2025年高考數(shù)學(xué)模擬檢測(cè)卷（新高考題型專項(xiàng)訓(xùn)練試卷題庫(kù)）考試時(shí)間：______分鐘總分：______分姓名：______一、選擇題（本大題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。）1.函數(shù)f(x)=sin(x+π/4)+cos(x-π/4)的最小正周期是（）A.2πB.πC.2π/3D.π/2解析：這題啊，得先化簡(jiǎn)一下函數(shù)解析式。sin(x+π/4)+cos(x-π/4)看著復(fù)雜，其實(shí)可以變成√2sin(x+π/4+π/4)，因?yàn)閟in2θ+cos2θ=1嘛。所以最小正周期就是2π/√2，化簡(jiǎn)下還是π。學(xué)生容易卡在怎么化簡(jiǎn)上，得提醒他們sin(x+π/4)=sinxcos(π/4)+cosxsin(π/4)，cos(x-π/4)同理，這樣一步步來(lái)就不容易出錯(cuò)。2.已知集合A={x|x2-3x+2=0},B={x|ax=1},若A∩B={2},則實(shí)數(shù)a的值是（）A.1/2B.2C.-1/2D.-2解析：這題我上課時(shí)特別強(qiáng)調(diào)過"交集"的概念，得先求出A是{1,2}。然后B集合要么是空集要么就是{1/a}。因?yàn)榻患挥?，說(shuō)明B里有2，所以1/a=2，a=1/2。學(xué)生常犯的錯(cuò)誤是把a(bǔ)當(dāng)成-1/2，覺得2乘-1/2也是-1，但集合里不能有重復(fù)元素啊，得講明白。3.函數(shù)y=|x-1|+|x+2|在區(qū)間[-3,3]上的最大值是（）A.4B.5C.6D.7解析：畫數(shù)軸是個(gè)好辦法。x在-3到-2之間時(shí)函數(shù)值是3，-2到1之間是3，1到3之間是2x+1，分段算完發(fā)現(xiàn)x=-3時(shí)得6。這題能考出學(xué)生分段討論的規(guī)范性，得提醒他們別忘了寫每段對(duì)應(yīng)的x范圍。4.已知復(fù)數(shù)z=1+2i,則z2在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限解析：我讓學(xué)生記住"i2=-1"這個(gè)魔方，算出1+4i后得實(shí)部1虛部4。畫個(gè)坐標(biāo)系貼在黑板上，說(shuō)"實(shí)部正虛部也正，那肯定在第一象限"，學(xué)生就笑了。這題關(guān)鍵要讓他們明白復(fù)數(shù)平方怎么算，不能直接套用實(shí)數(shù)平方公式。5.在△ABC中，若sinA/sinB=3/2,BC=6,則AC的取值范圍是（）A.(3,9)B.(4,8)C.(5,10)D.(6,12)解析：這題要引導(dǎo)他們用正弦定理，設(shè)AB=c,AC=b,BC=a=6。sinA/sinB=a/c=3/2，所以c=4。然后余弦定理cosA=(b2+c2-a2)/(2bc)，算出范圍是(3,9)。有學(xué)生上來(lái)就說(shuō)b=6，我馬上反問"6是哪條邊啊"，他們才反應(yīng)過來(lái)。6.某校舉行投籃比賽，甲乙兩名選手各投10次，甲投中率為0.7，乙投中率為0.6，則下列說(shuō)法正確的是（）A.P(甲投中7次)>P(乙投中7次)B.P(甲投中6次)=P(乙投中6次)C.P(甲至少投中5次)<P(乙至少投中5次)D.P(甲投中次數(shù)超過乙)=0解析：這題要強(qiáng)調(diào)二項(xiàng)分布性質(zhì)。甲的方差是0.7*0.3*10=2.1，乙是1.8，方差大的更集中，所以A對(duì)。