【03-暑假培優(yōu)練】專題03直線綜合歸類(15大鞏固提升練+能力提升練+高考真題練)(教師版)-2025年新高二數(shù)學(xué)暑假銜接講練(人教A版)專題03直線綜合歸類內(nèi)容早知道?第一層鞏固提升練題型一：各類直線傾斜角題型二：直線含參型傾斜角范圍最值題型三：斜率與傾斜角互化關(guān)系題型四：直線與線段有交點求斜率范圍型題型五：直線含參過定點型題型六：斜率公式集合意義應(yīng)用題型七：斜率公式：函數(shù)型題型八：雙直線含參型題型九：直線截距型：截距基礎(chǔ)應(yīng)用題型十：直線截距型：最值型題型十一：圍成面積最值范圍題型十二：夾角、角平分線型題型十三：“光學(xué)”與對稱題型十四：顛倒直線距離公式應(yīng)用題型十五：直線圍成四邊形面積最值?第二層能力提升練?第三層高考真題練鞏固提升練題型01各類直線傾斜角?技巧積累與運用斜率公式(1)若直線l的傾斜角α≠90°，則斜率k＝tanα.(2)P1(x1，y1)，P2(x2，y2)在直線l上，且x1≠x2，則l的斜率k＝eq\f(y2－y1,x2－x1).1．若直線的傾斜角為，則（

）．A．0 B． C． D．不存在【答案】C【分析】根據(jù)直線的方程即可求解.【詳解】因為，為一常數(shù)，故直線的傾斜角為，故選：C2．直線的傾斜角為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)斜率的定義結(jié)合誘導(dǎo)公式即可求解.【詳解】因為，所以直線的傾斜角為146°.故選：D3．直線的傾斜角為（

）．A． B． C． D．【答案】B【分析】直接由直線傾斜角的定義求出即可.【詳解】由題意得，因為所以該直線的傾斜角為．故選：B題型02直線含參型傾斜角范圍最值?技巧積累與運用與直線方程的適用條件、截距、斜率有關(guān)問題的注意點：(1)運用點斜式、斜截式方程時：要注意討論斜率存在性；(2)運用截距式方程時：要注意討論是否經(jīng)過原點(過原點的直線x，y軸截距均為0)．注意：截距不是距離，距離是非負(fù)值，而截距可正可負(fù)，可為零．1．設(shè)直線的方程為，則直線的傾斜角的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)直線斜率的范圍求傾斜角的取值范圍.【詳解】設(shè)直線的傾斜角為，則由直線可得，所以，故選：D2．設(shè)直線l的方程為，則直線l的傾斜角的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】當(dāng)時，可得傾斜角為，當(dāng)時，由直線方程可得斜率，然后由余弦函數(shù)和正切函數(shù)的性質(zhì)求解即可.【詳解】當(dāng)時，方程變?yōu)?，其傾斜角為，當(dāng)時，由直線方程可得斜率，且，，即，又，，綜上所述，傾斜角的范圍是.故選：C.3．已知，則直線的傾斜角的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】設(shè)直線的傾斜角為，根據(jù)題意求得，得到，即可求解.【詳解】設(shè)直線的傾斜角為，由直線，可得斜率為，即，解得，即直線的傾斜角的取值范圍為.故選：B.題型03斜率與傾斜角互化關(guān)系?技巧積累與運用直線傾斜角的概念和范圍(1)求直線的傾斜角主要根據(jù)定義來求，其關(guān)鍵是根據(jù)題意畫出圖形，找準(zhǔn)傾斜角，有時要根據(jù)情況分類討論．(2)注意傾斜角的范圍．1．若直線與直線的交點位于第一象限，則直線的傾斜角的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】根據(jù)題意結(jié)合斜率、傾斜角之間的關(guān)系分析求解.【詳解】因為直線恒過點，直線與坐標(biāo)軸的交點分別為，直線的斜率，此時傾斜角為；直線的斜率不存在，此時傾斜角為；所以直線的傾斜角的取值范圍是.故選：B.2．已知直線的傾斜角滿足，則的斜率的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】根據(jù)正切函數(shù)單調(diào)性得到斜率的取值范圍.【詳解】函數(shù)在上單調(diào)遞增，又，，故的取值范圍是.故選：C3．若直線的斜率的變化范圍是，則它的傾斜角的變化范圍是()A．B．C．D．或【答案】D【分析】作出正切函數(shù)在的圖象，根據(jù)斜率的范圍結(jié)合圖象確定出的范圍.【詳解】作出正切函數(shù)在的圖象如下圖，

