5.2.1等式的性質(zhì)與方程的簡(jiǎn)單變形教學(xué)設(shè)計(jì)一、內(nèi)容和內(nèi)容解析1.內(nèi)容本節(jié)課是華東師大版《義務(wù)教育教科書(shū)·數(shù)學(xué)》七年級(jí)下冊(cè)第五章“一元一次方程”5.2節(jié)“解一元一次方程”的起始內(nèi)容。核心內(nèi)容包括：回顧等式的基本性質(zhì)（性質(zhì)1：等式兩邊加（減）同一個(gè)數(shù)或整式，結(jié)果仍是等式；性質(zhì)2：等式兩邊乘（除）同一個(gè)不為零的數(shù)，結(jié)果仍是等式）；理解方程的變形規(guī)則（基于等式性質(zhì)，規(guī)則1：方程兩邊加（減）同一個(gè)數(shù)或整式，方程的解不變；規(guī)則2：方程兩邊乘（除）同一個(gè)不為零的數(shù)，方程的解不變）；掌握利用方程的簡(jiǎn)單變形（移項(xiàng)、系數(shù)化為1）解簡(jiǎn)單的一元一次方程。2.內(nèi)容解析本節(jié)課是在學(xué)生小學(xué)階段接觸過(guò)簡(jiǎn)易方程的基礎(chǔ)上，系統(tǒng)學(xué)習(xí)解一元一次方程的理論基礎(chǔ)和基本方法。等式的基本性質(zhì)是解方程的根本依據(jù)，為后續(xù)學(xué)習(xí)方程（組）及不等式提供核心的理論支撐。方程的變形規(guī)則是將等式性質(zhì)應(yīng)用于解方程的具體操作指南。移項(xiàng)（實(shí)質(zhì)是應(yīng)用規(guī)則1合并同類(lèi)項(xiàng)前的步驟）和系數(shù)化為1（應(yīng)用規(guī)則2）是解一元一次方程最基礎(chǔ)、最關(guān)鍵的兩步變形，是后續(xù)解更復(fù)雜方程的基礎(chǔ)工具。理解變形規(guī)則與等式性質(zhì)的內(nèi)在聯(lián)系，掌握規(guī)范的變形步驟，是本節(jié)課的核心任務(wù)，也是培養(yǎng)學(xué)生代數(shù)思維和運(yùn)算能力的重要起點(diǎn)。二、目標(biāo)和目標(biāo)解析1.目標(biāo)(1)借助天平平衡的直觀(guān)模型或具體數(shù)字等式，準(zhǔn)確復(fù)述并理解等式的基本性質(zhì)，能舉例說(shuō)明性質(zhì)的應(yīng)用。(2)能根據(jù)等式的基本性質(zhì)推導(dǎo)出方程的變形規(guī)則，并運(yùn)用規(guī)則（移項(xiàng)、系數(shù)化為1）正確、規(guī)范地解形如x+a=b，ax=b(a≠(3)在解方程的過(guò)程中，體會(huì)“轉(zhuǎn)化”的數(shù)學(xué)思想（將復(fù)雜方程轉(zhuǎn)化為x=a2.目標(biāo)解析通過(guò)本節(jié)課的學(xué)習(xí)，學(xué)生應(yīng)能將抽象的等式性質(zhì)與具體的方程求解過(guò)程建立牢固聯(lián)系，明確每一步變形的理論依據(jù)（規(guī)則對(duì)應(yīng)性質(zhì)），避免機(jī)械操作。熟練掌握移項(xiàng)（注意符號(hào)變化）和系數(shù)化為1（注意除數(shù)不為零）的操作規(guī)范是達(dá)成運(yùn)算能力目標(biāo)的關(guān)鍵。在經(jīng)歷“觀(guān)察性質(zhì)→推導(dǎo)規(guī)則→應(yīng)用變形→求解驗(yàn)證”的過(guò)程中，學(xué)生應(yīng)初步形成運(yùn)用代數(shù)規(guī)則進(jìn)行邏輯推理的意識(shí)，為后續(xù)系統(tǒng)學(xué)習(xí)一元一次方程的解法、列方程解應(yīng)用題以及更深入的代數(shù)學(xué)習(xí)奠定堅(jiān)實(shí)的思維基礎(chǔ)和能力基礎(chǔ)。