學(xué)生容易犯的錯(cuò)誤是認(rèn)為"投中次數(shù)相同概率相等"，得舉例說(shuō)明。7.把一個(gè)圓錐的側(cè)面展開，得到一個(gè)圓心角為216°的扇形，若扇形面積是12π，則這個(gè)圓錐的母線長(zhǎng)是（）A.4B.6C.8D.10解析：我上課時(shí)用個(gè)實(shí)物演示過，把紙杯的側(cè)面剪下來(lái)就是。扇形半徑就是母線l，216°=6π/5弧度，面積公式πl(wèi)2*6π/5=12π，解得l=6。有學(xué)生問"為什么展開后半徑不是底面半徑"，我就拿個(gè)礦泉水瓶讓他自己展開看。8.已知函數(shù)f(x)=x3-ax+1在x=1處取得極值，則a的值是（）A.3B.-3C.2D.-2解析：這題要強(qiáng)調(diào)極值點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)特性。f'(x)=3x2-a，1是極值點(diǎn)說(shuō)明f'(1)=0，解得a=3。然后檢驗(yàn)二階導(dǎo)f''(1)=6>0，確實(shí)是極小值。我特意問"如果題目說(shuō)x=0呢"，他們就會(huì)用同樣的方法。9.在等差數(shù)列{a_n}中，若a?+a?+a?=39,則S??的值是（）A.78B.117C.156D.195解析：這題要教他們構(gòu)造等差中項(xiàng)。a?是a?+a?的等差中項(xiàng)，所以3a?=39,a?=13。然后S??=13(a?+a??)/2=13×2a?=26a?。又a?是a?和a?的等差中項(xiàng)，a?=(13+13)/2=13。所以S??=156。學(xué)生常忽略中間項(xiàng)關(guān)系。10.已知點(diǎn)A(1,2),B(3,0),C(2,-1)，則△ABC的重心坐標(biāo)是（）A.(2,1)B.(1,1)C.(2,0)D.(1,0)解析：這題我畫了坐標(biāo)軸貼在黑板上，把A、B、C三點(diǎn)用彩色粉筆標(biāo)出來(lái)。講重心的定義"各頂點(diǎn)坐標(biāo)的平均值"，他們馬上就求出(2,1/3)了。有學(xué)生問"如果是垂心呢"，我就說(shuō)"那要算中線交點(diǎn)，更復(fù)雜"。11.執(zhí)行下列程序框圖，輸出的S的值是（）（圖略，是個(gè)循環(huán)語(yǔ)句從1加到100）A.5050B.4950C.5000D.4900解析：這題要讓他們理解循環(huán)結(jié)構(gòu)。雖然是老套路，但總有人寫錯(cuò)邊界條件。我提醒他們"1+2+...+100是個(gè)等差數(shù)列，求和公式背了嗎"，他們才反應(yīng)過來(lái)是(1+100)*100/2=5050。有學(xué)生說(shuō)"我直接試了1+2+...+10=55"，我就說(shuō)"那100呢"。12.已知x,y滿足約束條件x+y≤4,x-y≥0,x≥0,y≥0，則z=2x+y的最小值是（）A.0B.2C.4D.-2解析：這題要教他們用可行域法。我把約束條件畫成平面區(qū)域，是個(gè)直角三角形。z=2x+y就是過原點(diǎn)的直線，斜率是-2。我告訴他們"要找最小值，就要找直線過可行域最低點(diǎn)"，他們發(fā)現(xiàn)是(0,0)點(diǎn)，z最小值就是0。有學(xué)生問"如果直線斜率更陡呢"，我就說(shuō)"那就找可行域最左下角點(diǎn)"。二、填空題（本大題共4小題，每小題5分，共20分。將答案填在答題卡相應(yīng)位置。）13.若sinα+cosα=√2/2,則sin2α+cos2α的值是_________。解析：這題要提醒他們"sin2α+cos2α恒等于1"，但得先解出sinα和cosα。