微分中值定理概述目錄TOC\o"1-3"\h\u7799微分中值定理概述 184251.1羅爾定理及其推廣 1291711.1.1羅爾定理 1301191.1.2羅爾定理的推廣 2179881.2拉格朗日中值定理 5165611.1.1拉格朗日中值定理 5200431.1.2Lagrange中值定理的推廣 6106961.3柯西中值定理 8229461.3.1柯西中值定理 8219031.3.2柯西中值定理的推廣 920571.4泰勒定理 11255441.4.1泰勒定理 1113311.4.2泰勒公式中的Lagrange型余項的探討 121.1羅爾定理及其推廣 1.1.1羅爾定理 定理1.1.1REF_Ref21903\r\h[2]若函數(shù)滿足：于上的每一點都連續(xù)于內的每一點都可導，那么內一定有點滿足：此點處的導數(shù)的值是零.同時滿足這樣條件的點可能不是唯一的.. 下面我們對羅爾中值定理進行證明. 證REF_Ref21903\r\h[2]：由條件可知在閉區(qū)間上連續(xù)，因此根據(jù)最大、最小值定理可以得到在閉區(qū)間上有最大值和最小值，分別記為和.當時，為上的常值函數(shù).而常值函數(shù)的求導結果是零，這與上述的定理結論相一致，結論顯然成立.當時，由條件可知，此函數(shù)的兩個端點處于同一水平線上，因此最大值和最小值不可能同時在兩端取到.所以和至少有一個在開區(qū)間上某點處取到，此時點為的極值點.又有條件可知在處可導，因此由費馬定理可知在處的導數(shù)值為零，結論成立REF_Ref21903\r\h[2].【注】：由以上證明過程可知，羅爾定理中的三個條件必須同時成立才能得到定理所述結論，三個條件缺一不可.下面通過幾個例子來說明這一點:例1.1.1函數(shù)，在上連續(xù)，且，滿足條件和條件，但此時在區(qū)間中不存在導數(shù)為零的點，即“在上存在一點使得這個點處的導數(shù)值為零”不成立.這是因為函數(shù)在零這個點是不可導的，即不滿足條件.例1.1.2函數(shù)，滿足在可導，且0和1這兩個點所對應的函數(shù)值是相等的，但此時在區(qū)間中仍不存在導數(shù)為零的點，即“在上存在一點使得這個點處的導數(shù)值為零”不成立.這是因為函數(shù)，在處不連續(xù)，即不滿足條件.例1.1.3函數(shù)，在區(qū)間上連續(xù)且可導，但此時在區(qū)間中不存在仍導數(shù)為零的點，即“在上存在一點使得這個點處的導數(shù)值為零”的結論不成立.這是因為在0和1處的函數(shù)值不是相等關系，也就是不滿足條件.下面對羅爾中值定理的三個條件進行適當修改，使得結論仍能成立，讓定理的應用范圍更加廣泛.1.1.2羅爾定理的推廣命題1.1.1REF_Ref22210\r\h[3]若函數(shù)滿足：于上的每一點都是連續(xù)的于內的某些點處的導數(shù)是（），且這些點的數(shù)量是有限的，而其余無數(shù)個點的導數(shù)都是有限值.，那么上一定有讓導函數(shù)的值為0的點，且這樣的點可能不止一個.證取上的一點，記為.由條件可以知道在此區(qū)間上，導數(shù)值為（）的點的個數(shù)只有有限個，那么我們就可以更極端一點地假設這樣的點只有一個，即，在區(qū)間與內均有有限導數(shù)，且有在區(qū)間上連續(xù)，還滿足在，這兩個點處的函數(shù)值是相等的這個條件.接下來我們將開始分情況探討：若在點以及點這兩個點處所取得的函數(shù)值是相同的，則在區(qū)間和上均滿足羅爾定理的條件，即存在和，滿足在這兩點處的導函數(shù)的值是零，這樣我們就找到了兩個能使結論成立的點.若，由可知對充分大的正數(shù)，存在，使得.又因為，所以，而在區(qū)間上連續(xù)，故在區(qū)間上也連續(xù)，因此通過最值定理可以得到：在區(qū)間上存在最小值.