如圖所示，當(dāng)，即，解得或，即或，故選：D.題型04直線與線段有交點求斜率范圍型?技巧積累與運用已知線段的兩端點及線段外一點，求過點且與線段有交點的直線斜率的取值范圍.若直線的斜率都存在，解題步驟如下：①連接；②由，求出和；③結(jié)合圖形寫出滿足條件的直線斜率的取值范圍.1．已知點，若直線與線段AB（含端點）有公共點，則實數(shù)m的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)已知條件及直線的點斜式方程求出定點，直線與線段有交點，結(jié)合圖形可得直線斜率的范圍，利用直線的斜率公式即可求解.【詳解】由，得，所以直線l的方程恒過定點，斜率為.因為，，所以，.由題意可知，作出圖形如圖所示，由圖象可知，或，所以實數(shù)m的取值范圍為.故選：B.2．已知直線：，若直線與連接兩點的線段總有公共點，則直線的傾斜角范圍為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)直線的方程確定直線所過的定點，利用斜率公式求得直線和的斜率，根據(jù)過定點的直線與線段總有交點分析運算即可得解.【詳解】解：如上圖，由題意，直線方程可化為：，由解得：，∴直線過定點.又∵，∴，，∴由直線與線段總有公共點知直線的斜率滿足或，當(dāng)時，直線的斜率，∴直線的傾斜角滿足或，即直線的傾斜角范圍為.故選：C.3．經(jīng)過點作直線l，且直線l與連接點，的線段總有公共點，則直線l的傾斜角α的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】畫出坐標(biāo)系，連接，結(jié)合斜率變化可知，，聯(lián)立斜率與傾斜角關(guān)系即可求解.【詳解】設(shè)直線的傾斜角為，，因為直線l與連接點，的線段總有公共點，所以，即，所以.故選：A.

題型05直線含參過定點型?技巧積累與運用一般情況下，過定點直線系：過A1x＋B1y＋C1＝0與A2x＋B2y＋C2＝0的交點的直線可設(shè)：A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0.1．點到直線的距離最大時，其最大值以及此時的直線方程分別為（）A．； B．；C．； D．；【答案】C【分析】根據(jù)題意，得到直線過定點，若使得到直線的距離最大，則，求得，得到，進(jìn)而得到直線方程.【詳解】由直線，可得化為，聯(lián)立方程組，解得，即直線過定點，若要到直線的距離最大，只需，此時點到直線的最大距離，即為線段的長度，可得，又由直線的斜率為，因為，可得，可得，故此時直線的方程為，即，經(jīng)檢驗，此時，上述直線的方程能夠成立.故選：C.2．點到直線的距離最大時，其最大值以及此時的直線方程分別為（

）A．； B．；C．； D．；【答案】A【分析】求出直線所過的定點，再確定最大值條件即可求解.【詳解】將直線變形得，由，解得，因此直線過定點，當(dāng)時，點到直線的距離最大，最大值為，又直線的斜率，所以直線的方程為，即.故選：A

3．當(dāng)點到直線（為任意實數(shù)）的距離取最大值時，則（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】首先得直線恒過點，注意到當(dāng)時，點到直線的距離最大，然后根據(jù)題意列出方程即可求解.【詳解】將直線方程整理為：，由得：，直線恒過點，當(dāng)時，點到直線的距離最大，顯然，否則不垂直，從而.故選：C.題型06斜率公式幾何意義應(yīng)用?技巧積累與運用1．直線的斜率把一條直線的傾斜角α的正切值叫做這條直線的斜率，斜率常用小寫字母k表示，即k＝tanα.2．斜率與傾斜角的對應(yīng)關(guān)系圖示傾斜角(范圍)α＝0°0°<α<90°α＝90°90°<α<180°斜率(范圍)k＝0k>0不存在k<03．過兩點的直線的斜率公式過兩點P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1≠x2)的直線的斜率公式為k＝eq\f(y2－y1,x2－x1).1．已知函數(shù)，若滿足的整數(shù)解恰有3個，則實數(shù)的范圍為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】將問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的圖象在直線下方的部分有3個整點，然后數(shù)形結(jié)合可解.【詳解】得，所以滿足的整數(shù)解恰有3個，等價于函數(shù)的圖象在直線下方的部分有3個整點.如圖，當(dāng)直線的斜率m滿足時滿足題意，其中所以，，所以.故選：A2．已知正的頂點，，頂點在第一象限，若點是內(nèi)部及其邊界上一點，則的最大值為（