平方兩邊得1+2sinαcosα=1/2，所以sinαcosα=-1/4。驗(yàn)證發(fā)現(xiàn)sinα-cosα=±√3/2，所以sin2α+cos2α=1。學(xué)生容易忽略平方后要解方程。14.在等比數(shù)列{a_n}中，若a?+a?=120,a?=20，則a?的值是_________。解析：這題要教他們?cè)O(shè)公比為q。a?=a?q,a?=a?q?，所以a?(a?q?+1)=120。又a?=a?q?=20，解得a?=3。有學(xué)生寫錯(cuò)指數(shù)，我拿個(gè)手電筒比劃"q?就像晚上看星星，要數(shù)7次亮"，他們才明白。15.已知函數(shù)f(x)=x2-ax+2在x=1時(shí)取得最小值，則f(0)的值是_________。解析：這題要強(qiáng)調(diào)二次函數(shù)對(duì)稱軸特性。對(duì)稱軸x=a/2=1，所以a=2。代入得f(x)=x2-2x+2，f(0)=2。我特意問"如果題目說(shuō)x=2呢"，他們就會(huì)改寫成x2-4x+2。有學(xué)生說(shuō)"我記公式了頂點(diǎn)在x=a/2"，我就說(shuō)"但題目沒給開口方向啊"。16.從6名男生和4名女生中選出3人參加比賽，至少有一名女生的選法共有_________種。解析：這題要教他們用間接法。總選法C(10,3)=120，沒有女生是C(6,3)=20，所以至少有女生是120-20=100。有學(xué)生用直接法算"1名女生+2名女生+3名女生"，我就說(shuō)"那得分類討論太麻煩"，他們才明白間接法更高效。（接下去是解答題，但根據(jù)要求先寫完選擇題和填空題）三、解答題（本大題共6小題，共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過程或演算步驟。）17.已知函數(shù)f(x)=x3-3x2+2在區(qū)間[-2,4]上的單調(diào)遞增區(qū)間為_________。解析：這題要教他們用導(dǎo)數(shù)研究單調(diào)性。先求導(dǎo)f'(x)=3x2-6x=3x(x-2)，令導(dǎo)數(shù)為0得x=0或x=2。把這兩個(gè)點(diǎn)分成[-2,0],[0,2],[2,4]三段，分別判斷導(dǎo)數(shù)符號(hào)。在(-∞,0)和(2,+∞)上導(dǎo)數(shù)正，所以遞增區(qū)間是[-2,0]和[2,4]。有學(xué)生漏掉-2到0這一段，我提醒他們"要考慮整個(gè)區(qū)間"，他們才明白要分段驗(yàn)證端點(diǎn)。18.在△ABC中，內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c，若a=3,b=4,sinC=√7/7，求△ABC的面積。解析：這題要教他們用面積公式S=1/2absinC。直接代入得S=1/2×3×4×√7/7=6√7/7。有學(xué)生想用海倫公式，我讓他們算一下c值，發(fā)現(xiàn)c=√37，計(jì)算太麻煩。我強(qiáng)調(diào)"已知兩邊和夾角用S=1/2absinC最簡(jiǎn)單"，他們才明白要選合適的公式。后來(lái)有個(gè)學(xué)生問"如果sinC不知道呢"，我就說(shuō)"那就用余弦定理求cosC，再用1-sin2C=cos2C求sinC"。19.已知數(shù)列{a_n}滿足a?=1,a_n+1=2a_n+1，求S?的表達(dá)式。解析：這題要教他們先判斷數(shù)列類型。a_n+1-2a_n=1，所以是等差數(shù)列，公差d=1。通項(xiàng)公式a_n=1+(n-1)×1=n。然后求和S?=n(n+1)/2。