三、教學(xué)問(wèn)題診斷分析學(xué)生在學(xué)習(xí)本課時(shí)可能面臨以下問(wèn)題：對(duì)等式性質(zhì)理解表面化：可能僅能記憶條文，難以在具體變形（特別是涉及符號(hào)變化、分?jǐn)?shù)系數(shù)時(shí)）中主動(dòng)、準(zhǔn)確地應(yīng)用性質(zhì)判斷變形是否正確。移項(xiàng)操作易錯(cuò)：對(duì)“移項(xiàng)要變號(hào)”的理解可能停留在口訣記憶，不清楚其本質(zhì)是等式性質(zhì)1（兩邊同減/加被移項(xiàng)），導(dǎo)致符號(hào)錯(cuò)誤（如3x+2=7系數(shù)化為1的困惑：當(dāng)未知數(shù)系數(shù)為分?jǐn)?shù)或負(fù)數(shù)時(shí)，如何運(yùn)用等式性質(zhì)2（兩邊同乘/除）進(jìn)行變形容易出錯(cuò)（如解?5x=2時(shí)，兩邊除以5寫(xiě)成x=?52；解32x=步驟規(guī)范性問(wèn)題：解題過(guò)程書(shū)寫(xiě)隨意，缺少必要的文字說(shuō)明（如“移項(xiàng)，得”、“合并同類(lèi)項(xiàng)，得”、“系數(shù)化為1，得”），或省略關(guān)鍵步驟（如合并同類(lèi)項(xiàng)），導(dǎo)致邏輯不清或計(jì)算錯(cuò)誤。四、教學(xué)過(guò)程設(shè)計(jì)（一）情景引入問(wèn)題1同學(xué)們，還記得小學(xué)學(xué)過(guò)的“等式”嗎？比如3+4=7。如果我們?cè)谶@個(gè)等式兩邊都加上2，會(huì)得到什么？(3+4+2=7+2問(wèn)題2想象一個(gè)平衡的天平。左邊放一個(gè)質(zhì)量為a的物體，右邊放一個(gè)質(zhì)量為b的物體，天平平衡，說(shuō)明a=b(如圖5.2.1)。如果在天平左右兩邊都加上質(zhì)量相同的砝碼c(如圖5.2.2)，天平還會(huì)平衡嗎？這對(duì)應(yīng)等式可以做什么變形？如果左右兩邊都拿走質(zhì)量相同的砝碼c(相當(dāng)于都減去c問(wèn)題3還是這個(gè)平衡的天平(a=b)。如果把左右兩邊物體的質(zhì)量都擴(kuò)大到原來(lái)的3倍(如圖5.2.3)，天平還平衡嗎？這對(duì)應(yīng)等式可以做什么變形？如果兩邊都縮小到原來(lái)的12設(shè)計(jì)意圖：從數(shù)字實(shí)例和直觀(guān)的天平模型入手，激活學(xué)生關(guān)于等式性質(zhì)的已有經(jīng)驗(yàn)。通過(guò)問(wèn)題鏈引導(dǎo)學(xué)生觀(guān)察、思考等式保持不變的兩種基本操作（加/減同量、乘/除同非零量），為抽象出等式基本性質(zhì)奠定基礎(chǔ)。此環(huán)節(jié)旨在落實(shí)目標(biāo)(1)，培養(yǎng)學(xué)生的直觀(guān)感知和抽象概括能力，體會(huì)數(shù)學(xué)源于生活實(shí)際。（二）合作探究1探究1根據(jù)剛才的討論，你能總結(jié)出等式的基本性質(zhì)嗎？請(qǐng)用自己的話(huà)描述。答：性質(zhì)1：等式兩邊都加上（或都減去）同一個(gè)數(shù)或同一個(gè)整式，所得結(jié)果仍是等式。即如果a=b，那么a+c性質(zhì)2：等式兩邊都乘以（或都除以）同一個(gè)數(shù)（除數(shù)不能為0），所得結(jié)果仍是等式。即如果a=b，那么ac=bc，追問(wèn)：方程（如x?5=7）也是等式（含有未知數(shù)的等式）。