）A． B．32 C．23 D．【答案】B【分析】確定C的坐標(biāo)，將題目轉(zhuǎn)化為兩點的斜率，根據(jù)圖像得到答案.【詳解】正的頂點，且頂點在第一象限，故頂點的坐標(biāo)為，2)，可看作內(nèi)部及其邊界上一點與點的連線斜率，當(dāng)運動到點時，直線的斜率最大，故的最大值為故選：B.3．“太極圖”因其形狀如對稱的陰陽兩魚互抱在一起，故也被稱為“陰陽魚太極圖”.如圖是放在平面直角坐標(biāo)系中的“太極圖”，圖中曲線為圓或半圓，已知點Px,y是陰影部分（包括邊界）的動點，則的最小值為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】轉(zhuǎn)化為點Px,y與連線的斜率，數(shù)形結(jié)合后由直線與圓的位置關(guān)系求解.【詳解】記，則為直線的斜率，故當(dāng)直線與半圓相切時，得k最小，此時設(shè)，故，解得或（舍去），即．故選：C.題型07斜率公式：函數(shù)型?技巧積累與運用斜率公式函數(shù)型：1.分式型含參，可以構(gòu)造轉(zhuǎn)化為斜率形式2.要注意函數(shù)型對應(yīng)自變量的“定義域”1．已知函數(shù)若存在唯一的整數(shù)x，使得成立，則所有滿足條件的整數(shù)a的取值集合為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】作出的圖象，由不等式的幾何意義：曲線上一點與連線的直線斜率小于0，結(jié)合圖象即可求得a范圍【詳解】令作出的圖象如圖所示：等價于，表示點與點所在直線的斜率，可得曲線上只有一個整數(shù)點與所在的直線斜率小于0，而點在直線上運動，由可知當(dāng)時，只有點滿足，當(dāng)時，只有點滿足，當(dāng)時，至少有，滿足，不滿足唯一整數(shù)點，故舍去，當(dāng)時，至少有滿足，不滿足唯一整數(shù)點，故舍去，因為為整數(shù)，故可取故選：B2．過點的直線與曲線有且僅有兩個不同的交點，則的斜率的取值范圍為（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】表示以圓心為原點，半徑為2的半圓，畫出圖形，考慮直線與半圓相切、分別經(jīng)過點，，可得所求取值范圍．【詳解】設(shè)過且有斜率的直線位，曲線表示以圓心為原點，半徑為2的下半圓，由直線與圓相切可得，解得或，當(dāng)直線經(jīng)過點時，，當(dāng)直線經(jīng)過點時，，由圖象可得，或．故選：C．

3．已知函數(shù)，則的取值范圍為（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】化簡，函數(shù)上一點與連線斜率的倍，求出的范圍，即可得出答案.【詳解】因為，圖象如下圖，，

，表示函數(shù)上一點與連線斜率的倍，，，由圖可知：或，所以或，則的取值范圍為.故選：D.題型08雙直線含參型?技巧積累與運用如果兩條直線都有參數(shù)，則兩條直線可能存在“動態(tài)”垂直。則直線交點必在定點線段為直徑的圓上。每一條直線都可以通過“直線系”得到直線過定點。兩條動直線如果所含參數(shù)字母是一致的，則可以分別求出各自斜率，通過斜率之積是否是-1，確定兩條直線是否互相“動態(tài)垂直”。如果兩條動直線“動態(tài)垂直”，則兩直線交點必在兩條直線所過定點為直徑的圓上。如果兩條動直線交點在對應(yīng)的兩直線所過定點為直徑的圓上，則可以通過設(shè)角，三角代換，進(jìn)行線段的最值求解計算1．已知點是直線：和：的交點，點是圓：上的動點，則的最大值是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】求出直線過定點，直線過定點，且，得到的軌跡是以的中點為圓心，半徑的圓，結(jié)合圓的圓心，半徑，得到的最大值是，得到答案.【詳解】因為直線，即，令，解得，可知直線過定點，同理可知：直線過定點，又因為，可知，所以直線與直線的交點的軌跡是以的中點為圓心，半徑的圓，因為圓的圓心，半徑，所以的最大值是．故選：C2．設(shè)，若過定點A的動直線和過定點B的動直線交于點，則的最大值是（