有學(xué)生直接用等比數(shù)列求和，我拿個(gè)鉛筆比劃"等比數(shù)列要乘公比啊"，他們才反應(yīng)過來(lái)。我特別強(qiáng)調(diào)"遞推關(guān)系系數(shù)不是1的，要先變形"。20.某地區(qū)為了解居民對(duì)垃圾分類的知曉率，隨機(jī)抽取了1000名居民進(jìn)行調(diào)查，結(jié)果如下表：（表略，分成知道和不知道兩行，知道的有850人，不知道的有150人）若采用分層抽樣的方法，從知道垃圾分類的居民中抽取50人，則應(yīng)抽取知道垃圾分類的居民_________人。解析：這題要教他們用分層抽樣比例。知道垃圾分類的比例是850/1000=17/20，所以從50人中應(yīng)抽取50×17/20=43.5，取整得43人。有學(xué)生直接按1/2抽，我讓他們算算總數(shù)，發(fā)現(xiàn)"比例不對(duì)啊"。我強(qiáng)調(diào)"分層抽樣要保持總體比例不變"，他們才明白要按比例分配。21.已知函數(shù)f(x)=|x-1|-|x+2|，畫出函數(shù)的圖像，并求f(x)≤3的解集。解析：這題要教他們分段討論絕對(duì)值函數(shù)。x<-2時(shí)f(x)=3-x，-2≤x≤1時(shí)f(x)=-2x-1，x>1時(shí)f(x)=x-3。畫圖時(shí)用不同顏色區(qū)分各段。求不等式時(shí)，分段解3-x≤3得x≥0，-2x-1≤3得x≥-2，x-3≤3得x≤6，所以解集是[-2,6]。有學(xué)生把解集寫成[0,6]，我讓他們看圖像在x=-2處也是滿足的，他們才明白要合并各段解集。22.已知拋物線y2=2px(p>0)的焦點(diǎn)F到直線l:x-y+3=0的距離為√10，求拋物線方程。解析：這題要教他們用拋物線定義和點(diǎn)到直線距離公式。焦點(diǎn)F(p/2,0)，所以|p/2-3|/√2=√10，解得p=4或p=-4，舍負(fù)得p=4。所以拋物線方程是y2=8x。有學(xué)生算出p=4后不知道代入方程，我提醒他們"y2=2px是個(gè)整體公式"，他們才明白要代回去。后來(lái)有個(gè)學(xué)生問"如果直線不過焦點(diǎn)呢"，我就說(shuō)"那就用點(diǎn)到直線距離公式直接算"。四、選做題（本大題共2小題，每小題10分，共20分。請(qǐng)根據(jù)自己學(xué)習(xí)情況選擇一道作答。）23.[選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程]已知曲線C的參數(shù)方程為x=1+cosθ,y=2+sinθ(θ為參數(shù))，求曲線C的普通方程。解析：這題要教他們消去參數(shù)θ。把x-1=cosθ,y-2=sinθ代入x2+y2-2x-4y+5=0。有學(xué)生用平方和消參數(shù)，我讓他們算算x2+y2=2cos2θ+2sin2θ=2，發(fā)現(xiàn)不對(duì)。我提示他們"cosθ和sinθ平方和是1"，他們才明白要加起來(lái)。普通方程是(x-1)2+(y-2)2=1。24.[選修4-5：不等式選講]解不等式|x-1|+|x+2|>3。解析：這題要教他們分區(qū)間討論絕對(duì)值。x<-2時(shí)x-1-x-2>3得x<-1，-2≤x≤1時(shí)-x+1-x-2>3得x<-1/2，x>1時(shí)x-1+x+2>3得x>1，所以解集是(-∞,-1)∪(1,+∞)。有學(xué)生漏掉-2≤x≤1這一段，我讓他們算算x=-1.5時(shí)是否滿足，他們才明白要分段驗(yàn)證。我強(qiáng)調(diào)"解絕對(duì)值不等式要考慮各段變化"，他們才明白要分類討論。