第4節(jié)簡單的三角恒等變換課標(biāo)要求1.會根據(jù)相關(guān)公式進(jìn)行化簡和求值.2.會利用三角函數(shù)式的化簡與求值解決一些簡單的問題.考點一三角函數(shù)式的化簡例1化簡：(1)eq\f(2cos4x－2cos2x＋\f(1,2),2tan\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)－x))sin2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)＋x)))＝________.(2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,tan\f(α,2))－tan\f(α,2)))·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋tanα·tan\f(α,2)))＝________.思維建模1.三角函數(shù)式的化簡要遵循“三看”原則：一看角，二看名，三看式子結(jié)構(gòu)與特征.2.三角函數(shù)式的化簡要注意觀察條件中角之間的聯(lián)系(和、差、倍、互余、互補(bǔ)等)，尋找式子和三角函數(shù)公式之間的共同點.訓(xùn)練1(1)2eq\r(1＋sin4)＋eq\r(2＋2cos4)等于()A.2cos2 B.2sin2C.4sin2＋2cos2 D.2sin2＋4cos2(2)已知0＜θ＜π，則eq\f(（1＋sinθ＋cosθ）\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(sin\f(θ,2)－cos\f(θ,2))),\r(2＋2cosθ))＝________.考點二三角函數(shù)式的求值角度1給角求值例2(1)(2025·蘭州調(diào)研)計算：eq\f(1,2cos\f(3π,5))＋eq\f(cos\f(2π,5),cos\f(4π,5))＝()A.2 B.－eq\f(1,2)C.－1 D.－2(2)計算：(1＋tan13°)(1＋tan17°)(1＋tan28°)·(1＋tan32°)＝________.角度2給值求值例3(1)(2023·新高考Ⅰ卷)已知sin(α－β)＝eq\f(1,3)，cosαsinβ＝eq\f(1,6)，則cos(2α＋2β)＝()A.eq\f(7,9) B.eq\f(1,9)C.－eq\f(1,9) D.－eq\f(7,9)(2)(2024·新高考Ⅱ卷)已知α為第一象限角，β為第三象限角，tanα＋tanβ＝4，tanαtanβ＝eq\r(2)＋1，則sin(α＋β)＝________.和差化積與積化和差1.教材母題人教A必修一P225例8與P226練習(xí)T4，T5題給出了兩組公式：(1)積化和差公式：①sinαcosβ＝eq\f(1,2)[sin(α＋β)＋sin(α－β)]②cosαsinβ＝eq\f(1,2)[sin(α＋β)－sin(α－β)]③cosαcosβ＝eq\f(1,2)[cos(α＋β)＋cos(α－β)]④sinαsinβ＝－eq\f(1,2)[cos(α＋β)－cos(α－β)](2)和差化積公式：①sinθ＋sinφ＝2sineq\f(θ＋φ,2)coseq\f(θ－φ,2)②sinθ－sinφ＝2coseq\f(θ＋φ,2)sineq\f(θ－φ,2)③cosθ＋cosφ＝2coseq\f(θ＋φ,2)coseq\f(θ－φ,2)④cosθ－cosφ＝－2sineq\f(θ＋φ,2)sineq\f(θ－φ,2)2.應(yīng)用上述公式可實現(xiàn)三角函數(shù)式的積與和的相互轉(zhuǎn)化.典例(2025·廈門模擬)已知cos(140°－α)＋sin(110°＋α)＝sin(130°－α)，則tanα＝()A.eq\f(\r(3),3) B.－eq\f(\r(3),3)C.eq\r(3) D.－eq\r(3)角度3給值求角例4(1)(2025·九江模擬)已知α，β∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，cos(α－β)＝eq\f(5,6)，tanα·tanβ＝eq\f(1,4)，則α＋β＝()A.eq\f(π,3) B.eq\f(π,4)C.eq\f(π,6) D.eq\f(2π,3)(2)(2025·天津模擬)銳角α，β滿足α＋2β＝eq\f(2π,3)，taneq\f(α,2)tanβ＝2－eq\r(3)，則α和β中的較小角等于________.思維建模1.給值求值問題一般是將待求式子化簡整理，看需要求相關(guān)角的哪些三角函數(shù)值，然后根據(jù)角的范圍求出相應(yīng)角的三角函數(shù)值，代入即可.2.給角求值問題一般所給出的角都是非特殊角，從表面上來看是很難的，但仔細(xì)觀察非特殊角與特殊角之間總有一定的關(guān)系，解題時，要利用觀察得到的關(guān)系，結(jié)合公式轉(zhuǎn)化為特殊角并且消除特殊角三角函數(shù)而得解.3.給值求角問題一般先求角的某一三角函數(shù)值，再求角的范圍，最后確定角.遵照以下原則：(1)已知正切函數(shù)值，選正切函數(shù)；已知正、余弦函數(shù)值，選正弦或余弦函數(shù)；若角的范圍是eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，選正、余弦皆可；(2)若角的范圍是(0，π)，選余弦較好；若角的范圍為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)，\f(π,2)))，選正弦較好.訓(xùn)練2(1)(2024·泰安模擬)若cos(eq\f(π,2)＋2α)－4sin2α＝－2，則tan2α＝()A.－2 B.－eq\f(1,2)C.2 D.eq\f(1,2)(2)(2025·成都診斷)已知cos(α＋2β)＝eq\f(5,6)，tan(α＋β)tanβ＝－4，寫出符合條件的一個角α的值為________.考點三三角恒等變換的綜合應(yīng)用例5已知函數(shù)f(x)＝eq\f(\r(2),4)sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)－x))＋eq\f(\r(6),4)·coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)－x)).(1)求函數(shù)f(x)在區(qū)間eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,4)，\f(3π,2)))上的最值；(2)若cosθ＝eq\f(4,5)，θ∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,2)，2π))，求f(2θ＋eq\f(π,3))的值.思維建模1.進(jìn)行三角恒等變換要抓?。鹤兘恰⒆兒瘮?shù)名稱、變結(jié)構(gòu)，尤其是角之間的關(guān)系；注意公式的逆用和變形使用.2.形如y＝asinx＋bcosx化為y＝eq\r(a2＋b2)·sin(x＋φ)，可進(jìn)一步研究函數(shù)的性質(zhì).訓(xùn)練3已知f(x)＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(π,3)))＋2eq\r(3)sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(π,4)))·coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(3π,4))).(1)求feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)))的值；(2)若銳角α滿足f(α)＝eq\f(\r(3),3)，求sin2α的值.