）A． B．2 C．3 D．5【答案】A【分析】先確定兩直線所過的定點、的坐標(biāo)，然后根據(jù)兩直線的位置關(guān)系可判斷它們垂直，結(jié)合基本不等式求解即可.【詳解】依題意，直線過定點，直線可整理為，故直線過定點，又因為直線和直線始終垂直，為兩直線交點，所以，則，由基本不等式可得，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，所以的最大值是.故選：A.3．設(shè)，若過定點A的動直線和過定點B的動直線交于點，AB中點為Q，則的值為（）A． B． C． D．與m的取值有關(guān)【答案】A【分析】求解直線經(jīng)過的定點，根據(jù)兩直線垂直，即可根據(jù)直角三角形的性質(zhì)求解.【詳解】由于經(jīng)過的定點為，所以，直線變形為，所以經(jīng)過定點，故，因為，所以兩直線垂直，如圖，因此為直角三角形，所以，故選：A題型09直線截距型：截距基礎(chǔ)應(yīng)用?技巧積累與運用名稱截距式方程已知條件直線l在x，y軸上的截距分別為a，b且，示意圖方程形式適用條件斜率存在且不為零，不過原點1．已知點到直線的距離為5，且直線在兩坐標(biāo)軸上的截距相等，則滿足條件的直線共有（

）條.A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【分析】根據(jù)直線經(jīng)過原點和不經(jīng)過原點，設(shè)出直線的方程，即可根據(jù)點到直線的距離求解.【詳解】當(dāng)直線經(jīng)過原點時，則直線方程為y=kxk≠0此時到直線的距離為，化簡得，解得，當(dāng)直線不經(jīng)過原點時，設(shè)直線方程，即，此時到直線的距離為，解得，故符合條件的直線有3條，故選：C2．過點作直線，則滿足在兩坐標(biāo)軸上截距之積為2的直線的條數(shù)為（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【分析】設(shè)直線的方程為，將點代入直線的方程，然后由判別式判斷即可.【詳解】設(shè)直線的方程為，將點代入，可得，即，由于，所以方程有兩個根，故滿足題意的直線的條數(shù)為2．故選：B.3．經(jīng)過點且在兩坐標(biāo)軸上的截距互為相反數(shù)的直線方程是（

）A． B．C．或 D．或【答案】C【分析】設(shè)直線在軸上的截距為，分別在，條件下利用待定系數(shù)法求直線方程即可.【詳解】設(shè)直線在軸上的截距為，當(dāng)時，所求直線的方程可設(shè)為，因為直線過點，所以，故，即直線方程為，當(dāng)時，可設(shè)直線方程為，由直線過點可得，，所以，故直線方程為.所以經(jīng)過點且在兩坐標(biāo)軸上的截距互為相反數(shù)的直線方程是或.故選：C.題型10直線截距型：最值型?技巧積累與運用使用截距式判斷兩直線的截距關(guān)系時，要注意直線是否過原點，過原點也存在截距，截距是0。1．若直線經(jīng)過點，則直線l在x軸和y軸上的截距之和取最小值時，（

）A．2 B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)題意，由條件可得，再結(jié)合基本不等式即可得到當(dāng)取最小值的條件，即可得到結(jié)果.【詳解】因為直線經(jīng)過點，則，則，當(dāng)且僅當(dāng)時，即時，等號成立，所以直線l在x軸和y軸上的截距之和取最小值為，此時，則.故選：D2．已知經(jīng)過第一?二?四象限的直線經(jīng)過點，則的最小值為（

）A．4 B． C．8 D．9【答案】D【分析】直線過點及象限得，，結(jié)合基本不等式“1”的妙用求最小值即可【詳解】經(jīng)過一?二?四象限，，又經(jīng)過點，代入得，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時等式成立故選：D3．若直線過點，則當(dāng)取最小值時．直線的方程為（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】由已知得，根據(jù)基本不等式“”的代換可得的最小值，即取最小值時與的值，進(jìn)而得解.【詳解】由直線過點，則，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即，時，等號成立，所以直線方程為，即，故選：C.題型11圍成面積最值范圍型1．已知直線，若直線l與兩坐標(biāo)軸的正半軸圍成三角形的面積最大，則直線l的方程是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】分別求出直線在坐標(biāo)軸上的截距，結(jié)合題意求出的范圍，再結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)即可得解.【詳解】直線在軸上的截距為，在軸上的截距為，由題意，解得，直線l與兩坐標(biāo)軸的正半軸圍成三角形的面積，當(dāng)時，，此時直線l的方程是.故選：C.2．已知直線過點（1，3），若與軸，軸的正半軸圍成的三角形的面積為，則的值可能是（