我們解方程的目標(biāo)是什么？(求出未知數(shù)x的值，即找到使等式成立的x)那么，利用等式的基本性質(zhì)對(duì)方程進(jìn)行變形，保證變形后的新方程的解和原方程相同，是不是就能幫助我們最終得到解（引導(dǎo)學(xué)生意識(shí)到等式性質(zhì)是解方程的依據(jù)）（三）鞏固練習(xí)1判斷下列說(shuō)法是否正確，并說(shuō)明理由（依據(jù)等式性質(zhì)）：(1)由a=b可以得到a(2)由m=n可以得到?m3=?n3。(3)由2a=6b可以得到a(4)由x2=y3可以得到3x=2y。填空使結(jié)果仍是等式，并說(shuō)明依據(jù)的等式性質(zhì)：(1)如果x?2=5，那么(2)如果3x=10?2x，那么3x+(3)如果2x=7，那么x(4)如果x?12=3（四）合作探究2探究2等式性質(zhì)是我們解方程的工具。我們把它們應(yīng)用到方程上，就得到了方程的變形規(guī)則：規(guī)則1：方程兩邊都加上（或都減去）同一個(gè)數(shù)或同一個(gè)整式，方程的解不變。規(guī)則2：方程兩邊都乘以（或都除以）同一個(gè)不等于0的數(shù)，方程的解不變?，F(xiàn)在，我們用這些規(guī)則來(lái)解簡(jiǎn)單方程。例：解方程x?解：根據(jù)規(guī)則1，為了使左邊只剩下x，可以在方程兩邊都加上5：x合并同類(lèi)項(xiàng)（或直接計(jì)算）：x檢驗(yàn)：把x=12代入原方程，左邊12?5=7，右邊追問(wèn)：解方程4x=3x?4。觀(guān)察，左邊有4x，右邊有3x，怎樣能讓含有x的項(xiàng)都在一邊？?jī)蛇叾紲p去解：兩邊都減去3x(規(guī)則1)：4x合并同類(lèi)項(xiàng)：x檢驗(yàn)：左邊4×(?4)=?16，右邊3×(?猜想：觀(guān)察上面兩個(gè)方程的解法，第一步變形（x?5+5=7+5實(shí)質(zhì)是抵消5；驗(yàn)證：再看規(guī)則1：兩邊同加(減)一個(gè)數(shù)或整式。例如解4x=3x?4時(shí)，兩邊同減3x，相當(dāng)于把右邊的3x項(xiàng)“搬到”左邊，并且符號(hào)由“+”變成了“”（因?yàn)闇p3x等價(jià)于加?探究3：再看方程?5x=2和32x解：?根據(jù)規(guī)則2，兩邊都除以?5x即x解：3根據(jù)規(guī)則2，兩邊都除以32(或等價(jià)地，兩邊都乘2xx(或x=1設(shè)計(jì)意圖：將抽象的等式性質(zhì)具體化為解方程的規(guī)則，并通過(guò)典型例題（x+a=b，ax=（五）典例分析例1解方程：8x=分析：方程兩邊都含有未知數(shù)x的項(xiàng)，需要移項(xiàng)將它們合并到一邊。常數(shù)項(xiàng)?7解：移項(xiàng)，得(將右邊的2x移到左邊，變號(hào))8x合并同類(lèi)項(xiàng)，得6x系數(shù)化為1，得(兩邊同除以6)x檢驗(yàn)：左邊8×(?76)=?566=?28例2解方程：6=分析：方程寫(xiě)成了“常數(shù)=含x項(xiàng)+常數(shù)”的形式。通常習(xí)慣把含x項(xiàng)放在左邊。可以把8+2x解：方法一：看作整體。根據(jù)規(guī)則1，兩邊先減去8：6?系數(shù)化為1，兩邊同除以2：?或x方法二：移項(xiàng)。將8移到左邊變號(hào)，將2x移到右邊變號(hào)？不，目標(biāo)是x在左邊。更好的移項(xiàng)是：將右邊的2x看作要移到左邊？或者將左邊的常數(shù)6移到右邊，將右邊的常數(shù)8移到左邊？更清晰的是：把所有的常數(shù)項(xiàng)移到右邊，所有的含x項(xiàng)移到左邊。