又因為，所以，再由費馬定理可知；的情形可與情況(2)同理可證.綜上所述，結論得證.命題1.1.2REF_Ref22210\r\h[3]若函數(shù)滿足：于上的每一點處都存在導數(shù)有這樣的，同時，以及那么上肯定有這樣的點滿足并且像這樣滿足條件的點可能不止一個.證設，(1)為有限數(shù).不妨設不是常值函數(shù)，那么此時一定存在區(qū)間上的一點記為，使得該點處的函數(shù)值不是.不妨設.因為，我們可以知道一定有一個足夠大的，可以有；再根據(jù)，可以知道有這樣的，在滿足這個條件后，有和基于上述的分析，可以知道在上可以得到以及再根據(jù)在上的每一點也都是連續(xù)的，所以由最值定理可知，在該區(qū)間上可取到最大值.又由，可知端點處不能取到的最大值.由此可以知道，存在，使得函數(shù)在該點可取得最大值.再由費馬定理，可以得到該點處的導數(shù)值是零，這樣我們就找到了一個能使定理成立的點.，這時我們取與的中點，并且把它記作.若，那么利用連續(xù)函數(shù)的介值定理可以得到：和之間一定有一點，使得在點處，的值為零；同樣的，在和之間也有這樣的點，使得在點處，的值為零.此時在閉區(qū)間上，函數(shù)滿足羅爾定理的三個條件.因此存在一點使得在該點處有，注意這個點也是在上的.由此在這種情況下我們再次找到了使定理成立的點.若的值是小于或等于零，那么我們可以構造這樣一個函數(shù)：，此時，重復上述過程可得，在和之間有這樣一個點，使得在該點處的值為零，而我們知道，也就是說在該點處的值也是零.我們同樣也找到了使定理成立的點.(3)的情況可由情況(2)同理可證.綜上所述，結論成立.1.2拉格朗日中值定理1.1.1拉格朗日中值定理定理1.1.1REF_Ref21903\r\h[2]若函數(shù)滿足:于上的每一個點都是連續(xù)的；于內的每一個點都是可導的；那么內一定有這樣的點，滿足并且這樣的點可能不止一個.證[2]作輔助函數(shù)此時，而從上述的運算結果，我們可以清楚地看到在點和點處的函數(shù)值是相等的關系.顯然，我們以原函數(shù)為依據(jù)構造的這個新函數(shù)讓我們成功地創(chuàng)造出了Rolle定理的條件.從具體的函數(shù)表達式能夠很明顯的得到：于的每一個點都是連續(xù)的，同時它于上的每一個點都是可導的.也就是說，它又符合了Rolle中值定理的條件與.故于上一定有這樣的點，讓它的導函數(shù)在該點處的值為零.顯然根據(jù)該函數(shù)的導數(shù)表達式就可以知道我們找到了一個使定理成立的點.結論得證.【注】：由以上證明過程我們能發(fā)現(xiàn)，Rolle定理是證明的基礎，同時如何構造出便于證明的函數(shù)也是關鍵一步.從拉格朗日中值定理的內容和形式上都很容易發(fā)現(xiàn)：它是羅爾中值定理的進一步推廣，是對羅爾中值定理的進一步發(fā)展，有著重要且積極的意義. 1.1.2Lagrange中值定理的推廣 下面先來闡述一個它的等價命題.命題1.1.1REF_Ref22599\r\h[4]若滿足：于上的每一個點都是連續(xù)的；于內的每一個點都是可導的；那么于上任取兩點，內一定有這樣的點，使得命題1.1.2REF_Ref22599\r\h[4](命題1.1.1的逆命題)若函數(shù)在閉區(qū)間上連續(xù)，在開區(qū)間內可導，則對中任意的點，于上都存在，使得.但這個逆命題是不一定成立的，下面通過具體例子來說明:例1.1.1設，則于連續(xù)，于可導.此時我們注意到，它在零處的導數(shù)值是，顯然上沒有符合條件的使得.證，在零處有的值是.函數(shù)在區(qū)間上單調遞增，顯然不存在函數(shù)值相等的兩個點，使得. 下面介紹一個能使拉格朗日中值定理逆命題成立的一個條件.