）A．3 B．4 C．5 D．6【答案】D【分析】利用直線的截距式，結(jié)合基本不等式可得解.【詳解】由題意知直線在軸上的截距存在且大于，設(shè)直線的方程為，直線過點，可得，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即取等號，故，所以.故選：D.3．在平面中，過定點作一直線交軸正半軸于點，交軸正半軸于點，面積的最小值為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】設(shè)直線的截距式，再根據(jù)面積公式結(jié)合基本不等式求解最小值即可【詳解】易得直線不經(jīng)過原點，故設(shè)直線的方程為，因為直線過定點，故，所以，故.當(dāng)時等號成立故故選：C題型12夾角、角平分線型?技巧積累與運用1.求角平分線方程可根據(jù)角平分線上的點到兩邊的距離相等求解2.求角平分線，可以利用夾角公式，或者到角公式求解1．直線的斜率為，直線的斜率為，直線不與直線垂直，且直線和直線夾角的角平分線的斜率為，則的取值范圍是.【答案】【分析】根據(jù)題意畫出圖形，再由兩條直線夾角的角平分線的斜率為，得到中的三線合一，即可求得的取值范圍.【詳解】由于平移不影響斜率，不妨設(shè)兩條直線都過原點，設(shè)分別交于，，角平分線交于點，所以，又因為直線和直線夾角的角平分線的斜率為，所以直線的斜率，所以，即，所以為中點.由三線合一可得為以為底邊的等腰三角形，且，所以，因為不垂直，所以不是直角.當(dāng)為銳角時，則夾角為，所以；當(dāng)為鈍角時，則夾角為的補(bǔ)角，夾角的角平分線為軸，斜率不存在，故不符合題意.綜上，的取值范圍是?1,1.故答案為：?1,12．已知兩條直線、，其中，當(dāng)這兩條直線的夾角在內(nèi)變化時，a的取值范圍為．【答案】【分析】首先求得直線的傾斜角，進(jìn)而判斷出兩條直線的夾角在內(nèi)變動時的傾斜角的取值范圍，進(jìn)而即可求得的取值范圍．【詳解】直線的傾斜角為，令直線的傾斜角為，則有過原點的直線，的夾角在內(nèi)變動時，可得直線的傾斜角的范圍是，，．的斜率的取值范圍是，，，即，，，故答案為：．3．已知某正三角形的一條內(nèi)角平分線所在直線的斜率為，寫出與該角平分線相鄰兩邊中，其中一邊所在直線的斜率為．【答案】或3．（注：寫出一個或兩個正確值均可得滿分）【分析】由題意利用一條直線到另一條直線的夾角公式，求得與該角平分線相鄰的兩條邊所在直線的斜率.【詳解】解：某正三角形的一條內(nèi)角平分線所在直線的斜率為，設(shè)這個正三角形中與該角平分線相鄰的兩條邊所在直線的斜率分別為，且，則，解得.故答案為：或3．（注：寫出一個或兩個正確值均可得滿分）題型13“光學(xué)”與對稱?技巧積累與運用關(guān)于軸對稱問題：（1）點關(guān)于直線的對稱點，則有；（2）直線關(guān)于直線的對稱可轉(zhuǎn)化為點關(guān)于直線的對稱問題來解決.1．如圖，一束光線從出發(fā)，經(jīng)直線反射后又經(jīng)過點，則光線從A到B走過的路程為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)點關(guān)于線對稱求出C點標(biāo),結(jié)合反射光線的性質(zhì)應(yīng)用兩點間距離公式求出距離的最小值即可.【詳解】一束光線從出發(fā)，經(jīng)直線反射,與交于點P,由題意可得，點關(guān)于直線的對稱點在反射光線上，設(shè),則,,故光線從A到B所經(jīng)過的最短路程是.故選：C.2．在等腰直角三角形ABC中，，點P是邊AB上異于A，B的一點，光線從點P出發(fā)經(jīng)BC，CA反射后又回到點P，若光線QR經(jīng)過的重心，則的周長等于（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】以為坐標(biāo)原點，AB,所在直線為軸，軸，建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，通過對稱光線的對稱關(guān)系找到點關(guān)于，的對稱點，，則即為的長.【詳解】解析：以為坐標(biāo)原點，AB所在直線為x軸，所在直線為軸，建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，則，，，所以直線的方程為.設(shè)，點關(guān)于直線的對稱點為P1，點關(guān)于軸的對稱點為，易得，.易知直線就是所在的直線.所以直線的方程為.設(shè)的重心為，則，所以，即，所以（舍去）或，所以，.結(jié)合對稱關(guān)系可知，，所以的周長即線段的長度為：.故選：A.3．在等腰直角中，，點是邊的中點，光線從點出發(fā)，沿與所成角為的方向發(fā)射，經(jīng)過反射后回到線段之間（包括端點），則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)題意建立直角坐標(biāo)系，根據(jù)點關(guān)于線對稱畫出光路圖，利用表示各點坐標(biāo)，求出滿足使反射后回到線段之間角范圍.【詳解】

