì)量，其近似值可以用圓柱在半徑為，高為時，當半徑增量，高的增量的全微分代替，即.1.求下列函數(shù)的極值．（1）； （2）；解因為，令，解得駐點又因為所以，于是，且，從而，函數(shù)在點有極大值，極大值為.(2)因為，令，解得駐點又因為所以，于是，且，從而，函數(shù)在點有極小值，極小值為.2.建造一個長方形水池，其底和壁的總面積為，問水池的尺寸如何設(shè)計時，其容積最大？解設(shè)水池的底面長為，寬為，水池容積為，那么，高．于是，，，令，得，即，解得，于是得唯一駐點由于駐點唯一，且由問題的實際意義可知最大容積一定存在，故這唯一的駐點就是最大值點．所以當長、寬都為米，此時高為米時，所做水池容積最大．1.用二重積分表示下列曲頂柱體的體積（1），為矩形區(qū)域：，；（2），為圓形區(qū)域：．解（1）；（2）.2.根據(jù)二重積分的幾何意義，說明下列積分值大于零、小于零、還是等于零．（1）；（2）；（3）．解（1）因為在區(qū)域內(nèi)，，所以值為正．（2）因為在區(qū)域內(nèi)，，所以值為負．（3）因為在區(qū)域內(nèi)，依據(jù)被積函數(shù)的對稱性知，.3.利用二重積分的幾何意義計算二重積分：（1），：；（2），：．解(1)表示圓的面積，即；(2)表示球的上半部，即半球的體積，故．1.將二重積分化為二次積分：（1）：，；（2）是由，，所圍成．解（1），或；（2），或．2.計算下列二重積分：（1），：，；（2），是由拋物線與直線所圍成．解（1）；（2）．3.交換下列積分的積分順序：（1）；（2）．解（1）；（2）．4.利用二重積分計算由拋物線和直線所圍成圖形的面積．解所圍圖形的交點：，解得和所求面積用二重積分表示：（平方單位）1.判別下列級數(shù)是否收斂，若收斂寫出級數(shù)的和．(1)；(2)解（