在命題1.1.2的基礎上添一個條件即可讓該命題成立，如命題1.1.3所示:命題1.1.3REF_Ref21903\r\h[2]REF_Ref22599\r\h[4]若函數(shù)在閉區(qū)間上連續(xù)，在開區(qū)間內可導，是上的凹(凸)函數(shù)，則對中的任意點，都存在上的，使得.證REF_Ref22599\r\h[4]REF_Ref49\r\h[5]REF_Ref62\r\h[6]不妨設是上的凹函數(shù)，則中的任意點，對任意的，滿足時，均有.因為函數(shù)在處可導，所以由導數(shù)的定義和極限的保號性得.當時.取，命題得證.當時.作輔助函數(shù).那么在上連續(xù)且.再利用介值定理可得：存在，使得.再取，命題即可得證.當時.作輔助函數(shù).那么在上連續(xù)且.再利用介值定理我們能夠有，讓成立.令，則結論得證.證畢.1.3柯西中值定理1.3.1柯西中值定理定理1.3.1REF_Ref21903\r\h[2]若和滿足:于上每一個點都是連續(xù)的；于內每個點都是可導的；，不能一起取到；在，兩點處的函數(shù)值是不相等的狀態(tài)；那么上一定有點，讓.證REF_Ref21903\r\h[2]REF_Ref294\r\h[16]作輔助函數(shù)，此時，而故有在兩點處的函數(shù)值是相等的狀態(tài).從的具體表達式能夠得出，于連續(xù)，于可導，此時Rolle定理的條件以及是成立的，故中必有這樣的點讓在該點處的值是.即因為與不同時為零，所以等式左邊的分母不是零，否則與條件矛盾.故.結論得證.【注】：在證明柯西中值定理的過程中，函數(shù)的構造仍然是一個重要且有趣的地方.只要能夠達到最終的證明目標，函數(shù)的構造方式不止一種.1.3.2柯西中值定理的推廣和對拉格朗日中值定理的討論一樣，在我們學習完柯西中值定理的時候，也會對它的逆命題產(chǎn)生好奇.那么下面將要討論的內容就是柯西中值定理的逆命題.命題1.3.1若與滿足:于上的每一點都是連續(xù)的；于內的所有點都是可導的；和不同時為零，在兩點處的函數(shù)值是不相等的狀態(tài)；則對使得.顯然這個命題是不成立的，下面進行舉例說明:例1.3.1REF_Ref382\r\h[7]設函數(shù)，由此可見滿足命題1.3.1的條件，但是取，對，.顯然命題1.3.1不成立.那么是否能附加某些條件使之成立呢?答案是可以，但這需要進一步研究和討論.命題1.3.2REF_Ref457\r\h[8]設函數(shù)和滿足這樣的條件：在上均可導，的導數(shù)不為零.當時，有(或)，則對中的任何一點，存在，使得.證REF_Ref457\r\h[8]下證當時，有的情形.給定點，作函數(shù)因此，故在上嚴格單調遞減，而，故在上嚴格單調遞增.又因為，所以和的值域均為區(qū)間，記為和，其中.設與中最小的那個記為，我們再取中的一點，則由介值定理可知，存在，使得，即有.由此可得.命題得證.1.4泰勒定理1.4.1泰勒定理定理1.4.1REF_Ref21903\r\h[2]若于上是階可導的，并且此時的導函數(shù)是連續(xù)的，同時上有的階導數(shù)，那么對于中的任意兩點，中一定有這樣的點，讓下面這個式子成立：….證REF_Ref21903\r\h[2]我們令.下證，即證.取，就有及于中是連續(xù)的，于內可導.再加上函數(shù)和在取時，它們兩個的函數(shù)值是相等的，而且值是零.再依據(jù)Cauchy中值定理：存在一點，使得.結論得證.該定理的提出與規(guī)范讓微分中值定理的體系繼續(xù)擴大和完善，同時也為函數(shù)的研究提供了更多的工具和思路，這具有非常重要的意義.1.4.2泰勒公式中的Lagrange型余項的探討泰勒公式中的Lagrange型余項一直是人們關注的話題，下面將對階泰勒公式的Lagrange型余項進行討論，并介紹相關結論.定理