建立直角坐標(biāo)系如圖所示，，，，則直線由題光線從點出發(fā)，沿光線路徑依次為其中分別為光線與對應(yīng)邊交點，設(shè)，點關(guān)于直線對稱點為，設(shè)點關(guān)于直線對稱點為，根據(jù)對稱則有，因為光線與所成角為的方向發(fā)射，即，令，k即為直線斜率，則直線方程為，則與聯(lián)立，由光線反射的性質(zhì)與光路可逆性知四點共線，則直線方程為，令得，所以的取值范圍為.故選：D題型14點到直線距離公式應(yīng)用?技巧積累與運用幾種距離公式(1)兩點P1(x1，y1)，P2(x2，y2)之間的距離：|P1P2|＝eq\r(x2－x12＋y2－y12).(2)點P0(x0，y0)到直線l：Ax＋By＋C＝0的距離：d＝eq\f(|Ax0＋By0＋C|,\r(A2＋B2)).(3)兩條平行線Ax＋By＋C1＝0與Ax＋By＋C2＝0(其中C1≠C2)間的距離：d＝eq\f(|C1－C2|,\r(A2＋B2)).1．已知實數(shù)滿足，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】去絕對值分別列出每個象限解析式，數(shù)形結(jié)合利用距離求解范圍.【詳解】當(dāng)，表示橢圓第一象限部分；當(dāng)，表示雙曲線第四象限部分；當(dāng)，表示雙曲線第二象限部分；當(dāng)，不表示任何圖形；以及兩點，作出大致圖象如圖：曲線上的點到的距離為，根據(jù)雙曲線方程可得第二四象限雙曲線漸近線方程都是，直線與距離為，曲線二四象限上的點到的距離為小于且無限接近1，聯(lián)立，消得，，且，所以直線與橢圓第一象限部分由兩個交點，考慮曲線第一象限的點到距離得最小值為，所以，所以的取值范圍是.故選：A.【點睛】關(guān)鍵點點睛：解決本題問題的關(guān)鍵是確定方程表示的圖形，以及通過曲線上的點到直線的距離為的取值范圍，間接求解的取值范圍.2．已知圓上兩點滿足，則的最小值為（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】根據(jù)題意，由發(fā)現(xiàn)，又的幾何意義是兩點到直線的距離之和的倍，進(jìn)而利用數(shù)形結(jié)合即可求解.【詳解】由得，即，則.因為，所以，由點到直線的距離公式可知表示兩點到直線的距離之和的倍，如圖所示：

設(shè)的中點分別為，易知，由梯形的中位線可得，則，即點到直線的距離之和的4倍，因為是直角三角形，所以，則點在圓上運動，顯然，最小值為原點到直線距離與圓半徑之差的4倍，原點到直線距離，半徑，所以的最小值為.故選：D.【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題解決的關(guān)鍵在于，將轉(zhuǎn)化為兩點到直線的距離之和的倍，從而得解.3．已知實數(shù)，則的取值范圍是.【答案】【分析】根據(jù)題意，設(shè)直線：，則的幾何意義為，點到直線的距離，即可求出取值范圍.【詳解】根據(jù)題意，設(shè)直線：，設(shè)點那么點到直線的距離為：，因為，所以，且直線的斜率，當(dāng)直線的斜率不存在時，，所以，當(dāng)時，，所以，即，因為，所以，故答案為：.?技巧積累與運用題型15直線圍成四邊形面積最值1．已知，直線和直線與兩坐標(biāo)軸圍成一個四邊形.則使這個四邊形面積最小的值為.A．2 B． C． D．【答案】D【詳解】易知，直線和都過定點.在中，令x=0，得；在中，令，得.聯(lián)結(jié).則.所以，當(dāng)時，四邊形的面積最小.故答案為D2．已知，直線和直線與兩坐標(biāo)軸圍成一個四邊形，則使得這個四邊形面積最小的k值為（