五、附加題（本大題共10分。）25.已知函數(shù)f(x)=x2-2ax+2在x=1時(shí)取得最小值，且f(1)=1。（1）求a的值；（2）若函數(shù)g(x)=f(x)-bx在區(qū)間[0,2]上單調(diào)遞增，求實(shí)數(shù)b的取值范圍。解析：這題要教他們分步解決。首先由對(duì)稱軸x=a/2=1得a=2，再由f(1)=1得2-2a+2=1，解得a=3/2。所以f(x)=(x-3/2)2-1/4。然后g(x)=(x-3/2)2-1/4-bx，求導(dǎo)g'(x)=2x-3/2-b，要單調(diào)遞增就得g'(x)≥0在[0,2]上恒成立，所以b≤2x-3/2在[0,2]上恒成立，最小值是-1/2，所以b≤-1/2。有學(xué)生算出a=1后，我讓他們?cè)贆z查f(1)=1是否成立，他們才發(fā)現(xiàn)錯(cuò)誤。我強(qiáng)調(diào)"要同時(shí)滿足兩個(gè)條件"，他們才明白要聯(lián)立求解。本次試卷答案如下一、選擇題答案及解析1.B解析：化簡(jiǎn)函數(shù)解析式。原函數(shù)可化為√2sin(x+π/4)+√2cos(x-π/4)，因?yàn)閟in(x+π/4)=sinx·√2/2+cosx·√2/2，cos(x-π/4)=cosx·√2/2+sinx·√2/2。所以原函數(shù)=√2sin(x+π/4+π/4)=√2sin(x+π/2)=√2cosx。故最小正周期為2π/√2=π。也可用周期公式T=2kπ/|ω|，其中f(x)=Asin(ωx+φ)，ω=1，T=2π。2.A解析：先求集合A。由x2-3x+2=0得(x-1)(x-2)=0，所以A={1,2}。再求集合B。若a=0，ax=0≠1，B=?，A∩B=?≠{2}，不合題意。若a≠0，B={1/a}。因?yàn)锳∩B={2}，所以1/a=2，a=1/2。3.D解析：數(shù)形結(jié)合法。畫出數(shù)軸，標(biāo)出-2,-1,1,3四個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)。當(dāng)x∈[-3,-2]時(shí)，f(x)=(-x+1)+(-x-2)=-2x-1；當(dāng)x∈[-2,1]時(shí)，f(x)=(-x+1)+(x+2)=3；當(dāng)x∈[1,3]時(shí)，f(x)=(x-1)+(x+2)=2x+1。分別計(jì)算各段在[-3,3]內(nèi)的最大值：-2x-1在-3處取最大值1；3在[-2,1]內(nèi)恒為3；2x+1在3處取最大值7。故最大值為7。4.B解析：復(fù)數(shù)運(yùn)算。z2=(1+2i)2=1+4i+4i2=1+4i-4=-3+4i。對(duì)應(yīng)的點(diǎn)坐標(biāo)為(-3,4)，位于第二象限。5.A解析：正弦定理。由sinA/sinB=a/c=3/2得c=2a/3。余弦定理cosA=(b2+c2-a2)/(2bc)=(b2+(2a/3)2-a2)/(2b·2a/3)=(5b2-9a2)/(12ab)。因?yàn)椤鰽BC中最大角為A，且BC最長(zhǎng)，所以A為最大角，cosA<0，即5b2-9a2<0。又b>0,a=6>0，所以b2<9a2/5=108。因?yàn)锽C=6，所以b=AC>0。又a+b>c，6+b>2a/3，解得b>0。綜上，3<b<9。取整為(3,9)。6.A解析：二項(xiàng)分布性質(zhì)。甲的期望E_甲=10×0.7=7，方差D_甲=10×0.7×0.3=2.1。乙的期望E_乙=10×0.6=6，方差D_乙=10×0.6×0.4=2.4。因?yàn)镈_甲<D_乙，所以甲的投中次數(shù)更集中，7次投中概率大于乙。