第五章e7d195523061f1c01da5a1f0837ac25283df40ff0a16bfd61AE6AB84AD7EB485CA8019BF267F2027DE2BF09650313B56A435BB3664F8B916CA3777391AC088C283181605E184D6D6879568EB73EB808A103F0784C8DFC3E9CDD14B61FDDA6A8A6237D2DFE3BBAEC8979D824A43E015648F6CB3D1F8D3E352A4BDC9925C075CFF312C4A0BE75FDF5CAdvancedmathematics定積分及其應(yīng)用高等數(shù)學(xué)上海財(cái)經(jīng)大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院

編e7d195523061f1c01da5a1f0837ac25283df40ff0a16bfd61AE6AB84AD7EB485CA8019BF267F2027DE2BF09650313B56A435BB3664F8B916CA3777391AC088C283181605E184D6D6879568EB73EB808A103F0784C8DFC3E9CDD14B61FDDA6A8A6237D2DFE3BBAEC8979D824A43E015648F6CB3D1F8D3E352A4BDC9925C075CFF312C4A0BE75FDF5C二、無界函數(shù)的廣義積分一、無窮限的廣義積分目錄/Contents第四節(jié)反常積分與

函數(shù)三、反常積分的斂散性判別法四、

函數(shù)一、無窮限的反常積分定義5.3若對任意的，極限存在，收斂.若極限不存在，則稱反常積分發(fā)散，此時只是一個符號，無數(shù)值意義了.設(shè)函數(shù)在無窮區(qū)間連續(xù)，定義類似地，我們可以定義函數(shù)在及的反常積分.則稱反常積分在無窮區(qū)間的反常積分.為函數(shù)定義5.4一、無窮限的反常積分若對任意的，收斂.若極限不存在，設(shè)函數(shù)在無窮區(qū)間連續(xù)，定義存在，極限則稱反常積分發(fā)散.則稱反常積分在無窮區(qū)間的反常積分.為函數(shù)定義5.5以上定義的反常積分統(tǒng)稱為無窮限的反常積分.一、無窮限的反常積分若對任意常數(shù)，積分收斂，設(shè)函數(shù)在無窮區(qū)間連續(xù)，定義與都收斂，反常積分反常則稱發(fā)散.否則稱反常積分在無窮區(qū)間的反常積分.為函數(shù)引入記號則有類似牛頓–萊布尼茲公式的計(jì)算表達(dá)式:說明則表明反常積分發(fā)散

.一、無窮限的反常積分上述公式中，則定義(c

為任意取定的常數(shù))只要有一個極限不存在,發(fā)散.無窮限的廣義積分也稱為第一類反常積分.并非不定型,說明它表明該反常積分發(fā)散

.一、無窮限的反常積分上述定義中若出現(xiàn)

就稱設(shè)判斷下列反常積分的斂散性：解(1).

解(2).

一、無窮限的反常積分【例1】因?yàn)椴淮嬖?，所以反常積分發(fā)散.因?yàn)?，所以反常積分收斂，其值為.解解(3).

(4).

一、無窮限的反常積分因?yàn)?，所以反常積分收斂，其值為.因?yàn)?，所以反常積分收斂，其值為.證明當(dāng)p≠1時有當(dāng)p>1時收斂;

p≤1時發(fā)散.因此,當(dāng)p>1

時,反常積分收斂,當(dāng)p≤1

時,反常積分發(fā)散.a>0,證明第一類p

積分一、無窮限的反常積分【例2】當(dāng)p=1時有其值為e7d195523061f1c01da5a1f0837ac25283df40ff0a16bfd61AE6AB84AD7EB485CA8019BF267F2027DE2BF09650313B56A435BB3664F8B916CA3777391AC088C283181605E184D6D6879568EB73EB808A103F0784C8DFC3E9CDD14B61FDDA6A8A6237D2DFE3BBAEC8979D824A43E015648F6CB3D1F8D3E352A4BDC9925C075CFF312C4A0BE75FDF5C二、無界函數(shù)的廣義積分一、無窮限的廣義積分目錄/Contents第四節(jié)反常積分與

函數(shù)三、反常積分的斂散性判別法四、

函數(shù)定義5.6二、無界函數(shù)的反常積分不若極限存在，則稱反常積分發(fā)散，此時只是一個符號，無數(shù)值意義了.設(shè)函數(shù)在無窮區(qū)間連續(xù)，為函數(shù)區(qū)間的反常積分，定義點(diǎn)稱為函數(shù)的瑕點(diǎn).，且存在，如果收斂；則稱反常積分定義5.7二、無界函數(shù)的反常積分任取，不若極限存在，則稱反常積分發(fā)散.設(shè)函數(shù)在無窮區(qū)間連續(xù)，為函數(shù)區(qū)間的反常積分，定義點(diǎn)稱為函數(shù)的瑕點(diǎn).，且存在，如果收斂；則稱反常積分定義5.8以上定義的反常積分統(tǒng)稱為無界函數(shù)的反常積分.設(shè)函數(shù)在無窮區(qū)間連續(xù)，點(diǎn)稱為函數(shù)的瑕點(diǎn).為函數(shù)在區(qū)間的反常積分，