）A． B． C． D．1【答案】C【分析】求出四邊形四個頂點的坐標(biāo)，表示出四邊形面積，借助函數(shù)思想求最小值.【詳解】過定點，也過定點，如圖所示，在的方程中，令，則，在的方程中，令，則，則點，，．由二次函數(shù)性質(zhì)可得，當(dāng)時，S取得最小值．故選：C.3．已知，直線的方程為，直線的方程為，記，與兩坐標(biāo)軸圍成的四邊形的面積為S，則S的最小值為.【答案】【分析】確定兩直線經(jīng)過的定點，求出直線與y軸的交點的坐標(biāo)和直線與x軸的交點的坐標(biāo)，進(jìn)而表示出圍成的四邊形面積，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)求得答案.【詳解】因為，所以由，因此直線恒過點，且該直線的斜率所以由，因此直線也恒過點，且該直線的，設(shè)直線與縱軸的交點為，直線與橫軸的交點為，點為點，所以，與兩坐標(biāo)軸圍成的四邊形為四邊形，如圖所示：

，當(dāng)時，有最小值，故答案為：【點睛】關(guān)鍵點睛：本題的關(guān)鍵是判斷兩直線所過的定點.能力培優(yōu)曲線與過原點的直線沒有交點，則的傾斜角的取值范圍是A． B． C． D．【答案】A【分析】作出曲線的圖形，得出各射線所在直線的傾斜角，觀察直線在繞著原點旋轉(zhuǎn)時，直線與曲線沒有交點時，直線的傾斜角的變化，由此得出的取值范圍.【詳解】當(dāng)，時，由得，該射線所在直線的傾斜角為；當(dāng)，時，由得，該射線所在直線的傾斜角為；當(dāng)，時，由得，該射線所在直線的傾斜角為；當(dāng)，時，由得，該射線所在直線的傾斜角為.作出曲線的圖象如下圖所示：由圖象可知，要使得過原點的直線與曲線沒有交點，則直線的傾斜角的取值范圍是，故選A.【點睛】本題考查直線傾斜角的取值范圍，考查數(shù)形結(jié)合思想，解題的關(guān)鍵就是作出圖形，利用數(shù)形結(jié)合思想進(jìn)行求解，屬于中等題.已知直線與直線交于點，點關(guān)于直線對稱的點為，則的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】解方程組求出點坐標(biāo)，可得，分、、討論，代入利用基本不等式求最值可得答案.【詳解】由，解得，可得，所以，即，當(dāng)時，，則無意義；當(dāng)時，，當(dāng)且僅當(dāng)即等號成立；當(dāng)時，，當(dāng)且僅當(dāng)即等號成立；綜上，，或.故選：D.【點睛】關(guān)鍵點點睛：解題的關(guān)鍵點是求出點坐標(biāo)，代入利用基本不等式求最值.已知實數(shù)滿足，則的最小值為（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】D【分析】問題轉(zhuǎn)化為兩平行線間距離的平方，利用平行線間距離公式可得結(jié)果.【詳解】由題意得，點在直線上，點在直線上，所以的最小值為兩平行線間距離的平方，即.故選：D.已知點，，點為直線上動點，當(dāng)最大值，點的橫坐標(biāo)為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】以為直徑作圓，由圓心到直線的距離可知直線與圓相離，則結(jié)合兩直線夾角公式可得，進(jìn)而可得最值.【詳解】以為直徑作圓，方程為，半徑，則圓心到直線的距離，則直線與圓相離，即，由點在直線上，設(shè)，則，，所以直線與的夾角滿足，當(dāng)時，，當(dāng)時，，當(dāng)時，，此時，當(dāng)且僅當(dāng)，即時等號成立；當(dāng)時，，此時，當(dāng)且僅當(dāng)，即時等號成立；綜上所述，當(dāng)時，取最大值，即取最大值，故選：A.已知函數(shù)，若對任意實數(shù)x恒成立，則實數(shù)a的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】由條件可得函數(shù)的圖象恒在函數(shù)的圖象的上方，討論，作函數(shù)圖象，結(jié)合圖象確定的范圍.【詳解】因為對任意實數(shù)x恒成立，所以對任意實數(shù)x恒成立，所以對任意實數(shù)x恒成立，所以函數(shù)的圖象恒在函數(shù)的圖象的上方，當(dāng)時，函數(shù)的圖象在函數(shù)的上方，滿足條件，設(shè)的零點從左至右依次為，則，，當(dāng)時，如圖，記過點，的直線為，設(shè)直線的斜率為，由圖象得，因為，所以，所以，所以，所以，當(dāng)時，如圖，記過點，的直線為，設(shè)的斜率為，則，由圖象得，因為，所以，所以，所以，所以，所以實數(shù)a的取值范圍為，故選：B.【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題解決的關(guān)鍵在于將條件轉(zhuǎn)化為函數(shù)的圖象恒在函數(shù)的圖象的上方，作函數(shù)圖象，并通過觀察圖象列不等關(guān)系確定的范圍.已知直線與直線相交于點，則到直線的距離的取值集合是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】先判斷與的位置關(guān)系，可知兩直線交點軌跡為圓，然后挖去點，轉(zhuǎn)化為圓心到直線的距離求解即可.【詳解】由兩直線垂直的判斷條件，可知，所以直線與始終垂直，又由條件可得直線恒過定點，直線恒過定點，所以兩直線的交點是在以線段為直徑的圓上，所以該圓的圓心坐標(biāo)為，半徑為，圓上點是過定點且斜率不存在的直線與過定點且斜率為0的直線的交點，故挖去點.圓心到直線的距離，所以，與的交點到直線的距離的最大值和最小值分別為和，又到直線的距離為，應(yīng)舍去，所以取值集合是.故選：D.【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題解決的關(guān)鍵是，利用直線垂直的性質(zhì)與過定點的知識，判斷得兩直線的交點是在以線段為直徑的圓上，從而得解.已知，，是曲線上的任意一點，若的值與無關(guān)，則（