原方程即0+移項(xiàng)（把2x移到左邊變號(hào)，把6移到右邊變號(hào)？）：??系數(shù)化為1，兩邊同除以?2x檢驗(yàn)：右邊8+2×(?1)=8?2(強(qiáng)調(diào)：移項(xiàng)的目的是合并同類(lèi)項(xiàng)，最終目標(biāo)是將方程化為ax=b(a例3解方程：2y?分析：方程含有分?jǐn)?shù)系數(shù)和常數(shù)項(xiàng)，需要移項(xiàng)將含y項(xiàng)和常數(shù)項(xiàng)分別合并，再進(jìn)行系數(shù)化1。移項(xiàng)時(shí)注意分?jǐn)?shù)項(xiàng)符號(hào)的變化。解：移項(xiàng)，得(將右邊的12y移到左邊變號(hào)，將左邊的?2y合并同類(lèi)項(xiàng)：左邊：2y右邊：?所以：3系數(shù)化為1，兩邊同除以32(或同乘2yy檢驗(yàn)：(略，鼓勵(lì)學(xué)生課后完成)所以y=?5(強(qiáng)調(diào)：處理分?jǐn)?shù)系數(shù)時(shí)，移項(xiàng)和合并同類(lèi)項(xiàng)要仔細(xì)計(jì)算；系數(shù)化為1時(shí)，除以分?jǐn)?shù)等于乘以其倒數(shù))設(shè)計(jì)意圖：通過(guò)三個(gè)典型例題，示范利用移項(xiàng)和系數(shù)化1解一元一次方程的完整步驟和規(guī)范書(shū)寫(xiě)。例1展示標(biāo)準(zhǔn)形式；例2展示非標(biāo)準(zhǔn)形式（常數(shù)=表達(dá)式）的處理方法，強(qiáng)調(diào)靈活性；例3引入分?jǐn)?shù)系數(shù)，提高計(jì)算要求，鞏固運(yùn)算技能。解題過(guò)程明確標(biāo)注步驟依據(jù)（移項(xiàng)、合并、系數(shù)化1）并強(qiáng)調(diào)檢驗(yàn)習(xí)慣。此環(huán)節(jié)旨在深化目標(biāo)(2)，提升學(xué)生解方程的熟練度和規(guī)范性，同時(shí)通過(guò)例3落實(shí)運(yùn)算能力的培養(yǎng)。（六）鞏固練習(xí)判斷變形正誤并改正：(1)由3+x=5，得x=(2)由7x=?4，得x=?74(3)由12y=0，得y=(4)由3=x?2，得x=?2?3。解下列方程：(1)x解：移項(xiàng)，得x=6+6，(2)7x解：移項(xiàng)，得7x?6x=?4，(3)?解：系數(shù)化為1，兩邊同除以5，得x=(4)1解：系數(shù)化為1，兩邊同乘4（或除以14)，得y解下列方程：(1)3x解：移項(xiàng)，得3x=?4，系數(shù)化1，得(2)7y解：移項(xiàng)，得7y+6y=?6，合并，得13y=?6(3)5x解：移項(xiàng)，得5x?7x=8?2，合并，得?2x=設(shè)計(jì)意圖：練習(xí)1針對(duì)常見(jiàn)錯(cuò)誤進(jìn)行辨析，強(qiáng)化對(duì)等式性質(zhì)、移項(xiàng)法則、系數(shù)化1操作的理解和應(yīng)用準(zhǔn)確性。練習(xí)2、3提供不同層次的習(xí)題進(jìn)行訓(xùn)練，從最基礎(chǔ)的x+a=b，ax=（七）歸納總結(jié)核心概念內(nèi)容要點(diǎn)解方程中的應(yīng)用等式基本性質(zhì)性質(zhì)1：等式兩邊加(減)同一個(gè)數(shù)或整式，結(jié)果仍是等式。性質(zhì)2：等式兩邊乘(除)同一個(gè)非零數(shù)，結(jié)果仍是等式。解方程變形的理論基礎(chǔ)。