定義如果反常積分與都收斂，否則，稱反常積分發(fā)散.二、無界函數(shù)的反常積分且則稱反常積分收斂；注意:若瑕點(diǎn)類似地，有則為書寫方便，二、無界函數(shù)的反常積分記，計(jì)算下列反常積分：解(1).二、無界函數(shù)的反常積分【例3】因?yàn)?，于是的右鄰域?nèi)無界，即在所以此為反常積分，解(2).二、無界函數(shù)的反常積分因?yàn)?，即在的右鄰域?nèi)無界，反常積分，所以此為于是【例4】判斷反常積分的斂散性：解二、無界函數(shù)的反常積分因?yàn)?，即在的鄰域?nèi)無界，所以，由于即反常積分發(fā)散，，發(fā)散.故反常積分證明廣義積分當(dāng)

q=1時,當(dāng)

q<1時收斂;當(dāng)

q≠1時所以當(dāng)

q<1

時,當(dāng)

q

≥1

時,b>a,q≥1時發(fā)散.二、無界函數(shù)的反常積分【例5】證

該反常積分收斂,其值為該反常積分發(fā)散

.e7d195523061f1c01da5a1f0837ac25283df40ff0a16bfd61AE6AB84AD7EB485CA8019BF267F2027DE2BF09650313B56A435BB3664F8B916CA3777391AC088C283181605E184D6D6879568EB73EB808A103F0784C8DFC3E9CDD14B61FDDA6A8A6237D2DFE3BBAEC8979D824A43E015648F6CB3D1F8D3E352A4BDC9925C075CFF312C4A0BE75FDF5C二、無界函數(shù)的廣義積分一、無窮限的廣義積分目錄/Contents第四節(jié)反常積分與

函數(shù)三、反常積分的斂散性判別法四、

函數(shù)三、反常積分的斂散性判別法1.無窮限反常積分的斂散性判別法則定理5.6且有單調(diào)有界函數(shù)必有極限,（2）反證法.與已知矛盾,證畢.三、反常積分的斂散性判別法推論5.3若三、反常積分的斂散性判別法【例6】判別下列反常積分的斂散性：解所以且三、反常積分的斂散性判別法解（2）因?yàn)槿⒎闯７e分的斂散性判別法2.無界函數(shù)反常積分的斂散性判別法定理5.7那么定理5.7的證明思路與定理5.6類似,這里不再贅述.三、反常積分的斂散性判別法推論5.4若三、反常積分的斂散性判別法【例7】解又由推論5.4知,三、反常積分的斂散性判別法【例8】證明原積分可寫為因?yàn)槿?、反常積分的斂散性判別法綜上,反常積分,三、反常積分的斂散性判別法e7d195523061f1c01da5a1f0837ac25283df40ff0a16bfd61AE6AB84AD7EB485CA8019BF267F2027DE2BF09650313B56A435BB3664F8B916CA3777391AC088C283181605E184D6D6879568EB73EB808A103F0784C8DFC3E9CDD14B61FDDA6A8A6237D2DFE3BBAEC8979D824A43E015648F6CB3D1F8D3E352A4BDC9925C075CFF312C4A0BE75FDF5C二、無界函數(shù)的廣義積分一、無窮限的廣義積分目錄/Contents第四節(jié)反常積分與

函數(shù)三、反常積分的斂散性判別法四、

函數(shù)定義5.9三、

函數(shù)含參變量的反常積分（）稱為函數(shù).記性質(zhì)5.8遞推公式證(分部積分)注意到:三、

函數(shù)【例9】解利用-函數(shù)計(jì)算下列各式的值：(1).解(2).三、

函數(shù)解解(1).(2).令，三、

函數(shù)【例10】利用-函數(shù)計(jì)算下列積分：則【例11】計(jì)算反常積分.

解即注意這個積分是概率論中的一個重要積分，其結(jié)果將在二重積分中給出.三、

函數(shù)令，則,，則.e7d195523061f1c01da5a1f0837ac25283df40ff0a16bfd61AE6AB84AD7EB485CA8019BF267F2027DE2BF09650313B56A435BB3664F8B916CA3777391AC088C283181605E184D6D6879568EB73EB808A103F0784C8DFC3E9CDD14B61FDDA6A8A6237D2DFE3BBAEC8979D824A43E015648F6CB3D1F8D3E352A4BDC9925C075CFF312C4A0BE75FDF5C內(nèi)容小結(jié)

1.

反常積分積分區(qū)間無限被積函數(shù)無界常義積分的極限

2.

兩個重要的反常積分3.函數(shù)的定義與性質(zhì)e7d195523061f1c01da5a1f0837ac25283df40ff0a16bfd61AE6AB84AD7EB485CA8019