也可用超幾何分布，但計(jì)算復(fù)雜。7.B解析：圓錐側(cè)面積公式。扇形面積S=πl(wèi)2θ/360°=12π，θ=216°，代入得πl(wèi)2(216/360)=12π，化簡(jiǎn)得l2=20，l=2√5=6。8.D解析：極值點(diǎn)導(dǎo)數(shù)。f'(x)=3x2-a，f'(1)=3-4=0，所以a=-2。檢驗(yàn)二階導(dǎo)f''(x)=6x，f''(1)=6>0，所以x=1處為極小值。9.C解析：等差數(shù)列性質(zhì)。a?+a?+a?=3a?=39，所以a?=13。又S??=13(a?+a??)/2=13×2a?=26a?。a?=(a?+a?)/2=26/2=13。所以S??=338。也可用求和公式S??=13×(a?+a??)/2=13×(a?+a?)/2=13×(13+13)/2=338。10.A解析：重心坐標(biāo)公式。重心G((x?+x?+x?)/3,(y?+y?+y?)/3)=(2,(2+0-1)/3)=(2,1/3)。有學(xué)生算成(2,1)，忘了除以3，提醒他們"要平均分配"。11.A解析：循環(huán)語(yǔ)句求和。S=1+2+...+100=(1+100)×100/2=5050。也可用循環(huán)語(yǔ)句模擬，但計(jì)算量較大。12.A解析：線性規(guī)劃。畫出不等式組表示的平面區(qū)域，是個(gè)以(0,0),(4,0),(0,4)為頂點(diǎn)的三角形。目標(biāo)函數(shù)z=2x+y在(0,0)處取最小值0。也可用角點(diǎn)法，檢驗(yàn)各頂點(diǎn)z值。二、填空題答案及解析13.1解析：同角三角函數(shù)基本關(guān)系。兩邊平方得sin2α+cos2α+2sinαcosα=1/2，所以1+sin2α=1/2，sin2α=-1/2。所以sin2α+cos2α=1。14.3解析：等比數(shù)列性質(zhì)。a?=a?q,a?=a?q?，所以a?(a?q?+1)=120。又a?=a?q?=20，代入得a?(20q3+1)=120，解得q3=2，所以a?=3。15.2解析：二次函數(shù)性質(zhì)。對(duì)稱軸x=a/2=1，所以a=2。代入得f(x)=x2-2x+2，f(0)=2。16.100解析：間接法?？傔x法C(10,3)=120，沒有女生是C(6,3)=20，所以至少有女生是120-20=100。也可用直接法：1名女生+2名女生+3名女生=4C(4,1)+6C(4,2)+4C(4,3)=100。三、解答題答案及解析17.[-2,0]和[2,4]解析：導(dǎo)數(shù)法求單調(diào)區(qū)間。先求導(dǎo)f'(x)=3x2-6x=3x(x-2)。令f'(x)=0得x=0或x=2。把(-∞,0),(0,2),(2,+∞)三段代入導(dǎo)數(shù)：(-∞,0)上f'(x)>0，(0,2)上f'(x)<0，(2,+∞)上f'(x)>0。所以遞增區(qū)間是(-∞,0]和[2,+∞)。因?yàn)閤∈[-2,4]測(cè)試端點(diǎn)-2時(shí)f'(-2)=12>0，所以[-2,0]是遞增區(qū)間。測(cè)試端點(diǎn)4時(shí)f'(4)=12>0，所以[2,4]是遞增區(qū)間。18.6√7/7解析：面積公式。S=1/2absinC=1/2×3×4×√7/7=6√7/7。也可用海倫公式，但計(jì)算量較大。19.S?=n(n+1)/2解析：等差數(shù)列求和。a_n+1-2a_n=1，所以a_n-1-2a_n-2=1，兩式相減得(a_n+1-a_n)-2(a_n-2-a_n-1)=0，即a_n-a_n-1=2(a_n-1-a_n-2)，所以{a_n-1}是公差為2的等差數(shù)列。又a?-