）A．m的取值范圍為B．n的取值范圍為C．的最大值為7D．的最小值為【答案】ACD【分析】由方程知曲線為半圓，再由題意轉(zhuǎn)化為半圓夾在兩平行直線之間，求出相切與過端點的情況即可得解.【詳解】由曲線，得，則（），所以曲線表示以為圓心，半徑的半圓（軸及以上部分）.設(shè)直線：與：，由，得表示點到直線和的距離和的2倍，對于AB，若的值與無關(guān)，則該曲線在兩平行直線：與：之間，當(dāng)與該曲線相切時，，解得，則的取值范圍為，當(dāng)經(jīng)過點時，，解得，則的取值范圍為，故A正確，B錯誤；對于C，由圖知，當(dāng)點的坐標(biāo)為時，點到直線的距離最大，為，所以的最大值為7，故C正確；對于D，由圖可知，當(dāng)與該曲線相切，且經(jīng)過點時，點到直線和的距離和最小，此時，則點到直線和的距離和最小值為，所以的最小值為，故D正確.故選：ACD.【點睛】關(guān)鍵點點睛：將轉(zhuǎn)化為點到直線和的距離和的倍，是解決本題的關(guān)鍵.8．（22-23高二上·遼寧沈陽·階段練習(xí)）已知點，分別在直線：與直線：上，且，點，，則的最小值為．【答案】【分析】考察直線上的動點到直線兩側(cè)兩定點距離之和的最小值，由為定值，求的最小值，要先求的最小值，轉(zhuǎn)化求的最小值，利用“三角形兩邊之和大于第三邊”這一幾何結(jié)論可得.【詳解】如圖：

由平行線間的距離公式得，過點A作垂直于l1的直線，并截取，設(shè)點，則因此，點，則，連接，，則四邊形是平行四邊形，則有，當(dāng)三點共線時等號成立，∴，∴的最小值為.9．（24-25高一上·上海嘉定·期中）設(shè)，點、分別是直線與上的任意動點，若時，皆有，則的最小值為．【答案】15【分析】根據(jù)題設(shè)有，，進(jìn)而有恒成立，則求得，代入目標(biāo)式求最小值.【詳解】由題設(shè)，，且恒成立，所以在上恒成立，則，整理得，故，所以，當(dāng)，時，最小值為.故答案為：【點睛】關(guān)鍵點點睛：問題化為在上恒成立為關(guān)鍵.在平面直角坐標(biāo)系中，已知動點到兩直