方程變形規(guī)則規(guī)則1：方程兩邊加(減)同一個(gè)數(shù)或整式，解不變。規(guī)則2：方程兩邊乘(除)同一個(gè)非零數(shù)，解不變。解方程的操作依據(jù)。移項(xiàng)把方程中的項(xiàng)從一邊移到另一邊，必須改變?cè)擁?xiàng)的符號(hào)。目的：合并同類(lèi)項(xiàng)（使含未知數(shù)的項(xiàng)在方程一邊，常數(shù)項(xiàng)在另一邊）。本質(zhì)：應(yīng)用規(guī)則1。系數(shù)化為1將未知數(shù)的系數(shù)通過(guò)乘或除變?yōu)?。目的：得到最終解x=a解方程基本步驟1.移項(xiàng)(將含未知數(shù)的項(xiàng)移到方程左邊，常數(shù)項(xiàng)移到右邊，移項(xiàng)必變號(hào))。2.合并同類(lèi)項(xiàng)(化簡(jiǎn)為ax=b形式)。3.系數(shù)化為1(兩邊同除以未知數(shù)系數(shù)a,規(guī)范步驟保證求解正確性和邏輯清晰性。檢驗(yàn)將求得的解代入原方程，看左右兩邊是否相等。驗(yàn)證解的正確性。(表格下方回車(chē))（八）感受中考(2024·江蘇某地模擬改編)解方程：2x?解：移項(xiàng)，得2x?x=5+3知識(shí)點(diǎn)：移項(xiàng)、合并同類(lèi)項(xiàng)解一元一次方程。(2023·湖南株洲)解方程：?2解：系數(shù)化為1，兩邊同乘?32，得知識(shí)點(diǎn)：利用等式性質(zhì)2（系數(shù)化為1）解形如ax=b(2024·浙江杭州模擬改編)解方程：0.5x+解：移項(xiàng)，得0.5x?2x=?3?1，合并，得?1.5x=?4，系數(shù)化為1，兩邊同除以知識(shí)點(diǎn)：移項(xiàng)、合并含小數(shù)系數(shù)的項(xiàng)、系數(shù)化為1解一元一次方程。(2022·四川成都)已知關(guān)于x的方程3x?2a=7的解是x=1A.?2B.0C.2D.解：把x=1代入方程：3×1?2a=7，即3?2a=7。移項(xiàng)，得知識(shí)點(diǎn)：理解方程解的概念，利用解構(gòu)造新方程并求解（移項(xiàng)、系數(shù)化1）。設(shè)計(jì)意圖：在學(xué)習(xí)完知識(shí)后加入中考真題練習(xí)，不僅可以幫助學(xué)生明確考試方向，熟悉考試題型，檢驗(yàn)學(xué)習(xí)成果，提升應(yīng)考能力，還可以提升學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣和動(dòng)力。（九）小結(jié)梳理知識(shí)模塊相互關(guān)系等式性質(zhì)核心基礎(chǔ)↓(指導(dǎo))方程變形規(guī)則直接依據(jù)(規(guī)則1←性質(zhì)1)(規(guī)則2←性質(zhì)2)↓(體現(xiàn)為)解方程操作移項(xiàng)(規(guī)則1應(yīng)用→目的：合并同類(lèi)項(xiàng))→系數(shù)化為1(規(guī)則2應(yīng)用)→解x=a檢驗(yàn)驗(yàn)證保障核心思想轉(zhuǎn)化思想：利用等式性質(zhì)，通過(guò)一系列等價(jià)變形（移項(xiàng)、合并、系數(shù)化1），將復(fù)雜方程逐步轉(zhuǎn)化為最簡(jiǎn)形式x=能力要求運(yùn)算能力：移項(xiàng)變號(hào)、合并同類(lèi)項(xiàng)（系數(shù)運(yùn)算）、分?jǐn)?shù)小數(shù)運(yùn)算、系數(shù)化1。推理能力：明確每一步變形的依據(jù)（規(guī)則對(duì)應(yīng)性質(zhì)）。(表